Problemas de Geometría Diferencial Clásica, Grupo B

Transcripción

1 Problemas de Geometría Diferencial Clásica, Grupo B.- a) Sean p =(p,p )yq =(q,q ) dos puntos distintos de IR. Encontrar la expresión de una curva parametrizada, α, cuya traza sea la recta que pasa por p yporq. Para cada valor t del parámetro, calcular la expresión de la recta tangente a α en t. b) Sea P(a) la parábola de ecuación y = ax, esto es, P(a) ={(x, y) IR ; y = ax }. Encontrar la expresión de una curva parametrizada α cuya traza sea P(a). Para cada valor t del parámetro, calcular la expresión de la recta tangente a α en t. Dibujar las parábolas para los valores de a {,,,,,, }. En la parábola con a =, dibujar las rectas tangentes en t =,t =..- Sea E (a,b) la elipse de semiejes a y b, esto es, E (a,b) = {(x, y) IR ; x a + y b =}. a) Demostrar que α(t) =(acos t, b sen t) es una curva parametrizada cuya traza es la elipse E (a,b) y encontrar la condición necesaria y suficiente para que los números reales t,t verifiquen α(t )=α(t ). b) Para cada t IR calcular la recta r t {α(t )+λα (t ); λ IR}. Demostrar que si α(t )=α(t ) entonces α (t )=α (t ), y por tanto, para cada p E (a,b) podría definirse la recta tangente en p como cualquiera de las rectas r t, con t IR tal que α(t )=p. c) Dibujar las elipses para los valores a =,b=;a =,b=4;a =,b=. Dibujar también en alguna de ellas las rectas tangentes en t =,t = π 4, t = π. d) Encontrar una curva parametrizada cuya traza sea la circunferencia de centro p IR y radio a>. 3.- A continuación tienes tres curvas parametrizadas y tres trazas. Suponiendo que cada traza lo es de alguna de las tres curvas, asocia a cada curva su traza dando un razonamiento convincente: a) α(t) =(t sen t, cos t), ( b) β(t) = ( c) γ(t) = e t π cos t, e t cos t +sen t ) π sen t, )., sen t cos t +sen t (3) 4 () ()

2 4.- Encontrar una parametrización de la cicloide, es decir la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta. 5.- Lo mismo para las epicicloides e hipocicloides. La epicicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre otra circunferencia por fuera ; la hipocicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sobre otra circunferencia por dentro. 6.- Se considera la curva parametrizada α: IR IR, definida por la expresión α(t) = ( sen t, sen t), para todo t IR. a) Demuestra que es una curva diferenciable y regular pero no simple. b) Demuestra que si la restringimos al intervalo [, π] es cerrada. c) Escribe la ecuación de la recta tangente en un punto t [, π] arbitrario. Encuentra los puntos donde esta recta es horizontal y los puntos donde es vertical. d) Calcula las rectas tangentes en t =yent = π, y demuestra que ambas coinciden. Calcula la recta tangente en t = π. Coincide con la anterior? Tiene sentido hablar de la recta tangente a la traza en (, )? e) Dibuja la traza de la curva α. 7.- Sea β: IR IR la curva parametrizada definida, para todo t IR, por la expresión β(t) = (( + cos t) cos t, ( + cos t)sen t). a) Demuestra que β restringida a [ π, π] es una curva cerrada. Se trata de una curva regular? Considera, para cada t [ π, π], la recta que pasa por (, ) (= β(π) =β( π)) y β(t). Cuál es el límite de estas rectas cuando t π? Y cuando t π? Teniendo en cuenta esto, tendría sentido hablar de la recta tangente a β en (, )? b) Calcula la curvatura con signo de esta curva parametrizada. c) Demuestra que β restringida a [ π, π] es una curva cerrada simple. d) Calcula la longitud de β restringida a [ π, π]. La curva β se denomina cardioide y su traza es: Demostrar que, dada una recta del plano, existen exactamente tres puntos de la cardioide con recta tangente paralela a ella. Además, los radios vectores que unen el vértice con estos puntos forman ángulos de ō.

