1. Control con Modelo de Referencia

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1 1. Control con Modelo de Reerencia 1. Control con Modelo de Reerencia Introducción Control con Modelo de Reerencia Determinista Control con Modelo de Reerencia Estocástico Simulaciones Control con Modelo de Reerencia Control con Modelo de Reerencia Adaptativo Control con Modelo de Reerencia Estocástico Reerencias 19 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 1/19

2 1.1. Introducción El control con modelo de reerencia es una generalización de los reguladores predictivos a d pasos. Lo que se intenta hacer en este caso es contemplar en el diseño la dinámica de la reerencia es decir el modelo a seguir. Se puede tener dos visiones del problema: una determinista y otra estocástica según sea el modelo de la planta. De acuerdo a las nuevas especiicaciones, el objetivo es hacer que: M H y = y = +d +d r (1.1) E donde r será un escalón y H y E dos polinomios que deinen la dinámica del modelo. Visto de otro modo se presenta en la Ilustración 1-1en donde aparece un error de seguimiento que es el que debemos minimizar. Ilustración 1-1 Control con Modelo de Reerencia. Esquema 1.2. Control con Modelo de Reerencia Determinista En este caso el modelo de la planta será: A y = z B u (1.2) Se deinirá un nuevo predictor del siguiente modo: E y = G y + F B +d u (1.3) 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 2/19

3 donde los polinomios F y G cumplen la ecuación, E = F A+ z G (1.4) La ecuación (1.2) y la (1.3) son equivalentes ya que si multiplicamos (1.2) por F resulta: F A y = z F B u z y = z F B u ( E - G) (1.5) E y +d = G y + F B u Como el objetivo es cumplir (1.1), la ley de control deberá ser: E y = G y + F B +d u = H r (1.6) Este esquema se presenta en la Ilustración 1-2. Ilustración 1-2 Control con Modelo de Reerencia De esta gráica se puede extraer la relación entre la salida y la reerencia resultando, ε = H r - G y z B y = ε A F B z H z G y = r - F A F A F A - z G y = z H r ( ) y (1.7) y +d r H = E 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 3/19

4 Se observa el cumplimiento de la condición de diseño. A continuación se analizará la estabilidad de la actuación. ε u = F B G B ε = H r - z u = F B u A H A r = ( A F B + B G z ) u (1.8) u H A = r E B También aquí el regulador queda restringido a procesos de ase mínima es decir a aquellos en los cuales B' es estable. El paso siguiente será expresar la ley de control en notación vectorial. Se verá primero su orma desplegada: 1 u = [ H r - G y + ( b - F B ) u] (1.9) b Si se reemplaza esta ecuación en la órmula del predictor, b u +( F B - b )u +G y 1 u = +d b b = E y +d [ E y -G y + ( - F B ) ] y, deiniendo la variable auxiliar, u (1.1) a y = E +d y+ d (1.11) la expresión de u resulta T u = x p (1.12) siendo los vectores: x T p = T a [ y,- y - -1 ] +d u 1 g b =, b b b 1 Cuando p es conocido, la ley de control será la siguiente: (1.13) T u = x p (1.14) donde 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 4/19

5 a [,- y - ] T x = r u-1 (1.15) deiniendo la variable auxiliar a r = H r (1.16) Si no se conoce p se lo debe estimar con algún método de identiicación recursivo. A continuación se muestra una planta cuyo modelo es el siguiente: A= 1 1,74 z +,77z 1-2 ( z ) B = z,11+,9-2 1 C=1 2 z +1,29z,27z (1.17) Esta planta se controla con un regulador con modelo de reerencia y se ajusta para que su respuesta tenga una dinámica con los siguientes polinomios: H=,4 E=1-,6z -1 (1.18) La planta sure una reducción de la ganancia a la mitad en la muestra 5. En la primera gráica se observa el regulador ijo ajustado para los parámetros iniciales. En la segunda el regulador es adaptativo. Se puede ver que en el primer caso hay un desajuste del control al variar la planta que se consigue reducir adaptando el regulador. De todos modos se advierte un inevitable transitorio en el ajuste del regulador. En la tercera gráica se muestra la convergencia de los parámetros en el caso adaptativo. Se graicaron dos juegos de parámetros: los trazos más suaves corresponden al sistema sin ruido mientras que los otros pertenecen a la planta con ruido. Nótese que no existe una buena convergencia de los parámetros. Esto es debido a lo poco excitantwe que es la señal de control. A pesar de ello, el controlador tiene un buen desempeño. En este último caso, el algoritmo de identiicación es el de mínimos cuadrados con un actor de olvido de.9. 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 5/19

