Solemne 2. CII Modelos Estocásticos 28 de junio Profesores: Basso, Batarce, Feres y Varas

Transcripción

1 CII753 - Modelos Estocásticos 8 de junio 7 Profesores: Basso, Batarce, Feres y Varas Solemne P (a) Un conocido mago del Paseo Ahumada ha hecho una respetable fortuna con el siguiente juego de azar: en una mesa tiene tres vasos no transparentes boca abajo y dos bolitas que se colocan juntas o por separado debajo de alguno de los vasos Luego, con una habilidad y rapidez impresionantes, el mago procede a mover las bolitas de un vaso a otro En cada movimiento cambia de posición solo una bolita Esto lo hace incontables veces hasta que un jugador deseoso de apostar le dice stop En ese momento el jugador tiene que escoger uno de los vasos Si debajo de él están las dos bolitas, gana De lo contrario pierde Para simplificar el juego, asuma que en cada movimiento el mago escoge con igual probabilidad cualquiera de las bolitas, y también, que escoge equiprobablemente a cuál de los otros vasos la cambia (i) [ pto] Muestre que el juego anterior se puede modelar como una cadena de Markov en tiempo discreto con solo seis estados Identifique éstos y especifique cuáles son las probabilidades de transición en una etapa (ii) [ pto] Argumente sobre la unicidad de probabilidades estacionarias En cualquier caso, muestre que el vector definido por π k = 3 r k 9, donde r k denota el número de vasos vacíos en el estado k, corresponde a la distribución estacionaria de esta cadena Intuitivamente, por qué hay estados con mayor probabilidad estacionaria que otros? (iii) [ pto] Ignorando el hecho que usted pueda tener una vista muy aguda, cuál es la probabilidad de ganar el juego? Considere que usted escoge equiprobablemente cualquiera de los tres vasos y que el mago hace una infinidad de movimientos antes de que usted le diga stop (b) Considere un sistema de grúas que opera en un puerto El puerto puede almacenar hasta N contenedores Éstos llegan al puerto de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa λ (contenedores/turno) Asuma que si al llegar un contenedor el patio de almacenamiento se encuentra lleno, el contenedor no ingresa al puerto y se redirige al más cercano El puerto posee K << N grúas que pueden operar simultáneamente Al principio de cada turno el sistema de grúas carga hasta un máximo de K contenedores en los barcos de destino Por simplicidad, asuma que en cada turno se carga la mayor cantidad posible de contenedores La carga de éstos se inicia al principio de cada turno, mientras que el tiempo de carga de cada contenedor es exactamente un turno Finalmente, asuma que un contenedor que llega al puerto en el transcurso de un turno, y que encuentra espacio en el patio de almacenamiento, deberá esperar hasta el inicio del siguiente turno para eventualmente ser enviado Sea X n el número de contenedores en el patio de almacenamiento al comienzo del n-ésimo turno, justo antes del inicio de la operación de las grúas (i) [ pto] Escriba una relación de recurrencia para la variable de estado del proceso Es decir, exprese X n+ en función de X n (ii) [5 ptos] Explique por qué el proceso estocástico {X n, n =,,, } es una cadena de Markov en tiempo discreto Que impacto tendría en el modelamiento el hecho que el número de contenedores que llegan en distintos turnos sean variables aleatorias intependientes que distribuyen Binomial con parámetros N y p = K N? Argumente (iii) [ pto] Determine la matriz de probabilidades de transición en una etapa (iv) [5 ptos] Clasifique los estados de esta cadena en transientes o recurrentes (nulos o positivos) Indique si hay clases periódicas, y el periodo si corresponde Solución

2 (a) (i) La matriz de transición es la siguiente: (ii) La cadena es ergódica ireductible por lo que por teorema visto en clases las probabilidades estacionarias existen y son únicas Resolviendo el sistema lineal tenemos que π = π = π 3 = 9 y π = π 5 = π 6 = 9 (iii) Para ganar debemos parar el juego en un estado tal que sea factible el ganar, y adicionalmente escoger correctamente el vaso ganador Entonces la probabilidad de ganar será: P [Ganar] = P [P ararenestadof actible] P [Escogerganador] P [Ganar] = (π + π + π 3 ) 3 = 9 (b) (i) Sea C(t) el número de contenedores que llegan al puerto en [, t] recurrencia es: X n+ = min{x n min{x n, K} + C(), N} () Una posible relación de (ii) Notemos que X n+ depende de X j ( j < n) solo a través de X n De esta forma se cumple la propiedad Markoviana La propiedad de estacionariedad se cumple trivialmente por cuanto el proceso de llegada de contenedores es un proceso de Poisson Si ahora el proceso de llegada distribuye binomial, éste no tiene impacto en la propiedad de estacionariedad por cuanto el número de contenedores que llegan son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas Más aun, la propiedad Markoviana se sigue cumpliendo por lo que el proceso estocástico sigue siendo una cadena de Markov en tiempo discreto (iii) El espacio de estados son los enteros {,, N} Consideremos la siguiente notación P {C() = j} = a(j) P {C() j} = A(j) La matriz de probabilidades de transición está dada por: {} a() a() a() a(n ) A(N) {} a() a() a() a(n ) A(N) P = {K} = a() a() a() a(n ) A(N) {K + } a() a() a(n ) A(N ) {N} a(n K ) A(N K) (iv) De la matriz P, se deduce que existe una única clase recurrente positiva y aperiódica Es decir, es una cadena irreducible y ergódica P Un sistema de reservas de una linea aérea tiene dos computadores, uno en línea y uno de respaldo El equipo operativo falla después de un tiempo aleatorio exponencialmente distribuido de parámetro y se sustituye por el equipo de respaldo Hay sólo un taller de reparación y los tiempos de reparación se distribuyen exponencialmente con parámetro λ Sea X(t) es el número de computadores en funcionamiento en el instante t X(t) se puede modelar como una cadena de Markov en tiempo continuo para esto se pide los siguiente:

