MATEMÁTICA. Ítems liberados

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1 MATEMÁTICA Ítems liberados

2 EL CAMPO Aquí ves una fotografía de una casa de campo con el techo en forma de pirámide. Debajo hay un modelo matemático del techo de la casa de campo con las medidas correspondientes. T H 12 m G E F D N M C K L 12 m A 12 m B El piso del entretecho, ABCD en el modelo, es un cuadrado. Las vigas que sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular) EFGHKLMN. E es el punto medio de, F es el punto medio de, G es el punto medio de y H es el punto medio de. Todas las aristas de la pirámide del modelo tienen 12 m de largo. 2

3 Pregunta 1: EL CAMPO M037Q01 Calcula el área del piso del entretecho ABCD. El área del piso del entretecho ABCD = m² EL CAMPO. PUNTAJE 1 Puntaje completo Código 1: 144 (la unidad ya ha sido dada). Sin puntaje Código 0: Otras respuestas Código 9: Omitida. Pregunta 2: EL CAMPO M037Q02 Calcula el largo de, una de las aristas horizontales del bloque. El largo de = m EL CAMPO. PUNTAJE 2 Puntaje completo Código 1: 6. (la unidad ya ha sido dada) Sin puntaje Código 0: Otras respuestas Código 9: Omitida. 3

4 CAMINAR La foto muestra las huellas de un hombre caminando. El largo del paso P es la distancia entre los extremos posteriores de dos huellas consecutivas. Para los hombres, la fórmula n = 140, da una relación aproximada entre n y P P donde, n = número de pasos por minuto, y P = largo del paso en metros. Pregunta 1: CAMINAR M124Q La fórmula se aplica al caminar de Enrique y Enrique da 70 pasos por minuto, cuál es el largo del paso de Enrique? Muestra tus cálculos. CAMINAR. PUNTAJE 1 Puntaje completo Código 2: 0.5m o 50cm; (las unidades no son necesarias) $! = "#! $! = "#! =! 70/140 Puntaje parcial Código 1: La sustitución de los números en la fórmula es correcta, pero la respuesta es incorrecta o no respondió. 4

5 $! = "#! $! = "#! $! = "#! = % [sólo sustituye los números en la fórmula] [sustitución correcta pero el procedimiento es incorrecto] ó Manipula correctamente la fórmula P=n/140, pero no va más allá del procedimiento correcto. Sin puntaje Código 0: Otras respuestas 70cm Código 9: Omitida. 5

6 Pregunta 3: CAMINAR M124Q Bernardo sabe que el largo de sus pasos es de 0,80 metros. La fórmula se ajusta al caminar de Bernardo. Calcula la velocidad con la que camina Bernardo en metros por minuto y en kilómetros por hora. Muestra tus cálculos. CAMINAR. PUNTAJE 3 Puntaje completo Código 31: Respuestas correctas (las unidades no son necesarias) en metros/minuto y km/hora: n = 140 x.80 = 112. Él camina por minuto 112 x.80 metros = 89.6 metros. Su velocidad es de 89.6 metros por minuto. Así que su velocidad es de 5.38 ó 5.4 km/hr Código 31 si están ambas respuestas correctas (89.6 y 5.4), sin importar que el desarrollo se muestre o no. Los errores de redondeo pueden ser aceptados, por ejemplo, 90 metros por minuto y 5.3 km/hr (89 X 60) es aceptado y y 5.376km/h 89.8 y 5376 m/hora (nota que si la segunda respuesta no tiene unidades deberá ser codificada como código 22) Puntaje parcial (2-puntos) Código 21: Como en el código 31 pero falla al multiplicar por 0.80 para convertir los pasos por minuto a metros por minuto. Por ejemplo, su velocidad es 112 metros por minuto y 6.72 km/hr 112 y 6.72km/h Código 22: La velocidad en metros por minuto es correcta (89.6 metros por minuto) pero la conversión a kilómetros por hora es incorrecta metros/minuto, 8960 km/hr 89.6 y y y 0.087km/h 89.6 y 1.49km/h Código 23: El método es correcto (se muestra explícitamente) con errores mínimos de cálculo no considerados en los Códigos 21 y 22. La respuestas no son correctas. n=140 x.8 = 1120; 1120 x 0.8 = 896. Él camina a 896 m/min, 53.76km/h n=140 x.8 = 116; 116 x 0.8 = m/min -> 5.57km/h Código 24: Sólo da el 5.4 km./hr, pero no los 89.6 metros/minuto (se muestran parcialmente los cálculos) 6

7 km./h 5376 m/h Puntaje parcial (1-punto) Código 11: n = 140 x.80 = 112. No se muestra el desarrollo de la pregunta o éste es incorrecto para esta parte. 112 n=112, 0.112km/h n=112, 1120km/h 112 m/min, 504 km/h Sin Puntaje Código 00: Código 99: Otras respuestas incorrectas. Omitida. 7

8 MANZANOS Un agricultor planta manzanos en un esquema cuadrado. Para proteger los árboles del viento él planta pinos alrededor de todo el huerto. Aquí ves un diagrama de esta situación donde se presentan los cuadrados de manzanos y de pinos para cualquier número (n) de filas de manzanos : n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 X X X X X X X X X = pino = manzano X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 8

9 Pregunta 1: MANZANOS M136Q Completa la tabla: n Número de manzanos Número de pinos MANZANOS PUNTAJE 1 Completa la tabla: n Número de manzanos Número de pinos Puntaje completo Código 21: Las 7 casillas correctas Puntaje parcial [Estos códigos son para UN error/o un blanco en la tabla. El código 11 si hay UN error para n=5, y el código 12 es para UN error para n=2 o 3 o 4] Código 11: Completa correctamente para el n = 2, 3, 4, pero UNA casilla para n=5 es incorrecto o está en blanco La última casilla de 40 ' es incorrecta; todo lo demás es correcto. 25 ' es incorrecto; todo lo demás es correcto. Código 12: Los números para el n=5 son correctos, pero hay UN error /No contestó para n=2 ó 3 ó 4. Sin puntaje [Estos códigos son para DOS o más errores o respuestas en blanco] Código 01: Las casillas correctas para el n=2, 3, 4, pero AMBAS casillas para el n=5 son incorrectas o en blanco Ambos 25 ' y '40 ' son incorrectos o en blanco; todo lo demás es correcto. Código 02: Código 99: Otras respuestas Omitida. 9

10 Pregunta 2: MANZANOS M136Q Hay dos fórmulas que puedes usar para calcular el número de manzanos y de pinos para el esquema descrito anteriormente: Número de manzanos = Número de pinos = & n % n donde n es el número de filas de manzanos Hay un valor de n para el cual el número de manzanos es igual al número de pinos. Encuentra el valor de n y muestra el método que usaste para calcularlo MANZANOS. PUNTAJE 2 Puntaje completo [Estos códigos son para las respuestas que son correctas, n = 8, usando diferentes desarrollos] Código 11: n = 8, se desarrolla explícitamente el método algebraico. n 2 = 8n, n 2 8n = 0, n(n 8)=0, n = 0 y n = 8, por lo tanto n =8 Código 12: n =8, no se usa claramente el álgebra, o no se muestra el desarrollo. n 2 = 8 2 = 64, 8n = 8 8 = 64 n 2 = 8n. Esto da n=8. 8 x 8 = 64, n=8 n = 8 8 x 8 = 8 2 Código 13: n=8, usando otros métodos, por ejemplo, usando un patrón de expansión o dibujos. [Estos códigos son para las respuestas que son correctas, n = 8, MAS la respuesta n=0, con diferentes desarrollos.] Código 14: Como en el código 11 (despejado algebraicamente), pero da ambas respuestas n=8 Y n = 0 n 2 = 8n, n 2 8n = 0, n(n 8)=0, n = 0 y n = 8 Código 15: Como en el código 12 (sin despeje algebraico), pero da ambas respuestas n=8 Y n=0 10

