IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS UNIVERSIDAD DE ALCALÁ DE UN MOTOR DC INGENIERÍA TÉCNICA EN SISTEMAS ELECTRÓNICOS

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1 UNIVERSIDAD DE ALCALÁ INGENIERÍA TÉCNICA EN SISTEMAS ELECTRÓNICOS Laboratorio de Sistemas Electrónicos de Control Discreto IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS DE UN MOTOR DC

2 Índice ÍNDICE Ø INTRODUCCIÓN Ù IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS Ú CONOCIMIENTOS PREVIOS SOBRE LA PLANTA A IDENTIFICAR Û DISEÑO DEL EXPERIMENTO DE RECOGIDA DE DATOS Ü TRATAMIENTO PREVIO DE LOS DATOS OBTENIDOS Ý IDENTIFICACIÓN NO PARAMÉTRICA Þ IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA ß VALIDACIÓN DE MODELOS à CONCLUSIONES

3 Introducción 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Concepto de sistema Perturbación v(t) u(t) Entrada Sistema dinámico Salida y(t) 1.2 Modelo de un sistema Un modelo es una herramienta matemática que nos permite predecir el comportamiento de un sistema sin necesidad de experimentar sobre él Tipos de modelos Ø Modelos mentales, intuitivos o verbales. Ù Modelos no paramétricos: gráficos y tablas. Ú Modelos paramétricos o matemáticos.

4 Introducción Ejemplo de modelo paramétrico: y( t) = 5 t + 3 u ( t) 2 u ( t) 1 2 Hay que distinguir: Estructura del modelo y( t) = k t + k u ( t) + k u ( t) Parámetros del modelo k = k k 1 5 ; = 3; = 2; Métodos de obtención de modelos: Ø Modelado matemático método analítico Ù Identificación del sistema método experimental

5 Identificación de sistemas 2. IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS Se entiende por identificación de sistemas a la obtención experimental de la estructura y los parámetros de un modelo que reproduce con suficiente exactitud las características dinámicas del proceso objeto de estudio. 2.1 El proceso de identificación Conocimientos previos sobre la planta Diseño del experimento de recogida de datos Tratamiento de los datos Elección de la estructura del modelo Datos Cálculo del modelo (ajuste de parámetros) Validación del modelo Modelo no válido: revisar Modelo válido: usar

6 Identificación de sistemas 2.2. Métodos de identificación Dependiendo del tipo de modelo obtenido: Ø Métodos no parámetricos Ù Métodos paramétricos Dependiendo de la aplicación: Ø Métodos de identificación off-line Ù Métodos de identificación on-line (identificación recursiva) Dependiendo del criterio de ajuste : método del error de predicción, método de mínimos cuadrados, método de variables instrumentales...

7 Conocimientos previos sobre la planta a identificar 3. CONOCIMIENTOS PREVIOS SOBRE LA PLANTA A IDENTIFICAR Todo conocimiento físico previo sobre la planta a identificar facilita en gran medida el proceso de identificación. Estudio de un caso concreto Identificación de parámetros de un motor DC Ø Elección de entradas y salidas: Perturbación Ml(t) Va(t) Entrada Motor DC Salida w(t). Ù Posible estructura: G( s) ω( s) = = V ( s) a A e s + L τ 1 s A Ganancia estática del motor. τ Constante de tiempo electromecánica del motor. L Retardo del motor.

8 Diseño del experimento de recogida de datos 4. DISEÑO DEL EXPERIMENTO DE RECOGIDA DE DATOS El primer paso dentro del proceso de identificación es realizar algún tipo de experimento sobre el sistema bajo estudio para obtener los datos de entrada-salida que servirán de base para la obtención del modelo final Aspectos prácticos Los datos deben contener información significativa sobre el sistema, debiéndose tomar las siguientes decisiones: Ø ELECCIÓN DE LAS SEÑALES A MEDIR Entradas : señales que se puedan manipular. Salidas: señales que se puedan medir. Perturbaciones: no se pueden manipular ni medir. Ù ELECCIÓN DEL TIPO DE ENTRADA Debe contener el mayor número de frecuencias posibles: las señales escalonadas son apropiadas. Para sistemas lineales: dos niveles de entrada. Para sistemas no lineales: más de dos niveles de entrada..

