TRANSFORMADA DISCRETA DEL COSENO (DCT)

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1 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 1 TRANSFORMADA DISCRETA DEL COSENO (DCT) La transformada discreta del coseno (DCT), - también denominada transformada del coseno -, es la más ampliamente utilizada en compresión de imágenes. Esta transformada cuenta con una buena propiedad de compactación de energía y es muy similar a la KLT Karhunen-Loève Transform), que produce coeficientes incorrelados, con la diferencia de que los vectores base de la DCT dependen sólo del orden de la transformada seleccionado, y no de las propiedades estadísticas de los datos de entrada. La decorrelación de coeficientes es muy importante para compresión, ya que, el posterior tratamiento de cada coeficiente se puede realizar de forma independiente, sin pérdida de eficiencia de compresión. Otro aspecto importante de la DCT es la capacidad de cuantificar los coeficientes utilizando valores de cuantificación que se eligen de forma visual. Esta transformada ha tenido una gran aceptación dentro el tratamiento digital de imagen, debido al hecho de que, para los datos de una imagen convencional, que tienen una alta correlación entre elementos, su comportamiento es virtualmente indistinguible de la KLT (caso más óptimo). La DCT está bastante relacionada con la DFT, con la diferencia de que es una transformada real, debido a que los vectores base se componen exclusivamente de funciones coseno muestreadas. Además la DCT minimiza algunos de los problemas que surgen con la aplicación de la DFT a series de datos, como veremos más adelante. DCT UNIDIMENSIONAL La respuesta del sistema visual humano depende de la frecuencia espacial. Si pudiéramos, de algún modo descomponer una imagen en un conjunto imágenes, cada una con una frecuencia espacial particular, podríamos separar la estructura de la imagen que el ojo puede ver a partir de la estructura que es imperceptible. La DCT puede proporcionar una buena aproximación a esta descomposición. Para comprender cómo una imagen puede ser descompuesta en sus frecuencias espaciales fundamentales, primero consideraremos el caso unidimensional. (a) F(n) (secuencia de ocho muestras con valores en el intervalo ); (b) F (n) representa a F(n) después de un cambio al intervalo de valores ;

2 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 2 (c) Coeficientes C(k) de la DCT de F (n). La Fig representa un conjunto de ocho funciones base co/sinusoidales de amplitud uniforme, cada una muestreada en ocho puntos. La forma de onda superior izquierda (k=0) es simplemente una constante, mientras que las otras siete (k=1,..., 7) presentan un comportamiento alterno a frecuencias más altas progresivamente. Estas formas de onda (que se denominan funciones base cosinusoidales), son ortogonales; es decir, si realizamos el producto de dos formas de onda cualquiera, y sumamos estos productos a lo largo de todos los puntos de muestreo, obtendremos un resultado nulo, mientras que si multiplicamos una forma de onda por sí misma, el resultado será una constante. Comenzaremos con un conjunto de ocho muestras arbitrarias sobre la escala de grises (F(n)), tal y como se muestra en la Fig. 2.72(a). Las muestras tienen valores comprendidos en el intervalo de 0 a 255, pero después de un cambio de nivel a 128 (para obtener una mejor aproximación a través de funciones base cosinusoidales), los valores de las muestras (F (n)) estarán en el rango (-128, +127) como indica la Fig. 2.72(b). El objetivo es descomponer estas ocho muestras en un conjunto de formas de onda de diferentes frecuencias espaciales. cualquier valor de ocho muestras tales como aquellos de la Fig. 2.72(b). Los coeficientes C(k) son representados gráficamente en la Fig. 2.72(c). La Fig presenta una secuencia en la que las ocho formas de onda ponderadas son sumadas progresivamente, comenzando con la frecuencia mas baja (añadiendo una más cada vez), hasta que finalmente se reconstruye el conjunto original de muestras. Los coeficientes representados en la Fig (c) son la salida de una DCT de 8-puntos para valores de ocho muestras en la Fig. 2.72(b). El coeficiente que pondera la función base constante (k=0) se denomina coeficiente DC. El resto de coeficientes se denominan coeficientes AC. Observar que el término DC proporciona el promedio sobre el conjunto de muestras.

