Teoría del Control Optimo: Horizonte In nito

Transcripción

1 Teoría del Control Optimo: Horizonte In nito Economía Matemática EcMat (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 1 / 11

2 Principio del máximo En el caso de T jo teníamos que: J ε jε = 0 = TZ 0 ( H y + λ)q(t) + H u p(t) dt + [H] t=t T λ(t ) y T = 0 (1) Cuando t!, tenemos J ε jε = 0 = limλ(t) y T t! {z } (3) Z ( H y + λ)q(t) + H u p(t) dt + lim [H] T t! 0 {z } {z } (2) (1) = 0 (2) Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 2 / 23

3 Principio del máximo Los tres componentes tienen diferentes cosas arbitrarias: la integral contiene curvas de perturbación p(t) y q(t), mientras que los otros dos involucran T y y T ; de este modo, se deben igualar cada uno de los términos que multiplican a estas cosas arbitrarias a 0 para asegurarnos que estamos en un Igualando el término dentro de la integral a cero, podemos deducir 2 condiciones: H y H u = λ (3) = 0 (4) Estas condiciones son iguales al caso de T jo que habíamos visto antes Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 3 / 23

4 Principio del máximo Condiciones terminales alternativas T ahora no es jo, entonces para que (2) sea cero: Con respecto a (3) pueden pasar 2 cosas, lim [H] = 0 (5) t! Primero que el estado (y T ) sea libre entonces en este caso: limλ(t) = 0 (6) t! En caso contrario, es decir en que existe un estado terminal jo, en ese caso y T = 0 y por tanto no deberemos imponer ninguna condición adicional Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 4 / 23

5 El Modelo Neoclásico del Crecimiento max U(0) = Z e ρt log[c(t)]dt (7) 0 (a) Acumulación de capital : (b) Condición inicial : k(0) = 1 sa k(t) = [y(t) c(t) δk(t)] (c) Función de producción : y(t) = k(t) α donde 0 < α < 1 k libre A partir de (a) y (b) tenemos: k(t) = [k(t) α c(t) δk(t)] Para resolver el problema de Optimización, planteamos el Hamiltoneano: H(c, k, t, λ) = e ρt log(c) + λ(k α c δk) (8) Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 5 / 23

6 El Modelo Neoclásico del Crecimiento Condiciones de primer orden: Condiciones de transversalidad: H c = e ρt (1/c) λ = 0 (9) H k = λ(αk α 1 δ) = λ (10) lim H(t) t! = 0 (11) λ(t) = 0 (12) lim t! Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 6 / 23

7 El Modelo Neoclásico del Crecimiento Si despejamos λ de (9), tomamos logaritmos, y derivamos con respecto a t, tenemos: ρ c/c = λ/λ (13) Sustituimos en (10): c/c = (αk α 1 ρ δ) (14) Además tenemos que: k = [k α c δk] (15) Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 7 / 23

8 El Modelo Neoclásico del Crecimiento Equilibrio de estado estacionario: c y k/ċ = k = 0 Entonces imponemos esta condición de equlibrio sobre la ecuaciones anteriores: c = (αk α 1 ρ δ)c = 0 (16) k = k α c δk = 0 (17) Dejando de lado los equilibrios que surgen cuando c = 0, tenemos que el equilibrio es (a partir de αk α 1 ρ δ = 0 y k α c δk = 0): k = [α/(ρ + δ)] 1/(1 α) (18) c = k α δk (19) Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 8 / 23

9 El Modelo Neoclásico del Crecimiento El grá co de (16) es, ċ/c = (αk α 1 ρ δ): Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 9 / 23

10 El Modelo Neoclásico del Crecimiento El grá co de (17) es, k = k α c δk: Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 10 / 23

11 El Modelo Neoclásico del Crecimiento El grá co de (16) y (17) es, ċ/c = (αk α 1 ρ δ); k = k α c δk: Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 11 / 23

12 El Modelo Neoclásico del Crecimiento El grá co de (16) y (17) es: Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 12 / 23

13 Condiciones de transversalidad Lo que vamos a mostrar ahora es que en el equilibrio tambien se cumplen las condiciones de transversalidad Notar que el Hamiltoneano en el equilibrio se puede escribir como: H(c, k, t, λ) = e ρt log(c ) + λ(k α c δk ) (20) Pero sabemos a partir de (18) y (19) que log(c ) =constante y que k α c δk = 0 Entonces lim t! = lim e ρt log(c ) + lim λ(k α t! t! c {z δk ) = } =0 = log(c ) lim t! e ρt = 0 (21) ya que 1 e ρt! 0 y log(c ) = constante Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 13 / 23

