Filtros Espejo en Cuadratura (QMF: Quadrature Mirror Filters) Filtros Espejo en Cuadratura (QMF: Quadrature Mirror Filters)

Transcripción

1 Filtros Espejo en Cuadratura (QMF: Quadrature Mirror Filters) Autor: Juan Carlos Gómez Presentación basada en las siguientes Referencias: [] Proakis, J. G. & Manolakis, D. G.. Tratamiento digital de señales - Principios, algoritmos, y aplicaciones, Tercera Edición, Prentice all, Madrid, 998. Filtros Espejo en Cuadratura (QMF: Quadrature Mirror Filters) Los Filtros Espejo en Cuadratura (QMF) constituyen el bloque básico en aplicaciones de codificación/decodificación sub-banda de señales de voz, y en general en aplicaciones de análisis y síntesis de señales. La Figura, muestra un banco de Filtros QMF de dos canales. xa xa ( n) ( n) Fig.. Banco QMF ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura

2 Los filtros pasabajo (LPF) y pasa alto (PF) de la etapa de análisis tienen respuestas al impulso h (n) y h (n), respectivamente, y respuestas en frecuencia complementarias, como se indica en la Figura. ( ω) ( ω) + = () no realizable Fig.. a) Respuesta en Frecuencia de Filtros QMF ideales. b) Idem para Filtros QMF Reales. ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura 3 Los filtros pasabajo (LPF) y pasa alto (PF) de la etapa de síntesis tienen respuestas al impulso g (n) y g (n), respectivamente. En el dominio de la transformada de Fourier las salidas de los dos diezmadores de la etapa de análisis resulta: ω ω ω π ω π Xa( ω) = X X + ω ω ω π ω π Xa ( ω) = X X + () (3) ya que para un diezmador se verifica xn ( ) n=, ± D, ± D, yn ( ) = D c.o.c. x(n) y(n) ω ω π Y( ω) = X X D + D D ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura 4

3 Donde ω es la pulsación correspondiente a la tasa de muestreo de la variable x. Luego, la salida de la etapa de síntesis en Figura, resulta ( ω) = ( ω) ( ω) + ( ω) ( ω) X ˆ X G X G a a ya que para un interpolador se verifica (4) x(n) I y(n) xn ( / I) n=, ± I, ± I, yn ( ) = c.o.c. ( ω) = ( ω ) Y X I ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura 5 Reemplazando () y (3) en (4) resulta (I) Salida deseada Xˆ ( ω) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω G ω + ω G ω X ω + G + G X ( ω π) ( ω) ( ω π) ( ω) ( ω π) (II) Efecto del aliasing (5) El término (I) en (5) es la salida deseada, en tanto que el término (II) es debido al aliasing introducido por el diezmado y deberíamos eliminarlo. Para hacer cero este término debe imponerse la condición ( ω π) ( ω) ( ω π) ( ω) G G + = (6) ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura 6

4 Esta condición se satisface seleccionando G (ω) y G (ω) como ( ω) ( ω π) ; ( ω) ( ω π) G = G = (7) En conclusión, si (ω) = (ω) es un filtro pasa-bajo y se elige (ω) como un filtro pasa-alto que sea la imagen especular de (ω) respecto a la frecuencia ω = π/, entonces resulta ( ω) = ( ω) ( ω) = ( ω π) En tanto que para ser consistente con las restricciones en (7) debe seleccionarse G () G () ( ω) = ( ω) ( ω) = ( ω π) ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura 7 (8) (9) Con la elección (8) a () para los filtros de análisis y síntesis del banco QMF de dos canales, se logra eliminar el término (II) en (5), debido al aliasing introducido por el diezmado de la sección de análisis, y el banco QMF se comporta como un sistema lineal estacionario. En el dominio temporal, la respuestas al impulso de los filtros del banco QMF resultan ( ) = ( ) n ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) n ( ) = ( ) ( ) h n h n h n h n g n h n g n h n ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura 8

5 Con la elección (8) a () para los filtros de análisis y síntesis del banco QMF de dos canales, la salida del banco resulta ( ω) = ( ω) ( ω π) ( ω) ˆX X () Idealmente, para tener una reconstrucción perfecta de la señal, debería ser ( ) ( ) ω ω π =, para todo ω Desafortunadamente, salvo para filtros con estructura aar, no es posible construir filtros FIR (con respuesta al impulso de duración finita) que verifiquen (3). (3) ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura 9 Si consideramos (ω) un filtro FIR de longitud N y con fase lineal, entonces puede escribirse j ( N )/ ( ω) = ( ω) e ω r La respuesta en frecuencia del banco de filtros QMF resulta entonces Xˆ X ( ω) ( ω) ( ω) ( ω π) = ( ω) ( ) ( ω π) = e = A jω( N ) e ( ω) N jω N ( ) ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura

6 Para N impar, resulta ( ω) = ( ω) ( ω π) A por lo que A(π / ) =, que es una propiedad indeseable para un diseño QMF. Por otra parte, para N par resulta ( ω) = ( ω) + ( ω π) A que evita el problema A(π / ) =. Para este caso, para tener reconstrucción perfecta debería ser ( ) ( ) ( ) A ω = ω + ω π =, para todo ω Lamentablemente la única función (ω) que satisface esta condición es la función trivial ( ω) = cos ( aω) ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura En consecuencia, cualquier filtro FIR de fase lineal no trivial introduce alguna distorsión de amplitud. La cantidad de distorsión de amplitud introducida por el banco de filtros QMF con filtros FIR de fase lineal se puede reducir optimizando los coeficientes del filtro FIR, de manera que A (ω) sea tan plano como sea posible, a la vez que se minimiza la energía de la banda de rechazo de (ω). Si se relaja la condición de fase lineal del filtro FIR pasa-bajo (ω), pueden diseñarse filtros QMF de reconstrucción perfecta (i.e., sin distorsión de amplitud, ni por aliasing). Estos filtros se denominan Filtros en Espejo Conjugados (CMF: Conjugate Mirror Filters), (Smith & Barnwell, 984). ProDiVoz Filtros Espejo en Cuadratura