Sistemas de ecuaciones

Transcripción

1 ACTIVIDADES Ecuación reordenada Incógnitas Coeficientes Término independiente Solución cualquiera x y= x, y, (, 0) x+ y+ z= 8 x, y, z,, 8 (0, 0, 8) c) 4x+ y z= 8 x, y, z 4,, 8 (,, 6) d) 4xy 4z+ t= 7 x, y, z, t 4,, 4, 7 (0,, 0, 4) El único par que satisface las dos ecuaciones que forman el sistema es x =, y = 4. 8x y 4 : = 4x y= x + y = 6 : ( ) Sistema compatible indeterminado. 4x y= p+ q= p + q = Reducción 8 7p p p q = = = q= q= 6p q= Sistema compatible determinado. c) 4 x+ 6 y= : x+ y= Sistema compatible indeterminado. y + x = x+ y= x y= 4 x+ 4= y 0 x+ (x+ 4) = 7 x= x= y= x+ y= 7 x+ y= 7 d) Sustitución Sistema compatible determinado.

2 x y= x y= 6x + 4y = 0 : ( ) x y = 0 Sistema incompatible. No existe solución: Y c) x y Reducción y= + x + = x = y = x y= Sistema compatible determinado. Solución única: Y X X 4x 6y : = x y= 6x + 9y = : ( ) x y = Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones: Y d) 0x+ y= 0x+ y= 4x + y = 6 : ( ) x y= Reducción y = x x= x= y= Sistema compatible determinado. Solución única: Y X X Sustitución: + y x y = x = + y + y= 4 0y+ 9y= y=9 x= x+ y= x+ y= Igualación: + y x= x y= + y y = 4+ 0y= 9y y=9 x= x+ y= y x=

3 Sustitución: 4+ 7y x 7y = 4 x = 4 7 y y 6x y + = y+ y= y= x= + = 6x+ y= 9 8 Igualación: 4+ 7y x= x 7y= y y 9 = + y= y y= x= 6x+ y= y x= 6 (x+ y) 6(4 x y) = x+ y= x+ y+ ( x y+ 6) = 4 x y=4 x+ y= x+ = x= y= 4y y Reducción = = x y= 4 (-) 6x+ 4y= y y x x y = = = = = 6x 9y= 6 x y= ( 4) 4x+ y= y=6 y= x= + = 4x + y = 4x+ y= Y Y 6 7, X 6, X

4 x+ z= 4 x z ( z) y z 4 y z x y z 4 = = = x= z = y= 4z= z= x= z+ y+ z= y= x+ y+ z= La solución es la terna,,. x+ y z= 0 zy y+ z= z y x= z y = z=+ y x= zy x y+ z= y= z= x= z+ y+ y+ z= 4 y= 4 x+ y+ z= 4 La solución es la terna (,, ). x y+ z= 4 (4 z+ y) + y z= y+ 9z= 9 + = (4 z+ y) + y+ z= 7y z= x+ y+ z= x= 4 z+ y y= 9z9 x y z = = = = = y= 9z 9 x= 4 z+ y 7(9z 9) z 0z 0 z y 0 x La solución es la terna (, 0, ). x+ y= y+ z= x= y y= z x+ z= z= z= y= x= y+ z= y+ z= La solución es la terna,,. x y= E= E+ E x+ y= 9 x + y = E 6 = E+ E La solución es el par (, ). x y= x y= y= 0 y= x= y= 0 y= 0 x+ y+ z= 0 E= E+ E x+ y 6z= 0 x + 4y + z = E 0 = E+ E x+ y+ z= 0 y 0z= 0 y z = E 0 = EE x+ y+ z= 0 y 0z= 0 z= 0 y= 0 x= 0 z= 0 La solución es la terna (0, 0, 0). 4

5 x+ y+ z= x+ y+ z= x+ y+ z= E= E+ E x y= 4y z= 4y z= x + 7y z = E = E+ E y 8z = E 7 = E+ E 9z=9 + z y= 4 x= yz z= y= x= La solución es la terna,,. xy z= 8 E= E+ E x+ y z= x + y + z = E = E+ E xy z= 8 y+ z= y + z = E = E+ E xy z= 8 y+ z= 4z= z y= x= 8+ y+ z 4 z= y= x= La solución es la terna,, E E E= E+ E E= E+ E E = E + 7 E x y+ z=6 7y z= 0 z= y=, z= x= + x= z= y= y= z= 7 6 La solución es la terna (,,). E= E+ E E= E+ E E = E / E = E + E y= 7, z=0 x y+ z= x+ 0= x= y z= z=0 7y+ 0= y= z= 0 z=0 La solución es la terna (0, 7, 0).

6 0 0 0 E= E+ E Como una fila se repite, el sistema es compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones, que se dan en función de un parámetro: z=λ, y=+λ 0 x y = x ( +λ= ) x= +λ 0 y z= z=λ y= +λ Las soluciones vienen determinadas por la terna ( +λ, +λλ., ) E E E= E+ E E= 4E+ E E= E+ E Sistema incompatible. No existe solución E= E+ E E= E+ E E = 9 E + E Sistema compatible determinado. Existe una única solución. 0 E= E+ E E = E + E Sistema compatible indeterminado. Existen infinitas soluciones. 6

7 E E E = E + E Sistema compatible determinado. Existe una única solución: 4 x+ y z= 4 0 y z = z 8 = 8 y=, z= 7 7 x= 8 z= 4 7 y= 8 7 z= 7 8 La solución es la terna,, E= E+ E E= E+ E E= E+ E Sistema compatible determinado. Existe una única solución: 4 x y+ 4z= y 9z 0 = 0 0 z = 7 y=, z= 8 x= z= 7 y= 8 z= 8 7 La solución es la terna,, 8 8. x+ = y x y 7 = ( 7) = = 7 x = y 7 y y y y y x = y 7 y7 y = x= 7y 6y+ 0= 0 y 8y+ = 0 y7 y= x= Las dos soluciones son los pares (, )y (, ). xy x=9 xy x 9 = ( y y) y( y y) =9 y y + y+ 9= 0 = y x= y y y x+ y Se obtienen las soluciones con Ruffini: y= es la única solución real, y por tanto, x= =. La solución del sistema es el par (, ). 7

