1.1. Introducción Método de Identificación por Mínimos Cuadrados Forma Recursiva: Inclusión del Factor de Olvido.

Transcripción

1 . Mínimos Cuadrados. Mínimos Cuadrados.. Introducción 2.2. Método de Identificación por Mínimos Cuadrados Forma Recursiva: Inclusión del Factor de Olvido Características Estadísticas de la Estimación Correlación de la Estimación: Influencia del Valor Medio Referencias 33

2 .. Introducción ajuste automático de parámetros = Identificación de Sistemas Excitación Planta Salida de la Planta + Error de Estimación - Modelo Salida del Modelo 2

3 y yˆ.2. Método de Identificación por Mínimos Cuadrados Se considera, a los efectos del análisis, la siguiente planta real: n m = ai y-i + biu i ε xθ ε i= i= 0 [-] = + ε perturbación o incertidumbre. modelo: n m ˆ ˆ + = aˆ i y-i+ + bi u-i= xθ i= i= 0 [-2] donde aˆ y aˆ n y -n+ ˆ θ = x = bˆ 0 u bˆ m u -m N= n+ m+ N= n+ m+ [-3] 3

4 Para cada instante habrá un error o diferencia entre ambas salidas: e = y yˆ [-4] tomando todas las muestra, e+ E ˆ + = = Y + - φ θ [-5] e con aˆ y + ˆ a Y + = n x y y-n+ u u-m ˆ, θ = bˆ, = = φ 0 y x0 y0 y -n u0 u-m bˆ m [-6] 4

5 J Se puede minimizar el error respecto a ˆ θ. = E E [-7] J ˆ p = 2φ Y - 2 φ φθ = p 0 ˆ [-8] el valor de ˆ θ que hace mínimo J es: * ˆ Y θ = φφ φ [-9] 5

6 .2.. Forma Recursiva: Analicemos una forma más cómoda de expresar la ecuación [-9]. Primero definamos la matriz P como sigue: x-n -N - φ φ = P = [ x-n x0] = xi xi = P-+ x x [-0] i=0 x 0 Del mismo modo el vector b será: y -N -N b= φ Y = [ x-n x0] = xi yi= b-+ x y [-] i=0 y 0 Entonces [-9] se expresará ˆ θ = P b [-2] La inversa de la matriz P en un instante puede expresarse en función de su valor anterior más otra matriz - - P = P -+ x x [-3] 6

7 Si la premultiplicamos por P - - = P - x x [-4] P P I = P +P y luego, posmultiplicando por P resulta: P -= P+ P x x P - [-5] o lo que es lo mismo P-- P= P x x P - [-6] Posmultipliquemos [-5] por x P- x= P x+ P x x P-x= P x + x P- x [-7] y agrupemos = P x x P x P x [-8] P Ahora, reemplazando [-8] en [-6] - x x - -- P P P= + - x P o su equivalente x [-9] 7

8 - x x - = P P P P [-20] x P x Haremos lo mismo con el vector θ. Por la ecuación [-8] tenemos ˆ P x x P- θ = P-- [ b-+ x y ] + [-2] x P- x ˆ ˆ P- x x P- θ = θ - - [ - ] b + x y + P- x y [-22] + x P- x por [-8] sabemos que: P- x P x = [-23] + x P- x reemplazando en la anterior ˆ θ = ˆ θ - - P x x P- b-- P x x P- x y+ P- x y [-24] ˆ θ = ˆ ˆ θ - - P x xθ + - P-- P x x P- x y [-25] de [-6] resulta P = P- - P x x P - [-26] quedando 8

9 ˆ θ = ˆ ˆ θ P x x θ - y [-27] en resumen el algoritmo está formado por las dos ecuaciones siguientes: [ y y ] ˆ θ ˆ ˆ θ - - P x - = P x x P P= P-- + x P- x - - [-28] Otra forma equivalente que se suele utilizar en la bibliografía es Px K = + xpx P+ = P KxP ˆ θ = ˆ K ˆ θ + - y xθ - [-29] 9

