Introducción al Control Óptimo

Transcripción

1 Ingeniería en Control y Automatización Introducción al Control Óptimo Aplicación a sistemas de control moderno ERÍA DEL CNRL III de diciembre de 6 Autor: M. en C. Rubén Velázquez Cuevas Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

2 Introducción al Control Óptimo Aplicación a sistemas de control moderno Como se observó en el apartado anterior, el diseño de un compensador (regulador o seguidor) mediante la observación y retroalimentación de estados conlleva a la problemática de establecer la mejor configuración de polos para las especificaciones de diseño establecidas por el objetivo de control. Esto implica que la matriz de ganancias calculada para la retroalimentación de estados no es única y que además no se tiene un criterio asertivo sobre la asignación de polos del observador que proporcione la mejor estimación de estados. Por tal motivo resulta imprescindible analizar (de forma básica) un método que permita establecer las condiciones necesarias y suficientes para el cálculo de la mejor opción disponible. Ese método lo proporciona la eoría de Control Óptimo. La teoría de control óptimo es un método de optimización matemática para generar leyes de control y que se desarrolla como una etensión del cálculo de variaciones. Se aplica para todo tipo de sistemas de control descritos mediante ecuaciones matemáticas (lineales, no lineales, discretas, estocásticas, etc.) y en consecuencia, su estudio es muy etenso. Por tal motivo, los métodos y problemas de control óptimo planteados en este curso tendrán un énfasis particular en los sistemas LI. El planteamiento matemático general para el problema de control óptimo consiste en:. Describir la naturaleza del sistema que se desea controlar. Establecer las capacidades y restricciones 3. Definir el objetivo de control y sus detalles 4. Especificar el criterio con que se juzgará el desempeño óptimo Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6 Usualmente, las restricciones eisten sobre valores permitidos en las variables de estado o sobre las señales de entrada de control. Es decir, tanto los instrumentos de medición como los controladores presentan intervalos de operación (valor mínimo y valor máimo). En particular, para los sistemas LI el problema de diseñar un control regulador óptimo se conoce también como el problema del Regulador Cuadrático Lineal (LQR), donde el objetivo principal es la aplicación de un método sistemático para calcular las matrices de ganancias por retroalimentación de estados y del observador óptimas Para ello considérese primeramente el sistema LI descrito por las ecuaciones: Donde ɺ A + Bu u U es la señal de control que pertenece al conjunto de valores admisibles en la entrada. Si la señal de control se define mediante u K, el problema de optimización consiste en determinar la matriz de ganancias K op tal que la relación descrita entre la efectividad y el costo con que se satisface un objetivo de control sea mínima. Lo anterior también es conocido como índice de desempeño o criterio de optimización y se denota mediante la función escalar (, u) J.

3 Algunos de los criterios de desempeño suelen ser: el tiempo mínimo con que se desea alcanzar un estado final; el error mínimo al analizar el estado final deseado en un tiempo especificado; el área bajo la curva de la norma cuadrada del estado para seleccionar aquellas trayectorias que producen los transitorios más pequeños y finalmente el área bajo la curva de la norma cuadrada de la señal de entrada para seleccionar la señal de control que requiera menor esfuerzo. Para el caso particular de los sistemas LI se debe tomar en cuenta que para cada u admisible (es decir, que realiza la tarea y satisface las restricciones del sistema) se asocia a una trayectoria única y cualquier cambio o variación en la señal de entrada o en el valor inicial del estado tendrá como consecuencia la obtención de una trayectoria diferente. Finalmente, la función escalar (o funcional) que combina los criterios antes mencionados para los sistemas LI se define mediante el criterio de desempeño cuadrático: J (, u) S + ( Q + u Ru) Donde la matriz S está relacionada con los problemas del tiempo mínimo final y el error mínimo final; la matriz Q está relacionada con la efectividad con que se realiza la tarea del control (regulación o seguimiento) y la matriz R está relacionada con el costo o cantidad de energía necesaria para alcanzar el objetivo de control. Por lo tanto, el problema de control óptimo consiste en determinar la señal de control óptima vector de trayectorias de estados óptimos op con respecto al índice de desempeño J. Es decir: { ( )} ( ) min J, u J, u u K dt op op op op op op u que genera el Lo anterior también se puede aplicar cuando se desea maimizar el índice de desempeño, en cuyo caso se puede replantear mediante el índice de desempeño negativo. Es decir: { J ( u) } { J ( u) } ma, min, Por otro lado, es fundamental que el control óptimo resultante también garantice la estabilidad. Sin embargo, en problemas de control óptimo usualmente se utiliza el criterio de estabilidad de Lyapunov, que considera el análisis de funciones escalares cuadráticas (como las que se utilizan en los índices de desempeño) de modo tal que la funcional: ( ) P [ ] V n p p p n p p pn p n pn pnn n Sea definida positiva; es decir, V ( ) > para todo t > y V ( ) solo para Así mismo, también se puede decir que V ( ) es definida positiva si la matriz P es no singular, simétrica (o en general Hermítica) y todos sus menores principales sucesivos son positivos. Es decir: Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6