8 6x+ 6y= 6y x= 6y y = x y = 6 6 6x 6y = 6y x= 6 + 6y 60y 6y = 60y= 0 y= x= La única solución es el par,. x+ y+ 4+ x= y+ y x = ( x+ y) Factorizando x+ y+ 4+ x= y+ x y 4 x y = + ( y+ x)( y x) = ( x+ y) y x= x+ y+ 4+ x= y+ x+ + x+ 4+ x= + x+ x+ 6= 4 y= + x x+ 6= 6 x= 0 x= y= 7. Al simplificar la segunda ecuación del sistema, se pierde la solución trivial nula, que también es válida. Por tanto, las dos soluciones son los pares (0, 0)y (, 7). Por definición de perímetro y aplicando el teorema de Pitágoras, se llega al sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas siguientes: x+ y= 46 x y y x + = = Sustitución x + y = 7 x + y = 89 x + y = 89 x = 8 y = x + ( x) = 89 x 46x+ 40= 0 x = y = 8 Para que la solución se ajuste a la ilustración, x e y deben medir 8 cm y cm, respectivamente. Sea x el primer número e y el segundo. Entonces, el sistema de ecuaciones es el siguiente: x= y= x+ = xy y + = Sustitución y x( 9 4x) ( 9 4x) 4x 7x 0 + = + = y= 9 4x x= y=4 4x+ y= 9 4 Hay dos posibles soluciones, que están determinadas por los pares (, )y,

9 SABER HACER x+ y= x y= x+ y= Reducción 0 = 0 Sistema compatible indeterminado. x y= Se buscan las soluciones en función de un parámetro: + λ x λ= x = x y= y=λ y=λ Las infinitas soluciones están determinadas por los pares + λ, λ. x y ( 6) = x+ 6y= Reducción 0 = 0 Sistema compatible indeterminado. x 6y= x 6y= Se buscan las soluciones en función de un parámetro: + 6 x 6 λ= λ x = x 6y= y=λ y=λ 6 Las infinitas soluciones están determinadas por los pares + λ, λ. x+ y= 7 ( ) 4x y=4 Reducción ( a 4) x = x = x = ax + y = ax+ y= a4 4a Si a= 4 Sistema incompatible. No existe solución. Si a 4 Sistema compatible determinado. Existe una única solución. x+ y= 0 ( 7) x y=40 Reducción 7x + ay = 9 x+ ay= 7 (a ) y= y= x= a a Si Si a= Sistema incompatible. No existe solución. a Sistema compatible determinado. Existe una única solución. 9

10 Sea x la cifra de las decenas, e y la cifra de las unidades. Entonces, se diferencian dos casos: y> x: y x= y x= y x= 0 x+ y (0 y+ x) = 8 0x+ y0y x= 8 9x 9y= 8 y= + x 9x 9y= 8 x> y: Sustitución 9x 9( + x) = 8 9x8 9x= 8 Imposible. No existe solución. x y= x y= x y= 0 x+ y (0 y+ x) = 8 0x+ y0y x= 8 x y= Se buscan las soluciones en función de un parámetro: Sistema compatible indeterminado. x= +λ y=λ x y= y =λ Las infinitas soluciones están determinadas por los pares ( +λλ., ) Por ejemplo, para λ= se tiene que el número cumple las condiciones dadas. x 6y= 9 x 6y= x + y = Sistema incompatible. No existe solución. x+ 6y= 9 x 6 y= 9 x 6y= x + y = = Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones. x+ 6y=9 x y= x y= E= E+ E x y+ z= 4 y+ z= x 4y + z = E = E+ E y + z = Como se repite una ecuación, el sistema es compatible indeterminado: x y= y + z = λ z=λ, y= λ λ x= + x = z=λ λ y= Las infinitas soluciones están determinadas por las ternas λ λ,, λ. 0

11 x y+ z= 0 E= E+ E x y+ z= 0 x + y z = E 0 = E+ E x y+ z= 0 0= 0 0 = 0 Sistema compatible indeterminado. Como hay una ecuación y tres incógnitas es necesario dar las soluciones en función de dos parámetros: x y z y=µ, z=λ + = 0 x=µλ Las infinitas soluciones están determinadas por las ternas ( µλµλ,, ). 0 0 a E= E+ E E= E+ E a E= E+ E a a= 0 a= Sistema incompatible. Ninguna solución. a 0 a Sistema compatible determinado: a+ y=, z= a+ a+ a a 0 x y+ z= 0 x= x= z= 0 4 y 4z= 4 a a a a 0 0 a ( z= a+ y= y= a a z= a Para cada valor de a la terna a a + +,, a a a es la solución del sistema. Dinero en que aporta María y= x Marisa x El sistema es el siguiente: Manuela z= y TOTAL 60 x+ y+ z= 60 x+ y+ z= y= x x y= y z= z= y E= E+ E E = E + E 60 x= y 0 = z 80 = Así, María, Marisa y Manuela aportan para el regalo 0, 60 y 80, respectivamente.