9 Diseño del experimento de recogida de datos a) b) Si se sabe que el sistema va a trabajar preferentemente en torno a un determinado punto de trabajo, es conveniente realizar la recogida de datos en ese mismo entorno. Ú ELECCIÓN DEL PERIODO DE MUESTREO Relacionada con las constantes de tiempo del sistema Si es muy pequeño : obtención de datos redundantes Si es muy grande : no es posible reproducir la dinámica del sistema. Regla comúnmente usada: frecuencia de muestreo de diez veces el ancho de banda del sistema. Û ELECCIÓN DEL NÚMERO DE MUESTRAS A TOMAR Viene limitado por la capacidad del dispositivo de memoria utilizado.

10 Diseño del experimento de recogida de datos 4.2. Obtención de datos de entrada-salida de un motor DC EXCITADOR ELECTRÓNICO Vcod Generador de PWM PWM Puente en H Va PC INTERFASE HARDWARE 1. Generación de las entradas 2. Lectura de las salidas 3. Almacenamiento de los datos Vcod EXCITADOR ELECTRÓNICO Va MOTOR 4. Temporización 5. Sincronización 6. Herramientas para la identificación Wcod TACÓMETRO DIGITAL w ENCODER Sentido D Q Clk Velocidad Q[..7 ] Q Clk ENCODE CHA CHB CHI Rst Señal de reset periódica

11 Diseño del experimento de recogida de datos Función de transferencia de la interfaz: INTERFAZ HARDWARE Vcod EXCITADOR ELECTRÓNICO Vm PC Wcod Kee V n = 255 TACÓMETRO DIGITAL Ktac = N T 6 s Wm MOTOR A τ s+ 1 e s L Elección del tipo de entrada binaria pseudoaleatoria por ser un sistema lineal. Elección del periodo de muestreo. Factores determinantes: Ø Constante de tiempo del motor. Ù Rebose del contador. Ú Precisión de la medida.

12 Diseño del experimento de recogida de datos Ejemplos de datos obtenidos: CON Ts = 1 ms Wcod Velocidad angular codificada 1 Vcod nº muestra Tensión de armadura codificada nº muestra CON Ts = 4 ms Wcod 15 Velocidad angular codificada 1 5 Vcod nº muestra Tensión de armadura codificada nº muestra

13 Tratamiento previo de los datos obtenidos 5. TRATAMIENTO PREVIO DE LOS DATOS OBTENIDOS 5.1. Eliminación de perturbaciones de alta frecuencia 5.2. Eliminación de datos erróneos 5.3. Tratamiento de niveles de continua

14 Identificación no paramétrica 6. IDENTIFICACIÓN NO PARAMÉTRICA Permiten obtener modelos no paramétricos de la planta bajo estudio. Algunos ejemplos: Ø Análisis de la respuesta transitoria. Ù Análisis de la respuesta en frecuencia. Ú Análisis mediante correlación de señales. Û Análisis de Fourier. Posibilidad de convertir los modelos no paramétricos en modelos paramétricos Análisis de la respuesta transitoria de un motor de continua

15 Identificación no paramétrica Ø Identificación del retardo del sistema: L 4 ms Ù Identificación de la constante de tiempo: ,35 muestras τ = nº muestras Ts = 8, 35 4ms = 33, 4ms

16 Identificación no paramétrica Ú Identificación de la ganancia estática del sistema: K = = 2, 51 K Vn 5 Ts = A A = 867 Modelo obtenido: w( s) 867 G( s) = Va s s e. s ( ) =

17 Identificación paramétrica 7. IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA 7.1. Tipos de modelos paramétricos Los modelos paramétricos se describen en el dominio discreto, puesto que los datos que sirven de base para la identificación se han obtenido por muestreo. Expresión general de un modelo discreto: y ( t ) G ( q, ) B q u ( t ) H ( q, ) e ( t ) ( ) F q u t C( q) = θ + θ = ( ) + ( ) D( q) e ( t ) Tanto G(q,θ) como H(q,θ) son cocientes de polinomios del tipo: G( q, θ ) B q b q nk b q nk b q nk nb ( ) = = 1 2 nb F( q) + f q 1 1 f q nf nf C( q) 1 + c q c q nc H( q, θ ) = = 1 nc D( q) 1 + d q d q nd 1 nd Proceso de identificación paramétrica: Ø Elegir la estructura orden de cada uno de los polinomios anteriores, es decir nb,nc,nd,nf y nk. Ù Determinar el vector de coeficientes θ ( b i, c i, d i y f i ) que hacen que el modelo se ajuste a los datos de entrada - salida del sistema real.