4 p n p p p p p > > > p p n ; ; ; p p p p p p n n nn Por lo tanto, es correcto decir también que P es definida positiva. Por otro lado, se dice que V ( ) es semidefinida positiva si V ( ) para todo t ; o bien si la matriz P es singular, simétrica y por lo tanto algunos de sus menores principales pueden ser cero y el resto (al menos uno) mayor a cero. Finalmente, una función V ( ) es definida negativa o semidefinida negativa si V ( ) es definida positiva o semidefinida positiva respectivamente. Ejemplos: V ( ) + ;. [ ] es definida positiva V ( ) ;. [ ] V ( ) ; 3. [ ] Estabilidad en el sentido de Lyapunov es semidefinida positiva es indefinida Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6 Para entender el concepto general de estabilidad en sentido de Lyapunov, considérese la región esférica S ( δ ) definida mediante la norma euclidiana entre el estado inicial y el estado de equilibro eq ; es decir: eq δ Donde: eq ( eq ) + ( eq ) + + ( eq n n ) Así mismo, considerando como solución las trayectorias descritas por Φ( t, ), se define también la región esférica ( ) ε S para todo t mediante: Φ( t, ) eq ε 3

5 Se dice que un estado de equilibrio eq es estable en sentido de Lyapunov si eiste una región S ( δ ) tal que todas las trayectorias solución Φ( t, ) que inician en S ( δ ) no se alejan de S ( ε ) conforme el tiempo se incrementa indefinidamente; es decir, Φ( t, ) S ( ε ) para todo t Adicionalmente, si todas las trayectorias que empiezan en S ( δ ) convergen al punto de equilibrio sin apartarse de S ( ε ) entonces se dice que eq es asintóticamente estable en sentido de Lyapunov. Este concepto de estabilidad es local, ya que si se consideran todas las soluciones posibles originadas por cualquier condición inicial en el espacio de estados, la estabilidad asintótica global se establece cuando todas las trayectorias convergen al estado de equilibrio y en consecuencia solo eiste un estado de equilibrio. En la figura 7. se muestran ejemplos de trayectorias características para un sistema estable, estable en sentido asintótico e inestable en sentido de Lyapunov. Figura 7.. Ejemplos de trayectorias características para un sistema estable, asintóticamente estable e inestable en sentido de Lyapunov Cabe mencionar que la estabilidad bajo este criterio es local, debido a que se restringe únicamente a los estados iniciales dentro de la esfera S ( δ ) ; sin embargo, cuando esta condición se cumple para todo estado inicial posible dentro del espacio de estados, en ese caso la estabilidad (o estabilidad asintótica) se considera global. Estabilidad de Lyapunov en sistemas LI Considérese el sistema LI descrito mediante la DE autónoma: ɺ A Donde se asume que A es no singular y por lo tanto su estado de equilibrio es el origen Analizando la función escalar cuadrática (candidata de Lyapunov): V ( ) P Donde P es una matriz definida positiva. Por lo tanto, de la derivada de la función V ( ) se tiene que: ( ) ( ) ( ) V ɺ( ) ɺ P + Pɺ A P + P A A P + PA Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6 4

