LÓGICA DE PREDICADOS 5. IDENTIDAD Y FUNCIONES

Transcripción

1 Juan Carlos León Universidad de Murcia LÓGICA DE PREDICADOS 5. IDENTIDAD Y FUNCIONES (PARTE 2) Esquema del tema 5.1. La noción lógica de identidad 5.2. Reglas de deducción natural para = 5.3. Cuantificadores numéricos 5.4. Descripciones definidas 5.5. Extensión del método de árboles 5.6. Funciones. Términos 5.7. Árboles con letras funcionales 1

2 Lógica de predicados 5. Identidad y funciones 5.5. Extensión del método de árboles Regla de diversidad También basta añadir dos nuevas reglas para obtener una extensión del método de árboles para la lógica de predicados con identidad Regla de diversidad: k k Ð La regla nos manda cerrar toda rama que contenga una Qf de la forma k k, para cualquier constante k 2

3 Regla de identidad k=j k=j P(k) P(j) P(j) P(k) En ambos casos se sustituye una constante por la otra, al menos en una de sus apariciones, salvo que la conclusión ya aparezca previamente como línea en la rama Estrategia En la regla de identidad ninguna de las premisas se marca, ya que ésta puede aplicarse varias veces Las reglas de diversidad y de identidad deben aplicarse junto con las reglas para las conectivas veritativo- funcionales La razón reside en que pueden hacer que una rama quede cerrada antes de aplicar las reglas para los cuantificadores 3

4 El programa completo Hay alguna rama abierta tras aplicar las reglas para las conectivas y las de diversidad e identidad? No FIN: el conjunto es insatisfacible (la inferencia es válida) Sí Puede aplicar las reglas para cuantificadores negados? Sí Áplíquelas No Puede aplicar la regla para el cuantificador existencial? Sí Aplíquela No Puede aplicar la regla para el cuantificador universal? Sí Aplíquela No Sí Se ha producido algún cambio en el árbol desde la última vez que pasó por la primera caja? No FIN: el conjunto es satisfacible (la inferencia es inválida) Ejemplo 1: una fbf válida x x=x P 1. x x=x ( conclusión) P 2. x x x (de 1) 3. a a (de 2) Ð El árbol cierra por la regla de diversidad. Luego, la Qf es válida 4

5 Ejemplo 2: una fbf válida x y (x=y y=x) P 1. x y (x=y y=x) ( conclusión) P 2. x y (x=y y=x) (de 1) P 3. y (a=y y=a) (de 2) P 4. y (a=y y=a) (de 3) P 5. (a=b b=a) (de 4) 6. a=b (de 7. b a 5) 8. b b (de 6 y 7) Ð Ejemplo 3: un esquema válido a=b Fa Fb (es el principio de indiscernibilidad de los idénticos de Leibniz: dos cosas idénticas tendrán cualquier propiedad en común, serán indiscernibles) 1. a=b (premisa) P 2. (Fa Fb) ( conclusión) 3. Fa 5. Fa (de 4. Fb 6. Fb 2) 7. Fb (de 1 y 3) Ð 8. Fb (de 1 y 5) Ð 5

6 Ejemplo 4: un esquema inválido Fa Fb a=b (no se trata del principio de identidad de los indiscernibles de Leibniz: dos cosas indiscernibles, al tener todas las propiedades en común, serán idénticas. Este principio será valido, pero en lógica de orden superior: F (Fa Fb) a=b) P 1. Fa Fb (premisa) 2. a b ( conclusión) 3. Fa 5. Fa (de 4. Fb 6. Fb 1) Ejemplo 5: un esquema inválido a b, b c a c (intransitividad de la diversidad) 1. a b (premisa) 2. b c (premisa) P 3. a=c ( conclusión) 4. a=c (de 3) 5. c b (de 1 y 4) 6. c=c (de 4 y 4) 7. b a (de 2 y 4) 8. a=a (de 4 y 4) 9. c=a (de 4 y 6) 6

7 Ejercicios 5.20 a 5.24 (Comprobar por árboles) 5.29 x (x=a Fx) Fa 5.30 Fa x (x=a Fx) 5.31 x (Fx Gx), Fa, Gb a b 5.32 x (Fx x=a x=b), Ga Gb x (Fx Gx) 5.33 x (Fx y (Fy x=y)), Fa Fb Lógica de predicados 5. Identidad y funciones 5.6. Funciones. Términos 7

8 Una genealogía Proposiciones: ú Adán engendró a Set ú Set engendró a Enós ú Enós engendró a Cainán Convenciones: ú a: Adán b: Set c: Enós d: Cainán ú Fxy: x es el padre de y Formalización: ú Adán es el padre de Set Fab ú Set es el padre de Enós Fbc ú Enós es el padre de Cainán Fcd Símbolos funcionales En es el padre de, podemos interpretar es como = e introducir lo que llamaremos una letra o un símbolo funcional f en lugar de el padre de La nueva formalización sería ú Adán es el padre de Set a=4 ú Set es el padre de Enós b=fc ú Enós es el padre de Cainán c=fd 8

9 Funciones Lo característico de un símbolo funcional es que cuando se aplica a un nombre, el resultado puede ser tratado como un nombre En matemáticas hay muchos ejemplos de funciones (monádicas, diádicas, etc.): ú x+1 x+y x (y+z) En todos los casos, cuando aplicamos esas funciones a argumentos numéricos, obtenemos valores numéricos En general, si se aplica una expresión funcional a una designación de un objeto, hemos de obtener una nueva designación de un objeto Reiteración El proceso de formación de nuevas designaciones de objetos mediante símbolos funcionales puede ser reiterado Por ejemplo, sustituyendo iguales por iguales en la genealogía, podríamos obtener ú a=ffc Adán es el abuelo de Enós ú a=fffd Adán es el bisabuelo de Cainán Y, como en matemáticas, podemos tener símbolos diádicos, triádicos, etc. Ejemplo: usando fxy para la suma de x e y, haríamos esta simbolización ú x+y = y+x x y fxy = fyx 9

