PROJECTE DE LA REIAL ACADÈMIA DE CIÈNCIES EStímul del TALent MATemàtic

Transcripción

1 PROJECTE DE LA REIAL ACADÈMIA DE CIÈNCIES EStímul del TALent MATemàtic Prova de selecció 4 de juny de 2011 Ompliu amb majúscules, per favor Nom:... Cognoms:... Data de naixement:... Telèfons de contacte: T1 T2... Informació important que has de llegir llegir abans de començar a treballar En primer lloc has de mirar tots els problemes i després començar amb els que et pareguen més senzills. No és necessari que treballes les feines en l ordre en què se t han presentat. Pots escollir tu mateix l ordre que et parega millor. No volem conèixer sols les teues solucions, sinó, sobre tot, els camins que t han fet arribar a trobar-les. Per això et proposem un problema en cada full. Pots utilitzar l espai lliure per a les teues observacions i càlculs. Si amb aquest espai no tens prou, utilitza per favor el revers del full i si encara te n falta, utilitza una altra fulla en blanc que ens pots demanar (en la qual has de fer constar també el número que apareéis en el cantó superior dret d esta primera fulla). En cap cas has d utilitzar una mateixa fulla per a càlculs i observacions que es referisquen a dos problemes distints. Al final has d entregar-nos tots els papers que hages utilitzat. Ens interessa conèixer las bones idees que se t ocurrisquen en la solució de les feines proposades. Hauríes de tractar de descriure aquestes idees de la manera més clara possible. Para a això, en tenim prou amb unes breus indicacions. També ens interessen las solucions parcials de les feines proposades. A més a més tenim una curiositat, com t has assabenta d aquesta convocatòria? Pel teu col.legi. Per algun Concurs: Olimpíades, Cangur, Open Matemàtic... Per altres mitjans. Disposes de dues sessions: la primera, d 1h 30m, i la segona, després d un decans de 30 m, de 1h de duració. No hauríes d utilitzar massa temps per a un mateix problema. Com a consell, utilitza un mitjana de 30 minuts per a cada problema. Et desitgem molt d èxit

2 1.- EL ZOOLÒGIC. Un zoològic té forma hexagonal con cel les que són triangles equilàters de 10 metres de costat, como en la figura. Per seguretat no pot haver dos animals en una mateixa cel la y si una cel la està ocupada ninguna de les que comparteix un costat amb ella pot estar-ho. a) Com distribuiries els animals en un zoològic com el de la figura per a que es complisca la regla anterior? b) Si l hexàgon té una mesura de 50 metres de costat, quants animals es poden posar com a màxim en el zoològic? c) Quant mesura el costat de l hexàgon més xicotet que permet construir aquest zoològic en el què es puguen posar 1000 animals salvatges?

3 2.- AIGUA POTABLE EN EL CAMPAMENT. En un campament en el que no hi ha aigua potable s ha instal lat una potabilitzadora d aigua que consta d un depòsit amb tres orificis A, B i C on s introdueix l aigua no potable i una xarxa de tubs en dues files que acaba en 4 aixetes, els anomenem G1 per a referir-nos a la primera aixeta començant per l esquerra, G2 al segon, G3 al tercer i G4 al quart, com en la figura, per on es recull l aigua ja potable. Cada vegada que l aigua arriba a una bifurcació es reparteix la meitat a cada costat. Aquesta depuradora té 2 files de tubs i 4 aixetes d eixida, anem a dir, que correspon al model (2, 4). Si tinguera una fila més, tindria 3 files i 5 aixetes i en aquest diem que la depuradora és model (3, 5). a) En la depuradora del tipus (2, 4) s introdueixen 1200 litres d aigua no potable, quants litres d aigua potable es recolliran en cada una de les aixetes G1, G2, G3 i G4? b) Volem recollir 4800 litres d aigua potable en una depuradora del tipus (3, 5), quants litres es recolliran en cada una de les aixetes d eixida G1, G2, G3, G4 i G5? c) En una depuradora model (7, 9) es sap que per a tindre 3072 litres d aigua potable, de l aixeta G2 ha eixit un total de 148 litres. Si en aquesta depuradora afegim una nova fila de tubs, quants litres d aigua potable eixiran per la segona aixeta començant per l esquerra? d) Per arreplegar 1920 litres d aigua potable es desconeix el model de depuradora que s ha utilitzat. Es sap que per la primera aixeta d eixida, G1 sols s han recollit 45 litres. Calcula el número de files que té esta depuradora.