11 Sin puntaje Código 00: Otras respuestas, incluyendo sólo la respuesta n = 0. n 2 = 8n (se repite la oración de la pregunta) n 2 = 8 n = 0. No puedes tener el mismo número porque para manzano, hay 8 pinos. Código 99: Omitida. 11

12 Pregunta 3: MANZANOS M136Q Supongamos que el agricultor quiere hacer un huerto mucho más grande, con muchas filas de árboles. A medida que el agricultor agranda el huerto, qué aumentará más rápidamente: el número de manzanos o el número de pinos? Explica como encontraste tu respuesta MANZANOS. PUNTAJE 3 Puntaje completo Código 21: La respuesta correcta (manzanos) acompañada de una explicación válida. Por ejemplo: Manzanos = n X n y los pinos = 8 X n ambas fórmulas tienen un factor n, pero los manzanos tienen otra n la cual hace que sea más grande donde el factor 8 es el mismo. El número de manzanos se incrementa más rápidamente. El número de manzanos se incrementa más rápido porque está al cuadrado en vez de estar multiplicado por 8. El número de manzanos es al cuadrado. El número de pinos es lineal. Por lo tanto los manzanos se incrementarán más rápido. Usa gráficos para contestar que n 2 es mayor que 8n después de n=8. Puntaje parcial [Nota que el código 21 se da si el estudiante proporciona algunas explicaciones algebraicas basadas en la fórmula n 2 y 8n]. Código 11: Respuesta correcta (manzanos) basada sobre ejemplos específicos o sobre el desarrollo de la tabla. La cantidad de manzanos se incrementará más rápidamente porque, si usamos la tabla (de la página anterior), encontramos que la cantidad de manzanos se incrementa más rápido que la cantidad de pinos. Esto pasa especialmente después de que la cantidad de manzanos y pinos es la misma. La tabla muestra que la cantidad de manzanos se incrementa más rápidamente. O Respuesta correcta (manzanos) con ALGUNA evidencia que es entendida la relación n 2 y 8n, pero no es claramente expresada como en el Código 21. Los manzanos después de que n > 8. Después de 8 filas la cantidad de manzanos se incrementará más rápidamente que la de pinos. Los pinos hasta que haya 8 hileras, entonces serán más manzanos. Sin puntaje Código 01: Respuesta correcta (manzanos) sin explicación, con explicación insuficiente o equivocada. manzanos manzanos porque están poblando la parte de adentro que es más grande que el perímetro. manzanos porque están rodeados de los pinos. 12

13 Código 02: Otras respuestas incorrectas Pinos Los pinos porque para cada fila adicional de manzanos necesita una gran cantidad de pinos. Pinos. Porque para cada manzano hay 8 pinos. No sé. Código 99: Omitida. 13

14 SUPERFICIE DE UN CONTINENTE A continuación se presenta el mapa de la Antártida. ' ' ( kilómetros

15 Pregunta 2: CONTINENTE M148Q Estima el área de la Antártida utilizando la escala del mapa. Muestra tus cálculos y explica cómo has hecho tu estimación. (Puedes dibujar sobre el mapa si te ayuda para hacer tu estimación). CONTINENTE. PUNTAJE 2 Puntaje completo [Estos Códigos son para las respuestas donde se utilizó el método correcto Y se obtuvo la repuesta correcta. El segundo dígito indica diferentes desarrollos.] Código 21: Código 22: Se calculó por medio del dibujo de un cuadrado o un rectángulo entre km 2 y km 2 (las unidades no son necesarias) Se calculó por medio del dibujo de un círculo - entre km 2 y kms2 Código 23: Se calculó sumando áreas de diferentes figuras geométricas regulares - entre kms2 y kms2 Código 24: Se calculó con otro método correcto entre kms2 y kms2 Código 25: Respuesta correcta (entre kms2 y kms2) pero no se muestra el procedimiento. Puntaje parcial [Estos códigos son para respuestas que utilizaron un método correcto PERO obtuvieron una respuesta incompleta o incorrecta. El segundo dígito indica los diferentes desarrollos, y estos se relacionan con el segundo dígito de los códigos de las respuestas correctas.] Código 11: Se calculó por medio del dibujo de un cuadrado o un rectángulo método correcto pero la respuesta está incompleta o incorrecta. Se calculó por medio del dibujo de un rectángulo y se multiplicó el ancho por la longitud, pero el resultado está por arriba o por debajo del correcto (por ejemplo, ) Se calculó por medio del dibujo de un rectángulo y se multiplicó el ancho por la longitud, pero el número de ceros es incorrecto (por ejemplo, 4000 X 3500 = ) Se calculó por medio del dibujo de un rectángulo y se multiplicó el ancho por la longitud, pero olvidó utilizar la escala para convertir km2 (por ejemplo, 12cm X 15cm = 180) Se calculó por medio del dibujo de un rectángulo y el estado del área es de 4000km x 3500km. No mostró el procedimiento completo. 15

16 Código 12: Código 13: Código 14: Se calculó por medio del dibujo de un círculo el método es correcto, pero la respuesta está incompleta o incorrecta. Se calculó sumando áreas de diferentes figuras geométricas regulares el método es correcto, pero la respuesta está incompleta o incorrecta. Se calculó por medio de otro método correcto pero la respuesta está incompleta o incorrecta. Sin puntaje Código 01: Se calculó el perímetro en lugar del área. Por ejemplo, km en la escala de 1000 km le daría la vuelta al mapa 16 veces. Código 02: Otras respuestas incorrectas Por ejemplo, km (no se muestra el procedimiento y la respuesta es incorrecta) 16

17 Código 99: Omitida. TABLA DE RESUMEN La siguiente tabla de resumen muestra la relación entre los Códigos: Método de Cálculo Código Logro completo entre y kms 2 Logro parcial Método correcto pero la respuesta está incompleta o incorrecta. No logrado Dibujo de un rectángulo Dibujo de un círculo Suma de áreas de figuras geométricas regulares Otros métodos correctos No muestra el procedimiento 25 Perímetro 01 Otras respuestas incorrectas 02 No contestó 99 NOTA: Mientras codifica esta pregunta, lea lo que el estudiante escribió con palabras en el espacio correspondiente, asegúrese de que también está observando el mapa para ver los dibujos/marcas que el estudiante hizo sobre el mismo. Frecuentemente los estudiantes no se explican bien con palabras, pero se puede obtener más información observando las marcas que hizo el estudiante sobre el mapa. El objetivo no es ver si el estudiante puede expresarse bien con palabras, sino tratar de encontrar como llegó el estudiante a su respuesta. Por lo tanto, si no hay explicación, se puede interpretar de los dibujos que el estudiante hizo sobre el mapa, o de la fórmula que el estudiante utilizó, considere esto como una explicación. 17

18 CRECER LA JUVENTUD SE HACE MÁS ALTA La estatura promedio de los jóvenes hombres y mujeres de Holanda en 1998 está representada en el siguiente gráfico. 190 Estatura (cm) 180 Estatura promedio de los hombres jóvenes en Estatura promedio de las mujeres jóvenes en Edad (Años) Pregunta 6: CRECER M150Q Desde 1980 la estatura promedio de las mujeres de 20 años ha aumentado 2,3 cm, hasta alcanzar los 170,6 cm. Cuál era la estatura promedio de las mujeres de 20 años de edad en 1980?... cm CRECER PUNTAJE 1 Puntaje completo Código 1: 168,3 cm (la unidad fue dada) Sin puntaje Código 0: Otras respuestas Código 9: Omitida. 18

