CANTABRIA. Índice. Junio de Septiembre de Criterios generales de corrección:

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1 CANTABRIA Índice Junio de Septiembre de Enunciados de las pruebas y criterios extraídos de los textos Pruebas de acceso a la Universidad publicados por el Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cantabria. Criterios generales de corrección: El examen trata de medir el conocimiento de la asignatura mediante el planteamiento y resolución de ejercicios. Se valorará positivamente la explicación de los diferentes pasos seguidos así como la claridad de exposición. Puede haber diferentes métodos para resolver correctamente un ejercicio, cualquiera de ellos es igualmente válido. Los ejercicios incompletos se valorarán proporcionalmente a la puntuación específica. 5

2 Enunciado de la prueba (Junio de 008) INDICACIONES AL ALUMNO El examen consta de Bloques. Cada bloque tiene dos opciones: a y b. El alumno ha de resolver los tres bloques, eligiendo en cada bloque solo una de las dos opciones. Cada bloque que resuelva lo identificará según los ejemplos: si resuelve del bloque la opción b, la parte correspondiente a este ejercicio estará encabezada por la siguiente expresión: bloque -b; si resuelve del bloque la opción a, la parte correspondiente a este ejercicio estará encabezada por la siguiente expresión: bloque -a. El orden de resolución de los bloques es a elección del alumno. El primer y segundo bloque se valorarán hasta,5 y el tercero hasta. BLOQUE [,5 PUNTOS] OPCIÓN -a Analizar si el siguiente sistema de ecuaciones lineales posee solución y en caso afirmativo, calcularla: x y + z x + 4y + 4z 5x 0y x 0 OPCIÓN -b Una tienda de informática lanza una promoción destinada a comercializar dos modelos de ordenadores portátiles: modelo A y modelo B. Cada unidad del modelo A se vende a.000 y cada unidad del B a 800. Se trata de una promoción destinada a un número limitado de unidades: solo afecta a 0 ordenadores del modelo A y a 40 del modelo B. El objetivo de la tienda es vender del modelo A al menos el doble de unidades que del B y obtener unos ingresos mínimos de Cuántas unidades de cada modelo deberá vender para obtener unos ingresos máximos? A cuánto ascienden dichos ingresos? BLOQUE [,5 PUNTOS] OPCIÓN -a x 5x + Estudiar la continuidad de la función f( x) clasificando las discontinuidades que se encuentren. x 5x + 6 Es posible definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? OPCIÓN -b Dada la función f( x) x x x, se pide hallar:. El dominio de definición.. Los puntos de corte con el eje X.. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los valores de x para los cuales se alcanza un máximo o un mínimo. 4. Curvatura y puntos de inflexión. 5. Área encerrada por la gráfica de la función f (x) y por el eje X.

3 Curso JUNIO 4 BLOQUE [ PUNTOS] OPCIÓN -a Una empresa de electrodomésticos cuenta con cuatro fábricas, A, B, C y D, en las que se producen neveras. La fábrica A produce el 0 % del total de neveras; la fábrica B, el 0 %; la C, el 40 %; y la D, el 0 %. El porcentaje de neveras defectuosas en cada fábrica es del % en A; del 5 % en B; del 4 % en C; y del % en D. Calcular:. La probabilidad de que escogida una nevera al azar, esta sea defectuosa.. La probabilidad de que una nevera sea defectuosa y proceda de la fábrica B.. Si una nevera no es defectuosa, cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica D? Distrito universitario de Cantabria OPCIÓN -b El tiempo diario que los jóvenes pasan ante el televisor sigue una distribución normal con desviación típica de 0 minutos. Una muestra aleatoria de 00 chicos ha dado un tiempo medio de 70 minutos.. Obtener el intervalo de confianza del 0 % para el tiempo medio que los jóvenes pasan ante el televisor.. Qué tamaño mínimo debe tener la muestra si deseamos que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del % no exceda los 0,5 minutos? 55

4 Resolución de la prueba (Junio de 008) BLOQUE OPCIÓN -a Sean M 4 4 la matriz de los coeficientes y M* del sistema. M Rango (M) 4 0 la matriz ampliada Rango (M*) Al ser Rango (M) Rango (M*) < n. o de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, es decir, posee infinitas soluciones. x y + z x 5x + 4y + 4z 5x 0y z y 5y 0y + 0 6t 4z x 5 z 5 5 t t z 0 y 5 z t OPCIÓN -b Sean x e y el número de unidades de cada modelo que deben venderse. La función que hay que maximizar es: f (x, y).000x + 800y Las restricciones son: 0 x 0 0 x y 0 y 40 x y x y. 000 x y x + 4y 50 Los vértices de la región factible son: A 50 75,, B(0, 5) y C(0, 0). 7 7 Y 5 x 0 5x + 4y 50 y 40 B x y A 5 C X x 0 Si sustituimos las coordenadas de los puntos en la función objetivo, obtenemos: f, f (0, 5) f (0, 0) Por tanto, deben venderse 0 unidades del modelo A y 5 unidades del modelo B para que los ingresos sean máximos. En este caso, dichos ingresos son de