3 9.- Hallar parametrizaciones de la cisoide y de la tractriz. La cisoide definida por dos curvas α y β y un punto P del plano se define como sigue. Para cada recta que pasa por P, sea A la intersección de esa recta con la curva α y B la intersección de esa recta con β; sea X el punto de la recta tal que d(p, X) =d(a, B);la cisoide definida por α, β, P es la curva formada por los puntos X. Se trata de parametrizar la cisoide en el caso de ser P el origen, α la circunferencia de radio y centro (, ), y β la recta x =. La tractriz es la curva que cumple la propiedad siguiente: El segmento de recta tangente a la curva comprendido entre el punto de tangencia y una recta fija es constante. En este caso considerar que la recta fija es el eje de ordenadas y que la curva está enel semiplano x> O Sea α: I IR 3 una curva parametrizada por la longitud del arco. Supóngase que τ(s) yk (s), para todo s I. Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que α(i) esté contenida en una esfera es que R +(R ) T = const., donde R =/k, T =/τ, yr es la derivada de R con respecto a s. 3

4 .- Se considera la curva parametrizada α: IR IR 3, dada por la expresión α(t) = (sen t, sen t, t), para todo t IR. Su imagen está dibujada abajo, a la derecha. a) Calcula la expresión general del vector tangente unitario y la expresión particular para t =yt = π. Dibuja estos vectores. b) Calcula el triedro de Frenet en t = π y dibuja en la traza de la curva dicho triedro. Dibuja también los planos normal, osculador y rectificante en este punto. c) Calcula α (t) α (t) Es α una curva -regular? Si no es -regular, encuentra un intervalo maximal que contenga a π donde la curva lo sea y a partir de ahora considera la restricción a dicho intervalo. d) Encuentra la expresión general de la curvatura k(t) y de la torsión τ(t). Nota.- La curva α forma parte de una familia de curvas α a (t) = (sen t, sen t, at) algunas de las cuales tienes dibujadas más abajo;todas ellas son hélices cuya proyección en el plano horizontal es la figura ocho estudiada en el ejercicio 6. a=. a=. a=.4 a=.6 4

5 .- Sea c una curva parametrizada regular cuyas rectas normales coinciden con las rectas binormales de otra curva c (t) =c(t)+λ(t)e (t). Demostrar que, a lo largo de c, la función es constante. k k +τ 3.- Sea c: I IR 3 una curva parametrizada regular. Se dice c es una curva de Bertrand si existe una curva c (t) =c(t)+λ(t)e (t) tal que, para todo t, las rectas normales de c en t ydec en t coinciden. a) Demostrar que toda curva plana es de Bertrand. b) Sea c una curva parametrizada regular cuya curvatura y torsión son distintas de cero en todo punto. Demostrar que c es curva de Bertrand si y sólo si existen números reales a, b, con a, tales que ak + bτ =. 4.- Se dice que una curva parametrizada regular en IR 3 es una hélice cilíndrica, o simplemente una hélice, si sus rectas tangentes forman un ángulo constante con alguna dirección fija (llamada eje de la hélice). a) Suponiendo que la curvatura y la torsión de c son distintas de cero en todo punto, demostrar que c es una hélice si y sólo si k/τ es constante. b) Demostrar que la curva parametrizada regular definida por c(t) =(at, bt,t 3 ), con a y b constantes, es una hélice cilíndrica si y sólo si 4b 4 =9a ; cuál es el eje en este caso? 5.- Demostrar que si todas las rectas tangentes a una curva parametrizada regular pasan por un punto fijo, su traza está contenida en una recta. 6.- Demostrar que si todas las rectas normales principales de una curva parametrizada -regular pasan por un punto fijo, su traza está contenida en una circunferencia. 7.- Demostrar que si todos los planos osculadores de una curva parametrizada -regular tienen un punto común, la curva es plana. 8.- Sea c la proyección ortogonal de una hélice c sobre un plano perpendicular al eje de la hélice. Demostrar que e es paralelo a e y que k = k cosec (α), donde α es el ángulo (constante) entre e y el eje de la hélice. 9.- Demostrar que si c es una curva parametrizada regular cuya traza está contenida en una esfera de radio r, entonces la curvatura k de c satisface k /r..- Parametrización del elipsoide de tres ejes. Sean a, b, c números reales positivos. El elipsoide de semiejes a, b, c es el subconjunto de IR 3 dado por E (a,b,c) = { (x, y, z) IR 3 ; x } a + y b + z c =. Demuestra que E (a,b,c) es una superficie regular. Construye una carta de E (a,b,c) basándote en la parametrización geográfica de la esfera y en que la aplicación ϕ : IR 3 IR 3 dada por ϕ(x, y, z) =(ax, by, cz) es un difeomorfismo tal que ϕ(s )=E (a,b,c)..- Utiliza la carta geográfica de la esfera para calcular el plano tangente y comprobar que en cada punto es ortogonal al vector posición. Tienen los elipsoides también esta propiedad? 5