19 Pregunta 7: CRECER M150Q Explica como el gráfico muestra que el crecimiento promedio de las mujeres es más lento después de los 12 años CRECER. PUNTAJE 3 Puntaje completo La clave aquí es que la respuesta deberá referirse al cambio en la pendiente de la curva de las mujeres. Esto se puede hacer tanto explícita como implícitamente. El código 11 y el código 12 son para una explicación en la que se menciona la inclinación de la curva del gráfico, mientras que el código 13 es para una comparación implícita utilizando el aumento en el crecimiento antes y después de los 12 años de edad. Código 11: Indica la reducción de la inclinación de la curva a partir de los 12 años, utilizando lenguaje cotidiano, no lenguaje matemático. La inclinación de la curva no aumenta. Se vuelve más suave. La curva se suaviza. La curva es más suave después de los 12. La curva de las mujeres comienza a suavizarse y la de los muchachos es más grande. La curva de los muchachos se mantiene ascendiendo. La otra se suaviza. Código 12: Indica la reducción de la inclinación de la curva a partir de los 12 años, utilizando lenguaje matemático. Puedes ver que la pendiente es menor. El índice del cambio del gráfico disminuye de los 12 años en adelante. [El estudiante calculó los ángulos de la curva con respecto al eje x antes y después de los 12 años.] En general, si se usan palabras como pendiente, inclinación, o índice de cambio, considérese como lenguaje matemático. Código 13: Compara el crecimiento actual (la comparación puede estar implícita) De 10 a 12 el crecimiento es alrededor de 15cm, pero de 12 a 20 el crecimiento es sólo de alrededor de 17cm El promedio del índice de crecimiento de 10 a 12 es alrededor de 7.5 cm por año, pero de 12 a 20 años es de alrededor de 2cm por año. 19

20 Sin puntaje Código 01: El estudiante indica que la estatura femenina está por debajo de la estatura masculina, pero NO menciona nada acerca de la inclinación de las mujeres en el gráfico ni compara el índice de crecimiento de las mujeres antes y después de los 12 años. La línea de las mujeres en el gráfico está por debajo que la de los hombres. Si el estudiante menciona que la línea de las mujeres en el gráfico es menos inclinada, ASÍ COMO el hecho de que la línea de las mujeres cae debajo de la línea de los hombres, entonces la respuesta es correcta (código 11, 12 ó 13). No se busca una comparación entre el gráfico de hombres y mujeres, entonces ignore cualquier referencia sobre comparaciones y emita un juicio basándose en el resto de la respuesta. Código 02: Otras respuestas incorrectas. Por ejemplo, la respuesta no se refiere a las características del gráfico, como claramente lo pide la pregunta cómo el GRÁFICO muestra... Código 99: Omitida. Las niñas maduran más rápido. Porque las mujeres llegan a la pubertad antes que los hombres y ellas se desarrollan más rápido. Las niñas no crecen mucho después de los 12 años. [Proporciona una afirmación de que el crecimiento de las niñas va más despacio después de los 12 años de edad, y no hace ninguna referencia del gráfico.] Pregunta 8: CRECER M150Q De acuerdo con este gráfico, en promedio, durante qué periodo de su vida son las mujeres más altas que los hombres de su misma edad CRECER. PUNTAJE 2 Puntaje completo Código 21: Proporciona el intervalo correcto, de años. Entre la edad de 11 y 13 En promedio, de los 11 a los 13 años de edad, las niñas son más altas que los niños

21 Código 22: Afirma que las niñas son más altas que los niños cuando tienen 11 y 12 años de edad. (Esta respuesta es correcta en lenguaje cotidiano, porque menciona el intervalo de 11 a 13). Puntaje parcial Las niñas son más altas que los niños cuando tienen 11 y 12 años de edad. 11 y 12 años de edad. Código 11: Otros rangos entre (11, 12, 13), no incluidos en la sección de Respuestas correctas. Sin puntaje 12 a a 12.8 Código 00: Otras respuestas Las niñas son más altas que los hombres cuando tienen más de 13 años. Las niñas son más altas que los hombres de los 10 a los 11 años. Código 99: Omitida. 21

22 Puntaje completo Código 1: B 1.5 km. Puntaje completo Código 1: C Aproximadamente en el km

23 Puntaje completo Código 1: B. 23

24 Puntaje completo Código 1: Alternativa D. 24

25 CAMPEONATO DE PING-PONG Pregunta 1: CAMPEONATO DE PING-PONG M521Q Tomás, Roberto, Bernardo y Daniel formaron un grupo de entrenamiento en un club de ping-pong. Cada jugador desea jugar una vez contra cada uno de los otros jugadores. Ellos reservaron dos mesas de entrenamiento para sus partidos. Completá el siguiente programa de partidos, escribiendo el nombre de los jugadores en cada partido. Mesa de entrenamiento 1 Mesa de entrenamiento 2 Turno 1 Tomás Roberto Bernardo - Daniel Turno Turno Pregunta 2: CAMPEONATO DE PING-PONG M521Q02 Hugo pertenece a un grupo de entrenamiento de seis personas. Ellos reservaron el número máximo de mesas que podrían usar al mismo tiempo. Si cada jugador juega con cada uno de los otros jugadores una vez, cuántas mesas usarán? cuántos partidos jugarán en total? y cuántos turnos necesitan? Escribí tus respuestas en la siguiente tabla. Número de mesas: Número de partidos: Número de turnos: 25

26 Pregunta 3: CAMPEONATO DE PING-PONG M521Q03 Dieciséis personas participan en el campeonato de un club. Este club de ping-pong tiene muchas mesas disponibles. Encontrá el número mínimo de turnos si todos los competidores juegan una vez contra cada uno de los demás competidores. Respuesta: turnos 26

27 FARO Los faros son torres provistas de una luz intermitente en su parte superior. Los faros ayudan a los barcos a encontrar su camino de noche, cuando navegan cerca de la costa. La luz de un faro se prende y se apaga respondiendo a un patrón fijo. Cada faro tiene su propio patrón. luz oscuri dad tiempo (segundos) En el siguiente diagrama, se muestra el patrón de un determinado faro. Los rayos de luz se alternan con momentos de oscuridad. Éste es un patrón que se repite cada cierto tiempo. El tiempo que toma un ciclo completo, antes de comenzar a repetirse, se llama período. Cuando encontrás el período de un patrón, resulta fácil completar el diagrama para los siguientes segundos, o minutos, o incluso horas. Pregunta 4: FARO M523Q01 Cuál de los siguientes podría ser el período del patrón de este faro? A. 2 segundos. B. 3 segundos. C. 5 segundos. D. 12 segundos. 27

28 Pregunta 5: FARO M523Q02 En el transcurso de un minuto durante cuántos segundos emite rayos de luz este faro? A. 4 B. 12 C. 20 D Pregunta 6: FARO M523Q En el siguiente diagrama, graficá un posible patrón para un faro que emite rayos de luz 30 segundos por minuto. El período de este patrón debe ser igual a 6 segundos. de luz oscuri dad tiempo (segundos) 28

29 LATIDOS DEL CORAZÓN Por razones de salud, las personas deben limitar sus esfuerzos, por ejemplo durante la realización de un deporte, para no sobrepasar cierta frecuencia de latidos del corazón. Durante años, la relación entre el ritmo cardíaco máximo recomendable y la edad de la persona ha sido descripta por la siguiente fórmula: Ritmo cardíaco máximo recomendable = edad Investigaciones recientes demostraron que esta fórmula debería modificarse levemente. La nueva fórmula es la siguiente: Ritmo cardíaco máximo recomendable = 208 (0,7 x edad) Pregunta 7: LATIDOS DEL CORAZÓN M537Q Un artículo de un periódico señala: El resultado de utilizar la nueva fórmula en lugar de la antigua es que el número máximo recomendable de latidos del corazón por minuto para personas jóvenes disminuye levemente y para las personas mayores aumenta levemente. A partir de qué edad aumenta el ritmo cardíaco máximo recomendable como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Mostrá tus cálculos. Pregunta 8: LATIDOS DEL CORAZÓN M537Q La fórmula Ritmo cardíaco máximo recomendable = 208 (0,7 x edad) también se utiliza para determinar cuándo el entrenamiento físico es más efectivo. La investigación ha demostrado que el entrenamiento físico es más efectivo cuando el ritmo cardíaco está a un 80% del ritmo cardíaco máximo recomendable. Escribí una fórmula para calcular el ritmo cardíaco que resultaría en el entrenamiento físico más efectivo, expresado en términos de edad. 29