12 + 7y x 7y= x 7y x= = x y y+ = 0 x y y= ( x y) = ( y+ ) 7y y y 0 y 7y = = y= x= y = 0,8 x = = 0, Las soluciones son los pares (,) y ( 0,99; 0,8) = + x x 7 x y 0 + = = x y= x y y= x = y x x ( y x) ( x ) 7x 7x 7x ( x ) 0 7x 7x x 6 0 x =,9 y =,9,9, = = x = y = Las soluciones son los pares (,9;,9) y (,9;,9). + = y x xy y x xy x y + = + = y+ y= ( y) y y 6y+ = 0 x+ y= x= y x+ y= No existe solución real. x y= y = x y = x = y( x ) = y( x) xy+ 4y+ x = 0 x y x= y= x(x ) + 4(x ) + x = x= y= 9 Las soluciones son los pares (, )y 0, 4 9. ACTIVIDADES FINALES + y= 4 y= = c) 4+ y= 4 y= 0 = 0 x+ = 4 x= = d) x 0= 4 x=4 = 4

13 y+ 9= 8 y= = d) 0 y+ = 8 y= = x+ + = 8 x= = e) + + z= 8 z= = c) + 6+ z= 8 z= 4 = 4 f) x+ 6+ 0= 8 x=4 = 4 x y=λ +λ= λ x = x+ y= y=λ y=λ Las infinitas soluciones las determina el par λ, λ. c) λ = + = 0 No es solución. λ= λ x= = λ= = y= λ= x= x= = c) d) 8= 7 7 = 7 4 No es solución de este sistema. + = = 6 6= 6 Sí es solución de este sistema. = = ( ) = 6 6 = 6 0 Sí es solución de este sistema. = = 4 0 = 9 9 No es solución de este sistema. =

14 Por comodidad, denotamos al de la primera ecuación pora, y al de la segunda ecuación, porb. Entonces, sustituyendo: a = 0 a= + 4b= b= 4 a+ = 6 a 4 = + 8= b b= 6 x( xy) = a ( ) a + = a=4 4( x y) + x = b 4( + ) + = b b= c) d) + = No es solución de este sistema. = + = 4= 0 0 No es solución de este sistema. = 4 4= = 7 = No es solución de este sistema = 8 44 = = Sí es solución de este sistema. 7= 7 = 7 4

15 4 xy = 0 y + x = 6 x 9 + y= 0 y + x = c) 4 xy = 0 y 4x = y= 8x+ 0 y + x = y= 8x+ 0 y 4x = y+ =x y + x = Respuesta abierta, por ejemplo: x y= x y = x y= 0y = 6x 6 c) x y= x = 0y + = x y= c (, 7) = a 7b = c (, ) ax by c Se forma un sistema con variables a, b y c, que es compatible indeterminado, porque hay dos ecuaciones y tres incógnitas. Las posibles soluciones se dan en función de un parámetro: a=λ c+ λ a b= c b=λ, a= 0b= c c=b b=λ a 7b= c c=λ Por ejemplo, si a= x y= λ= b= x+ y= c= x by c (4,) + = 4a+ b= c x y= x x = = y= ax+ by= c ax+ b= c a+ b= c Se forma un sistema con variables a, b y c, que es compatible indeterminado, porque hay dos ecuaciones y tres incógnitas. Las posibles soluciones se dan en función de un parámetro: a=λ cλ 4a+ b= c b=λ, a= c= 7b b=λ a+ b= c c= 7λ Por ejemplo, si a= x y= λ= b= x+ y= 7 c= 7

16 (,0) c) ax by c + = a= c x y= ax + by = c Para que sea sistema incompatible, el par (a, debe ser proporcional al par (, ) y además c. Entonces, por ejemplo, si c= se tiene que x y= x+ y= a= a= b=, quedando el sistema así: Y c) Y (0, 0) X (0, ) X La solución es el par (0, 0). Y d) La solución es el par ( 0, ). Y 7, X (0, ) X La solución es el par, 7. Por tanto, tienen la misma solución los sistemas c) y d). La solución es el par ( 0, ). 6

17 x y= x + y= 7 4 x y= 4 x y= x 4y Gauss + = 0 0 x y= Sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Existe una única solución. y x = x y= 6 6 x+ 7y= 4 x 7y Gauss + = 0 0 y x = 6 x+ y= Sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Existe una única solución. c) x+ y= 8 x+ y= x+ y = x y Gauss + = 0 6 x =y x+ y= Sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Existe una única solución. d) x+ 4y= x+ 4y= xy = x y Gauss = y x= 0 x y= Sistema incompatible. Es imposible que se cumpla la tercera ecuación. No existe ninguna solución. x+ y= x x 7 4 x y = x + x = x = y = = y= x y= x 6 0 x+ y= 0 x + y = 0 x y (( y )) + y= 0 + = x+ ( y ) = 4 x= ( y) + = = = = ( ) x = y y y y y x 7

18 6x y= 6 6x y= 6 6x y= 6 6x(x ) = 6 6= 6 ( x+ ) ( y ) = 8 x+ y+ = 8 x y= y= x c) Sistema compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones, dependientes de un parámetro: x=λ y = λ ( x y) + 4y= 4 x+ y= 4 x+ y=4 ( y) + y=4 x= y d) x+ ( y+ ) = 8 x+ y+ 6= 8 x+ y= x = y 4 6y+ y=4 8= 4y y= x= 4 y x+ = 6 y= 4+ x 4+ x= x+ x= y= 7 ( x y) + =y y= x+ 7 7y 4x+ y= 8x+ y= 7 x= 7 y 8 = y x+ y= 8 x+ y= x= y 7 7 y= 04 4y y= 77 y= x= c) x+ y= y x = y x = x+ xy x+ x= = x y= y= 4 8 x= x+ = 4x x= y= 4 4 d) x y + = 94y 6 x+ 4y= 9 x= 94y =y x x=y = x=y y 9 4y=96y 7y=9 y=8 x= 4 8

19 x+ 7 y= x x+ y= 7 x+ x 0y= 4 4y = 7y x+ y= 7 x= E= E y= y= x= x + 0y = 60 4x = y 4x y = y x= x= y= 7 x = x+ y=8 y= 4x+ c) x+ y= 7 7y x y 7 x= + = 9 xy y= y= x= = x+ y= 6 4 d) x+ y= x + y = 0 x+ = y 9x y=0 x+ y= 6 7 x = 4 x = y = 9x y=0 E= E y= x x+ y+ = 9 4 x y = x+ y= 6 ( x) ( y) = x+ = x+ y= 6 E= E 6x y 7 = = = y= x9 x x y 4x y + = 6 6 8x+ y= 7 x+ y x+ y= 0 =x 4 E=E 8x+ y= 7 x = x = y = x y= 0 y=x 7 7 c) y ( x+ ) = 6 4 0x y=7 ( + x) y 9x+ y=9 + = x y= 9x+ y=9 E= E 00 6 d) = = = y = + x x x y 7 + x+ y y = 6 x y=7 ( x y+ ) 7x+ y=6 x+ y+ =6 = = = 6 7 y = x x x y E= E x y=7 x+ y=08 9