6 .- Sea S = {(x, y, z) (x, y, z) IR 3 y x + y + z = }, la esfera de radio y centro el origen de coordenadas de IR 3. Se consideran las parametrizaciones X: U S y X: U S, donde U =(, π) ( π/,π/), X(u, v) = (cos v cos u, cos v sen u, sen v), ( U = {(x, y) (x, y) IR y x + y < }, X(x, y) = x, y, ) x y. Comprueba que el punto p =(3/4, 3/4, /) está en la imagen de ambas parametrizaciones. a) Calcula las bases del plano tangente a S en p, T p S, dadas por las parametrizaciones X y X. Comprueba que, efectivamente, ambas bases generan el mismo plano. b) Calcula las aplicaciones cambio de coordenadas : X X y X X. 3.- Sea v IR 3 un vector unitario, S una superficie regular en IR 3 y h: S IR la aplicación definida por h(p) =<v,p>, para todo p S. Comprobar que h es diferenciable y calcular dh p (w), w T p S. 4.- a) Sea W IR 3 un abierto y sea f : W IR una función diferenciable;podemos definir una aplicación diferenciable grad f: W IR 3 por la expresión: ( f grad f = x, f y, f ). z Demuestra que si a IR es un valor regular de f y S = f (a) entonces, para todo p S, grad f(p) es un vector no nulo ortogonal al plano tangente en p a la superficie, T p S. b) Demuestra que si una superficie se obtiene por el Teorema del valor regular, es orientable. c) Sea G: V IR una función diferenciable definida en un abierto V de IR 3 que contiene a S, y sea g la restricción de G a S. Encuentra una condición necesaria, en términos de grad f, para que g tenga en un punto p de S un máximo o un mínimo local. (g tiene en p un máximo (resp. mínimo) local si existe un entorno V de p en S tal que para todo p perteneciente a V, g(p) g(p ) (resp. g(p) g(p )).) d) Halla los posibles máximos y mínimos de la función g: S IR tal que, para todo (x, y, z) S, g(x, y, z) =x + y z. 5.- Parametrización estereográfica de la esfera. Como ya sabes, la proyección estereográfica φ: U = S {n} IR, definida por la expresión: ( ) x φ(x, y, z) = z, y, z es un homeomorfismo. Demuestra que su inversa X: IR S es una carta de la esfera S cuya imagen es el abierto U. La expresión de X es como sigue: ( X(u, v) = u +u + v, v +u + v, u + v +u + v 6 ).