3 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 3 Figura 2.73: Funciones base cosinusoidales. Por ejemplo, si cogemos el producto de las formas de onda 0 y 1, y sumamos a lo largo de todos los puntos de muestreo, el resultado es cero. Por otra parte, si hacemos el producto de la forma de onda 1 por si misma, el producto en cada punto de muestreo es el cuadrado del valor de la forma de onda; por lo tanto, la suma de los productos a lo largo de todos los puntos de muestreo es una constante positiva (que se utiliza para definir un factor de ponderación para las formas de onda). Las formas de onda ortogonales son independientes. Es decir, no existe la posibilidad de que una forma de onda dada, pueda representarse a través de una combinación de las demás formas de

4 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 4 onda. Sin embargo, el conjunto completo de ocho formas de onda, cuando se ponderan mediante números denominados coeficientes y se suman entre sí, puede utilizarse para representar

5 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 5

6 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 6 Figura 2.74: Funciones cosinusoidales sumadas de forma progresiva. El proceso de descomponer un conjunto de muestras en un conjunto ponderado de funciones base cosinusoidales se denomina Transformada Discreta del Coseno Directa (DCT), y al método de reconstruir el conjunto de muestras a partir del conjunto ponderado de funciones base cosinusoidales se le conoce como Transformada Discreta del Coseno Inversa (IDCT). Si la secuencia muestreada es mayor de ocho muestras, puede dividirse en grupos de ocho muestras y la DCT puede calcularse independientemente para cada grupo. Debido a que las funciones base cosinusoidales siempre tienen el mismo conjunto de valores en cada uno de los puntos de muestreo discretos, solamente cambian los valores de los coeficientes, de un grupo de muestras al siguiente. DCT BIDIMENSIONAL La DCT unidimensional puede extenderse a dos dimensiones para su aplicación a imágenes. La Fig muestra un conjunto de 64 funciones base cosinusoidales bidimensionales (imágenes base) que se generaron multiplicando un conjunto de funciones base unidimensionales (de ocho puntos) orientadas horizontalmente (Fig. 2.73), por un conjunto verticalmente orientado de las mismas funciones. Las imágenes base orientadas horizontalmente representan las frecuencias horizontales y las orientadas verticalmente representan las frecuencias verticales. Por convenio, el término DC de las funciones base horizontales esta situado a la izquierda, y arriba en el caso de las funciones base verticales. Por consiguiente, la fila superior y la columna de la izquierda tienen variaciones de intensidad en una dimensión, que si se representan, serían las mismas que las de la Fig (Para propósitos de ilustración, un gris neutro representa cero en estas figuras, el blanco representa amplitudes positivas, y el negro representa amplitudes negativas.)

7 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 7 Figura 2.75: Imágenes base de la DCT;modelo en zig-zag. Cuando ponderamos por un adecuado conjunto de 64 coeficientes, estas funciones base pueden utilizarse para representar cualquier valor de 64 muestras. La Fig también muestra la secuencia en que estas 64 funciones base son progresivamente sumadas. Este modelo en zig-zag, (utilizado en los algoritmos JPEG), aproximadamente ordena las funciones de menor a mayor frecuencia espacial.

8 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 8 Debido a que las funciones base de la DCT bidimensional son productos de dos funciones base unidimensionales, la única función base constante (coeficiente DC) se encuentra en la esquina superior izquierda del conjunto. CUANTIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE LA DCT ENTERA La cuantificación nos permite reducir la precisión con la que los coeficientes de la DCT se representan cuando se convierte la DCT a una representación entera. Esto puede ser muy importante en compresión de imagen, en donde se tiende a anular muchos coeficientes - especialmente los de altas frecuencias espaciales-. Los valores cuantificados pueden ser asignados individualmente para cada coeficiente DCT, utilizando el criterio basado en la visibilidad de las funciones base. Si medimos el umbral de visibilidad de una función base determinada - amplitud del coeficiente a partir de la cual la función base es detectable por el ojo humano - podemos dividir (cuantificar) los coeficientes por ese valor (con el apropiado redondeo a valores enteros). Si multiplicamos (decuantificar) los coeficientes así obtenidos por ese valor antes de la reconstrucción, crearemos una condición en la que el ojo no podría detectar ninguna diferencia entre los coeficientes DCT cuantificados y sin cuantificar. Si estamos dispuestos a tolerar algunos " defectos " visibles en la imagen reconstruida, podríamos dividir por un valor más grande que el correspondiente al umbral de visibilidad. Este proceso de ponderación y truncamiento de los coeficientes de la DCT a valores enteros se denomina cuantificación, y el restablecimiento aproximado de la magnitud de los coeficientes originales de la DCT recibe el nombre de decuantificación. BLOQUES DE LA DCT En principio toda serie de muestras de cualquier tamaño puede descomponerse en una DCT bidimensional. Tomaremos como ejemplo para las explicaciones un tamaño 8x8. Por supuesto, la mayoría de las imágenes son muchos más grandes que 8x8 y deben dividirse en bloques de muestras de este tamaño. Cada bloque 8x8 se transforma independientemente, pero esta segmentación en bloques conlleva algunos problemas. Debido a que la imagen se divide en bloques 8x8, las frecuencias espaciales en la imagen y las frecuencias espaciales de las funciones base no son precisamente equivalentes. Una simple función base coseno de una frecuencia dada puede representar únicamente una fase particular de una oscilación espacial en el bloque; la representación de una fase arbitraria, por tanto, requiere bien una función seno o un armónico coseno de la frecuencia fundamental. La segmentación en bloques 8x8 puede también producir " efectos de bloque " -