18 Identificación paramétrica Posibles simplificaciones de la estructura general: Ø Si F(q)=D(q)=A(q) y C(q) = 1 Modelo ARX e A( q) y( t) = B( q) u( t) + e( t) u B j 1 A y Ù Si C(q)=D(q)=1 Modelo Output Error (OE) e y( t) B( q) = u( t) + e( t) F( q) u B F j y Ú Si F(q)=D(q)=A(q) Modelo ARMAX e A( q) y( t) = B( q) u( t) + C( q) e( t) C u B j 1 A y Û Todos los polinomios no nulos Modelo Box Jenkins (BJ) e y( t) B( q) C( q) = u( t) + e( t) F( q) D( q) C D u B F j y

19 Identificación paramétrica 7.3. Identificación paramétrica de un motor DC Ø Elección de la estructura del modelo, en base al conocimiento previo sobre la planta: W ( s) cod Kee A Ktac e L s V ( s) = τ s + 1 cod Eligiendo el método de correspondencia directa entre ceros y polos en ambos dominios (método matched ), se debe escoger una estructura discreta con un polo, ningún cero y un determinado retardo. : Una estructura ARX del orden anterior es: y( KT) + a y( KT T) = b u( KT T) 1 o en el dominio transformado: y( z) b u ( z z ) = + a z Ù Ajuste de los parámetros del modelo, mediante el Toolbox de Identificación de Matlab: >> load datos4 >> z = [ resp act ] >> idplot ( z )

20 Identificación paramétrica 15 OUTPUT # INPUT # >> zd = dtrend (z); >> idplot (zd); 5 OUTPUT # INPUT # >> th = arx ( zd, [ 1 1 1] ); >> th = sett ( th,.4); >> [numd,dend] = th2tf ( th ); >> printsys(numd,dend, z ) z

21 Identificación paramétrica Por tanto, los parámetros obtenidos son: a = y b = >> [numc,denc] = d2cm(numd,dend,.4, matched ); >> printsys(numc,denc, s ) s Por tanto, la función de transferencia identificada del conjunto excitador electrónico + motor + tacómetro es la siguiente: W ( s) cod = = V ( s) s s + 1 cod Conocida la relación de la función de transferencia anterior con la del motor, se obtiene: w(s) = V (s).464 s + 1 a

22 Conclusiones 8. VALIDACIÓN DE MODELOS Es conveniente probar varias estructuras y determinar cuándo un determinado modelo es lo suficientemente exacto para la aplicación requerida validación del modelo Métodos de validación Ø Ù Validación en base a la aplicación del modelo Comprobación de parámetros físicos Ú Coherencia en el comportamiento de entrada - salida Û Reducción del modelo Ü Ý Intervalos de fiabilidad de parámetros Simulación Þ Análisis de residuos Residuos de un modelo ε ( t) = ε ( t, θ ) = y( t) y ( t, θ ) e Idealmente, estos residuos deben ser independientes de la entrada. Si no sucede así, significa que hay componentes en ε(t) que proceden de la entrada u(t), lo cual a su vez significa que el modelo no es capaz de describir completamente la dinámica del sistema.

23 Conclusiones Comprobación de la correlación entre el error de predicción y la entrada al sistema, según la expresión: 1 N R = ε t + τ u t τ ε u N t = 1 ( ) ( ) M El modelo será tanto más exacto cuanto más se acerquen a cero los término de la correlación anterior Validación del modelo de un motor DC El modelo obtenido correspondía a una estructura ARX del tipo: y( kt) y( kt T) = 322. u( kt T) Validación mediante simulación (mediante Toolbox de Identificación de Matlab) 6 Output # 1 Fit: Model output Measured output

24 Conclusiones 9. CONCLUSIONES Limitaciones de la teoría de identificación: Ø Necesidad de disponer de datos experimentales. Ù Elección de una estructura adecuada para el sistema. Todavía hay áreas poco conocidas o estudiadas: Ø Aplicación de la teoría de identificación al procesamiento de señales, detección de fallos o reconocimiento de formas. Ù Identificación de sistemas variables con el tiempo. Ú Uso eficiente de la información a priori que se tiene sobre el sistema a identificar. Û Identificación de sistemas no lineales o de parámetros distribuidos. Ü Desarrollo de métodos y algoritmos más simples, rápidos y eficientes para la estimación de la estructura y los parámetros del modelo.