30 VUELO ESPACIAL La estación espacial Mir permaneció en órbita durante 15 años y giró alrededor de la Tierra unas veces durante su permanencia en el espacio. La estadía más prolongada de un cosmonauta en la Mir fue de aproximadamente 680 días. Pregunta 9: VUELO ESPACIAL M543Q01 Aproximadamente cuántas veces voló este cosmonauta alrededor de la Tierra? A. 110 B C D Pregunta 10: VUELO ESPACIAL M543Q02 El peso total de la Mir era kg. Cuando la Mir volvió a la Tierra, alrededor de un 80% se quemó en la atmósfera. El resto se quebró en unos pedazos y cayó al Océano Pacífico. Cuál es el peso promedio de los pedazos que cayeron al Océano Pacífico? A. 19 kg B. 76 kg C. 95 kg D. 480 kg Pregunta 11: VUELO ESPACIAL M543Q La Mir dio vueltas a la Tierra a una altura de aproximadamente 400 kilómetros. El diámetro de la Tierra es de unos km y su circunferencia es de unos km ( ). Estimá la distancia total que viajó la Mir durante sus revoluciones estando en órbita. Redondeá tu respuesta a los 10 millones más próximos. 30

31 ESCALERA El diagrama que está a continuación, muestra una escalera de 14 escalones y una altura total de 252 cm Altura del escalón Descanso Profundidad del escalón Altura total 252 cm Profundidad total 400 cm Pregunta 12: ESCALERA M547Q01 Cuál es la altura de cada uno de los 14 escalones? Altura =... cm. Pregunta 13: ESCALERA M547Q02 La figura de la escalera muestra a qué se refieren los términos profundidad del escalón y altura del escalón. Una escalera bien hecha debería construirse según la fórmula para escaleras que se describe en el siguiente recuadro. La profundidad de los escalones depende de la altura de los escalones, y viceversa. Para calcular la profundidad o la altura, podés aplicar la fórmula para escaleras 2 alturas de escalón + 1 profundidad de escalón = 63 cm. Cuál debería ser la profundidad del escalón cuando la altura del escalón es 14 cm? Profundidad del escalón =... cm 31

32 Pregunta 14: ESCALERA M547Q03 A continuación se incluyen algunas afirmaciones acerca de una escalera construida según la fórmula para escaleras. Encerrá en un círculo la palabra Verdadero o Falso para cada una de ellas. Afirmación Se puede cambiar la altura de los escalones sin cambiar su profundidad. Se puede hacer una escalera en la que tanto la altura del escalón como la profundidad del escalón tengan 20 cm. Si querés hacer una escalera más empinada, debés aumentar la profundidad del escalón. Verdadero/Falso Verdadero / Falso Verdadero / Falso Verdadero / Falso. Pregunta 15: ESCALERA M547Q04 Una persona está construyendo una escalera de un alto total de 252 cm. Ella aplicó la fórmula para escaleras. Cuántos escalones tendrá esta escalera si su profundidad es 29,4 cm? Respuesta =... escalones 32

33 A la derecha hay un dibujo de dos dados. DADOS Los dados son cubos especiales con números, para los cuales se aplica la siguiente regla: El número total de puntos en dos caras opuestas siempre suma siete. Pregunta 16: DADOS M555Q01 En el dibujo de la derecha, se ven tres dados apilados uno sobre otro. El dado 1 tiene 4 puntos en la cara de arriba. Cuántos puntos hay en total en las cinco caras horizontales que no podés ver (cara de abajo del dado 1 y cara de arriba y de abajo de los dados 2 y 3)? M555Q02 Pregunta 17: DADOS Podés hacer un dado cortando, doblando y pegando cartón. Esto puede hacerse de varias maneras. En la figura de abajo se muestran cuatro modelos que pueden usarse para hacer dados, con puntos en sus caras. Cuál(es) del(de los) siguiente(s) modelo(s) puede(n) doblarse para formar un dado que siga la regla la suma de los puntos en caras opuestas es 7? Para cada modelo, encerrá en un círculo la palabra Sí o No en la tabla a continuación l ll lll lv Modelo I II III IV Sigue la regla la suma de los puntos en caras opuestas es 7? Sí / No Sí / No Sí / No Sí / No 33

34 RESPALDO PARA EL PRESIDENTE En Zedlandia, se realizaron encuestas de opinión para determinar el nivel de respaldo que tendría el Presidente en la próxima elección. Cuatro periódicos realizaron encuestas separadas a nivel nacional. Los resultados de las cuatro encuestas de periódicos son los siguientes: Periódico 1: 36,5% (encuesta realizada el 6 de enero, con una muestra de 500 ciudadanos con derecho a votar, elegidos al azar) Periódico 2: 41,0% (encuesta realizada el 20 de enero, con una muestra de 500 ciudadanos con derecho a votar, elegidos al azar) Periódico 3: 39,0% (encuesta realizada el 20 de enero, con una muestra de 1000 ciudadanos con derecho a votar, elegidos al azar) Periódico 4: 44,5% (encuesta realizada el 20 de enero, con una muestra de 1000 lectores que votaron por teléfono). Pregunta 18: RESPALDO AL PRESIDENTE M702Q Qué periódico probablemente ofrece el mejor resultado para predecir el nivel de respaldo al Presidente si la elección se llevara a cabo el 25 de enero? Da dos razones para respaldar tu respuesta. Pregunta 19: RESPALDO AL PRESIDENTE M702Q Entrega la mejor estimación del porcentaje del nivel de respaldo que se anticipa para el Presidente usando los resultados combinados de las encuestas de los Periódicos 2 y 3. Muestra tus cálculos. 34

35 I PASARELAS MECÁNICAS Pregunta 20: PASARELAS MECÁNICAS M703Q A la derecha hay una fotografía de una pasarela mecánica. El siguiente gráfico Distancia-Tiempo muestra una comparación entre caminar en la pasarela mecánica y caminar en el piso junto a la pasarela mecánica. Suponiendo que en este gráfico la velocidad de la caminata es prácticamente la misma para ambas personas, agrega una línea al gráfico para representar la distancia versus el tiempo para una persona que está parada inmóvil en la pasarela mecánica. 35

36 EL MEJOR AUTOMÓVIL Una revista de automóviles utiliza un sistema de calificación para evaluar los automóviles nuevos y otorga el premio El automóvil del año al auto con el mayor puntaje total. Se están evaluando cinco automóviles nuevos cuyas calificaciones se muestran en la tabla. Automóvil Características de seguridad (S) Consumo de combustible (C) Aspecto externo (E) Equipamiento Interior Ca M Sp N KK Las calificaciones se interpretan de la siguiente manera: 3 puntos = Excelente 2 puntos = Bueno 1 punto = Regular (I) Pregunta 21: EL MEJOR AUTOMOVIL M704Q01 Para calcular el puntaje total de un auto, la revista de automóviles utiliza la siguiente fórmula, que representa una suma ponderada de los puntos individuales: Puntaje total = 3 x S + C + E + I Calculá el puntaje total para el automóvil Ca. Escribe tu respuesta en el siguiente espacio. Puntaje total para el automóvil Ca =... Pregunta 22: EL MEJOR AUTOMOVIL M704Q02 El fabricante del automóvil Ca piensa que la regla para calcular el puntaje total no es justa. Escribí una regla para calcular el puntaje total de modo que el auto Ca sea el ganador. Tu regla debe incluir cada una de las cuatro variables, y para escribir tu regla debes colocar números positivos en los cuatro espacios en la siguiente ecuación.. Puntaje total = S + C + E + I. 36