20 e) x+ y x+ 7 xy + = 0 6 x y= Sistema incompatible. No existe solución. x6y xy y x y= 0 + = 0 6 0

21 c) d) f) ( x) ( y ) = x+ 8 x 0y=4 x 0y=4 x= y= 4( xy) x+ =( y) x y= x+ y= x y4 = 0 4 4x y= 0 0x y= 0 x= 6 y= 8 x 4 y+ x+ y= 46 0x 8y=84 + = x y4 = x y = x y = x= 6 y= x y=7 x+ y= 7 ( x+ ) = ( y ) + x x = x = x= 4x+ x= y= x+ + y 4x y= y= = 8 6( x+ y) ( x+ y ) + = 6 6x y = 6 y Sistema compatible indeterminado. 6= 6x y= 6 x Si Si Si x+ y= x y = a= 7 Sistema incompatible. No existe ninguna solución. x+ y= 7 x+ y= x y= a= Sistema compatible determinado. Una única solución. x+ y= 7 x y= 8 a= Sistema compatible determinado. Una única solución. x+ y=4 x 6y= 8 x y= 4 Sia= Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones. x+ y=4 x+ y=4

22 x y= x y = ( k ) y= 8 8 y= 8 xk y= x ky 9 + =+ k = k= y= k 4x y= 4 y= x+ y= 4 8 El sistema es siempre compatible determinado. 4 9 ax+ y= ax + y = a y = a=8 x+ = a 8x+ y= 4a 8 El sistema es incompatible sia= 8. En los demás casos el sistema es compatible determinado. a a Gauss a 0 a + a Si a = 0 a= Sistema incompatible, pues 0 6. Si a 0 a Sistema compatible determinado. No se puede dar el caso compatible indeterminado porque a y + a no se anulan a la vez.

23 a a Gauss a 0 + a a Si + a= 0 a= Sistema incompatible, pues 0. 4 Si + a 0 a Sistema compatible determinado. No se puede dar el caso compatible indeterminado porque + a y a no se anulan a la vez. c) a 0 a 0 Gauss a 0 0 a 0 Como a nunca se anula, el sistema es siempre compatible determinado. d) a a + Gauss + a 4 0 a a + a6 Si a= 0 a= Sistema incompatible, pues 0. Si a 0 a Sistema compatible determinado. No se puede dar el caso compatible indeterminado porque a y a + a 6 no se anulan a la vez, de hecho, a + a 6 no se anula nunca en los reales. Respuesta abierta, por ejemplo: x y= 0 x= y 6y x = 0 Respuesta abierta, por ejemplo: ( x) = y x+ y= 0x 0 = y Respuesta abierta, por ejemplo: x y= x 6 = y 0x 0= 0( + y) ( x y) = 8 6x 6( y+ ) = 0 x y + =

24 Se obtiene una ecuación equivalente de cada una de las ecuaciones dadas a partir de la forma que tiene su solución: ax+ by= c x=λ, y= λ dx+ ey= f x=λ, y= 0λ y = x x = 0 x x = y = 4 y= 0 x Se obtiene una ecuación equivalente de cada una de las ecuaciones dadas a partir de la forma que tiene su solución: ax+ by= c x=λ+, y=λ dx+ ey= f x=λ, y=λ+ x y= 4 Sistema incompatible. No existe solución. x y= = x= x+ y= 9 y Sistema incompatible. No existe solución = x= x+ y= 0 c) y d) Sistema incompatible. No existe solución

25 ( x4 ) = y x+ y= 4x+ y=x y+ x y= 0 0 x+ y 7x y x y + = + = Sistema incompatible. No existe solución. x+ y x = x y = ( x+ y) x y x y + = + = 0 4 x+ y= 0 0 x+ y+ = 7+ ( xy) 0 0 Sistema incompatible. No existe solución Para que el sistema siga siendo compatible, la ecuación nueva debe ser una ecuación equivalente a algunas de las dadas. Por ejemplo, 6x 4y=. Respuesta abierta, por ejemplo: x+ y+ z x+ y z= c) x y+ z= d) x+ y z= ax y bz (,, ) 4 + =4 ax y bz (,, ) 4 + =4 Por tanto, la ecuación resultante es x 4y+ z= 4. Dos soluciones son, por ejemplo, (0,, 0) y (, 7, 4). a + b=4 a+ 6b= 4 = = = a 0+ b= 4 a+ b= 6 a= b8 8b 40 b a

26 x ay bz 6 (,, ) + + = x ay bz 6 (, 7, -) + + = a+ b= a = a = b = 7a b= 9 Por tanto, la ecuación resultante es x+ y z= 6. b= 7a9 x= x+ y z= 6 y z= 0 Una solución es (,, ). y= x+ y z= 6 x z= 9 Una solución es (,, 0). z= c) x+ y z= 6 x+ y= 6 Una solución es (7,, ). c) d) x= y = z = x= y = z = x= y 0 = z = 67 x= y = z= 6

27 c) d) e) f) x= y = z 0 = x= 0 0 y 0 = z = x= y 7 = z = x= y = z = x = y = z 7 = Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones están determinadas por la siguiente terna, en función del parámetroλ: 4 λ λ,, λ Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones están determinadas por la siguiente terna, en función del parámetroλ: ( + λ, λλ, ) 7

28 Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones están determinadas por la siguiente terna, en función del parámetroλ: (, +λλ, ) c) Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones están determinadas por la siguiente terna, en función del parámetroλ: ( λ, + λλ, ) d) Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones están determinadas por la siguiente terna, en función del parámetroλ: ( λ, + λλ, ) e) Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones están determinadas por la siguiente terna, en función del parámetroλ: λ λ,, λ f) Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones están determinadas por la siguiente terna, en función del parámetroλ: ( λ+ 4, λ, λ ) 8