10 Eliminabilidad Los símbolos funcionales son útiles a efectos prácticos, pero no estrictamente imprescindibles, sino eliminables En lugar de ú x y fxy = fyx podemos introducir una letra predicativa triádica ú Fxyz: x es la suma de y más z y expresar lo mismo así ú x y z w (Fzxy Fwyx z=w) Utilidad Formalicemos ú x (y+z) = x y + x z Con símbolos funcionales: ú x y z gxfyz = fgxygxz (fxy: la suma de x más y; gxy: el producto de x e y) No es necesario usar paréntesis, pero si se quiere puede escribirse x y z g(x, f(y, z)) = f(g(x, y), g(x, z)) Sin símbolos funcionales ú x y z w u x 1 y 1 z 1 (Fwyz Guxw Gx 1 xy Gy 1 xz Fz 1 x 1 y 1 u=z 1 ) (Fxyz: x es la suma de y más z; Gxyz: x es el producto de y con z) 10

11 Extensión del lenguaje Nuevo alfabeto: ú Letras funcionales: f, g, h, Definición de término: a) Una constante es un término b) Una letra funcional n- ádica seguida de n términos es un término Nueva definición de fórmula atómica: a) Una letra proposicional es una fórmula atómica b) Una letra predicativa n- ádica seguida de n términos es una fórmula atómica Nuevas fbfs Nueva definición de Qf (cláusula d): d) Si P(t) es una Qf en la que aparece el término t y en la que no aparece la variable v, y si P(v) es el resultado de reemplazar al menos una de las apariciones de t por v en P(t), entonces v P(v) y v P(v) son Qfs Ejemplos de Qfs ú x Fxfx x (Ffxa y (Gy (Fb Gfxy)) Finalmente, también el enunciado de las reglas de deducción natural necesitaría modificarse para que, en lugar de hacer referencia a constantes, lo haga en general a términos 11

12 Existencia y unicidad Si un símbolo funcional f ha de producir una expresión que designe un objeto siempre que se aplique a una expresión que designe un objeto, la función correspondiente ha de definirse de manera que haya siempre exactamente un objeto fx correspondiente a cada objeto x O sea, han de cumplirse estas condiciones ú Existencia: x y y=fx ú Unicidad: x y z (y=fx z=fx y=z) Redefinir funciones De acuerdo con el Génesis, el padre (biológico) de no serviría como interpretación de un símbolo funcional f, ya que si x es Adán (o Eva) no existe el objeto fx Podríamos evitar esto asignando arbitrariamente valores a esa función para esos dos argumentos. Por ejemplo, definiéndola así: fx = el padre de x, si x tiene padre x, si no Entonces, ya que Adán no tenía padre, tenemos a = fa = ffa = fffa lo cual no significa que Adán sea su propio padre, su propio abuelo, su propio bisabuelo, etc., ya que f no significa simplemente el padre de 12

13 Lógica de predicados 5. Identidad y funciones 5.7. Árboles con letras funcionales Reglas Para que las reglas del método de árboles admitan el manejo de símbolos funcionales sólo necesitan un pequeño ajuste Trátese cualquier término como tratábamos antes a las constantes, excepto cuando las reglas exigían la introducción de una constante nueva para la rama En tal caso, no cabe usar cualquier nuevo término, sino que ha de ser precisamente una nueva constante individual 13

14 Ejemplo 1: existencia x y y=fx P 1. x y y=fx ( conclusión) P 2. x y y=fx (de 1) P 3. y y=fa (de 2) 4. y y fa (de 3) 5. fa fa (de 4) Ð Ejemplo 2: unicidad (1) x y z (y=fx z=fx y=z) P 1. x y z (y=fx z=fx y=z) ( conclusión) P 2. x y z (y=fx z=fx y=z) (de 1) P 3. y z (y=fa z=fa y=z) (de 2) P 4. y z (y=fa z=fa y=z) (de 3) P 5. z (b=fa z=fa b=z) (de 4) P 6. z (b=fa z=fa b=z) (de 5) 7. (b=fa c=fa b=c) (de 6) (continúa) 14

15 Ejemplo 2: unicidad (2) P 7. (b=fa c=fa b=c) (de 6) P 8. b=fa c=fa (de 9. b c 7) 10. b=fa (de 11. c=fa 8) 12. fa c (de 9 y 10) 13. fa fa (de 11 y 12) Ð Árboles infinitos Los símbolos funcionales son otra fuente de árboles infinitos Ejemplo, una Qf inválida: x Fxfx P 1. x Fxfx ( conclusión) 2. x Fxfx (de 1) 3. Fafa (de 2) 4. Ffaffa (de 2) 5. Fffafffa (de 2) 15

16 Ejercicios Comprobar por el método de árboles: ú (1) a=4, c=fa c=; (válido) ú (2) a=b fa=4 ú (3) fa=4 a=b (válido) (inválido) ú (4) x y z (z=fx y=z) (válida) ú (5) x y x=y x x=fx (válido) ú (6) x x=fa x a=fx (válido) ú (7) x x=gfx x y (y=fx x=gy) (válido) ú (8) x a=fx (inválida) ú (9) a fa (inválida) 16