9 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 9 discontinuidades visibles entre bloques adyacentes -. Si fijáramos todos los coeficientes AC a cero, entonces el coeficiente DC tendría que representar todas las muestras en un bloque. En aquellos puntos donde los términos DC difieran notablemente de bloque a bloque, la discontinuidad sería visible. Estos efectos de bloque aparecen como bordes en la imagen, y los bordes abruptos implican altas frecuencias espaciales. Sin embargo, estas frecuencias espaciales tienen lugar en las transiciones entre bloques y son provocadas por la ausencia de coeficientes AC. En este caso se necesitan coeficientes AC no nulos para suprimir este efecto. DEFINICIÓN MATEMÁTICA El par transformado para la DCT unidimensional de una secuencia { F(n), 0 # n # N- 1} se define como, TRANSFORMADA DISCRETA DEL COSENO UNIDIMENSIONAL podemos expresar esta transformada de forma matricial C= { c(k,n) }de la forma: Al aplicar la transformada discreta del coseno muchos de los coeficientes obtenidos son pequeños, es decir, la mayoría de la energía de los datos se almacena en pocos coeficientes. El par de la transformada discreta del coseno bidimensional se obtiene de forma sencilla a partir del caso unidimensional y de la propiedad de separabilidad,

10 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 10 TRANSFORMADA DISCRETA DEL COSENO BIDIMENSIONAL La Fig muestra ejemplos de la transformada del coseno de diferentes imágenes. Figura 2.76: Ejemplos de la DCT de diversas imágenes. A modo de resumen destacaremos las propiedades más importantes de la DCT: 1. La DCT es real y ortogonal, es decir, C = C * Y C -1 = C T 2. La DCT no es la parte real de la DFT unitaria. Sin embargo, la DCT de una secuencia esta relacionada con la DFT de su extensión simétrica.

11 Transformada discreta del coseno (DCT) Página La DCT es una transformada rápida. La DCT de un vector de N elementos puede calcularse en (N log 2 N) operaciones a través de una FFT de N-puntos. Para demostrar esto definimos una nueva secuencia F o (n) en la que reordenamos los elementos pares e impares de F(n) de la forma Ahora, dividiremos el sumatorio de la ecuación (par transformado), en términos pares e impares, Cambiando el índice del sumatorio en el segundo término a n = N-n-1 y reagrupando, obtenemos que prueba el resultado previamente establecido. Para la inversa de la transformada discreta del coseno, expresaremos los datos de puntos pares como Los datos de los puntos impares se obtienen partiendo de que

12 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 12 Por lo tanto, si calculamos la FFT de N-puntos inversa de la secuencia "(k) C(k) e jbk/2n, podemos también obtener la DCT inversa en N log 2 N operaciones. 4. La transformada discreta del coseno tiene una excelente compactación de energía para datos altamente correlados. Esto es debido a las siguientes propiedades: 4.1. Los vectores base de la transformada discreta del coseno (es decir, filas de C) son los vectores base de la matriz Q C con tridiagonal simétrica, definida como, 4.2. La transformada discreta del coseno NxN esta muy relacionada con la transformada KL de una secuencia estacionaria de Markov de primer orden de longitud N (siendo R su matriz de covarianza), cuando el parámetro de correlación D es próximo a la unidad. La razón es que R -1, es una matriz de diagonal simétrica, que para un escalar $ 2 =(1-D 2 )/(1+D 2 ) y "=D/(1+D 2 ) satisface la relación Esto da lugar a la aproximación $ 2 R -1 Q C, para D = 1 Por lo tanto los vectores de R y los de Q C, serán bastante parecidos. Esta propiedad de la DCT

13 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 13 junto con el hecho de que la DCT es una transformada rápida la ha convertido en una sustituta útil para la KLT de secuencias de Markov de primer orden altamente correladas.