29 c) d) e) f) Sistema incompatible. No existe solución Sistema incompatible. No existe solución Sistema compatible indeterminado Sistema incompatible. No existe solución Sistema incompatible. No existe solución Sistema incompatible. No existe solución c) x+ y z= x 4 = y 4z= y= x= z = z y= x x y z + = 7x+ z= + y 7x y+ z= x+ y+ z= ( x) x+ y+ z= x= y= z= 7 x y+ z=4 x y z 4 + = x= x= 0+ z x z= y= 0 y= z+ y z= z 8 = 9

30 d) y= ( z x+ ) x y z + = ( z y) = ( x) x y+ z= z= x y+ x y z + + = 9 x= y= z= x= y= z 0 = Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones están determinadas por la siguiente terna, en función del parámetroλ: λ 0,, λ c) Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones están determinadas por la siguiente terna, en función del parámetroλ: ( + 8 λ, 4 λλ, ) d) 464 x= y = z= 97 40

31 x= x+ y= y x+ 4y= y+ z= x x y+ z= y= ( x+ y) + 4x= ( + y) 7x= z= 6 x+ y= ( z) x y z = y z= x+ x y z = x+ y+ z= + x x y z = Sistema incompatible. No existe solución. x+ y = z 4 x y+ 4z= 4 y z6 x+ + = 6 0x+ y+ z= 90 xy z=8 xy = z x= y = z 8 = ( x+ y) + 4z= x y+ 4z= x ( y+ z) = xy z= x y z+ 4 x+ 0y 6z= + + = x= y = z = Respuesta abierta, según los valores que se elijan paraλ. Por ejemplo: Siλ= ( 6,, ) Siλ=,, Siλ=,, Siλ= 0 (0, 0, 0) Siλ= (6,, ). 4

32 x= 4 λ= 4 λ= (4,, ) d) z= λ= ( 4,, ) z= λ= (6, 0, ) e) x= λ= λ=,, c) y= λ = λ= 8 (6,, 8) f) y= λ = λ= 4 (8,, 4) c) d) e) f) λλ+ ( ) λ+ ( 6) = λλ ( 6) = 6 No es solución del sistema. λλ+ ( ) = ( λ+ ) λ ( ) λ= = ( λ+ ) λ= = Sí es solución del sistema. ( λ+ ) λ ( ) = = ( λ+ ) λλ ( ) = ( λ+ ) λ ( ) = 6 No es solución del sistema. ( λ+ ) λ= ( λ+ ) λλ+ ( ) = = ( λ+ ) λ+ ( ) = = Sí es solución del sistema. ( λ+ ) λ= = λλ ( ) λ ( ) = = λλ ( ) = = Sí es solución del sistema. λλ ( ) = = λλ ( ) λ ( ) = = λλ ( ) = No es solución del sistema. λλ ( ) = a= λ λ = 4 λ+ λ= 4 (,, 4) a= 4λ+ a= 4λ+ 4 λ+ =λ λ= ( 4,, ) a=λ 4

33 Un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas del cual ( λλ+,, λ) es solución, es, por ejemplo: xy z= x y= x z = Sustituyendo cada terna dada en el sistema, se observa si es o no solución: c) d) e) ( λ ) (λ+ ) (λ 6) = 4 λ(λ+ ) = No λ(λ 6) = 6 ( λ ) (λ+ ) (λ ) = = λ(λ+ ) = = Sí λ(λ ) = = ( λ+ ) λ+ ( ) λ ( ) = = λ+ λ+ ( ) = = Sí λ+ λ ( ) = = ( λ) λ ( ) λ ( 6) = = λ λ ( ) = = Sí λ λ ( 6) = = ( λ) λλ ( 4) = = λλ= = Sí λ λ ( 4) = = Primero se resuelve el sistema en función de un parámetroµ, y después se calculan las soluciones pedidas: xy z= 6 4 y... Las infinitas soluciones están determinadas por la terna + µ,, x+ z= 4 µµ. 6+ 4λ µ=λ, λλ, µ= (6,, ) 4

34 c) d) 6+ 4 λ 04λ µ=λ,,,, λ λ = λ λ 9 9 µ= µ=,, e) µ λ 6 λ, 6, λ 6, 0 λ, λ 6 =λ µ= λ = λ f) 6+ 4µ = µ=,, = y+ z y+ z= y= z= y x= y+ ( y) = (,, ) y+ z= y+ z= z= 4= y+ z y+ z= 4 y= z=4y x=4 y+ ( 4 y) = 7 ( 4,, ) 4 y+ z= y+ z= 7 z= c) Se tiene infinitas soluciones, dependientes de un parámetroλ: y= λ= y+ z y=λz + λ x=λ λ ( λ z) + z= λ,, λ y+ z= + λ z= 4 x= x = z x z 4 y = Reducción = z=,, x+ = z x z + = z= Obviamente en este caso se tienen infinitas soluciones, determinadas por un parámetroλ: λ z= x = zλ x z y = λ Reducción λ λ =λ, λ, x+λ= z x z + = λ λ x= c) Utilizando el apartado anterior: λ x= 7 = 7 λ= y= 0 d) De nuevo, recurriendo al apartado : λ x= = λ= z= = 44