10 .2.2. Inclusión del Factor de Olvido. En el algoritmo anterior pesamos de igual manera las medidas muy viejas y las nuevas. J = e Q e [-30] donde α 0 Q = [-3] -N 0 0 α La matriz Q pondera las muestras dándole más o menos importancia a la historia con respecto al último valor según el parámetro α el cual se llama factor de olvido. Igual que antes derivamos J para obtener el mínimo. ˆ θ J ˆ = 2φ QY 2φ Qφθ = 0 [-32] θ resultando * ˆ Q Q Y θ = φ φ φ [-33] 0

11 La matriz P ahora será: x-n - φ Q φ = P = [ x -N x 0 ] Q = x 0 P -N i - = α x i x i = αp - + x x i=0 - = φ Q φ = α P-+ x x [-35] [-34] Del mismo modo el vector b será: y -N -N i b= φ Y = [ x-n x0] Q = α xi yi = αb-+ x y [-36] i=0 y 0 b = φ Q Y = αb + [-37] - xy Entonces se expresará

12 ˆ θ = P b [-38] La inversa de la matriz P en un instante puede expresarse en función de su valor anterior más otra matriz P = α P + x x [-39] Si la premultiplicamos por P P P = I = α PP + Px x [-40] y luego, posmultiplicando por P resulta: P = α P + Px x P [-4] o lo que es lo mismo P α P = Px x P [-42] Posmultipliquemos [-4] por x P x = αpx + Px xp x = Px α + xp x [-43] y agrupemos. α + = P x x P x Px [-44] Ahora, reemplazando [-8] en [-6] 2

13 P P ˆ θ P P xxp α P = α + xp x o su equivalente P xxp = P α α + xp x [-45] [-46] Haremos lo mismo con el vector θ. Por la ecuación [-8] tenemos P xxp = P [ α b-+ xy] = α α + xp x - - ˆ P x x P = θ b P x y - y x α+ x P- x + + α α por [-8] sabemos que: P- x x = [-48] α + x P- x reemplazando en la anterior [-47] 3

14 ˆ θ = ˆ θ P xx P-b-+ x y + P-x y α α = ˆ θ - P xx P-b P xx P-x y+ P-x α α = ˆ θ ˆ - P xxθ + - P- P xx P- x y α de [-6] resulta - = P P P x x P α [-50] P Px x P = α P [-5] quedando ˆ θ = ˆ ˆ θ P x x θ - y [-52] y [-49] 4

15 en resumen el algoritmo está formado por las dos ecuaciones siguientes: [ y y ] ˆ θ = ˆ ˆ θ - - P x - P xxp P = P α α + xp x o lo que es lo mismo Px K = α + xpx P+ = ( P KxP) α ˆ θ = ˆ K ˆ θ + - y xθ - [-53] [-54] 5

16 Se puede asemejar esta idea a la introducción de un filtro en el cálculo de la inversa de P según lo muestra la figura siguiente: xx αq P 6

17 .3. Características Estadísticas de la Estimación y y0 y y-n+ u u-m y-n+ y -n φφ = u u0 y0 y -n u0 u-m u-m u-m autocovarianza o covarianza cruzada i = y( 0) [-56] i= 0 φ φ [,] = y y = y r [-55] 7

18 La matriz total se llama matriz de covarianza del algoritmo y será: r y(o) r y(n - ) ruy(n - m - ) ruy(n - ) ruy(n - ) ruy(n - m - ) φφ = ruy (n - m - ) ruy(n - ) ru(0) ru(m) ruy(n - ) ruy(n - m - ) ru(m) ru(0) media de ˆ θ. ˆ - lim E θ lim ˆ E φφ φ Y E θ = = - = lim E φφ φ[ φθ + e] [-58] - = lim E[ θ ] + lim E φφ φe ˆ - E θ = lim E[ θ] + lim E φφ φe [-59] [-57] 8

19 Por lo tanto la media de la estimación coincidirá con el valor real de θ si el error e - es incorrelado con φ φ φ. En cualquier otro caso existirá un sesgo en la estimación. ambién debemos notar que para que exista solución la matrizφ φ debe ser invertible o sea det φ φ 0 [-60] Observando la ecuación 0 podemos inferir que esto se puede lograr si el sistema está persistentemente excitado. 9