6 Ilustración 1-3 Control con Modelo de Reerencia Ilustración 1-4 Control con Modelo de Reerencia Adaptado 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 6/19

7 Ilustración 1-5 Convergencia de Parámetros 1.3. Control con Modelo de Reerencia Estocástico En este caso el modelo del proceso tendrá un término estadístico como en la siguiente ecuación: A y = z B u+ C ω (1.19) Se deinirá una variable iltrada y de la orma: y = E y (1.2) Se puede demostrar que la mejor predicción de y es: C y + d = G y + F B u (1.21) siendo C E = F A+ z Demostración: G ( C E - z G) y = z F B u+ F C ω C ( E y - F ω) ( G y + F B ) y = z = E y - F ω u (1.22) (1.23) donde el valor Fω es el error de predicción. 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 7/19

8 Por lo tanto el control debe ser tal que E M M y = y = H r = E y = y (1.24) Deinimos el uncional a minimizar de la siguiente orma: M { } 2 [ E ( y - y )] min J = _ (1.25) Sumando y restando el predictor se obtiene: M 2 { y y y } 2 2 { y } y M y 2 M 2 {( F ω ) ( y y ) } J= _ E y - E + - = _ E y - + E [_][_] = _ + E [_][_] esto se cumple ya que (1.26) y - y = F ω (1.27) Entonces, para que J sea mínimo debe cumplirse E y M - y = (1.28) es decir M y = y (1.29) y si se reemplaza la ecuación del predictor, C y + d = C E y = G y + F B u M +d = C H r (1.3) la ley de control queda F B u = C H r - G y (1.31) que es lo que se ve en la Ilustración Control Con Modelo de Reerencia.doc 8/19

9 Ilustración 1-6 Control con Modelo de Reerencia Estocástico Por último, se verá cual es la relación entre reerencia y salida. F ε = H C r -G y z C y = ε + ω F A A A y = z H C r - G z y +C F ω C E y = H C +d r +C F ω +d E y = H r + F ω +d +d (1.32) Por lo tanto la salida sigue al modelo excepto un error debido al ruido. En cuanto a la variable de control, obedece a la siguiente ecuación: u A H C = r E B O sea que es estable para sistemas de ase mínima. (1.33) 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 9/19

10 Ilustración 1-7 Control con Modelo de Reerencia Estocástico 1.4. Simulaciones Control con Modelo de Reerencia cambiore = 5; ciclos = 5; n = cambiore * ciclos; e =.2*randn(n,1); y = zeros(n,1); Ap = [ ]; Bp = 2 * [1.1.9]; A = Ap; B = Bp; na = length(ap); nb = length(bp); C = [ ]; nc = 4; EE = [1 -.6 ]; ne = 2; HH = [.4 ]; nh = 1; n = 2; re = ones(cambiore,1); or i = 1:ciclos-1, re = [re; (-1)^i*ones(cambiore,1)]; 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 1/19

11 Ra = zeros(n,1); ym = zeros(n,1); u = zeros(n,1); % calculo del vector F F = zeros(n,1); F(1) = 1; or i = 2: n F(i) = EE(i); or j = 1:i-1 i i-j+1 <= length(a) F(i) = F(i) - F(j)*A(i-j+1); % calculo del vector G G = zeros(na,1); or i = 1: na G(i) = EE(n + i); or j = :n-1 i i+n-j <= length(a) G(i) = G(i) - F(j+1)*A(i+n-j); % calculo del vector FB FB = conv(f,b)'; % cálculo del vector de parámetros ParReg = ones(na+nb+n-3+length(p),1)*b(1) /( B(1)*B(1)+lambda); ParReg(2:na) = ParReg(1) * G(1:na-1); ParReg(na+1:na+nb+n-2) = (FB(2:nb+n-1)+lambda*R(2:nb+n-1)'/B(1)) * ParReg(1); ParReg(na+nb+n-1:na+nb+n+length(P)-3) = - lambda*p(2:length(p))/b(1)*parreg(1); or i = n+nb+5 : n % reducción de ganancia i i==12 B=B./2; end % Sistema y(i) = ; or j = 2:na y(i) = y(i) - A(j)*y(i-j+1); or j = 1:nb y(i) = y(i) + B(j)*u(i+1-j-n); % y(i)=liplr(b(1:length(b)))*u(i-length(b):i-1)- %liplr(a(2:length(a)))*y(i-length(a)+1:i-1); or j = 1:nc y(i) = y(i) + C(j)*e(i-j); % Regulador 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 11/19