6 Una condición necesaria y suficiente para garantizar la estabilidad asintótica mediante la función V ( ) definida positiva es que V ɺ( ) sea definida negativa y en consecuencia decreciente. Es decir: Donde: ( + ) V ɺ ( ) Q A P PA es una matriz definida positiva. Q En general el método de Lyapunov consiste en especificar primero la matriz Q definida positiva y posteriormente si eiste la matriz simétrica P definida positiva, entonces el sistema es asintóticamente estable. Nota: en ocasiones también se suele definir la matriz Q como semidefinida positiva para garantizar al menos la estabilidad en sentido de Lyapunov. Regulador Lineal Cuadrático (LQR) Considérese el sistema no autónomo descrito mediante las ecuaciones de estado: ɺ A + Bu y C Si se desea obtener la ley de control que minimiza el índice de desempeño: J (, u) ( Q + u Ru) dt Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6 Donde se observa que la matriz S ; es decir, J no depende del problema del tiempo mínimo final y además la integral está definida de cero a infinito. Por lo tanto, a éste problema de control óptimo le conoce como de horizonte infinito. Suponiendo que se define la función candidata de Lyapunov V ( ) P ( ) ( ) ( ), se tiene entonces que: V ɺ( ) ɺ P + Pɺ A + Bu P + P A + Bu A P + PA + u B P + PBu omando en cuenta la Ecuación Algebraica de Riccati (ARE): Se tiene que: Por lo tanto: A P + PA Q + PBR B P ɺ Q + PBR B P + u B P + PBu + u Ru u Ru V ( ) ( ) ( ) ɺ( ) Q + u Ru + B P + Ru R B V P + Ru ɺ ( ) Q + u Ru + ( B P + Ru ) R ( B P + Ru ) V dt dt dt 5

7 V ( ) V () J + ( B P + Ru) R ( B P + Ru) dt ( ) ( ) J () P() + B P + Ru R B P + Ru dt Donde se observa que el segundo término del lado derecho de la igualdad es no negativo y en consecuencia, el mínimo se obtiene cuando: u R B P K Es decir: K op R B P ; donde P es la solución única de la ecuación algebraica de Riccati (ARE) y K op proporciona la ley óptima de retroalimentación de estados que minimiza el índice de desempeño J. Finalmente, una condición necesaria y suficiente para que la ley de control óptima de regulación por retroalimentación de estado sea asintóticamente estable en sentido de Lyapunov es que la matriz R sea definida positiva y que la matriz Q sea definida o semidefinida positiva. Ejemplo : Considérese un sistema electromecánico descrito por las ecuaciones de estado ɺ u + ɺ y [ ] Determinar la ley de control óptimo que minimice el índice de desempeño de horizonte infinito Solución: Nótese que las matrices Q I y R J u + + dt ; por lo tanto se requiere determinar P tal que se satisface: p p p p p p p p + + [ ] p p p p p p p p De donde se obtienen las ecuaciones simultáneas: p ( p p ) p ; + ; p p + p p Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6 6

8 Las posibles soluciones que satisfacen la ARE son: P ; P ; 3 P De donde se observa que la última matriz solución es definida positiva, por lo tanto: Finalmente: A BK [ ] [ ] [ ] K R B P [ si A BK ] s s s det ( + ) bsérvese que las matrices Q n n R y R control óptimo, por lo que definiendo Q C C y R αi con energía de la planta y la entrada; obteniéndose: m m R son en realidad los parámetros de sintonía del problema de α > se pretende obtener un equilibrio entre la J y( t) + α u( t) dt Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6 De ese modo, se tiene que para α pequeña, la convergencia de y es más rápida pero con señales de control grandes (controlador de alta ganancia) y cuando α es grande la convergencia no es tan rápida pero con señales de control más pequeños. Ejemplo. Considérese el sistema barra esfera descrito por las ecuaciones: ɺ u + 7 ɺ y [ ] Calcular la matriz de ganancias por retro de estado tal que se minimice la funcional de costo: J + αu dt Considere diferentes valores del parámetro α {,.,. } 7

9 Solución: Nótese que las matrices Q y R α ; por lo tanto se requiere determinar P tal que se satisface: A P + PA + Q PBR B P Utilizando el comando LQR en MALAB se obtienen: P ; para α P ; para α P ; para α De donde se calcula la matriz de retro de estados para cada caso. Es decir: [ ] K.5345 ; para α [ ] K K ; para α. [ ] K.693 ; para α. R B P En la figura 7. se comparan las diferentes respuestas para cada caso, así como también se comparan las diferentes señales de control para cada caso. Figura 7.. Comparación entre diferentes señales de entrada y salida con distintos valores del parámetro α Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6 8

