EJERCICIO 17. Si definimos una nueva base ortonormal (,

Transcripción

1 EJERCICIO 17 a) Por la hipótesis de linealidad de la elasticidad clásica, el estado de deformación que buscamos es la suma de los dos estados de deformación superpuestos, uno de ellos uniaxial y el otro de deformación angular pura. Dado que la deformación uniaxial se produce según la bisectriz de las dos direcciones asociadas a la deformación angular perpendiculares entre sí, el estado resultante es de deformación plana. Considerando una base ortonormal de vectores (, ), orientados según las direcciones de la deformación angular, el tensor que representa dicha deformación es el siguiente: =( ) = = Si definimos una nueva base ortonormal (, ) mediante el giro de los vectores y, de tal manera que el vector tenga la dirección de la deformación uniaxial (lo que equivale a efectuar un giro de 45 en sentido antihorario), el tensor que representa el estado uniaxial en la nueva base resulta: = 2 ( )= = La suma de ambos tensores representa el estado de deformación requerido. Para efectuar dicha suma debemos representar ambos tensores en la misma base; optaremos por la base (, ). Llamando C a matriz de cambio de base de (, ) a (, ), se tiene que: = donde: cos45 sen45 = sen45 cos45 cos45 sen45 = sen45 cos45 El tensor de deformación uniaxial en la base (, ) resulta: = Por tanto, el tensor de deformación que buscamos es el siguiente: = + =

2 Las deformaciones principales son los autovalores del tensor de deformaciones ; se determinan a partir de la siguiente condición: det ( 4 ) 9 16 =0 == = 2 = El tensor de deformación en la base de direcciones principales será entonces: = b) Las tensiones principales para una material hookeano con constantes G y λ pueden determinarse directamente a partir de la ecuación de Lamé expresada en la base de direcciones principales: =2+() = = Por tanto: =2+ 2 = 2 = + 2 c) La máxima tensión tangencial absoluta se determina fácilmente a partir de las tensiones principales: á = 2 = 3 2

3 La relación entre los valores de las componentes normal y tangencial (,) del vector tensión que incide sobre cualquier plano perpendicular al plano de deformación se expresa mediante el círculo de Mohr de las tensiones principales y, cuya ecuación es la siguiente: = = Para tensión normal nula, esto es =0, la tensión equivale a 0.8 veces á ; particularizando en la ecuación del círculo de Mohr: (+) = 9 4 Desarrollando esta expresión llegamos a: =0 Y expresando las constantes de Lamé en función del módulo de Young y el coeficiente de Poisson queda: 56 2(1+) +50 2(1+)(1+)(1 2) +25 (1+) (1 2) = (1 2) = =0 = =2 9

4 EJERCICIO 18 El vector desplazamiento es paralelo a la dirección de las generatrices del casquillo y depende únicamente de la distancia al eje; es decir, si empleamos coordenadas cilíndricas,, para definirlo el vector tiene la forma: 0,0, Mediante la ecuación de Navier aplicamos a la par las ecuaciones constitutivas y de equilibrio dinámico del medio continuo, obteniendo una expresión en términos del campo de desplazamientos (nuestra incógnita): λ Como la deformación es estática, se cumple: Por su parte, los operadores diferenciales y adoptan la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas (para un vector,,,,,,,, genérico): Particularizando para 0,0, se tiene: 0 La ecuación de Navier se reduce a: La divergencia de una campo tensorial,, en coordenadas cilíndricas adopta la forma:

5 Particularizando para : 1 Es decir, se llega a la siguiente ecuación diferencial en términos del escalar : 1 0 con las condiciones de contorno: 2 0 Resolviendo la ecuación diferencial llegamos a: 2 1 El campo de desplazamientos resulta pues: 2 1 Y por tanto: 2 A partir del gradiente del campo de desplazamientos determinamos el tensor de deformación: 1 2 Aplicando la ecuación de Lamé obtendremos el tensor de tensiones: 2 2 Matricialmente:

