Maestría en Bioinformática Probabilidad y Estadística: Clase 8

Transcripción

1 Maestría en Bioinformática Probabilidad y Estadística: Clase 8 Gustavo Guerberoff gguerber@fing.edu.uy Facultad de Ingeniería Universidad de la República Mayo de 2010

2 Contenidos 1 Reversión temporal Cadena reversa Cadenas reversibles 1 Ejemplo

3 Cadena reversa Consideremos una cadena de Markov con matriz de transición P que admite una distribución estacionaria ν tal que ν i > 0 para todo i E. Con esto construimos una matriz Q de manera que sus elementos cumplan la condición: para cada i, j E. ν i q ij = ν j p ji, Observación: La matriz Q es una matriz estocástica. En efecto, q ij 0 para todo i, j E, y además sus filas suman 1: para cada i E. q ij = ν j p ji = 1 ν j p ji = ν i = 1, ν i ν i ν i j E j E j E

4 Interpretación: Consideremos la cadena de Markov con matriz de transición P y supongamos que el estado inicial es π (0) = ν. En tal caso, sabemos que: P(X n = i) = ν i. Ahora calculemos, usando la fórmula de Bayes: P(X n = j X n+1 = i) = P(X n+1 = i X n = j)p(x n = j) P(X n+1 = i) = p jiν j ν i = q ij. De manera que Q es la matriz de transición de la cadena inicial cuando se invierte el sentido del tiempo.

5 El siguiente es un resultado que puede ser de utilidad para encontrar distribuciones estacionarias de una manera sencilla. Lema Consideremos una cadena de Markov con espacio de estados E y matriz de transición P. Demotemos µ a una medida de probabilidad sobre E y supongamos que existe una matriz estocástica Q tal que cumple: µ i q ij = µ j p ji, para cada i, j E. Entonces µ es una distribución estacionaria de P.

6 Demostración: Para cada i E sumamos sobre j a ambos lados de la igualdad: µ i q ij = µ j p ji. j E j E Usando que j E q ij = 1 queda, para cada i E: µ i = j E µ j p ji, y por lo tanto µ es una distribución estacionaria para P.

7 Cadenas reversibles Definición Decimos que una cadena de Markov con distribución inicial ν (una distribución estacionaria) es reversible si se cumple: para cada i, j E. ν i p ij = ν j p ji, En tal caso P = Q, y la cadena original y la de tiempo reverso describen el mismo proceso.

8 Las ecuaciones ν i p ij = ν j p ji se llaman ecuaciones de balance detallado (a diferencia de las ecuaciones que definen una distribución estacionaria, ν i = j E ν jp ji, que se llaman ecuaciones de balance global) y sirven como criterio para encontrar distribuciones estacionarias. Observación: Los modelos de sustitución de nucleótidos de Jukes-Cantor, Kimura, Hasegawa-Kishino-Yano son procesos reversibles (verificar como ejercicio).

9 : Ejemplo A continuación ilustraremos con un ejemplo cómo se calculan las probabilidades de absorción cuando se estudia una cadena de Markov con estados abosrbentes. La ruina del apostador: Consideremos el conjunto E = {0, 1, 2,..., G}, con G fijo, donde cada estado representa el posible capital de un apostador que juega en un casino. Supongamos que la probabilidad de ganar en una apuesta es p y que la probabilidad de perder es q = 1 p; suponemos que en cada apuesta el jugador gana ó pierde una unidad de dinero. X n registra el capital del apostador al tiempo n.

10 El proceso se define como sigue: Si en el tiempo n el capital es un número del conjunto {1, 2, 3,..., G 1}, entonces en el tiempo n + 1 el capital del apostador aumenta una unidad con probabilidad p ó disminuye una unidad con probabilidad q. El apostador deja de apostar cuando alcanza la ganancia G ó cuando su capital es 0. Estos estados pueden verse como estados absorbentes. Para cada i E denotamos: w i = probabilidad de que el jugador llegue a ganar G (antes de perder todo) si comienza con una ganancia inicial i.

11 Observemos que las cantidades w 0, w 1, w 2,..., w G satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones lineales: w i = pw i+1 + qw i 1, para i = 1, 2,..., G 1. w 0 = 0. w G = 1. Esto define un sistema de ecuaciones de recurrencia. Hacemos aquí un paréntesis para mostrar cómo se resuelve un sistema de este tipo.

12 Ecuaciones de recurrencia Un sistema de ecuaciones de recurrencia (de orden 2) con coeficientes constantes en un sistema de ecuaciones de la forma: ax i+2 + bx i+1 + cx i = 0, donde i = 0, 1, 2,..., y a, b, c son constantes. Buscamos una solución de la forma: x i = λ i, con λ a determinar. Reemplazando en las ecuaciones de recurrencia obtenemos: aλ i+2 + bλ i+1 + cλ i = λ i (aλ 2 + bλ + c) = 0.

13 De aquí resulta la ecuación característica para el parámetro λ: aλ 2 + bλ + c = 0, cuyas soluciones son: λ 1,2 = b ± b 2 4ac. 2a Es preciso considerar dos casos, dependiendo de si las dos raíces son iguales o distintas. Caso 1: λ 1 λ 2 (esto es, b 2 4ac 0). En tal caso la solución general del sistema de ecuaciones es: x i = Aλ i 1 + Bλi 2, i = 0, 1, 2,...

14 Caso 2: λ 1 = λ 2 (esto es, b 2 4ac = 0). En tal caso la solución general del sistema de ecuaciones es: x i = Aλ i 1 + B iλi 1, i = 0, 1, 2,... En ambos casos, los valores de A y B se calculan a partir de las condiciones de contorno.

15 Ejemplo (continuación) Volvemos ahora al ejemplo de la ruina del apostador. Escribimos las ecuaciones para las probabilidades de absorción en la forma: pw i+2 w i+1 + qw i = 0, i = 0, 1, 2,... Buscando una solución de la forma w i = λ i obtenemos la ecuación característica: cuya solución es: pλ 2 λ + q = 0, λ 1,2 = 1 ± 1 4pq 2p = 1 ± p q. 2p

16 Caso 1: p q. En tal caso λ 1 = 1, λ 2 = q p, y la solución es: w i = A + B ( ) q i, i = 0, 1, 2,..., G. p De las condiciones de contorno w 0 = 0 y w G = 1 se obtiene: A = 1 1 ( ) G, B = ( ) G. 1 q p 1 q p Finalmente queda: w i = ) i ( 1 q p ( ) G, para i = 0, 1, 2,..., G 1 q p

17 Caso 2: p = q. En tal caso λ 1 = λ 2 = 1 2p = 1, y la solución es: w i = A + B i, i = 0, 1, 2,..., G. De las condiciones de contorno w 0 = 0 y w G = 1 se obtiene: Finalmente queda: A = 0, B = 1 G. w i = i, para i = 0, 1, 2,..., G G