20 .3.. Correlación de la Estimación: Calculemos la correlación de θ que tiene la siguiente forma: E ˆ θ -θ ˆ - θ = θ E φ φ φ [ φθ+ e ]- θ φ φ φ [ φθ + e ]- θ r r - - = E φ φ φ e e φ φ φ [-6] si se cumple que e es incorrelado con φ φ φ 4 se verifica: e - - ˆ θ = E φ φ φ e φ φ φ e - = E φ φ E e e [-62] Suponiendo que el ruido es incorrelado consigo mismo llamaremos 2 = E e e = σ e I [-63] 20

21 y se cumplirá que E ee+ τ = 0 τ 0 [-64] por lo tanto la correlación de θ resulta: - 2 ˆ= E rθ φ φ σ e [-65] 2

22 .4. Influencia del Valor Medio Otra consideración a tener en cuenta en una estimación es que las mediciones de u e y no deben tener un valor medio distinto de cero ya que estamos suponiendo que el modelo del sistema es lineal. En caso de que éste exista deberemos eliminarlo. Si las variaciones son muy lentas se puede usar el siguiente filtro de primer orden: x = α x + (- α ) xn [-66] n n- 22

23 Ejemplo. Sistema de Primer Orden. Para familiarizarnos un poco más con el funcionamiento del estimador veamos un ejemplo sencillo. Sea un sistema de primer orden cuya ecuación en diferencias es: y = a y + b u [-67] - - con a = 0,5 y b = y 0 0 u b = 2 b( a) + =,5 3 2 b( a a ) + + =,7 4 b( a a 2 a 3 )

24 El vector φ será, para tres muestras,, 75 φ =,5 su transpuesta, φ =, 75,5 el vector de medidas de la salida,,875 Y =, 75,5 la matriz de covarianza, 6,325 4,25 φ φ = [-68] [-69] [-70] [-7] 24

25 la matriz P: φ φ = y finalmente el vector 7,4063 φ Y = 5,25 [-72] [-73] Con estos datos ya podemos calcular la estimación de los dos parámetros del sistema resultando obviamente, ˆ - 0,5 θ = φ φ φ Y = [-74] 25

26 Ejemplo 2. Medición de una Resistencia Se mide ensión y Corriente sobre una resistencia u = u + e m u i = i + e r m i m la medición de la resistencia es um i m (.75) = [.76] por mínimos cuadrados J = E E = ( U ri ) ( U ri ) (.77) J = 2 I ( U ri) = 0 r mc (.78) I U r = (.79) I I 26

27 Cálculo de r n=000; vi=; vu=; i=+vi*(rand(n,)-.5); u=+vu*(rand(n,)-.5); r=zeros(n,); for =:n r()=u(:)'*i(:)/(i(:)'*i(:)); end plot(r);grid axis([0 n -.5.5]) cov(i); 27

28 plot(u./i);grid; axis([0 n -.5.5]) 28

29 [mean(r) mean(u./i) cov(r) cov(u./i)] ans =

30 Sesgo { } I m U m ( Ir ei ) ( Ur eu) Er ( mc ) =E =E + + Im Im ( Ir + ei) ( Ir + ei) I r Ur r =E = 2 ( I r + e i) ( I r + e i) σ + i I I r r (.80) Método de mínimos cuadrados es ˆ θ φ φ φ Y [ ] = (.8) {[ ] } E () θˆ = E φ φ φ ( φθ e) + (.82) el error está en la salida. No hay error en la entrada 30

31 Variables instrumentales rvi=zeros(n,); L=2; ivi=i; ivi(:length(i)-l)=i(l+:length(i)); for =:n rvi()=u(:)'*ivi(:)/(i(:)'*ivi(:)); end

32 32

33 .5. Referencias i. Ljung, Lennart : System Identification: heory for the User, 2nd Edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J.,999. p 33 ii. Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall 984. p 52 iii. Äström, K., Wittenmar: Adaptive Control, Prentice Hall 989. p 69 iv. Landau, Ioan Doré. System Identification and Control Design Prentice Hall 990 v. Isermann, R.: Digital Control Systems, Springer Verlag 98. p