5 Curso JUNIO 4 BLOQUE OPCIÓN -a Dom f {, } No existe f ( ). lim x 5 x + 0 x x 5x lim x x x x lim x x 5 + x 5x + 6 ( ) ( + ) lim x x ( x ) ( x ) x Así, en x hay una discontinuidad evitable. No existe f ( ). + x 7 x Distrito universitario de Cantabria lim x x x 5 x + 5x + 6 ` lim x 5 x + x x 5x + 6 ` lim x 5 x En x hay una discontinuidad inevitable de salto infinito. + + x x 5x + + ` 6 Luego la función f (x) es continua en {, }. Al ser la primera discontinuidad evitable, la función puede definirse del siguiente modo para que sea continua en x : OPCIÓN -b x f( x) x 5x + 5x + 6 si x 7 si x. Al ser una función polinómica, el dominio de definición es: Dom f x 0. Si y 0 x x x x 0 x (x ) (x + ) 0 x Los puntos de corte son: (0, 0), (, 0) y, 0.. f'( x) x x f ' () > 0 f ' (0) < 0 f ' () > 0 x x 0 x ± 0 + La función es creciente en + `,, + ` y es decreciente + en,. Por tanto, en x hay un máximo y en x + hay un mínimo. 57

6 Resolución de la prueba (Junio de 008) 4. f''( x) 8x 8x 0 x f''() < 0 f''() > 0 La función es convexa en `, hay un punto de inflexión. y es cóncava en, + `, de modo que en x 0 5. Área # # ( x x x) dx + ( x x x) dx x x x 4 + x x x u BLOQUE OPCIÓN -a Sea el suceso: F «Ser defectuosa una nevera».. Aplicando el teorema de la probabilidad total: PF ( ) P( A) PF ( / A) + P( B) P( F / B) + PC ( ) PF ( / C) + P( D) P( F / D) 0, 0,0 + 0, 0,05 + 0,4 0,04 + 0, 0,0 0,0. PF ( B) P( B) P( F / B) 0, 005, 0, 0. PD ( / F) PD ( ) PF ( / D) PF ( ) 0, ( 0, 0) 0, 0 0, 0 OPCIÓN -b Tenemos σ 0, n 00 y la media de la muestra es: x 70 a. Si a 0, a 0, 005, El valor correspondiente a 0, de probabilidad es: z a 65, Por tanto, el intervalo correspondiente es: , ; +, 00 ( 66, 7; 7, ) a. Si a 0, a 0, 0 0, 005 z a 58, Si se desea que el error no exceda de 0,5 minutos: 0 E 58, < 05, n > 0, n > , 4 n Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser: n 0.65 jóvenes

7 Curso JUNIO 4 Criterios específicos de corrección: BLOQUE OPCIÓN -a Analizar el sistema: Hasta puntos. Resolución: Hasta,5 puntos. OPCIÓN -b Planteamiento: Hasta punto. Representación gráfica: Hasta 0,5 puntos. Pregunta : Hasta punto. Pregunta : Hasta punto. BLOQUE OPCIÓN -a Puntos de discontinuidad: Hasta punto. Clasificación de discontinuidades: Hasta,5 puntos. Redefinición de la función: Hasta punto. OPCIÓN -b Dominio: Hasta 0,5 puntos. Puntos de corte: Hasta 0,5 puntos. Crecimiento y decrecimiento y x: Hasta punto. Curvatura y puntos de inflexión: Hasta 0,8 puntos. Área: Hasta punto. BLOQUE OPCIÓN -a Pregunta : Hasta punto. Pregunta : Hasta punto. Pregunta : Hasta punto. OPCIÓN -b Pregunta : Hasta,5 puntos. Pregunta : Hasta,5 puntos. Distrito universitario de Cantabria 5

8 Enunciado de la prueba (Septiembre de 007) INDICACIONES AL ALUMNO El examen consta de ejercicios. Cada ejercicio tiene dos opciones: a y b. El alumno ha de resolver los tres ejercicios, eligiendo en cada ejercicio una de las dos opciones. Cada ejercicio que resuelva lo identificará según los ejemplos: Si resuelve del ejercicio n. o la opción b, la parte correspondiente a este ejercicio estará encabezada por la siguiente expresión: Ejercicio n. o b. Si resuelve del ejercicio n. o la opción a, la parte correspondiente a este ejercicio estará encabezada por la siguiente expresión: Ejercicio n. o a. El orden de resolución de los ejercicios es a elección del alumno. Los dos primeros ejercicios se valorarán hasta,5 y el tercero hasta. EJERCICIO N. O [,5 PUNTOS] Encontrar una matriz X que verifique: X B A B, siendo: A 0 0 Nota: A B indica el producto de A por B. 0 B En una fábrica se construyen dos tipos de aparatos: A y B. Ambos tipos de aparatos han de pasar por la secciones X e Y. Cada sección trabaja 00 horas por semana. Cada aparato A lleva tres horas de la sección X y una de la sección Y. Cada aparato B lleva una hora de la sección X y dos de la sección Y. Cada aparato A se vende por 00 y cada aparato B se vende a 50. Hallar cuántos aparatos de cada tipo se producirán para que el ingreso por ventas sea máximo. EJERCICIO N. O [,5 PUNTOS] Sea f (x) x x +. Hallar: El dominio de definición. Las asíntotas si existen. El o los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función, así como sus máximos y mínimos. El área encerrada por: la función f (x), la recta x 0 y la recta y 0. Hallar dos números cuya suma es 0, sabiendo que su producto es máximo.