12 % cálculo de la re iltrada: ra = reerencia * H or j = 1:nh Ra(i) = Ra(i) + re(i-j+1)*hh(j); ym(i) = Ra(i); or j = 2:ne ym(i) = ym(i) - ym(i-j+1)*ee(j); % cálculo del vector de valores para el control predictivo ValReg = zeros(na+nb+n-3+length(p),1); ValReg(1) = Ra(i); ValReg(2:na) = -lipud(y(i-na+2:i)); ValReg(na+1:na+nb+n-2) = -lipud(u(i-nb-n+2:i-1)); % actuación u(i) = ValReg' * ParReg; end plot([y ym]);grid; hold on; stairs(u,'r'); hold o axis([ n ]) Control con Modelo de Reerencia Adaptativo 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 12/19

13 cambiore = 5; ciclos = 5; n = cambiore * ciclos; e =.2*randn(n,1); y = zeros(n,1); Ap = [ ]; Bp = 2 * [1.1.9]; A = Ap; B = Bp; na = length(ap); nb = length(bp); C = [ ]; nc = 4; EE = [1 -.6 ]; ne = 2; HH = [.4 ]; nh = 1; n = 2; re = ones(cambiore,1); or i = 1:ciclos-1, re = [re; (-1)^i*ones(cambiore,1)]; Ra = zeros(n,1); ym = zeros(n,1); u = zeros(n,1); % inicialización identiicación np=na+nb+n+length(p)-1-2; Aest = ones(n,np); lam=.9; p=1*eye(np); th=eps*ones(np,1); % calculo del vector F F = zeros(n,1); F(1) = 1; or i = 2: n F(i) = EE(i); or j = 1:i-1 i i-j+1 <= length(a) F(i) = F(i) - F(j)*A(i-j+1); % calculo del vector G G = zeros(na,1); or i = 1: na G(i) = EE(n + i); or j = :n-1 i i+n-j <= length(a) G(i) = G(i) - F(j+1)*A(i+n-j); 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 13/19

14 % calculo del vector FB FB = conv(f,b)'; % cálculo del vector de parámetros ParReg = ones(na+nb+n-3+length(p),1)*b(1) /( B(1)*B(1)+lambda); ParReg(2:na) = ParReg(1) * G(1:na-1); ParReg(na+1:na+nb+n-2) = FB(2:nb+n-1) * ParReg(1); or i = n+nb+5 : n % reducción de ganancia i i==12 B=B./2; p=1*eye(np); end % Sistema y(i) = ; or j = 2:na y(i) = y(i) - A(j)*y(i-j+1); or j = 1:nb y(i) = y(i) + B(j)*u(i+1-j-n); or j = 1:nc y(i) = y(i) + C(j)*e(i-j); % Regulador % cálculo de la re iltrada: ra = reerencia * H or j = 1:nh Ra(i) = Ra(i) + re(i-j+1)*hh(j); ym(i) = Ra(i); or j = 2:ne ym(i) = ym(i) - ym(i-j+1)*ee(j); % cálculo del vector de valores para el control predictivo ValReg = zeros(na+nb+n-3+length(p),1); ValReg(1) = Ra(i); ValReg(2:na) = -lipud(y(i-na+2:i)); ValReg(na+1:na+nb+n-2) = -lipud(u(i-nb-n+2:i-1)); % actuación % u(i) = ValReg' * ParReg; u(i) = Aest(i-1,1:np) * ValReg(1:np); % Cálculo del vector X para el identiicador x = zeros(np,1); % x(1)=y(i)+lambda/bp(1)*u(i-n); or j = 1:ne x(1) = x(1) + y(i-j+1)*ee(j); x(2:na)=-lipud(y(i-na+2-n:i-n)); x(na+1:na+nb+n-2) = -lipud(u(i-nb-n+2-n:i-1-n)); 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 14/19

15 % x(na+nb+n-1:na+nb+n+length(p)-3) = -lipud(u(i-length(p)+1-n:i-1- n)); % Identiicación yh=x'*aest(i-1,1:np)'; epsi=u(i-n)-yh; K=p*x/(lam + x'*p*x); p=(p-k*x'*p)/lam; Aest(i,1:np)=(Aest(i-1,1:np)'+K*epsi)'; epsilon=u(i)-aest(i,1:np)*x; end plot([y ym]);grid; hold on; stairs(u,'r'); hold o axis([ n ]) plot([aest Aesti]);grid Control con Modelo de Reerencia Estocástico cambiore = 5; ciclos = 5; n = cambiore * ciclos; e =.2*randn(n,1); y = zeros(n,1); Ap = [ ]; Bp = 2 * [1.1.9]; A = Ap; B = Bp; na = length(ap); nb = length(bp); C = [ ]; nc = 4; EE = [1 -.6 ]; ne = 2; HH = [.4 ]; nh = 1; CE = conv(c,ee); CH = conv(c,hh); n = 2; re = ones(cambiore,1); or i = 1:ciclos-1, re = [re; (-1)^i*ones(cambiore,1)]; Ra = zeros(n,1); ym = zeros(n,1); u = zeros(n,1); % calculo del vector F F = zeros(n,1); F(1) = 1; 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 15/19