35 x+ y= xy z= 0 x + z = y+ z= E= E+ E E= E+ E x+ y= y z= y + z = 0 y+ z= E= E+ E E4= E4+ E x+ y= y z= 4z = z= Las ecuaciones tercera y cuarta son proporcionales. Se elimina una de ellas y se continúa resolviendo el sistema: x+ y= y = x+ y= y z= z= y= x= z= x y+ z= 0 x y+ z= 0 E x+ z= = E+ E y+ 7z= 0 4x y + z = E = E+ E y z = xy 4z=4 E4= E+ E4 4y 7z=8 Sistema incompatible. E= E+ E E4= E4+ E x y+ z= 0 y+ 7z= 0 z = 0 z=8 c) x y+ z=4 x+ y z= 4 x + y + z = x+ z= 0 E= E+ E E= E+ E E4= E4+ E x y+ z=4 y+ z= 4 y + z = 8 y z=4 Las ecuaciones segunda y cuarta son proporcionales. Se elimina una de ellas y se continúa resolviendo el sistema: x y+ z=4 y+ z= 4 y + z = E 8 = E+ E x y+ z=4 y+ z= z= y= x= 4z= 4 y+ z= 4 x y+ z=4 4 d) x+ y+ z= 0 x y z = x+ y+ x= 7 4x y 7 + = 6x+ 7y 0z= 4 6x+ 7y 0z= 4 x y+ z= 7 x y+ z= 7 E= E+ E E= E+ E E4= E4+ E x+ y+ z= 0 7y 0z= 4 y + z = 4 E = E+ E 7y+ z=4 E4= 7E+ E4 x+ y+ z= 0 7y 0z= 4 z = 8 z= El sistema es incompatible, porque de las ecuaciones tercera y cuarta se obtienen valores diferentes de z. Por tanto, no existe ninguna solución. 4

36 c) d) e) f) x + y = y 7 x 4 x= y = = (7 y) + y = y 7y+ = 0 x+ y= 7 y= 4 x= y = x= x y= x= y+ ( y ) y y y 0 + = + = xy= 7 7 y= x= x y= 0 x y 0 y= x = = x 6x= 0 x x 0= 0 xy y= 0 x= y=4 x + y = 0 x y y= x = = x + ( x ) = 0 x x = 0 x+ y= x= y= x y 6 x y= = x= y = + + = = = ( y ) y 6 y y 0 y x xy= y= 4 x 4 x x x x 4 0 = = = x y x Es una ecuación bicuadrada. = x x= y= t = 4 4= 0 4= 0 x= y= t= Imposible 4 x x x = t t t c) x y+ = 0 y= x= 4 x= y y x (y ) y 0 6y y 0 = = xy 0= y= x= 6 x= y= x+ y= 4 y= 4x x (4 x) x 6x 0 + = + = 8 x + y = x= y= x+ x = 4 (4 ) 9 x y y y x y = + = = 4y = y + 6y+ = 0 y y= x= x+ y= 4 x= 0 y= 4 ( x y) = 4 6 d) y= x ( x (x 6) ) 4 x 64x 40 0 = + = 4 0 x+ y=6 x= y= 46

37 e) f) y+ y ( yx) xy= x y xy x= + = y x( y ) = xy x( y) y + y= y= x= y= x= + 9 y+ y y+ y x y y y y 6 0 = + = = y y y = 9 x4= x = x 9y x 8y y= = x x 8 x x = x xy x y 8 8 = x = y x= 0 y= 0 No es válida. x + x 8x= 0 x( x + x 8) = 0 x= y= x=6 y= xy x= 00 y= 4 x= 0 x ( y ) x = + ( y ) y ( y ) 00 y y = + = 0 = y= x= y+ 4 x + = 4x y xy y= x x 6 x y + = 4x+ =x x+ 6y= 6 6 x+ 6y= x = y = + = = = x 8x 0 x y ( x )( y+ ) = 0 ( x )( y + ) = 0 x+ (y0 )( y+ ) = 0 = x+ = y8 y4 x= y0 c) y = 9 x = 8 y y 0y 0 y 0 0 y y y x + = = = =7 x+ = y x+ x= y= 7 = x x+ 0 = 7 x x 9x x= 8 y= 4 x = y d) ( ) ( ) 47

38 e) ( y) ( x y+ x= = ) y= + 4x6 x y+ x = ( y x ) y= x + = Igualación + 4x 6 x= x ( ) ( ) x+ = 6 x x + 94x+ 4979= 0 No existe solución. y= 0 x No existe. + = + = = 0 x= y x y = = x= No válida. x xy y f) ( y ) y y y y( y ) x y = 6 y = + = + = x 9 = = x= y x y= x+ y 4 x y 4 x y 4 Reducción x= x= y= x y xy= x y xy = = y 4 x = xy= = x x 4 x 4x 4 0 y x4 y = = = = x 4= y x x= y= 6 log x= + logy log x log0y x y = = = + x = y+ x = y+ x = y+ c) ( y ) ( y ) y = x = 0 y = y + y+ y y+ = 0 y = x = d) x y x y = = x y + = x+ x+ = x+ = y x+ = y x+ = y 7 y= x = 4 7 4x + x 0= 0 y= No válida. y= x = y4= No válida. Sean x e y el número de litros que se necesitan de la leche con un 0 % de grasa y con un 70 % de grasa, respectivamente. El sistema que se plantea es el siguiente: x+ y= 00 x + y = 00 x + y = 400 x = y=400 x+ y= 00 x+ 7y= 800 x 7y= 800 y= Por tanto, se necesitan 0 litros de la leche con un 0 % de grasa y 80 litros de la leche con un 70 % de grasa. 48

39 Sean x e y los precios en de las botella de crianza y de reserva, respectivamente. Entonces, el gasto que han realizado Juan y Belén queda reflejado en el siguiente sistema de ecuaciones: x+ y= 69 4x+ y= x 4 y= 4x = x+ 4( 4 x) = 40 6x+ 8y= 80 x+ 4y= 40 y= 7 Es decir, una botella de crianza cuesta 4 ; y una de reserva, 7. Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la de las unidades: x+ y= 4 y= 4x 69x 9x+ 8= 0 8x= 44 x= 8 y= 4 8= 6 0y+ x+ 8= 0x+ y 9y 9x+ 8= 0 El número es

40 Llamamos x e y a las dimensiones del terreno: + = 70 ( 70) ± ( 70) ± 70 y= 0 y 70y y + = = = 0 y= 0 x y x + y = y = 0 x = 70 0= 0 y = 0 x = 70 0= 0 Las dimensiones del terreno son 0 y 0 m, respectivamente. El área del terreno mide 6000 m. Sean x e y las longitudes de los lados de las respectivas habitaciones. Se supone x> y, entonces: y 9,89 =, y = x x + y = 9,89 x Reducción 4, = x =,8 y =, No válida. x y =,9 x=4, No válida. Las soluciones negativas carecen de sentido, por ello, las únicas medidas válidas de las habitaciones son 4, m y, m, respectivamente. 0