37 PATRÓN DE ESCALONES Roberto construye un patrón de escalones usando cuadrados. Estas son las etapas que sigue. Como puedes ver, él utiliza un cuadro en la etapa 1, tres cuadros en la etapa 2 y seis en la etapa 3. tiempo Distancia desde el inicio de la pasarela Una persona caminando en el piso Pregunta 23: PATRÓN DE ESCALONES Cuántos cuadrados debería usar en total para la etapa 4? M806Q01 Respuesta:... cuadrados. Pregunta 24: PATRÓN DE ESCALONES M806Q02 Imaginá que Roberto continúa con el patrón de escalones hasta la etapa 20. Cuántos cuadrados en total necesitará Roberto para la etapa 20 a? Respuesta:... cuadrados. 37

38 TARIFAS POSTALES Las tarifas postales en Zedlandia se basan en el peso de los envíos (redondeado al gramo más próximo) como se muestra en la siguiente tabla: Peso (redondeado al gramo más próximo) Hasta 20 g Tarifa 0,46 zeds 21 g 50 g 0,69 zeds 51 g 100 g 1,02 zeds 101 g 200 g 1,75 zeds 201 g 350 g 2,13 zeds 351 g 500 g 2,44 zeds 501 g 1000 g 3,20 zeds 1001 g 2000 g 4,27 zeds 2001 g 3000 g 5,03 zeds Pregunta 25: TARIFAS POSTALES M836Q01 Cuál de los siguientes gráficos es la mejor representación de las tarifas postales en Zedlandia? (El eje horizontal muestra el peso en gramos y el eje vertical muestra la tarifa en zeds.) A B C D

39 Pregunta 26: TARIFAS POSTALES M836Q Juan quiere mandarle a un amigo dos artículos cuyos pesos son 40 gramos y 80 gramos, respectivamente. De acuerdo a las tarifas postales de Zedlandia, decide si es más barato mandar los dos artículos en un solo paquete o mandar los artículos en dos paquetes separados. Muestra tus cálculos del costo en cada caso. 39

40 GRANERO El siguiente ejemplo muestra una representación de un granero y un esquema incompleto del mismo. Pregunta 1: GRANERO Completá el esquema del granero. 40

41 CUBO CON BASE NEGRA En la imagen del cubo, su mitad inferior aparece pintada de negro. Y, para cada uno de los esquemas se ha pintado de negro la cara que forma la base del cubo. Pregunta 1: CUBO CON BASE NEGRA Completá cada esquema sombreando los cuadrados pertinentes. 41

42 EXCURSIÓN COLEGIAL Un curso de un colegio que quiere alquilar un ómnibus para hacer una excursión, se pone en contacto con tres empresas de transporte para obtener información sobre sus precios. La empresa A cobra una tarifa inicial de 375 zeds más un plus de 0,5 zeds por kilómetro recorrido. La empresa B cobra una tarifa inicial de 250 zeds más un plus de 0,75 zeds por kilómetro recorrido. La empresa C cobra una tarifa fija de 350 zeds hasta los 200 kilómetros y 1,02 zeds por cada kilómetro que sobrepase los 200. Pregunta 1: EXCURSIÓN COLEGIAL Qué empresa deberá elegir el curso si el recorrido total de la excursión se encuentra entre los 400 y los 600 kilómetros? Mostrá cómo hallaste la respuesta. 42

43 PRESA - DEPREDADOR En el gráfico que viene a continuación se muestra el crecimiento de dos organismos vivos: el Paramecium y el Saccharomyces. Pregunta 1: PRESA - DEPREDADOR Uno de los dos animales (el depredador) se come al otro (la presa). Permite el gráfico identificar cuál es la presa y cuál es el depredador? Justificá tu respuesta. Pregunta 2: PRESA - DEPREDADOR Una propiedad del fenómeno presa depredador se puede expresar de la siguiente manera: la tasa de crecimiento de los depredadores es proporcional a la cantidad de presas disponibles. Es aplicable esta propiedad al gráfico anterior? Justificá tu respuesta.. 43

44 LATAS DE REFRESCOS Esta noche das una fiesta. Querés comprar 100 latas de gaseosas. Cuántos paquetes de seis latas vas a comprar? Mostrá cómo hallaste la respuesta. ALA DELTA Un ala delta con un índice de descenso de 1 m por cada 22 m inicia su vuelo desde un precipicio de 120 m de altura. El piloto quiere llegar a un punto situado a una distancia de metros. Logrará llegar a ese punto (en ausencia de viento)? Mostrá tus cálculos para justificar tu respuesta. ALQUILER DE BUSES Un colegio quiere alquilar unos buses (con asientos para ocho pasajeros) para llevar a 98 alumnos a un campamento escolar. Cuántos buses se necesitarán? Mostrá cómo hallaste la respuesta. 44

45 PORCENTAJES Carlos fue a un negocio a comprar un saco cuyo precio habitual era 50 zeds, pero que ahora se vendía con un 20% de descuento. En Zedlandia existe un impuesto sobre las ventas del 5%. El vendedor agregó primero el impuesto del 5% al precio del saco y luego descontó el 20%. Carlos se quejó: quería que el vendedor dedujera primero el 20% y luego agregara el impuesto del 5%. Pregunta 1: PORCENTAJES Hay alguna diferencia? Mostrá tus cálculos para justificar tu respuesta. 45

46 MEDIA DE EDAD Si el 40% de la población de un país tiene al menos 60 años, es posible que la media de edad sea de 30 años? Justificá tu respuesta. ROBOS Un conductor de un programa de televisión mostró este gráfico y dijo: El gráfico muestra que hay un enorme aumento del número de robos comparando 1998 con

47 Pregunta 1: ROBOS Considerás que la afirmación del conductor es una interpretación razonable del gráfico? Da una explicación que fundamente tu respuesta. 47

48 ECUACIÓN Resolvé la ecuación. 7x - 3 = 13x + 15 PROMEDIO Cuál es el promedio de 7, 12, 8, 14, 15, 9?. CUENTA DE AHORRO Se ingresan 100 zeds en una cuenta de ahorro de un banco con un tipo de interés del 4%. Cuántos zeds habrá en la cuenta al cabo de un año?. 48

49 EXPORTACIONES Los siguientes gráficos muestran información acerca de las exportaciones procedentes de Zedlandia, país que usa el zed como unidad monetaria: Pregunta 1: EXPORTACIONES Cuál fue el valor de las exportaciones de jugos de frutas de Zedlandia en 2000? A. 1,8 millones de zeds. B. 2,3 millones de zeds. C. 2,4 millones de zeds. D. 3,4 millones de zeds. E. 3,8 millones de zeds. 49

50 ALQUILER DE OFICINA Estos dos anuncios aparecieron en un diario de un país cuya unidad monetaria es el zed. EDIFICIO A EDIFICIO B Se alquilan espacios para oficinas; metros cuadrados; 475 zeds al mes; metros cuadrados; 800 zeds al mes. Se alquilan espacios para oficinas; metros cuadrados; 90 zeds por metro cuadrado al año. Pregunta 1: ALQUILER DE OFICINA Si una empresa está interesada en alquilar durante un año una oficina de 110 metros cuadrados en ese país, en qué edificio, A o B, debería alquilar la oficina para conseguir el precio más bajo? Mostrá cómo hallaste la respuesta. [IES/TIMSS] 50

51 ESTATURA DE LOS ESTUDIANTES Un día, en una clase de matemáticas, se midió la estatura de todos los estudiantes. Se determinó que la estatura promedio de los hombres era 160 cm y la estatura promedio de las mujeres 150 cm. Amanda, la más alta, midió180 cm. Zacarías, el más bajo, midió 130 cm. Ese día, dos alumnos habían faltado a clases, pero estuvieron presentes al día siguiente. Una vez medidos, se recalcularon los promedios. Sorprendentemente, no cambió ni el promedio de altura de las mujeres ni el de los hombres. Determina si es posible llegar a la(s) conclusión(es) siguiente(s) a partir de esta información. Qué conclusión(es) se puede(n) derivar de la siguiente información? Encierra en un círculo Sí o No para cada conclusión. Pregunta 1: ESTATURA DE LOS ESTUDIANTES Conclusión Ambos estudiantes son mujeres. Uno de los estudiantes es hombre y el otro mujer. Ambos estudiantes miden lo mismo. El promedio de estatura de todos los estudiantes no cambió. Zacarías sigue siendo el más bajo. Puede obtenerse esta conclusión? Sí / No Sí / No Sí / No Sí / No Sí / No 51