10 Estimador Cuadrático Lineal (LQE) El problema del observador óptimo es el dual del problema del regulador óptimo. Sin embargo, los observadores óptimos presentan un comportamiento estocástico debido a que se consideran óptimos para la estimación de estados en presencia de ruidos Gaussianos que corrompen las medidas de las salidas y el estado. En la figura 7.3 se muestra un esquema de un sistema con observador de estado y señales de ruido en las mediciones de los estados y de la salida. Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6 Figura 7.3. Sistema en espacio de estados con observador de estado y ruido en las mediciones del estado y la salida Donde las señales η y ν son procesos Gaussianos estocásticos de media cero no correlacionados en el tiempo ni entre sí y que además poseen las siguientes covarianzas respectivamente: E ( ηη ) Q ; ( ) E νν R En este caso, es posible diseñar un observador óptimo cuadrático lineal (LQE) de la forma: Donde: Es usual definir op e ( ɶ ) ɺɶ A ɶ + Bu + K y C op K e PC R y P es la solución de la ARE: Q y AP PA Q PC R CP + + R como parámetros de diseño, de modo que es común asignar Q BB y R β I 9

11 En consecuencia, para valores de β se obtienen dinámicas del observador retroalimentado lentas y para valores relativamente pequeños de β se tiene mayor peso en la señal de salida, lo que lleva consigo una mayor velocidad de convergencia pero a un mayor costo de error (lo que implica un mayor esfuerzo en el observador de estados). El LQE en régimen permanente también es conocido como filtro de Kalman. Ejemplo 3. Diseñar el filtro de Kalman que minimice el índice de desempeño: Para el sistema descrito por las ecuaciones: Donde: e ɶ ; ɶ y y y Solución: e J e3 + β y e dt [. ] ɺ ɺ + u ɺ y 3 Nótese que las matrices para la ARE son Q R β Por lo tanto se determina la matriz definida positiva P tal que se satisface la ARE: AP PA Q PC R CP + + Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6

12 Utilizando el comando LQR en MALAB para calcular el LQE se obtiene: P ; para β P ; para β P ; para β De donde se calcula la matriz de ganancias del filtro de Kalman para cada caso mediante: Es decir: K e K PC e R ; para β.66 Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6 K e K e ; para β ; para β..75 En la figura 7.3 se comparan las diferentes estimaciones de β para cada estado cuando las condiciones iniciales son: π

13 Figura 7.3. Comparación entre diferentes estimaciones de los estados con distintos valores del parámetro β Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6

14 Como se observa, entre más pequeño es el parámetro β más rápida se obtiene la convergencia de estimación pero a su vez eso también aumenta la amplitud del error, lo que se traduce en un mayor esfuerzo para la estimación de estados. En conclusión se debe encontrar un balance entre rapidez de estimación y el error máimo de estimación. Problemas propuestos Considérese el sistema del péndulo invertido de la figura 5 Figura 5. Esquema de un péndulo invertido Introducción al Control Óptimo de diciembre de 6 eq Donde las ecuaciones de movimiento linealizadas alrededor del punto de equilibrio inestable θ ( ) ml ɺɺ θ m + m gθ u c c p mɺɺ u m g θ c c p I. Diseñar un compensador regulador óptimo considerando condiciones iniciales diferentes de cero en θ II. Diseñar un compensador seguidor óptimo tipo para la posición del carro c ; manteniendo regulada la III. IV. posición del péndulo invertido. Simular su respuesta para diferentes valores de referencia Diseñar un filtro de Kalman completo para el sistema de control regulador y simular sus resultados. btener las gráficas comparativas entre los estados reales y sus estimados. Diseñar un filtro de Kalman completo para el sistema de control seguidor tipo y simular sus resultados. btener las gráficas comparativas entre los estados reales y sus estimados. V. Diseñar un filtro de Kalman de orden mínimo considerando que se pueden medir tanto la posición angular del péndulo como la posición traslacional del carro. Validar sus resultados mediante simulación. Nota: g 9.8 m/seg ; [ ] l.5 m ; m.6[ Kg ]; m.48[ Kg ]; p c r c. son: 3