4 3.- EL PASSEIG D UNA MOSCA INQUIETA. Col loquem en una taula 9 monedes iguales formant un quadrat 3 x 3. Una mosca inquieta ve volant i es posa en la moneda central però, després d explorarla, se li ocorre fer un passeig anant per les 9 monedes, passant d una a altra horitzontalment i verticalment i sense passar dues vegades per la mateixa moneda. a) Ho podrà 0,2 fer? Quin camí/itinerari serà l adequat? Hi ha més d un camí possible? b) I si s haguera posat en la moneda que està justament a l esquerra de la indicada? Ho podrà fer també? Quin serà el camí? c) Imagina ara que col loquem 25 monedes iguals formant un quadrat 5 x 5, i que la mosca es posa en la moneda central: Podrà fer ara el passeig amb les mateixes condicions que abans? Quin camí serà l adequat? N hi haurà més d un? d) Ho podrà fer si es posa en la moneda que està justament baix de la central? Quin serà el camí? e) I si col loquem n x n monedes (o un número molt gran) formant un quadrat i es posa la mosca en una d elles, quan pot fer el passeig posant-se en totes una única vegada i passant d una a altra sols horitzontalment i verticalment? Per què?

5 4.- XARXES DE PALETS EN L ESPAI. En la figura es veuen tres xarxes fetes amb palets iguals. Les xarxes són cúbiques de aresta u, dos i tres palets respectivament i, per a fer cadascuna d elles s han necessitat 12, 54 i 144 palets respectivament. a) Quants palets es necessiten per a fer una xarxa cúbica amb 5 palets en cada aresta? Per què? b) Quants palets es necessiten per a fer una xarxa cúbica amb 100 palets en cada aresta? Explica el teu raonament. c) Amb 2012 palets, es pot fer una xarxa cúbica? Si la resposta es «sí» quants palets té esta xarxa en cada aresta? Si la resposta es «no», explica per què no es pot. d) Si disposem de 2730 palets, quin és el costat del cub més gran que pes pot construir?

6 5.- JOC DE CARA I CREU. Mafalda i Felipe tiren una moneda i juguen a cara i creu. Cada vegada que ix cara Mafalda guanya un punt i cada vegada que ix creu Felipe guanya un punt. Per controlar el joc hi ha un marcador en el qual inicialment posa (0,0) i si ix cara s anota en primer lloc i si ix creu en segon lloc, així quan pose (3,2) és perquè han eixit 3 cares i 2 creus però no sabem en quin ordre han eixit les cares i les creus. El joc s acaba si un dels dos té 3 punts, per exemple, si el marcador posa (3,0) el joc s acaba i guanya Mafalda. a) Per arribar al resultat (3,0) ho hem pogut fer sols d una manera, però per arribar a altres resultats ho podem fer de més formes. Calcula de quantes formes distintes pot haver aconseguit guanyar Mafalda. Ara han decidit que el joc s acaba si un dels dos té 4 punts, o bé si algun dels dos té almenys un punt i un avantatge de 2 punts sobre l altre. b) De quantes formes distintes pot guanyar Felipe? Ara han decidit que el joc s acaba si un dels dos té 6 punts, o bé un d ells té almenys 4 punts i un avantatge de 3 punts sobre l altre. c) Escriu tots els parells amb els quals s acaba el joc. d) De quantes formes distintes es pot acabar el joc?