14 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 14 APLICACIONES DE LA DCT Si consultamos la literatura técnica comprobaremos que después de la DFT, la DCT es la más ampliamente utilizada. Esto no es sorprendente, ya que, como hemos comentado la DCT tiene unas características óptimas en cuanto a compactación de energía y además se aproxima a la transformada más adecuada estadísticamente para la decorrelación de una señal (gobernada por un proceso de Markov), es decir a la KLT. El desarrollo de varios algoritmos rápidos para una implementación eficiente de la DCT, que emplean únicamente aritmética real, ha contribuido aún más a su popularidad. Asimismo, la reducción en la complejidad de cálculo de estos algoritmos y la estructura recursiva contribuye a simplificar el hardware notablemente. Como se ha mencionado anteriormente, la DCT es ortogonal y separable. Esto implica que una DCT bidimensional pueda implementarse mediante dos transformadas unidimensionales. Esta propiedad permite que los algoritmos desarrollados para una dimensión pueden extenderse directamente a dos dimensiones. Esto es una ventaja desde el punto de vista de simulación y también para la realización del hardware. La DCT es una de las principales herramientas de compresión de datos para aplicaciones en teleconferencia, videoteléfonos, transmisión de imagen progresiva, videotexto, HDTV, etc... En lo que se refiere al tratamiento digital de imágenes, repasaremos las principales aplicaciones en orden de importancia. CODIFICACIÓN DE IMAGEN La DCT (al igual que las demás transformadas discretas) puede aplicarse a codificación de imagen, desde un punto de vista de reducción de ancho de banda o compresión de datos. El objetivo es conseguir que una imagen (dominio espacial) o secuencia de imágenes (dominios espacial-temporal), se traslade a un dominio transformado de tal forma que se reduzca el ancho de banda para la transmisión o los requerimientos para el almacenamiento; de tal forma que la subsiguiente recuperación de la imagen o secuencia de imágenes mediante la transformada inversa, no presente una distorsión perceptible. La minimización de la distorsión es significante desde el punto de vista subjetivo, y a pesar de que se han definido muchas medidas cuantitativas (error cuadrático medio - MSE-, error absoluto medio - MAE-, coeficiente de correlación - CC-, etc..), la DCT cuenta con la ventaja de que sea el observador humano el último en juzgar la calidad de las imágenes procesadas. Mientras que los criterios cuantitativos y subjetivos (visuales) son los puntos de referencia para evaluar un algoritmo, son igualmente importantes otros factores tales como la complejidad de la implementación (realización hardware) y las diversas características opcionales pertenecientes a cada aplicación específica.

15 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 15 En codificación transformada de imágenes, una imagen NxN es dividida generalmente en bloques, cada uno de tamaño LxL. Por simplicidad las filas y las columnas de una imagen, y también del bloque, se supone que son del mismo tamaño (por esta suposición no se pierde generalidad). En general, se han utilizado bloques de tamaño 8x8 y 16x16 en codificación de imagen. Estos bloques de tamaño pequeño permiten a un ingeniero introducir características adaptativas basadas en la actividad o detalle existente en el bloque. Gracias a esta división, la complejidad del hardware (tamaño de la memoria y lógica computacional) se reduce considerablemente en comparación con la DCT bidimensional de un cuadro completo (un cuadro simple puede ser de tamaño 512x512). Aunque puede existir correlación entre bloque adyacentes, esto no es suficiente para justificar una transformada de tamaño de bloque superior a 16x16. Por lo tanto este tamaño de bloque de 16x16 es la mejor solución de compromiso, teniendo en cuenta la distribución estadística de las imágenes, cuantificadores, y el ruido de los canales. Por otro lado, los codificadores de videoconferencia y videoteléfonos basados en la DCT se han desarrollado utilizando bloques de 8x8 ó 16x16. Asimismo el algoritmo básico de codificación de imágenes estáticas (recomendado por JPEG), está basado en la aplicación de una DCT bidimensional con tamaño de bloques 8x8. El algoritmo básico JPEG es aplicable a imágenes estáticas y en movimiento (secuencias de imágenes) transmitidas a través de la red digital de servicios integrados (RDSI), tanto de banda estrecha como de banda ancha. Después de dividir la imagen en bloques de tamaño LxL en el dominio transformado, el selector descarta algunos de los coeficientes tanto de forma adaptativa como fija. Una interpretación física de este proceso de selección puede observarse en la Fig en la que se muestran las imágenes base de la DCT bidimensional. El bloque superior izquierdo es de intensidad uniforme, representando el promedio de un bloque de imagen. La progresión de izquierda a derecha representa un número creciente de bordes verticales. De forma similar, la progresión desde arriba hacia abajo representa un número creciente de bordes horizontales; en el bloque inferior derecho se produce la mezcla máxima de bordes horizontales y verticales (este bloque tiene una forma de tablero de ajedrez). El descarte de los coeficientes de alta frecuencia en el dominio de la DCT bidimensional implica la supresión de las imágenes base correspondientes a la imagen original, por lo tanto podemos considerar la DCT bidimensional como un proceso de descomposición desde el dominio espacial hacia el dominio de las imágenes base de la DCT. Esta descomposición estructural puede utilizarse adaptativamente seleccionando los coeficientes de la transformada bloque por bloque base, para su posterior procesado (ver Fig. 2.77), mediante la asignación a cada bloque de un número finito de clases basada en la distribución de sus coeficientes.