14 El Modelo Neoclásico del Crecimiento Ahora notar que a partir de (10) tenemos que λ λ = (αk α 1 δ) A partir de (16) sabemos que en equilibrio (αk α 1 δ) = ρ, entonces λ λ = ρ ) λ = λ(0)e ρt (22) A partir de acá es fácil veri car que también se cumple la segunda condición de transversalidad lim λ = lim λ(0)e ρt = 0 (23) t! t! Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 14 / 23

15 Solución analítica del Modelo Neoclásico del Crecimiento Nuestro modelo esta resumido en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: k = k α c δk (24) c = (αk α 1 ρ δ)c (25) Si conocemos el valor de los distintos parametros podríamos encontrar una solución analítica Supongamos que α = 0, 3, δ = 0, y ρ = 0, 06 Entonces tenemos, k = k 0,3 c (26) c = (0, 3k 0,7 0, 06)c (27) Es fácil ver que en equilibrio, c = 2 y k = 10 Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 15 / 23

16 Linealizando el sistema Nuestro modelo esta resumido en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: k = 0, 3k 07 (k k ) (c c ) (28) c = 0, 021c k 1,7 (k k ) + (0, 3k 0,7 0, 06)(c c ) (29) Notar que (0, 3k 0,7 0, 06) = 0 en equilibrio, entonces el sistema queda como: k = 0, 06k c + 1, 4 (30) c = 0, 008k + 0, 08 (31) Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 16 / 23

17 Solución sistema de ecuaciones diferenciales Sistema de ec diferenciales en notación matricial:! 1 0 ḳ k 1, 4 + = 0 1 c c 0, 08 (32) o 1 0 Donde I 0 1 k y y C c I ẏ + My = C (33)! 006 1, M, ẏ ḳ, c 1, 4 0, 08 Solución particular El equilibrio que encontramos antes, c = 2 y k = 10, no es otra cosa que la solución particular del sistema (veri carlo) Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 17 / 23

18 Solución sistema de ecuaciones diferenciales Solución Homogenea Pruebo con y Entonces tendre: m n I ẏ + My = 0 (34) m e rt, ẏ re n rt m (ri + M) n e rt = 0 (35) Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 18 / 23

19 Solución sistema de ecuaciones diferenciales Para una solución no trivial, impongo jri + Mj = r r = 0 (36) Entonces r 1, r 2 = 0, 06 p 0, ) r 1 = 0, 125, r 2 = 0, (37) m Es fácil veri car que el vector asociado con r n 1 = 0, 125 es m 1 (mostrarlo como ejercicio) 0, 065m 1 m Mientras que el asociado con r 2 = 0, 065 es 2 0, 125m 2 (mostrarlo como ejercicio) Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 19 / 23

20 Solución sistema de ecuaciones diferenciales Por tanto la solución homogenea es: k m = 1 e 0,125t + c 0, 065m 1 Por tanto la solución general es: k m = 1 e 0,125t + c 0, 065m 1 m 2 0, 125m 2 m 2 0, 125m 2 e 0,065t (38) e 0,065t (39) Al ser r 1 > 0 y r 2 < 0, estamos ante un punto de silla, esto signi ca que con excepción de si estamos en el camino de ensilladura (o brazo estable), en los demás puntos tendemos a diverger del equilibrio Sobre el camino de ensilladura el sistema tiende a converger Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 20 / 23

21 Solución sistema de ecuaciones diferenciales El camino de ensilladura podemos encontrarlo haciendo m 1 =0 y suponiendo m 2 6=0 En ese caso tendremos: k m = 2 e 0,065t 10 + c 0, 125m 2 2 (40) y por tanto (encontrando la relación implicita entre k y c, a partir del sistema de ecuaciones anteriores), el camino de ensilladura es: c = 0125k (41) Notar que en general el camino de ensilladura no es lineal, pero en un entorno del equilibrio podemos aproximarlo por la ecuación lineal anterior Por supuesto que nada nos garantiza a priori que estaremos en una situación donde m 1 =0 Esto podra suceder si tenemos condiciones iniciales (o terminales) adecuadas que nos lleven a concluir eso En general en los modelos económicos hacemos supuestos (razonables) que nos permitan partir de un punto sobre el camino de ensilladura Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 21 / 23

22 Solución sistema de ecuaciones diferenciales El camino de ensilladura (como se puede ver no esta dibujado como lineal, pero se puede aproximar por función lineal cerca del equilibrio): Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 22 / 23

23 El porque del nombre camino de ensilladura Unicamente si una bolilla cae sobre la parabola que está dibujada con linea negra, tendera al equilibrio que esta en el centro de la silla de montar Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn nito 23 / 23