7 6.- Calcula los coeficientes de la primera forma fundamental de S con respecto a la carta estereográfica X (ejercicio anterior) y utilízalos para calcular la longitud de las curvas C R :[, π] S, definidas por C R (t) =X(R cos t, R sen t). Estas curvas son las imágenes por X de circunferencias De qué curvas se trata? Dibuja la curva C R con R =. 7.- Dibuja la imagen por la parametrización estereográfica de una recta que pase por el origen de IR. Qué longitud tiene esta curva? Utiliza la primera forma fundamental para calcular esta longitud y comprobar así si la respuesta es correcta. 8.- Por construcción, la imagen por X (Ejercicio 5) de una recta es la intersección, con la esfera, del plano determinado por dicha recta y el polo norte. Dados p y q en IR, dibuja la imagen de la recta que pasa por p en la dirección del vector q. Suponiendo que p y q son ortogonales y que q tiene módulo, calcula la longitud de la curva c(t) =X(p + tq),t IR. 9.- Siendo X la parametrización estereográfica de la esfera, demuestra que, para todo q IR, la aplicación dx q conserva los ángulos. 3.- a) Es el conjunto {(x, y, z) IR 3 ; z =, y x + y < } una superficie regular? b) Es el conjunto {(x, y, z) IR 3 ; z =, y x + y } una superficie regular? 3.- Se considera la parametrización X:], π[ ], [ C del cilindro recto C de altura y radio, dada por la expresión Calcula el área de C. X(u, v) =(cosu, sen u, v). 3.- Se describe geométricamente la cinta de Möbius M como la superficie que se obtiene al hacer girar un segmento de recta alrededor de un eje, al tiempo que dicho segmento gira 8 ō en torno a su punto medio mientras describe el primer giro en torno al eje. Si se toma como eje de giro el eje Oz y un segmento de longitud, con centro a una distancia del eje, se puede tomar, para M, la carta ( Y (u, v) = cos u + v cos u cos u, sen u + v cos u sen u, v sen u ), con (u, v) ], π[ ], [. a) Qué parte de la cinta de Möbius queda sin recubrir por la carta Y? b) Se consideran, en el rectángulo ], π[ ], [ las rectas u = π, u = π, u = 3π, v = /4, v =,v =/4. Dibuja las imágenes de estas rectas, por la parametrización Y, en la cinta de Möbius. c) Calcula los coeficientes g uv y g vv de la primera forma fundamental de la cinta de Möbius, en la carta Y. El coeficiente g uu tiene la expresión g uu =(+v cos( u )) + v 4. d) Escribe la integral que habría que calcular para obtener el área de la cinta de Möbius. 7

8 Calculando la integral anterior, por métodos numéricos, se obtiene un valor aproximado de A la vista de estos resultados, puede ser esta cinta de Möbius la misma que la del modelo en papel? e) Calcula la expresión del vector unitario normal a M en los puntos de la forma Y (u, ) y utilízala para demostrar que M no es orientable Sea f(x, y, z) =z. Demostrar que no es un valor regular de f y que, aún así, f () es una superficie regular Sea S una superficie que viene dada como el grafo de una función diferenciable;esto es, S queda definida por la ecuación z = h(x, y), donde h: U IR es C. Puede entonces considerarse la carta X: U IR 3 dada por X(u, v) =(u, v, h(u, v)). Es fácil comprobar que q U es un punto crítico de h si y sólo si el plano tangente a S en p = X(q) es horizontal. A partir de ahora supondremos que q U es un punto crítico de h y que en S se ha considerado la orientación determinada por la carta X. a) Calcula las expresiones del operador de Weingarten en p (o sea, dñp) ydela segunda forma fundamental en p. (Ayuda: Las derivadas que tienes que calcular son del tipo F () con F (t) = f(t) donde a es una función que cumple a() = y a () = ;por a(t) lo tanto se tiene que F () = f ().) b) Encuentra la condición necesaria y suficiente para que p sea elíptico y para que p sea hiperbólico a) Demuestra que en el paraboloide de ecuación z = x + y el punto p =(,, ) es un punto elíptico. b) Calcula las curvaturas principales, las direcciones principales y las asintóticas en p. c) Demuestra que todos los puntos de S están a un mismo lado del plano afín tangente a S en p a) Demuestra que en el paraboloide hiperbólico de ecuación z = x y el punto p =(,, ) es un punto hiperbólico. b) Calcula las curvaturas principales, direcciones principales y direcciones asintóticas en este punto. Dibuja las direcciones principales y las direcciones asintóticas. c) Demuestra que en cualquier entorno de p hay puntos de la superficie a ambos lados del plano afín tangente a S en p Sea S una superficie que viene dada como la gráfica de una función diferenciable;esto es, z = h(x, y). Demuestra que entonces la curvatura de Gauss tiene la expresión h xx h yy h xy ( + h x + h y) En las condiciones del problema 34, a) Demuestra que, si p es un punto elíptico, existe un entorno de p en S tal que todos sus puntos están al mismo lado del plano tangente a S en p;esto es, existe un entorno 8