16 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 16 Fig ura 2.77: Distribución en frecuencia de los coeficientes de la DCT bidimensional y las características de bloque que representan; el coeficiente DC es el cuadradito de la esquina superior izquierda. Las siguientes operaciones incluyen la cuantificación y codificación, antes de transmitir la información de la imagen en un flujo de bits serie a través de un enlace digital (microondas, cable coaxial, fibra óptica o satélite), hacia el receptor que realizará las operaciones inversas. Aunque la Fig muestra la codificación de imagen basada en la DCT, es igualmente válida para codificación de imagen a través de cualquier transformada ortogonal. c) Una imagen (NxN) se divide en bloques de tamaño (LxL).

17 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 17 Figura 2.78: Codificación de imagen basada en la DCT. En la Fig. 2.78, X s (u,v) es el coeficiente seleccionado para un posterior procesado. X sq (u,v) es el valor cuantificado de X s (u,v). Esta es también la salida del decodificador, siempre que el canal tenga ruido. La imagen de error [ x (m,n)- x (m,n)] es la contribución acumulada del ruido de cuantificación, selector, algunos errores de bit no corregidos debido a perturbaciones en el canal, y los efectos de la utilización de una longitud finita de palabra en la DCT y su inversa. Los fundamentos, principios, y conceptos en codificación de imagen son válidos para las transformadas discretas (salvo que se especifique, se supone que estas transformadas son unitarias). Teóricamente, podemos aplicar una transformada diferente a lo largo de cada dimensión. Sin embargo, en la práctica rara vez se realiza de esta manera. Si se puede utilizar cualquier transformada discreta para compresión de imagen Por qué no emplear mejor la DFT? Además de una mejor compactación de energía, la DCT posee otra ventaja interesante respecto a la DFT. Como acabamos de ver, para facilitar la implementación de la codificación de una imagen NxN, normalmente se divide en bloques LxL(siendo L <<N). Consideraremos únicamente uno de estos bloques. Cuando se lleva a cabo la transformada discreta de Fourier del bloque, se asume la periodicidad del mismo, por lo que se repite a lo largo de todo el plano bidimensional que contiene la imagen. Figura 2.79: (a) Periodicidad supuesta por una DFT de un bloque 4x4. (b) "Periodicidad" impuesta por la DCT.

18 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 18 En la Fig queda reflejado un bloque de pixels 4x4. En la transformada de Fourier el pixel B del borde derecho será "tratado" por el algoritmo como si estuviera seguido por el pixel A, que esta realmente en el borde izquierdo!. Si los niveles de gris en cada pixel difieren considerablemente, cualquier reconstrucción del bloque a partir de únicamente un número limitado de coeficientes de Fourier dará lugar a valores erróneos en A y B. Este fenómeno conocido como efecto de bloque, tiende a hacer muy visibles los límites de los bloques en la compresión utilizando la transformada de Fourier, especialmente cuando la proporción de compresión es elevada; sin embargo, la DCT no presenta el defecto anteriormente mencionado. Mientras que la teoría de Fourier implica la repetición de los bloques LxL, la teoría de la DCT impone esta repetición sobre bloques "hipotéticos" 2Lx2L, que están relacionados con los bloques originales LxL a través de simetrías especulares. La consecuencia de esta simetría especular se ilustra en la Fig. 2.79(b), donde queda patente que después del pixel B, le sigue otro pixel B, eliminando así la discontinuidad. Esto provoca una reducción considerable del efecto de bloque. Antes de terminar esta sección vamos a hacer unos comentarios acerca del tamaño del bloque en compresión basada en la transformada. Resumiendo, sabemos que la codificación transformada es más fácil de implementar si se utilizan bloques de tamaño pequeño. Sin embargo, es importante que los coeficientes de la transformada estén tan decorrelados como sea posible, y aunque la transformada apropiada decorrelará los coeficientes dentro del mismo bloque, existen siempre ciertas correlaciones entre coeficientes de bloques adyacentes. Esto es debido al hecho de que para dos bloques contiguos cualquiera, los pixels de cada bloque cerca del borde común estarán correlados entre sí. Generalmente, cuanto más grandes son los bloques más pequeñas son las correlaciones de los coeficientes entre bloques. Otra consideración importante de especial interés en el tamaño de los bloques es la adaptatividad. En codificación transformada adaptativa, inicialmente se clasifica cada bloque en tres o cuatro clases dependiendo de su nivel de actividad, una medida derivada de los coeficientes transformados " no-dc". Cada clase tiene su propio procedimiento para la cuantificación de coeficientes y asignación de bit a los niveles cuantificados. En un sistema adaptativo tenemos que recordar la identidad de cada bloque, que para cuatro clases requeriría dos bits por bloque. Estos se denominan bits de cabecera. Por lo tanto, cuanto más pequeño es el tamaño del bloque, más grande es la contribución de los bits de cabecera con respecto al conjunto de los pixels. Un ejemplo de compresión de imagen basada en la DCT se muestra en la Fig La imagen 256x256 de la Fig. 2.80(a) fue dividida en bloques 16x16. Únicamente los 128 coeficientes transformados con las varianzas más elevadas fueron retenidos por cada bloque (la varianza de cada coeficiente fue calculada tomando el promedio total sobre todos los bloques). Los coeficientes que quedaban eran normalizados por sus desviaciones estándar y cuantificados con un cuantificador uniforme de 16 niveles, que producía una relación de compresión de 2bits/pixel. La imagen reconstruida a partir de los datos comprimidos se presenta en la Fig. 2.80(b).