52 TIEMPO DE REACCIÓN En una carrera de velocidad, se llama tiempo de reacción al intervalo de tiempo que transcurre entre el disparo de partida y el instante en que el corredor abandona el bloque de salida. El tiempo final incluye tanto el tiempo de reacción como el tiempo de la carrera. La tabla siguiente muestra el tiempo de reacción y el tiempo final de 8 corredores en una carrera de 100 metros llanos. Pista Tiempo de reacción (seg) Tiempo final (seg) 1 0,147 10,09 2 0,136 9,99 3 0,197 9,87 4 0,180 No terminó la carrera 5 0,210 10,17 6 0,216 10,04 7 0,174 10,08 8 0,193 10,13 Pregunta 1: TIEMPO DE REACCIÓN Identifica los corredores que ganaron las medallas de oro, plata y bronce en esta carrera. Completa la siguiente tabla con el número de la pista en la que corría cada finalista, su tiempo de reacción y su tiempo final. Medalla Pista Tiempo de reacción (seg) Tiempo final (seg) ORO PLATA BRONCE 52

53 CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: Medalla Pista Tiempo de reacción (seg) Tiempo final (seg) ORO 3 0,197 9,87 PLATA 2 0,136 9,99 BRONCE 6 0,216 10,04 No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida Pregunta 2: TIEMPO DE REACCIÓN A la fecha, ningún ser humano ha podido reaccionar al disparo de partida en menos de 0,110 segundos. Si el tiempo de partida registrado para un corredor es menor que 0,110 segundos, se considera que hubo una falsa partida, ya que el corredor tuvo que haber partido antes de escuchar el disparo. Si el ganador de la medalla de bronce hubiera tenido un menor tiempo de reacción, podría haber ganado la medalla de plata? Justificá tu respuesta. 53

54 CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: Sí, con explicación adecuada. Sí. Si hubiera tenido un tiempo de reacción 0,05 segundos menor, habría obtenido el segundo lugar. Sí, habría tenido oportunidad de ganar la medalla de plata si su reacción hubiera sido igual o menor que 0,166 segundos. Sí, si hubiera tenido el mejor tiempo de reacción, habría corrido en 9,93 segundos registro suficiente para ganar la medalla de plata. No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas, incluyendo sí sin una explicación adecuada. Pregunta no respondida. 54

55 TANQUE DE AGUA Un tanque de agua tiene la forma y las dimensiones que se muestran en el diagrama. Inicialmente, el tanque está vacío. Luego se llena con agua a razón de un litro por segundo. 1,5 m 1,0 m 1,5 m Estanque de agua Pregunta 1: TANQUE DE AGUA Cuál de los siguientes gráficos ilustra el cambio en altura de la superficie del agua en el tiempo? A B C Altura Altura Altura Tiempo Tiempo Tiempo Altura D Altura E Tiempo Tiempo 55

56 CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: B. No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida. 56

57 DULCES DE COLORES La madre de Roberto lo deja sacar un dulce de una bolsa. Roberto no puede ver los dulces. El número de dulces de cada color que hay en la bolsa se muestra en el siguiente gráfico: Pregunta 1: DULCES DE COLORES Cuál es la probabilidad de que Roberto saque un dulce rojo? A 10% B 20% C 25% D 50% CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: B. 20%. No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida 57

58 PRUEBAS DE CIENCIA En la escuela de Mei Lin, el profesor de ciencia les toma pruebas que califica usando como referencia una escala de 100 puntos. Mei Lin tiene un promedio de 60 puntos en sus primeras cuatro pruebas de ciencia. En la quinta prueba obtiene 80 puntos. Pregunta 1: PRUEBAS DE CIENCIA Cuál es el promedio de sus notas de ciencia después de haber dado las cinco pruebas? Promedio=... CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: 64 No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida 58

59 PARQUE DE DIVERSIONES En un puesto de un parque de diversiones, para tener derecho a jugar primero hay que probar suerte en una ruleta. Si la ruleta cae en un número par, el jugador puede sacar una bolita de una bolsa. En el siguiente dibujo se muestran la ruleta y las bolitas en la bolsa. Pregunta 1: PARQUE DE DIVERSIONES Obtiene premio el jugador que saca una bolita negra. Susana prueba una vez. Qué probabilidad tiene de ganar un premio? A B C D E Imposible. No es muy probable. Tiene cerca del 50% de probabilidades. Muy probable. Es seguro. CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: B. No es muy probable. No logrado Código 0: Otras respuestas. Código 9: Pregunta no respondida 59

60 HAMACA Mauricio está sentado en una hamaca. Comienza a balancearse. Su idea es llegar lo más alto posible. Pregunta 1: HAMACA Cuál de estos gráficos representa mejor la altura de sus pies respecto al suelo mientras se hamaca? Altura de los pies A Tiempo Altura de los pies B Tiempo Altura de los pies C Tiempo Altura de los pies D Tiempo 60

61 CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: A No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida 61

62 ESTATURA DE LOS ESTUDIANTES Un día, en una clase de matemáticas, se midió la estatura de todos los estudiantes. Se determinó que la estatura promedio de los hombres era 160 cm y la estatura promedio de las mujeres 150 cm. Amanda, la más alta, midió180 cm. Zacarías, el más bajo, midió 130 cm. Ese día, dos alumnos habían faltado a clases, pero estuvieron presentes al día siguiente. Una vez medidos, se recalcularon los promedios. Sorprendentemente, no cambió ni el promedio de altura de las mujeres ni el de los hombres. Determina si es posible llegar a la(s) conclusión(es) siguiente(s) a partir de esta información. Qué conclusión(es) se puede(n) derivar de la siguiente información? Encierra en un círculo Sí o No para cada conclusión. Pregunta 1: ESTATURA DE LOS ESTUDIANTES Conclusión Ambos estudiantes son mujeres. Uno de los estudiantes es hombre y el otro mujer. Ambos estudiantes miden lo mismo. El promedio de estatura de todos los estudiantes no cambió. Zacarías sigue siendo el más bajo. Puede obtenerse esta conclusión? Sí / No Sí / No Sí / No Sí / No Sí / No CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: No para todas las conclusiones. No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida 62

63 PAGO POR SUPERFICIE Los residentes de un edificio de departamentos deciden comprarlo. Han acordado juntar su dinero de modo que cada uno pague una cantidad proporcional al tamaño de su departamento. Por ejemplo, un hombre que viva en un departamento que ocupe un quinto de la superficie total de todos los departamentos, deberá pagar un quinto del precio total del edificio. Pregunta 1: PAGO POR SUPERFICIE Encierra en un círculo Correcto o Incorrecto para las siguientes afirmaciones. Afirmación La persona que viva en el departamento más grande pagará más por cada metro cuadrado de su departamento que la persona que viva en el departamento más chico. Si conocemos la superficie de dos departamentos, y el precio de uno sólo, podemos calcular el precio del segundo. Si conocemos el precio del edificio y cuánto pagara cada dueño, podemos calcular la superficie de todos los departamentos. Si el precio total del edificio se redujera en un 10%, cada uno de los dueños tendría que pagar un 10% menos. Correcto / Incorrecto Correcto / Incorrecto Correcto / Incorrecto Correcto / Incorrecto Correcto / Incorrecto CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: Incorrecto, Correcto, Incorrecto, Correcto, en ese orden. No logrado Código 0: Otras respuestas. Código 9: Pregunta no respondida 63