41 Sea x la longitud del lado del cuadrado en cm. Primero, por el teorema de Pitágoras, se calcula la longitud de la diagonal del cuadrado, en función de x: d x x d x = + = cm Sea y la longitud de la altura del rectángulo. Las ecuaciones que formarán el sistema son: Perímetro = 4+ 6 = x + y Suma de áreas = 9+ 6 = x + xy y= + x 4+ 6 = x + y 9+ 6 x 9+ 6 x 9+ 6 = x + xy y= x x Igualación + x = x = y= x x(6+ ) = 0 x= + y= No válida. Por tanto, el lado del cuadrado mide cm; la altura del rectángulo, cm; y la base del rectángulo, cm. Sea x la longitud de la base del rectángulo, e y su altura. Primero, se calcula la longitud de la diagonal con el teorema de Pitágoras. Después, teniendo en cuenta que las diagonales de un rectángulo son iguales y que el semiperímetro mide 0 cm, se plantea y se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 8 y= 0x ( x + (0 x) ) = ( 8 ) x+ y= 0 4( x 400 x 40 x) 8 x 0x 96 0 x = 8 y = = + = x = y = Por tanto, el rectángulo tiene unas dimensiones de 8 cm. Sea x la longitud de la base del rectángulo, e y su altura, entonces, por el teorema de Pitágoras se obtiene la diagonal, y con ella se plantea y resuelve el sistema siguiente: y= x x + x 4 x x = + ( 4) = x y + = 4 x = y= 9 x + x 06 4x 760 x = = = x= No válida. Por tanto, el rectángulo tiene unas dimensiones de 9 cm.

42 Sean x e y las cifras de las unidades y las decenas, respectivamente. El sistema que se debe resolver para encontrar el número de partida es el siguiente: ( x+ 0y+ ) = + ( x+ 0 y) x = + y ( + y + 0y + ) = + ( + y + 0 y) y = No válida. 7 08y + 80y+ 6= + 06y + 60y+ 9 y + 0y 4= 0 y= x= Entonces, el número de partida es 7. N. ⁰ de amigos Precio en por persona TOTAL en x y 80 x + y 6 80 El sistema que hay que resolver es el siguiente: xy= = = 6 ( x+ ) 6 80 x x 40 0 = + = ( x+ )( y 6) = 80 x x=8 No válida y= 80 x x y Por tanto, van de excursión amigos, y cada uno paga 6. Sean x e y los números buscados. Se supone x> y. Entonces, hay que resolver el siguiente sistema: x y = x= y+ y + + y + = y = y = x = ( x+ ) ( y+ ) = 9 Los números son 6 y. ( ) ( )

43 Sean x e y los números buscados. Se supone x> y. Entonces, hay que resolver el siguiente sistema: x+ y= 6 y 4 x 6 x= y = = x y + y= 6 y y+ 6= 0 = y y= 9 x= 8 y Tras la comprobación de las soluciones se descarta (8, 9). Por ello, los números buscados son 6 y 4. Sean x e y los números naturales buscados. Se supone x> y. Entonces, hay que resolver el siguiente sistema: y= x= 8 xy = 4y x= y (y ) y 4y y y 0 = = 4 Los números son 8 y. y x= y= No válida. Sean x, y, z los precios respectivos, en, de una vaca, un ternero y una oveja. Entonces: x+ y= 6z x+ 4z= y 4 0 E= E+ E y+ 8z= 4x x= y= z= E= E+ E E E E = Se obtiene la solución trivial nula. Obviamente, carece de sentido para este problema. Sean x e y los números naturales buscados. Se supone x> y. Entonces, hay que resolver el siguiente sistema: xy = x = y = y+ 0 y 7 + = x y 7 x y 7 7(y 0) y( y 0) x= y+ 0 + = + = + y= 8 x= 8 y 4y 70= 0 90 y= No válida. Los números buscados son 8 y 8. Sean x e y los números naturales buscados. Se supone x> y. Entonces, hay que resolver el siguiente sistema: y + = ( ) 0 y = x = x x y x= = y y 9 8y 9y 6 0 = = 9 y(4x 9) y = y = No válida. y x = 8 Los números buscados son y.

44 Sean x, y, z los números buscados. Se supone x> y, z y se plantea y resuelve el sistema de ecuaciones siguiente: x+ y+ z= x= 4 x+ ( y z) = y= x ( y+ z) = z= Luego, los números son 4, y. Sean x, y, z las cifras de las centenas, decenas y unidades, respectivamente. Entonces: x+ y+ z= x= z y= x y= z+ x= + y z= 9 Por tanto, el número buscado es 9. 0, 0, TOTAL Número de monedas x y z que aportan x 0,y 0,z 4,9 x+ y+ z= x= x+ y= z y= x+ 0,y+ 0,z= 4,9 0, 0, 4,9 0 0,4 9,8 z= 7 Luego, Martín tiene tres monedas de, una moneda de 0, y siete monedas de 0,. Sean x, y, z los precios de un cuaderno grande, uno mediano y uno pequeño, respectivamente. Entonces: x+ y+ z=,9,9,9,9 x=,8 x+ 4y+ z=, 4, 0 0,6 0 0,6 y=, 6z+ y= x , , z= 0,9 Por tanto, el cuaderno grande cuesta,8 ; el mediano,, ; y el pequeño, 0,9. 4