19 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 19 Figura 2.80: Ejemplo de compresión de imagen empleando la DCT. La imagen 256x256-8 bits/pixel en (a) fue dividida en bloques 16x16. Únicamente los 128 coeficientes con las varianzas más elevadas quedaron en cada bloque. El cuantificador utilizado fue un cuantificador uniforme, resultando una relación de compresión de datos de 2 bits/pixel. La imagen reconstruida se muestra en (b). Como conclusión a la compresión de imagen basada en la DCT, podemos decir que los datos se clasifican de acuerdo con el grado de importancia de su contribución tanto a la información contenida como a la calidad subjetiva de la imagen; una vez que se logra tal clasificación, entonces aquellos elementos de los datos que no son importantes, desde el punto de vista de la escala de grises y la capacidad de resolución espacial del receptor pueden ser omitidos; esto hace posible un mayor grado de compresión de imagen. FILTRADO DE IMAGEN Algunos ejemplos de filtrado basado en la DCT se ilustran en las Fig s 2.81 hasta Conformando la respuesta del filtro, se puede obtener la imagen filtrada deseada. Si elegimos un filtro para "realzar" las altas frecuencias (filtro paso alto), Fig. 2.81, se obtienen imágenes con mayor nitidez (detalles de alta frecuencia) sin errores debidos a efectos de bloque (también denominados efectos de borde). Estos últimos son característicos del filtrado DFT en bloques, debido a que se asume la periodicidad de la imagen, tal y como acabamos de ver. Cuando tienen lugar las transiciones de luminancia en los extremos, el rango dinámico de las imágenes puede reducirse a través de un filtrado homomórfico. Figura 2.81: Filtrado de imágenes basado en la DCT.

20 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 20 Figura 2.82: Filtrado Homomórfico de imágenes. Figura 2.83: Realzado de imágenes comprimidas. Un ejemplo de filtrado homomórfico a través de la DCT se muestra en la Fig El filtrado de imágenes comprimidas basado en la DCT también puede realizarse como indica la Fig Introduciendo un pre-procesador logarítmico en la entrada y un post-procesador exponencial a la salida en la Fig. 2.83, se puede conseguir el filtrado de imágenes comprimidas. La Fig muestra varios ejemplos de filtrado basado en la DCT.

21 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 21 Fig. 2.84: Filtrado lineal generalizado utilizando la DCT. (a) imagen original; (b) filtrado paso bajo; (c) filtrado paso banda; (d) filtrado paso alto. RECONOCIMIENTO DE PATRONES (TRANSFORMADA DE MANDALA) La transformada Mandala puede definirse sobre cualquier transformada discreta, y no es más que una forma de agrupar los coeficientes transformados con la intención de aplicarlos al reconocimiento de patrones. De todas las transformadas discretas posibles vamos a aplicar esta " transformada " a la DCT, lo que da lugar a la denominada transformada Mandala/DCT que se describe en la Fig.2.85 Figura 2.85: Transformada Mandala/DCT. Cada bloque en (b) representa la transformación del bloque correspondiente del dominio espacial (a). Cada bloque de Mandala se forma a partir de todos los bloques transformados (b). Al igual que en codificación de imagen, la imagen original se divide en bloques de tamaño LxL y cada bloque se transforma independientemente, dando lugar a un conjunto de bloques en el dominio transformado. Los coeficientes de estos bloques se ordenan en bloques de Mandala, de tal forma que el bloque superior izquierda esta compuesto por los valores de los coeficientes de la transformada, mientras que el bloque inferior derecha constituye el contenido de los coeficientes transformados de frecuencia más alta. Cada uno de los restantes bloques de Mandala tiene coeficientes de una frecuencia específica horizontal y vertical, según se desprende de los bloques de la transformada. Estos bloques progresan horizontalmente a la derecha y verticalmente a la parte inferior, hacia frecuencias espaciales crecientes horizontales y verticales, respectivamente. Dependiendo de la transformada discreta utilizada, esta particular forma de ordenar los bloques