9 donde o bien todos los puntos tienen su tercera coordenada mayor que la de p o bien todos ellos la tienen menor. b) Demuestra que, si p es un punto hiperbólico, en cualquier entorno de p hay puntos de la superficie a ambos lados del plano tangente a S en p. c) Demuestra que no se cumple el recíproco de ninguno de los dos resultados anteriores; en concreto, encuentra ejemplos de puntos parabólicos y de puntos planos para los que exista un entorno de p en S tal que todos sus puntos estén al mismo lado del plano tangente a S en p y encuentra, también, ejemplos de puntos parabólicos y de puntos planos para los que en cualquier entorno de p haya puntos de la superficie a ambos lados del plano tangente a S en p. Ayuda: En los apartados a) y b) puedes utilizar el desarrollo de Taylor y para el apartado c) puedes considerar los grafos de las funciones z = x 4 ± y, z = x 4 ± y Sea S una superficie minimal (H = ) ninguno de cuyos puntos es plano. Qué ángulo forma una dirección asintótica con una principal? 4.- Sea S una superficie de curvatura de Gauss negativa tal que sus dos direcciones asintóticas son perpendiculares. Demostrar que S es minimal. 4.- Sea α: I IR 3 una curva parametrizada cuya traza está contenida en el plano z =, esto es, α(u) =(x(u),y(u), ). Si β: I IR 3 toma el valor constante β(u) =(,, ), la superficie reglada X(u, v) = α(u) + vβ(u) se denomina cilindro recto sobre α y si β(u) =(,, ) α(u) la superficie se denomina cono sobre α de vértice (,, ). (En este caso X se considera definida sólo para v menor que ). En el caso particular de la curva α(u) =(u, u 3, ), dibuja ambas superficies, calcula la curvatura de Gauss, la curvatura media y las curvaturas principales del cilindro sobre α y la curvatura de Gauss del cono sobre α. 4.- El hiperboloide de ecuación x + y z = es también una superficie reglada: X(u, v) = (cos u, sin u, ) + v( sin u, cos u, ). Calcula la curvatura de Gauss y la curvatura media utilizando la parametrización X. En los puntos de la intersección con el plano z = calcula también las curvaturas principales, la segunda forma fundamental y las direcciones principales. Represéntalas en el dibujo Demuestra que el paraboloide hiperbólico (z = x y ) admite la siguiente parametrización reglada: X(u, v) =(u,,u )+v(,, u). Calcula la curvatura de Gauss utilizando la parametrización X y comprueba que, en todo punto del paraboloide hiperbólico, el valor de la curvatura de Gauss, en ese punto, obtenido 9

10 utilizando esta parametrización coincide con el que se obtiene utilizando la fórmula del ejercicio Demuestra que una condición necesaria para que una superficie regular sea minimal es que todos sus puntos sean hiperbólicos o llanos Se considera la superficie de revolución, S, generada por la curva α(v) =(r(v),, v), al girar alrededor del eje Oz, siendo r(v) >. a) Encuentra la ecuación diferencial que debe satisfacer la función r para que la superficie sea minimal. b) Comprueba que la solución general de esa ecuación es r(v) = c cosh(c (v + c )). c) La superficie de revolución resultante, (para c =,c = ) se denomina catenoide y la tienes dibujada más abajo. Calcula sus curvaturas principales La superficie de Enneper puede ser parametrizada como X(u, v) =(u u3 3 + uv,v v3 3 + vu,u v ). Sin necesidad de calcular explícitamente todos los valores, demuestra que g uv =,g uu = g vv, L uv =,L vv = L uu y que, por tanto, es una superficie minimal La superficie de Scherk puede ser parametrizada por Y (u, v) =(u, v, ln cos v ln cos u)), con (u, v) ] π, π [ ] π, π [. Demuestra que se trata de una superficie minimal