6 Conforme a esta expresión, la tensión es uniforme en cualquier punto de la cara interior del casquillo, donde. Tomando por ejemplo el vector unitario 1,0,0 perpendicular a dicha cara a lo largo de una generatriz, el vector tensión asociado será: 2 0,0,1 Como cabía esperar, la tensión está dirigida en la dirección de las generatrices. La fuerza total aplicada en la generatriz considerada, de longitud, tiene sentido contrario al de la tensión; su valor es: 2 0,0,1 Como las cargas son axilsimétricas, la fuerza total aplicada en la cara interior del casquillo resulta: 2 2 0,0,1 0,0,4

7 Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE MATERIALES EJERCICIO 20 ALBERTO RUIZ-CABELLO LÓPEZ Un cable uniforme de longitud L y peso específico se ancla por los extremos a dos puntos fijos de la misma vertical cuya distancia supera la longitud del cable en una fracción, ( 1). El cable es de material viscoelástico de Bolztmann con funciones de relajación y fluencia uniaxiales dadas E(t) y e(t). Determinar en función del tiempo la tensión en el extremo superior del cable y las deformaciones en ambos extremos. Una primera observación de interés relativa al cable se refiere a la caracterización de su estado tensional, que es uniaxial: únicamente está solicitado por un esfuerzo axil en la dirección del propio cable (la vertical), asociado al alargamiento que se genera al anclarlo a dos puntos fijos, y a la acción gravitatoria debida al peso del propio cable; dado que el cable es vertical, la acción gravitatoria tiene también la dirección del eje del cable. Además, asumiremos que la tensión es uniforme en la sección transversal del cable, de tal manera que la única coordenada significativa en la definición del estado tensión de un punto es su posición en la vertical del cable. En un material viscoelástico la tensión en cada punto tiene una evolución temporal. En particular, en el material viscoelástico de Boltzmann (caso del cable que nos ocupa), la ecuación constitutiva para estados uniaxiales se expresa a partir de la función de fluencia (también uniaxial), y tiene la siguiente forma:,=,0+, 1 donde es la distancia (vertical) desde el extremo superior del cable a cualquier punto del mismo, es decir 0 ;,0 representa la tensión a lo largo del cable en el instante inicial, y, su estado tensional a lo largo del tiempo ( es derivada temporal). Por su parte, si es el alargamiento unitario total del cable, debe cumplirse la siguiente relación de compatibilidad:,= 2 es decir, el alargamiento total del cable, medible a partir de la distancia entre los puntos de anclaje, es igual a la suma de los alargamientos en cada punto del mismo. Plantearemos ahora el equilibrio mecánico de un tramo de cable comprendido entre su extremo superior y un punto cualquiera del mismo; siendo la reacción en el punto de anclaje superior,, el esfuerzo axil en el cable y la sección transversal del mismo (constante en toda su longitud), se tiene:,= 3

8 Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE MATERIALES y dado que la tensión es uniforme en la sección transversal, dividiendo por en (3) se tiene:,=0, 4 A partir de (4) se deducen las siguiente relaciones:,0=0,0 5,=0, 6 Y sustituyendo (5) y (6) en (1) se llega a:,=0,0 + 0, 7 Sustituyendo ahora (7) en (2): 0,0 + 0,= 0,0+ 0,= + 2 dado que la deformación en el extremo superior 0,, en virtud de la ecuación constitutiva (1), es igual a: 0,=0,0+ 0, se tiene finalmente:,= + 8 La ecuación (8) representa la deformación en el extremo superior de cable. Para obtener la deformación en su extremo inferior, =1+, particularizamos en la ecuación (7):,=0, , 0,0+ 0, 1+ dado que: 0,0+ 0,=0,= + 2