22 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 22 recibe el nombre de transformada Mandala/Fourier, Mandala/DCT, Mandala/Walsh, etc.. La relación entre los bloques de Mandala (Fig. 2.85(c)) y los bloques transformados (Fig (b)) es simplemente una clasificación de coeficientes de una forma a la otra, mientras que cada bloque de la transformada se genera a partir del correspondiente bloque espacial. Las frecuencias comunes son agrupadas como bloques de Mandala. Utilizando varios dibujos característicos a partir de bloques de Mandala, se ha simulado un experimento de reconocimiento de patrones (basado en la Mandala/DCT), discriminando con éxito entre objetos naturales y construidos por el hombre. Este experimento incluye clasificación de características, e implementación de diferentes clasificadores (decisión estadíst. de superficies). TRANSMISIÓN PROGRESIVA DE IMÁGENES Otra aplicación de la DCT, que se deriva de la compresión, es la transmisión de imágenes sobre canales con un ancho de banda pequeño, tales como líneas telefónicas. Si una imagen se envía en su forma original sobre canales de banda estrecha, la transmisión de la imagen completa puede llevar un tiempo considerable. Para agilizar esta transmisión se han desarrollado varios métodos en los que la calidad de la imagen se crea jerárquicamente. El objetivo que persiguen estos métodos es desarrollar las características significativas de la imagen en una etapa inicial, para que al visualizarla se pueda responder de modo interactivo. Otras consideraciones, tales como la complejidad de la técnica y la robustez frente al ruido asociado al canal, juegan papeles importantes en las ventajas de un método. Las aplicaciones de la transmisión progresiva de imagen incluye teleconferencia, telediagnóstico médico, videotexto, servicios de seguridad, etc... Como se realiza la transmisión progresiva de imágenes basada en la DCT? En general una imagen NxM se divide en bloques, cada uno de tamaño KxL. Después de conformar los bloques en el dominio transformado, los coeficientes de la transformada cuantificados son transmitidos en una cierta secuencia (bien adaptativamente, controlados por sus varianzas, o de forma fija) al receptor. El receptor reconstruye la imagen conformando la inversa de los grupos de coeficientes de la transformada y añadiendo sucesivamente a la imagen información basada en las etapas previas. Los detalles y la fidelidad de la imagen se mejoran sucesivamente, casi sin pérdidas en la imagen, en la etapa final. Por supuesto, existen diversas variantes del método original, todas ellas con el objetivo de reducir la velocidad de bit y mejorar la calidad de la imagen durante las etapas intermedias. La Fig representa un esquema general de transmisión progresiva de imagen.

23 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 23 Figura 2.86: Esquema de reconstrucción progresiva de imagen basado en el dominio transformado. DCT RÁPIDA El método más sencillo para implementar la DCT es seguir las ecuaciones teóricas. Por ejemplo, para el caso de una DCT bidimensional de ocho puntos, comprobamos que existe un límite superior de 64 multiplicaciones y 56 sumas para cada DCT unidimensional. (Los términos " coseno " pueden combinarse con las constantes antes del cálculo, ya que, las funciones coseno se convierten en números discretos en cada posición). Por lo tanto, una DCT completa de 8x8 realizada de esta forma, en formato unidimensional separable - ocho filas y luego ocho columnas -, requeriría 1024 multiplicaciones y 869 sumas, además de las operaciones adicionales para cuantificar los coeficientes. Si realmente la DCT necesitara tantas operaciones para su cálculo, tendríamos que elegir un algoritmo diferente para la compresión de imágenes. De hecho, el algoritmo más eficiente para la DCT 8x8, requiere sólo 54 multiplicaciones, 464 sumas, y 6 desplazamientos aritméticos para producir un método adecuado de cuantificación. Las técnicas de la DCT rápida aprovechan la ventaja que ofrecen las simetrías existentes en las ecuaciones de la DCT. Con un simple repaso de las funciones base (Fig. 2.73) se distinguen las simetrías de las funciones base unidimensionales, que pueden utilizarse para reducir el número de operaciones. Las amplitudes pueden asociarse con los signos adecuados antes de la multiplicación De esta forma, el número total de operaciones es 22 multiplicaciones y 28 sumas. Además, si los coeficientes de la DCT se ponderan de tal forma que una multiplicación se combina con la cuantificación, tenemos únicamente 14 multiplicaciones y 28 sumas para producir una sistema adecuado de cuantificación.