64 Pregunta 2: PAGO POR SUPERFICIE En el edificio hay tres departamentos. El más grande, el departamento 1, tiene una superficie total de 95m 2. Los departamentos 2 y 3 tienen superficies de 85m 2 y 70m 2, respectivamente. El precio de venta del edificio es de zeds. Cuánto debería pagar el dueño del departamento 2? Muestra tus cálculos. CRITERIOS DE CORRECCIÓN Logro completo Código 2: zeds, con o sin incluir el cálculo (el uso de unidades es opcional). Departamento 2: zeds Dept. - 2 : 85 x = zeds = 1200 zeds por metro cuadrado, así que el departamento 2 valdría Logro parcial Código 1: Método correcto pero contiene uno o varios pequeños errores de cálculo. Depto. - 2 : 85 x = zeds 250 No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida. 64

65 REPISAS Para armar un juego de repisas, un carpintero necesita los siguientes materiales: 4 paneles de madera largos, 6 paneles de madera cortos, 12 grampas pequeños, 2 grampas grandes y 14 tornillos. Pregunta 1: REPISAS Un carpintero tiene en su depósito 26 paneles de madera largos, 33 paneles de madera cortos, 200 grampas pequeños, 20 grampas grandes y 510 tornillos. Cuántos juegos de repisas puede hacer el carpintero? Respuesta:... CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: 5. No logrado Código 0: Otras respuestas. Código 9: Pregunta no respondida 65

66 BASURA Para una tarea sobre el medio ambiente, los estudiantes recopilaron información sobre el tiempo de descomposición de diversos tipos de basura que tiran las personas: Tipo de basura Tiempo de descomposición Cáscara de banana Cáscara de naranja Cajas de cartón Chicle Periódicos Vasos de poliestireno 1 3 años 1 3 años 0,5 años años Algunos días Más de 100 años Un estudiante piensa presentar los resultados en un gráfico de barra. Pregunta 1: BASURA Da una razón por la cual un gráfico de barra es inadecuado para presentar estos datos. CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: La razón se basa en las grandes variaciones de los datos o en la variabilidad de los datos en algunas categorías. La diferencia en la longitud de las barras del gráfico de barra sería demasiado grande. Si hacemos una barra de 10 centímetros de longitud para el poliestireno, la barra para cajas de cartón sería de 0,05 centímetros. La longitud de la barra para vasos de poliestireno no está determinada. No se puede hacer una barra para 1 a 3 años o una para 20 a 25 años. No logrado Código 0: Otras respuestas. Porque no funcionará. Es mejor un pictograma. No se puede verificar la informacións. Código 9: Pregunta no respondida 66

67 TERREMOTO Se transmitió un documental acerca de los terremotos y con qué frecuencia ocurren. El programa incluyó un debate sobre la probabilidad de predecir terremotos. Un geólogo afirmó: En los siguientes veinte años, la probabilidad de que ocurra un terremoto en la ciudad de Zed es dos de tres. Pregunta 1: TERREMOTO Cuál de los siguientes comentarios refleja mejor el significado de la afirmación del geólogo? 2 A Dado que X 20 = 13, 3 entonces, en la ciudad de Zed habrá un terremoto 3 en algún momento entre los 13 y los 14 años siguientes. 2 1 B es mayor que, así que seguro habrá un terremoto en la ciudad de 3 2 Zed en los próximos 20 años. C La probabilidad de que haya un terremoto en la ciudad de Zed en algún momento en los próximos 20 años es mayor que la probabilidad de que no haya un terremoto. D No se puede decir qué pasará porque nadie puede estar seguro de cuándo ocurrirá un terremoto. CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: C. La probabilidad de que haya un terremoto en la ciudad de Zed en algún momento en los próximos 20 años es mayor que la probabilidad de que no haya un terremoto No logrado Código 0: Otras respuestas. Código 9: Pregunta no respondida 67

68 ALTERNATIVAS En una pizzería, los clientes pueden crear su propia pizza. La pizzería ofrece una pizza con dos ingredientes básicos: queso y tomate. Además se puede elegir entre diferentes ingredientes adicionales. Pregunta 1: ALTERNATIVAS Raúl desea ordenar una pizza con dos ingredientes adicionales. La pizzería ofrece cuatro diferentes ingredientes adicionales: aceitunas, jamón, champiñones y salame. Cuántas combinaciones diferentes puede elegir Raúl? RESPUESTA:...combinaciones CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: 6 No logrado Código 0: Otras respuestas. Código 9: Pregunta no respondida 68

69 Si una pizzería usa la siguiente propaganda Pregunta 2: ALTERNATIVAS Cuál es el número mínimo de ingredientes adicionales diferentes que debería tener la pizzería? Da una explicación que justifique tu respuesta. CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 2: 8, con una explicación adecuada. Con 2 ingredientes hay 4 tipos. El tercer ingrediente duplica el número de tipos (se pueden tener los 4 tipos con o sin el ingrediente #3), entonces 8 tipos. Cada ingrediente adicional duplica el número de pizzas posibles, así 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 nos lleva a más de 250 pizzas de tener disponibles8 ingredientes. Cada ingrediente permite 2 posibilidades: con o sin (C o S). Una pizza posible con 3 ingredientes es CCS. Hay 23 = 8 pizzas distintas. El primer número n donde 2n > 250 es n=8. Logro parcial Código 1: 8 sin explicación, u 8 con explicación insuficiente. No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida 69

70 PUNTAJES DE PRUEBAS El siguiente gráfico muestra los resultados en una prueba de ciencias para dos grupos de estudiantes, designados como Grupo A y Grupo B. El puntaje promedio para el Grupo A es 62,0 y el promedio para el Grupo B es 64,5. Los estudiantes aprueban cuando su puntaje es de 50 o más. Al observar los resultados de este gráfico, el profesor concluye que al Grupo B le fue mejor que al Grupo A en esta prueba. Los estudiantes del Grupo A no están de acuerdo con su profesor. Pregunta 1: PUNTAJES DE PRUEBAS Entrega un argumento matemático que podrían usar los estudiantes del Grupo A para convencer a su profesor de que al Grupo B no le fue necesariamente mejor. CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: Se entrega un argumento válido. Los siguientes son argumentos válidos. Más estudiantes del Grupo A que del Grupo B pasaron la prueba. Si ignoramos al estudiante más débil del Grupo A, a los estudiantes del Grupo A les va mejor que a los del Grupo B; Mas estudiantes del grupo A que del Grupo B tuvieron un puntaje de 80 o más. No logrado Código 0: Otras respuestas, incluidas respuestas sin razones matemáticas, o razones matemáticas incorrectas. Los estudiantes del Grupo A normalmente son mejores que los del Grupo B en ciencias. El resultado de esta prueba es solo una coincidencia. Código 9: Pregunta no respondida 70

71 CALZADO INFANTIL La siguiente tabla muestra el tamaño de zapato recomendado en Zedlandia para diversos largos de pie. Desde (en mm) Hasta (en mm) Tamaño de zapato Tabla de conversión para tamaños de calzado infantil en Zedlandia Pregunta 1: CALZADO INFANTIL Los pies de Marina miden 163 mm de largo. Usá la tabla para determinar qué tamaño de zapato confeccionado en Zedlandia debería probarse Marina. Respuesta:... 71

72 CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: 2 : 6 No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida Algunos zapatos son fabricados en Inglaterra. Estos zapatos tienen los tamaños usados en Inglaterra en lugar de los tamaños de Zedlandia. Una manera aproximada de convertir el tamaño de zapatos ingleses al tamaño de zapatos de Zedlandia es la siguiente: Un tamaño de zapato 13 de Inglaterra corresponde a un tamaño de zapato 31 en Zedlandia; y La diferencia entre cualquier tamaño de zapato de Inglaterra y su correspondiente tamaño de zapato en Zedlandia es una constante. Pregunta 2: CALZADO INFANTIL Qué tamaño de zapato de Inglaterra debería probarse Marina? A. 4 B. 8 C. 10 D. 13 CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: B.8 No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida 72