9 Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE MATERIALES se llega finalmente a:,= + 9 Para obtener el valor de la tensión en el extremo superior del cable, una vez conocida la deformación en este punto, haremos uso de la ley de relajación uniaxial, que permite expresar la tensión en función de la deformación:,=,0+, Particularizando esta expresión para el extremo superior del cable (=0) se llega a: 0,=0,0+ 0, 10 Por otra parte, a partir de (8) se deducen las siguiente relaciones: 0,0= ,= 2 12 Sustituyendo (11) y (12) en (10): 0,= Aplicando ahora la transformada de Laplace-Carson en (13): = = = = donde se han tenido en cuenta las siguiente equivalencias: ^= 1 (propiedad de la transformada de Laplace-Carson de la convolución de dos funciones)

10 Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE MATERIALES = 0 (propiedad de la transformada de Laplace-Carson de la derivada de una función) = 1 (relación entre las transformadas de las funciones de fluencia y de relajación uniaxiales) Deshaciendo la transformada en la expresión (14), se alcanza el valor de la tensión en el extremo superior del cable:,= +

11 // MUIECiM // Comportamiento Mecánico de Materiales (CMM) // Alumno: Alberto Ruiz-Cabello López // Universidad Politécnica de Madrid #include "cmm.h" //CMM header // se declara la función que ejecuta las operaciones del ejercicio 1.4; void ejercicio_1_4(); int main() { // se invoca la función ejercicio 1.4; ejercicio_1_4(); // utility function defined in cmm cmm::askforend(); return 0; } // se define la función que ejecuta las operaciones del ejercicio 1.4 void ejercicio_1_4(){ //define el tensor de deformación F y lo imprime cmm::tensor F(" "); std::cout << "Tensor de deformacion local F =\n\n"<< F << std::endl; //calcula el tensor traspuesto de F cmm::tensor C,Ft; Ft.beTransposeOf(F); C.beProductOf(Ft,F); std::cout << "(Tensor de Cauchy-Green por la derecha de F) =\n\n" << C << std::endl; //calcula el tensor de Cauchy-Green por la izquierda cmm::tensor B; B.beProductOf(F,Ft); std::cout << "(Tensor de Cauchy-Green por la izquierda de F) =\n\n" << B << std::endl; //calcula el tensor lagrangiano de deformación cmm::tensor El,I; I.beUnityTensor(); El = 0.5*(C-I); std::cout << "(Tensor lagrangiano de deformacion de F) =\n\n" << El << std::endl; //calcula el tensor euleriano de deformación cmm::tensor Ee,Bi; Bi.beInverseOf(B); Ee = 0.5*(I-Bi); std::cout << "(Tensor euleriano de deformacion de F) =\n\n" << Ee << std::endl; //calcula el tensor de extensión por la derecha cmm::polardec RU(F); cmm::tensor U = RU.getStretch(); std::cout << "(Tensor de extension por la derecha de F) =\n\n" << U << std::endl; //calcula el tensor de rotación cmm::tensor R = RU.getRotation(); std::cout << "(Tensor de rotacion de F) =\n\n" << R << std::endl; //calcula el tensor de extensión por la izquierda cmm::tensor V,Rt; Rt.beTransposeOf(R); V.beProductOf(F,Rt); std::cout << "(Tensor de extension por la izquierda de F) =\n\n" << V << std::endl; //calcula el tensor de deformación de Biot cmm::tensor Eb = U - I; std::cout << "(Tensor de deformacion de Biot de F) =\n\n" << Eb << std::endl; }

12 Resultados de ejecución del proyecto Ejercicio_1_4 en C++: Tensor de deformacion local F = (Tensor de Cauchy-Green por la derecha de F) = (Tensor de Cauchy-Green por la izquierda de F) = (Tensor lagrangiano de deformacion de F) = (Tensor euleriano de deformacion de F) = (Tensor de extension por la derecha de F) = (Tensor de rotacion de F) = (Tensor de extension por la izquierda de F) = (Tensor de deformacion de Biot de F) = e-016 PRESS RETURN TO EXIT