9 Curso SEPTIEMBRE 4 EJERCICIO N. O [ PUNTOS] En un tribunal se examinan alumnos del centro A y 77 alumnos del centro B. Del centro A aprueban el 75 % y del centro B el 67 %. Hallar: La probabilidad de que un alumno que no ha aprobado pertenezca al centro A. La probabilidad de que un alumno que no ha aprobado pertenezca al centro B. La altura de un colectivo de jóvenes se distribuye según una ley normal de media desconocida y varianza 5 cm. Se extrae una muestra aleatoria, y como nivel de confianza del 5 % se determina un intervalo de confianza para la media poblacional, resultando que su amplitud es,45 cm. Hallar: El tamaño de la muestra seleccionada. Cuál es el intervalo de confianza, con el nivel de confianza del 5 %, si la muestra tomada dio una altura media de 75 cm. Distrito universitario de Cantabria 6

10 Resolución de la prueba (Septiembre de 007) EJERCICIO N. o X A B+ B X Es un problema de programación lineal, y construimos la siguiente tabla para simplificar el enunciado: Llamamos A «número de aparatos del tipo A» y B «número de aparatos del tipo B». La función que hay que maximizar es f (A, B) 00A + 50B. Las restricciones son: A+ B 00 A+ B 00 A 0 B 0 Los vértices de la región factible son: A(0, 0), B(0, 50), C(0, 40) y D 00, 0. Dibujamos la región factible y sustituimos sus vértices en la función que hay que maximizar: Y Tipo A Tipo B Horas semanales Sección X 00 Sección Y 00 Beneficios B 00 A 0 0 B 00 A X 00 f, , f ( 0, 40) f ( 050, ) f ( 00, ) 0 Para que el beneficio sea máximo se deberán producir 0 aparatos del tipo A y 40 aparatos del tipo B.

11 Curso SEPTIEMBRE 4 EJERCICIO N. o Dominio: Dom f Asíntotas: no tiene, puesto que es una parábola. Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: f'( x) x 0 x Es un punto crítico. f'' 0 >, es un mínimo y, por tanto, 4 Y f (x) Distrito universitario de Cantabria la función es: Decreciente en `, y creciente en, + `. Área encerrada por f (x), x 0 e y 0: Los puntos de corte de f (x) con el eje X son x y x. # 0 Área + x x + ( x x ) dx x u X Llamamos a los números x e y, x + y 0 y su producto x (0 x) 0x x ha de ser un máximo. f (x) 0x x, f' (x) 0 x 0 x 0 y f''(x) < 0 En x 0 hay un máximo. Por tanto, los números son x 0 e y 0. EJERCICIO N. o Hay 00 alumnos en total. 77 P( A) 0, 65 y PB ( ) 0, ,65 A 0,75 0,5 Aprobado Suspenso 0,85 B 0,67 0, Aprobado Suspenso Es una aplicación del teorema de Bayes: P( centro A) P( suspenso) P( suspenso /centro A) P( centro A) P( suspenso) 05, 0, 65 05, 0, , 0, 85 0, 5 0, , P(centro B / suspenso) 0,546 0,454 6

12 z a Resolución de la prueba (Septiembre de 007) El nivel de confianza es: a 0,5 y el valor crítico obtenido en la tabla de distribución normal es: z a 6, 0,05 0,5 0,05 0,75 Sea n el tamaño de la muestra: 5 45, x + z σ x + z σ z σ 6, n 6, 5 a a a 64 n n n n 45, El tamaño de la muestra debe ser de 64 jóvenes. Si m 75 tenemos una distribución N(75, 5), y el intervalo de confianza para la media será: σ σ x za x + za n n 5 5 ; 75 6, ; , ( 75, 5; 75 +, 5) ( 7, 775; 76, 5) Criterios específicos de corrección: EJERCICIO N. o A.B: Hasta,5 puntos. B : Hasta,5 puntos. Suma: Hasta 0,5 puntos. Planteamiento: Hasta,5 puntos. Resolución (vértices): Hasta,5 puntos. Máximo: Hasta 0,5 puntos. EJERCICIO N. o Dominio: Hasta 0,5 puntos. Asíntotas: Hasta 0,5 puntos. Crecimiento y decrecimiento: Hasta,5 puntos. Área: Hasta punto. Planteamiento: Hasta,5 puntos. Resolución: Hasta punto. Justificación: Hasta punto. EJERCICIO N. o Cada apartado: Hasta,5 puntos. Cada apartado: Hasta,5 puntos.