11 48.- Demostrar que en un punto hiperbólico las direcciones principales son bisectrices de los ángulos formados por las direcciones asintóticas Demostrar que si una superficie regular es tangente a un plano a lo largo de una curva, entonces los puntos de esta curva son parabólicos o planos. 5.- Sea C una curva regular contenida en una superficie regular S con curvatura de Gauss K>. Demostrar que la curvatura k de C en un punto p satisface k min( k, k ), donde k y k son las curvaturas principales de S en p. 5.- Sea S una superficie regular cuyas curvaturas principales k,k satisfacen la condición k, k en todos los puntos. Es cierto que la curvatura k de una curva de S satisface también que k? 5.- Supóngase que los planos osculadores de una línea de curvatura C S, que no es tangente en ningún punto a una dirección asintótica, forman un ángulo constante con los planos tangentes a S a lo largo de C. Demostrar que C es una curva plana. [Demostrar las otras dos variantes : Si C es plana y el ángulo citado es constante, entonces C es línea de curvatura, y si C es línea de curvatura plana, entonces ese ángulo es constante.] 53.- Sean S y S superficies que se cortan a lo largo de una curva regular C, entonces la curvatura k de C en p C está dada por k sen θ = λ + λ λ λ cos θ, donde λ y λ son las curvaturas normales en p, a lo largo de la recta tangente a C, des y S, respectivamente, y θ es el ángulo que forman los vectores normales a S y S en p Demostrar que toda superficie compacta tiene algún punto elíptico Demostrar que si todas las rectas normales a una superficie conexa pasan por un punto, la superficie está contenida en una esfera (superficie esférica) Calcular las líneas asintóticas y las líneas de curvatura del helicoide, cuya parametrización está dada por X(u, v) =(v cos u, v sen u, u), para (u, v) IR Se consideran la catenoide y el helicoide, con las parametrizaciones siguientes: a) Catenoide: para (u, v) U =], π[ IR, X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v). b) Helicoide: para (u, t) U =], π[ IR, Y (u, t) =(t cos u, t sen u, u).

12 Se considera la aplicación del helicoide en la catenoide dada a través de las parametrizaciones anteriores mediante Φ = X f Y, siendo f(u, t) =(u, arg sinh(t)). Demuestra que Φ es una isometría de Y (U )enx(u ). [SUGERENCIA: Ten en cuenta que si f es un difeomorfismo de IR y X es una parametrización de una superficie S, entonces X f también es una parametrización de S. Ten en cuenta asímismo que cosh x sinh x =.] 58.- Comprobar que las superficies X(u, v) =(u cos v, u sen v, ln u), X(u, v) =(u cos v, u sen v, v), tienen la misma curvatura de Gauss en los puntos X(u, v) yx(u, v), pero la aplicación X X no es una isometría. Esto prueba que el recíproco del teorema de Gauss no se cumple Demostrar que la curvatura geodésica de cualquier meridiano en una superficie de revolución es cero. En los tres ejercicios siguientes se trabajará con el hiperboloide de una hoja, estudiado como superficie reglada en el ejercicio 4. Esta superficie también es una superficie de revolución, admitiendo en concreto la parametrización X(u, v) =( +v cos u, +v sen u, v) con u ] π, π[, v IR. 6.- Escribir las ecuaciones que deben cumplir las funciones u, v para que la curva parametrizada α(t) = X(u(t),v(t)) sea una geodésica parametrizada del hiperboloide. Es el meridiano α(t) = X(,t) una geodésica parametrizada? Es compatible este resultado con el obtenido en el apartado anterior? 6.- Se consideran las curvas parametrizadas α: IR S y β:] π, π [ S, definidas por las expresiones: α(t) = X(t, ) y β(t) = X(t, tan t). Dibujar las trazas de estas curvas en el hiperboloide. Demostrar, sin calcularla explícitamente, que tienen curvatura geodésica nula. Son α y β geodésicas parametrizadas? Son geodésicas sus trazas? 6.- Se considera la superficie de revolución generada por una curva parametrizada de la forma v (f(v),,v) al girar alrededor del eje Oz, (f(v) >, para todo v). Encontrar la condición necesaria y suficiente que debe cumplir a para que el paralelo c(t) = X(t, a) = (f(a) cos t, f(a) sin t, a) tenga curvatura geodésica nula. Suponiendo que la condición encontrada se satisface para un paralelo Se trata de una geodésica parametrizada? En el caso particular del hiperboloide indicar qué paralelos son geodésicas Demostrar que toda curva que sea a la vez geodésica y línea de curvatura es plana Demostrar que si una geodésica es una curva plana, entonces es línea de curvatura Demostrar que una curva es a la vez línea asintótica y geodésica si y sólo si es un segmento de línea recta.