3 (a) [ pto] Encuentre la matriz de tasas instantáneas de transición del proceso X(t) y las tasas de permanencia (b) [ pto] Calcule las probabilidades estacionarias (c) [ pto] Calcule la probabilidad de que al menos un computador esté funcionando, en el largo plazo Frecuentemente, en la práctica, suponer un tiempo de operación exponencialemente distribuido no es realista debido al llamado fenómeno de quemado (burn-in) Este fenómeno puede ser descrito por una tasa de riesgo de falla que inicialmente es alta y luego decae hasta un nivel que se mantiene constante Corresponde a una situación en la cual un artículo recién fabricado o recién reparado tiene una probabilidad significativa de fallar tempranamente en su uso Si el artículo sobrevive a este período de prueba, entonces opera de manera exponencial o sin memoria Los fallos tempranos podrían corresponder a una fabricación incorrecta o una reparación defectuosa Una manera posibles de modelar el fenómeno de quemado es usar una mezcla de densidades exponenciales: f(t) = pαe αt + qβe βt, t, donde < p = q < y α, β > La interpretación de esta densidad de tiempo de falla es la siguiente Con probabilidad p el nuevo equipo (o uno recién reparado) tendrá una tasa de fallas α y con probabilidad q, tendrá una tasa de fallas β Si se incorpora el fenómeno de quemado en el proceso estocástico X(t), asumiendo que ahora que el tiempo de falla sigue la mezcla de distribuciones exponenciales anterior, el nuevo proceso estocástico Y (t) puede todavía ser modelado como una cadena de Markov en tiempo continuo Para hacerlo se pide lo siguiente: (d) [5 pto] Defina el espacio de estados de la cadena de Markov de manera que pueda modelar Y (t) (e) [ pto] Encuentre la matriz de tasas instantáneas de transición del proceso Y (t) y las tasas de permanencia (f) [ pto] Calcule las probabilidades estacionarias (g) [5 pto] Si λ =, =, α =, β = / y p =, calcule la probabilidad de que al menos un computador esté funcionando, en el largo plazo y compárela con lo que obtendría en (c) con estos parámetros Solución (a) Las tasas instantáneas de transición del proceso X(t) son: q = λ q = q = q = λ q = q = y las tasas de permanencia son: v = λ v = λ + v = (b) Las probabilidades estacionarias se obtienen resolviendo el siguiente sistema: λπ = π (λ + )π = λπ + π π = λπ π + π + π =

4 La solución es π = π = π = + λ + λ ( ) λ + λ + λ ( λ + λ + λ (c) La probabilidad de que al menos un computador esté funcionando, en el largo plazo, es ( ( λ + λ π = π + π = + λ + λ ) (d) El espacio de estados de la cadena de Markov Y (t) es definido por lo siguiente: : ningún servidor funcionando A : un servidor operando on-line con tasa de falla α B : un servidor operando on-line con tasa de falla β A : dos servidores operando, el que está on-line tiene tasa de falla α B : dos servidores operando, el que está on-line tiene tasa de falla β (e) La matriz de tasas instantáneas de transición del proceso Y (t) es: λp λq α λ β λ αp αq βp βq () y las tasas de permanencia son: v = λ v A = λ + α v B = λ + β v A = α v B = β (f) Las probabilidades estacionarias se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: λπ = απ A + βπ B (α + λ)π A = pλπ + pαπ A + pβπ B (β + λ)π B = λπ + qαπ A + qβπ B απ A = λπ A βπ B = λπ B π + π A + π B + π A + π B =

5 La solución es la siguiente: π = π A = π B = π A = π B = αq(α + λ) + βp(β + λ) λ q(α + λ) p(β + λ) λq(α + λ) α λp(β + λ) β donde = q(α + λ)( + α + λ α ) + p(β + λ)( + β + λ β ) (g) La probabilidad de que al menos un computador esté funcionando, en el largo plazo, cuando se considera el fenómeno de quemado es π = 79 Cuando no se considera este fenómeno la probabilidad está dada por el resultado de la parte (c) y es igual a 9 Esto significa que al no considerar el periodo de quemado se sobrestima la probabilidad Tiempo: hrs