24 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 24 Un método más sofisticado para una DCT rápida unidimensional queda reflejado en la Fig Figura 2.87: Diagrama de un algoritmo de la DCT rápida unidimensional. En este gráfico el orden de las operaciones es de izquierda a derecha y las líneas se suman en los nodos donde convergen. Si una línea contiene una flecha, la señal se cambia de signo antes de la suma (es decir, se resta) con la otra señal que alcanza el nodo. Así pues, si miramos en las líneas de entrada 0 y 7 (las líneas superior e inferior del lado derecho del diagrama), las señales se suman y se restan. La multiplicación de una señal se indica mediante una caja. Los algoritmos de la DCT rápida hacen uso de una operación básica denominada rotación. La rotación de dos entradas x e y por un ángulo Q produce una nueva representación de X e Y (X= x cos (Q)+ y sen (Q), Y= -x sen (Q)+y cos (Q)). La rotación se realiza en las cajas etiquetadas "Rot". Si la entrada a la rotación es positiva la línea de entrada aparece como "+" y si es negativa como "-". La rotación puede ser tanto para ángulos negativos como positivos. Señalar que una negación de una entrada a una rotación puede ser " absorbida " en las constantes de rotación y no constituir una operación extra. El número de operaciones en este caso se reduce a 13 multiplicaciones y 29 sumas. En conclusión, una DCT rápida es una secuencia de operaciones que calcula de forma eficiente el conjunto de sumas y restas ponderadas, confeccionando los coeficientes de la DCT. Por supuesto, la eficiencia se determina en parte por la arquitectura de cálculo utilizada, por eso no existe el "mejor" algoritmo. Sin embargo, existen algunos muy buenos como el del diagrama anterior.

25 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 25 DCT RÁPIDA BASADA EN LA DFT Existe un número de similitudes entre la DFT sobre entradas reales y la DCT. Por ejemplo, una DCT de N puntos puede expresarse en términos de las partes real e imaginaria de una DFT de N puntos y rotaciones de las salidas de la DFT (ese algoritmo es bastante similar al visto anteriormente). Siguiendo una línea muy diferente de razonamiento, los primeros coeficientes de la DFT de 2N puntos con la simetría adecuada de los valores de entrada puede utilizarse para calcular una DCT de N puntos. Este análisis tiene un interés particular, ya que nos conduce a una estructura muy eficiente de la DCT. Para calcular una DCT de 8 puntos a partir de las ecuaciones para la DFT de 16 puntos con entradas reales, multiplicamos cada salida de la DFT por un factor de ponderación que se deriva de la normalización requerida por la definición de la DCT. Este método simplificado queda representado en la Fig Figura 2.88: Diagrama de flujo de la DCT rápida unidimensional basada en la DFT; a 1 =0,707, a 2 =0,541, a 3 =0,707, a 4 =1,307, y a 5 =0,383. Esta versión de la DCT tiene 13 multiplicaciones y 29 sumas, lo que la hace competitiva frente al mejor método que se ha logrado con otras técnicas. Lo que la hace especial, sin embargo, son las propiedades que tiene para la implementación de la DCT ponderada. Aunque se necesitan 13 multiplicaciones, 8 son para ponderar la salida final al rango correcto. Si las salidas se van a cuantificar no necesitan ponderación, ya que, los factores de ponderación son absorbidos por las divisiones requeridas para cuantificar las salidas. De esta manera, antes de la cuantificación realmente sólo se necesitan 5 multiplicaciones, lo que

26 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 26 supone el más eficiente cuantificador de la DCT unidimensional conocido. Aunque, hasta aquí hemos estado considerando únicamente la DCT rápida en su forma directa, la DCT rápida inversa puede obtenerse fácilmente invirtiendo la dirección de los diagramas para la DCT directa - es decir, recorriendo éstos de derecha a izquierda -. Esto es debido a una propiedad básica de las transformadas ortogonales la inversa de la transformada es igual a la transpuesta, y la transpuesta puede obtenerse transponiendo el diagrama. El número de ramas del diagrama es igual al número de uniones, y por lo tanto la complejidad de la DCT inversa es idéntica a la de la DCT directa para cualquier algoritmo rápido. Ya que la DCT bidimensional es separable, se puede calcular como DCT s unidimensionales sobre todas las filas, y más tarde sobre las columnas formadas por los coeficientes de las filas. SÍNTESIS * Después de la DFT, la DCT es la transformada más ampliamente utilizada en el tratamiento digital de imagen. * la DCT tiene unas características óptimas en cuanto a compactación de energía y se aproxima a la transformada más adecuada estadísticamente para la decorrelación de una señal (transformada de Karhunen-Loève). * La DCT es una transformada real y ortogonal. *Esta transformada puede implementarse a través de algoritmos rápidos, y puede estar basada en el correspondiente a la FFT. * La aplicación más importante de la DCT es la compresión de imagen. *Otras aplicaciones menos usuales de la DCT son el filtrado, la transmisión progresiva de imágenes y el reconocimiento de patrones.

27 Transformada discreta del coseno (DCT) Página 27 Figura 0 : Funciones base de la DCT unidimensional.

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