16 or i = 2: n F(i) = CE(i); or j = 1:i-1 i i-j+1 <= length(a) F(i) = F(i) - F(j)*A(i-j+1); % calculo del vector G G = zeros(na,1); or i = 1: na G(i) = CE(n + i); or j = :n-1 i i+n-j <= length(a) G(i) = G(i) - F(j+1)*A(i+n-j); % calculo del vector FB FB = conv(f,b)'; % cálculo del vector de parámetros ParReg = ones(na+nb+n-1,1)/ B(1); ParReg(2:na+1) = ParReg(1) * G(1:na); ParReg(na+2:na+nb+n-1) = FB(2:nb+n-1) * ParReg(1); or i = n+nb+5 : n % reducción de ganancia i i==12 B=B./2; end % Sistema y(i) = ; or j = 2:na y(i) = y(i) - A(j)*y(i-j+1); or j = 1:nb y(i) = y(i) + B(j)*u(i+1-j-n); or j = 1:nc y(i) = y(i) + C(j)*e(i-j); % Regulador % cálculo de la re iltrada: ra = reerencia * CH or j = 1:5 %nh Ra(i) = Ra(i) + re(i-j+1)*ch(j); ym(i) = Ra(i); or j = 2:6 %ne ym(i) = ym(i) - ym(i-j+1)*ce(j); % cálculo del vector de valores para el control predictivo ValReg = zeros(na+nb+n-1,1); ValReg(1) = Ra(i); ValReg(2:na+1) = -lipud(y(i-na+1:i)); ValReg(na+2:na+nb+n-1) = -lipud(u(i-nb-n+2:i-1)); 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 16/19

17 % actuación u(i) = ValReg' * ParReg; end plot([y ym]);grid; hold on; stairs(u,'r'); hold o axis([ n ]) cambiore = 5; ciclos = 5; n = cambiore * ciclos; e =.2*randn(n,1); y = zeros(n,1); Ap = [ ]; Bp = 2 * [1.1.9]; A = Ap; B = Bp; na = length(ap); nb = length(bp); C = [ ]; nc = 4; EE = [1 -.6 ]; 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 17/19

18 ne = 2; HH = [.4 ]; nh = 1; CE = conv(c,ee); CH = conv(c,hh); n = 2; re = ones(cambiore,1); or i = 1:ciclos-1, re = [re; (-1)^i*ones(cambiore,1)]; Ra = zeros(n,1); ym = zeros(n,1); u = zeros(n,1); % calculo del vector F F = zeros(n,1); F(1) = 1; or i = 2: n F(i) = CE(i); or j = 1:i-1 i i-j+1 <= length(a) F(i) = F(i) - F(j)*A(i-j+1); % calculo del vector G G = zeros(na,1); or i = 1: na G(i) = CE(n + i); or j = :n-1 i i+n-j <= length(a) G(i) = G(i) - F(j+1)*A(i+n-j); % calculo del vector FB FB = conv(f,b)'; % cálculo del vector de parámetros ParReg = ones(na+nb+n-1,1)/ B(1); ParReg(2:na+1) = ParReg(1) * G(1:na); ParReg(na+2:na+nb+n-1) = FB(2:nb+n-1) * ParReg(1); or i = n+nb+5 : n % reducción de ganancia i i==12 B=B./2; end % Sistema y(i) = ; or j = 2:na y(i) = y(i) - A(j)*y(i-j+1); or j = 1:nb y(i) = y(i) + B(j)*u(i+1-j-n); 1-Control Con Modelo de Reerencia.doc 18/19

19 or j = 1:nc y(i) = y(i) + C(j)*e(i-j); % Regulador % cálculo de la re iltrada: ra = reerencia * CH or j = 1:5 %nh Ra(i) = Ra(i) + re(i-j+1)*ch(j); ym(i) = Ra(i); or j = 2:6 %ne ym(i) = ym(i) - ym(i-j+1)*ce(j); % cálculo del vector de valores para el control predictivo ValReg = zeros(na+nb+n-1,1); ValReg(1) = Ra(i); ValReg(2:na+1) = -lipud(y(i-na+1:i)); ValReg(na+2:na+nb+n-1) = -lipud(u(i-nb-n+2:i-1)); % actuación u(i) = ValReg' * ParReg; end plot([y ym]);grid; hold on; stairs(u,'r'); hold o axis([ n ]) 1.5. Reerencias 1. Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall Control Con Modelo de Reerencia.doc 19/19