Unidad IV: Modelo Discreto

Transcripción

1 Unidad IV: Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto

2 Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Un modelo, incluyendo el ruido o perturbación, a tiempo discreto puede ser representado por la siguiente i ecuación Donde: ( ) ( ) y = G z u + H z ε k k k G ( z ) = g ( k ) z i= 0 H ( z ) = h ( k ) z i= 0 k k ε k representa el ruido operturbaciones demedición, ió por lo general se considera que el ruido es blanco o coloreado.

3 Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Familias de modelos de funciones de transferencia: ARX ARMAX ARARX ARARMAX Error de salida Box-Jenkins

4 Estructura ARX: Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Esta estructura es probablemente la relación entrada-salida mas simple que se pueda obtener para describir el sistema a través de una ecuación en diferencias. a y + a y + a y a y = b u + b u + b u + ε 0 k k k n kn k k m km k Con a = 0, Ayk = Buk + ε k A = + az + az + + az n n m B= bz + b z + + bn z

5 Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Así según la estructura, tenemos que: ( ) G z B z = ( ) ( ) y = G z u + H z ε k k k Ay = Bu + ε k k k ( ) H ( z ) = A( z ) A z ( ) /A εk uk yk B/A

6 Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto El modelo puede ser reescrito como: Ayk = Buk + εk y + a y + a y + + a y = b u + + b u + ε k k k n kn k m km k y =a y a y a y + b u + + b u + ε k k k n kn k m km k En este caso, los parámetros a ajustar son: a, a,, a, b, b,, b n m

7 Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Definimos así el vector de parámetros a estimar como: [ a a a b b b ] θ = n Definimos un vector que va a contener las señales medidas: [ y y y u u u ] φk = k k kn k k km m Así el modelo puede ser representado en forma vectorial como: y = φ θ + ε k k k

8 Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto y = φ θ + ε k k k A esta ecuación se le denomina modelo de regresión lineal φ k a este vector se le denomina regresores o vector de regresión θ vector de parámetros a estimar o identificar y k = φ θ k se le llama modelo de predicción

9 Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Así para la identificación del vector de parámetros, podemos usar un método muy eficaz y sencillo como lo es el método de los mínimos cuadrados: En este caso se define el error como: e = y yˆ k k k e = y φ θ k K k El método de los mínimos cuadrados tiene como objetivo minimizar el error.

10 Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Así la función de costos para minimizar el error se puede definir como: V V V ( θ ) ( θ ) ( θ ) N = yk φk θ k = N = E k = N = k = k E k Donde N es el número de muestras.

11 Método de Mínimos Cuadrados Método de mínimos cuadrados. y k = φ θ k En el caso general de N muestra, tenemos: Y = Φθ Donde Y es un vector Nx, Φ es una matriz Nxp y θ un vector px.

12 Método de Mínimos Cuadrados Y = Φθ Y y() y() = yn ( ) Nx ( ) ( ) φ φ Φ φ ( N ) Φ = θ = [ a a a b b b ] Nxp n m xp θ Una manera de encontrar seria escoger el número de muestras N igual a p. Así Φ sería una matriz cuadrada. Si Φ es no singular, entonces θ =Φ θˆ Φ Y

13 Método de Mínimos Cuadrados Sin embargo en la práctica es muy difícil tomar N igual a p debido a la escasa información que se obtendría del sistema para realizar la identificación. Así otro método es, definimos el error entre la variable medida y(t) y las medidas provenientes del modelo φ θ et () = yt () φ θ k k

14 Método de Mínimos Cuadrados El método de mínimos cuadrados entonces minimiza el error a través de la minimización de una función de costos. N V E t E t E t E t ( θ ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) t= Donde denota la norma euclideana.

15 Método de Mínimos Cuadrados eorema: Sea la función de costos V ( θ ) y definiendo el error como: E() t = Y () t Φθ. Suponiendo que Φ Φ es una matriz definida positiva, entonces V ( θ ) tiene un único punto mínimo dado por: θˆ = ΦΦ Φ Y ( ) Y el valor mínimo esta dado por: ( ) ( ˆ) min ( ) θ V θ = V θ = Y Y Y Φ Φ Φ Φ Y

16 Método de Mínimos Cuadrados Demostración: Sabemos: Et () = YΦθ así, de la función de costos: V( θ ) = E ( t) E( t) = [ Y Φθ] [ Y Φθ] = Y Y Y Φθ θ Φ Y + θ ΦΦθ Esta ecuación se puede escribir como: V( θ) = θ ( ) y ( ) θ ( ) Y Y Y Y ( ) Y (*) ΦΦ Φ ΦΦ ΦΦ Φ + ΦΦΦ Φ

17 Método de Mínimos Cuadrados Prueba para (*) V( θ) = θ ( ) y ( ) θ ( ) Y Y Y Y ( ) Y (*) ΦΦ Φ ΦΦ ΦΦ Φ + ΦΦΦ Φ ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) V [ θ ] = θ ( ΦΦ ) θ θ ( ΦΦ )( ΦΦ ) ΦY ( ΦΦ ) ΦY ΦΦ θ + ΦΦ ΦY ΦΦ ΦΦ ΦY ( ) + YY Y Y Φ Φ Φ Φ = θ ΦΦθ θ Φ YY Φ θ + YY + YY YY = θ Φ Φθ θ Φ Y Y Φ θ + Y Y Así debe ser escogido como: = Φ Φ Φ para que V ( θ ) θˆ sea mínima. ( ) θˆ Y

18 Método de Mínimos Cuadrados V( θ) = θ ( ) y ( ) θ ( ) Y Y Y Y ( ) Y ΦΦ Φ ΦΦ ΦΦ Φ + ΦΦΦ Φ θˆ = Φ Φ Φ Y ( ) min ( ) V θ = Y Y Y Φ Φ Φ Φ Y ( ) ( ) ˆ ( ) V V Y Y Y Y θ θ = θ = Φ Φ Φ Φ ( ) ( ) ( )

19 Método de Mínimos Cuadrados ( ) Y θˆ θ = ΦΦΦ Φ Y Cuando la matriz ΦΦ es singular (o semidefinida positiva), entonces calcular θˆ como se enunció en el teorema no es válido ya que no podríamos calcular su inversa. En este caso, evaluamos el gradiente de la función de costos V ( θ )

20 Método de Mínimos Cuadrados V θ = E t E t ( ) () () V ( θ) = [ Y Φθ] [ Y Φ θ] = θ Φ Φθ θ Φ Y Y Φ θ + Y Y Calcula la derivada, tenemos: Así dv ( θ ) dθ = Φ Φ θ + θ Φ ΦΦ Y Y Φ = 0 = Φ Φθ Φ Y =Φ Φθ Φ Y = 0 ΦΦ ˆ θ =Φ Y Se debe resolver este sistema de ecuaciones.