45 Sean x, y, z el número de billetes de, 0 y 0, respectivamente. Entonces: z= x+ y 0 0 x = 7 z = xy y= z= 4 x+ y+ z= 6 Por tanto, Laura tiene 7 billetes de, de 0 y 4 de 0. Sea x, y, z los pesos del primer, segundo y tercer bidón, respectivamente. Entonces: x+ y+ z= 7 x= 7yz y+ z= 46 x y= 4 ( 7yz) y= 4 y z 0 = y z= 0 y z= 0 9 x= 8,6 y+ z= y= 846 y= 4,7 0y z= z =,7 7 El primer bidón pesa 8,6 kg; el segundo, 4,7 kg; y el tercero,,7 kg. a = cifra de las centenas b = cifra de las decenas c = cifra de las unidades 00a+ 0b+ c= 00c+ 0a+ b a+ 9b 99c= 49 0a+ b c= b c= a= c+ 00a+ 0b+ c= 00b+ 0a+ c a 90b= 60 0a 0b= 40 0b+ 0c=0 00b+ 0c+ a= 00b+ 0a+ c4 9a+ 9c=4 a+ c= Entonces a= c+ y b= c+ Para determinar la solución sabemos que los tres números son enteros y, por tanto, c es un número de 0 a 9. Como a= c+, c solo puede valer 0,,, y 4. Para cada uno de estos valores de c resultan ay b. Si c = 0, entonces: a = y b =. El número es 0. Si c =, entonces: a = 6 y b =. El número es 6. Si c =, entonces: a = 7 y b =. El número es 7. Si c =, entonces: a = 8 y b = 4. El número es 84. Si c = 4, entonces: a = 9 y b =. El número es 94.

46 /h horas 4.⁰A horas.⁰d horas en casa Electricista x 0 Fontanero y 0 Albañil z TOTAL en 87 8 x+ z= x= 7 y+ z= y= 9 x+ y+ z= z= 7 Luego, el electricista cobra por hora 7 ; el fontanero, 9 ; y el albañil, 7. Beethoven Schubert ECUACIÓN Edad en 800 0x x Edad en y años 0x+ y x+ y 0x+ y+ x+ y= 77 Edad en y + años 0x+ y+ x+ y+ x+ y+ = 0x 0x+ y+ x+ y= 77 x+ y= 77 x+ y= 77 x Reducción = 9x= 87 x+ y+ = 0x 9x y= 8x y= 0 y= Entonces, Beethoven murió en el año = 87 a la edad de = 7 años. Por tanto, su año de nacimiento fue 770. Schubert tenía años en 800. Por tanto, su año de nacimiento fue

47 PARA PROFUNDIZAR De la sucesión de igualdades se obtiene el siguiente sistema: a = b+ a b = a = c a c = a = d+ 4 a d = Es un sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones vienen dadas por un parámetroλ: a=λ+ b=λ+ c=λ+ 7 d=λ A la vista de los resultados, se observa que la variable c siempre es la mayor de las cuatro. Se plantea el siguiente sistema, donde (*) representa el dato desconocido: m n= 4m+ n=6 Reducción m= 6 + (*) ( m) = (*) m n= (*) m n= (*) m n= (*) debe ser un múltiplo de. Edad del perro en meses Edad de Isa en meses Actualmente y x Dentro de años = 60 meses y+ 60 x+ 60 x y= x y= x x+ 60 x= = + x+ 440= 0+ 4x+ 40 x y= y+ 60= + Luego, el perro tiene meses de edad. 7

48 Tiros de puntos (z) Tiros de puntos (y) Tiros de punto (x) Puntos z y x Se plantea y resuelve el siguiente sistema: z+ y+ x= x= x= + y y= z= y z= 8 Por tanto, se encestaron tiros libres. Respuesta abierta, por ejemplo: 4 x y= x y = 7x y= ( y x) + = (x ) c) x + 4y= ( y) + y y ( y + ) = y Respuesta abierta, por ejemplo: x+ y z= 7 x+ y z= 7x y 8z = x+ y z= 7xy 8z= c) 6x 6z = ( y + ) x y= x z= x y z = Siguiendo la sugerencia, se realiza el siguiente cambio de variable: X= + = x y z x 4 7 Y= + = y x y z Z= 6 z + = x y z X= X+ Y Z= 6 7 X 4Y+ Z=... Y= X + 6Y Z = Z = x= X 6 x= y= Y y = z= Z z= 8

49 Sea d la diferencia de la progresión aritmética. Seanr yr las razones de las dos progresiones geométricas que se pueden obtener. Los datos del enunciado se expresan de la siguiente manera: Progresión aritmética: Progresión geométrica : Progresión geométrica : a b= a+ d c= b+ d= a+ d a+ b= ( a+ ) r c= br= ar a b= ar c+ = br = ar Eliminando d de los datos de la progresión aritmética se obtiene a= b c. Eliminandor de los datos de la progresión geométrica se obtiene b= c( a+ ). Eliminandor de los datos de la progresión geométrica se obtiene b= ac ( + ). Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones anteriores se determinan a, b y c: a= bc a= 8 a= c( a+ ) c a= c( a+ ) c b= c a+ a= a a+ a b= c( a+ ) = ac ( + ) c= a b= ac ( + ) c= 6 Sustituyendo E en E Sustitución ( ) ( ) Igualando E y E Sean x, y, z los precios respectivos de un vaso de limonada, un bocadillo y un bizcocho, y a, b, son los precios pedidos. Se verifica que: x+ y+ 7z= 4 x+ 4y+ 0z= 7 x + y + z = a x+ y+ z= b Considerando las dos primeras ecuaciones del sistema, tomando como parámetro z y sustituyendo estos valores en las ecuaciones tercera y cuarta: x+ y= 4 7z x= + z x+ 4y= 7 0z y= z + z + z + z = a a = 8 yb= z+ 9 9z+ z= b 9

50 MATEMÁTICAS EN TU VIDA Si la demanda de un determinado producto sube, se realizan más compras del mismo, por lo que hay menor cantidad de ejemplares para la venta y, por tanto, la oferta disminuye. De manera contraria, si la oferta aumenta, hay más ejemplares para la venta y, por tanto, la demanda disminuye. Como el precio disminuye, la demanda aumenta, y por ello, la oferta disminuye. Esto se refleja en las ecuaciones del enunciado: D P P D P P 4 ( ) x = x = x ( x ) = 00 O P 700( P) x P 4 ( ) x = x = O( Px ) = 700 No, dado que en este caso el precio del producto no depende directamente ni de la oferta ni de la demanda, sino de otros factores. 60