73 La siguiente fórmula muestra una conversión más precisa entre el tamaño de zapato en Inglaterra y en Zedlandia: Tamaño zapato Inglaterra = (0,85 x tamaño de zapato Zedlandia 13,35). Pregunta 3: CALZADO INFANTIL Cuál de los siguientes gráficos muestra la relación entre los tamaños de zapatos en Inglaterra y en Zedlandia usando la conversión precisa y utilizando la conversión aproximada (descripta en la pregunta anterior)? 73

74 CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: B. No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida 74

75 SKATE Enrique es un gran fanático del skate. Él visita un negocio llamado SKATERS para comprobar algunos precios. En este negocio podés comprar una skate completo. Sin embargo, también podés comprar una tabla, un juego de 4 ruedas, un juego de dos ejes y un juego de accesorios por separado y armar el skate vos mismo. Los precios para los productos del negocio son: Producto Precio en zeds Skate completo 82 u 84 Tabla 40, 60 ó 65 Un juego de 4 ruedas 14 ó 36 Un juego de 2 ejes 16 Un juego de accesorios (rodamientos, cuñas de goma, pernos y tuercas) 10 ó 20 Pregunta 1: SKATE Enrique quiere armar su propio skate. Cuál es el precio mínimo y el precio máximo en este negocio para un skate armado por él mismo? (a) Precio mínimo: (b) Precio máximo: zeds. zeds. 75

76 CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 21: Tanto el mínimo (80) como el máximo (137) están correctos. Logro parcial Código 11: Sólo el mínimo (80) está correcto. Código 12: Sólo el máximo (137) está correcto.. No logrado Código 00: Otras respuestas. Código 99: Pregunta no respondida Pregunta 2: SKATE El negocio ofrece 3 tipos de tablas, 2 tipos de ruedas y 2 tipos de accesorios. Sólo hay una opción para el juego de ejes. Cuántos skates distintos puede construir Enrique? A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: D. 12. No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida 76

77 Enrique tiene 120 zeds para gastar y quiere comprar el skate más caro que pueda pagar. Pregunta 3: SKATE Cuánto dinero debería gastar Enrique en cada una de las 4 partes? Escribí tu respuesta en la siguiente tabla. Parte Cantidad (zeds) Tabla Ruedas Ejes Accesorios CRITERIOS DE CORRECCIÓN: Logro completo Código 1: 65 zeds en una tabla, 14 en ruedas, 16 en ejes y 20 en accesorios. No logrado Código 0: Código 9: Otras respuestas. Pregunta no respondida 77

78 EL FAROL La Municipalidad ha decidido colocar un farol en una pequeña plaza triangular para que alumbre la plaza en su totalidad. Dónde deberá colocarse? La modelización de este problema a través de la matemática precisa de conocimientos geométricos. Si se considera que la zona iluminada está representada por un círculo cuyo centro es la posición del farol, el problema consiste en hallar la posición del centro y el radio de la circunferencia en cuestión. 78

79 Si se busca la circunferencia de radio mínimo, se trata de hallar un punto que esté a la misma distancia de cada uno de los vértices del triángulo. El conjunto de puntos que equidistan de otros dos constituyen la mediatriz del segmento formado por los dos puntos dados. Luego, el centro de la circunferencia buscada será la intersección de las tres mediatrices. El radio es la distancia entre el centro y un vértice del triángulo. 79

80 A partir del análisis hecho podríamos decir que el farol debe ubicarse en el punto que corresponde a la intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. La intensidad de la luz debe ser tal que la zona iluminada pueda pensarse como un círculo de radio la distancia entre el centro y cualquiera de los vértices. Ahora bien, en nuestro desarrollo propusimos como figura de análisis un triángulo acutángulo. Qué hubiera sucedido si el triángulo hubiera sido obtusángulo o rectángulo? Es decir, podemos estar seguros de que la solución encontrada no difiere al cambiar el tipo de triángulo considerado? En el siguiente dibujo se muestra el caso de un triángulo obtusángulo: 80

81 Aquí puede verse que el farol quedaría ubicado fuera de la plaza, lo cual no tiene sentido para el problema planteado. Cuando el triángulo considerado es rectángulo, el centro de la circunferencia es un punto de la hipotenusa. Teniendo en cuenta el contexto del problema, esto significa que el farol estaría sobre un lado de la plaza. 81

82 En todos los casos hemos considerado la solución mínima, es decir el radio de la circunferencia cuya medida es la distancia entre el centro (posición del farol) y uno de los vértices del triángulo. Pero es claro que cualquier otra circunferencia con el mismo centro y un radio mayor que esa distancia también sirve. Otra cuestión sobre la que es importante prestar atención es la influencia que impone un contexto al razonamiento que se desarrolla. Muchos alumnos encuentran soluciones que provienen de la lógica de lo cotidiano en lugar de la lógica matemática, pero que responden al problema. Por ejemplo, no sería raro que un alumno responda que el farol puede ubicarse en cualquier lugar de la plaza y que hay que asegurarse de conseguir una fuente de luz lo suficientemente potente que permita que toda la plaza quede iluminada. Se trata, claramente, de una solución válida al problema que no utiliza ningún concepto matemático. También es posible que haya estudiantes que planteen que la plaza puede tener árboles que tapen la luz, con lo cual solo puede resolverse el problema empíricamente. O también pueden plantearse como un problema la altura a la cual hay que poner el farol para que se logre iluminar la plaza. Para que la matemática pueda responder al problema es necesario plantear ciertas restricciones. En este caso, es necesario suponer que la plaza es un triángulo no obtusángulo, que no tiene árboles que tapen la luz y que la altura del farol es la necesaria, entre otras. Creemos que no solo es interesante debatir en clase acerca de los modos matemáticos de resolver un problema, sino también analizar las restricciones y condiciones que se plantean. 82

83 PIZZAS Una pizzería ofrece dos pizzas redondas del mismo grosor y de diferentes tamaños. La pequeña tiene un diámetro de 30 cm y cuesta 30 zeds. La más grande tiene un diámetro de 40 cm y cuesta 40 zeds. Qué pizza es la mejor opción en relación con lo que cuesta? Justificá matemáticamente tu respuesta Las pizzas pueden representarse a través de círculos de 30 y 40 cm de diámetro. Es importante que los alumnos comprendan que al hacer esta suposición, se eliminan las diferencias entre, por ejemplo, la densidad, las imperfecciones, etc. Si bien hay una relación de proporcionalidad directa entre el diámetro de la pizza y el precio, no son estas las magnitudes a comparar para decidir cuál pizza conviene comprar. Como se espera que los alumnos consideren al diámetro y el precio para decidir, es necesario proponer un debate en torno al criterio para determinar la conveniencia de una u otra pizza. Se trata de llegar a un primer acuerdo: es necesario comparar las áreas con los precios correspondientes. A partir de aquí surge un nuevo problema. Las magnitudes a considerar, son proporcionales? Si bien es cierto que cuando una variable crece, la otra también, no se trata de magnitudes directamente proporcionales. 83

84 Cuál sería entonces una posible forma de resolverlo? Si suponemos que el precio varía en forma directamente proporcional al área del círculo, el precio de la pizza de 40 cm de diámetro debiera ser: zeds Es decir, si la relación entre los precios y las áreas fueran las mismas, entonces la pizza de 40 cm de diámetro debería costar 53,33 zeds aproximadamente. Como su costo es de 40 zeds, conviene comprar ésta. Este problema pone a los alumnos en situación de tener que tomar varias decisiones: acerca de las variables a considerar, sobre la relación que existe entre ellas, qué aspecto tener en cuenta para decidir cuál de las dos pizzas conviene comprar, etc. CONCIERTO DE ROCK Para un concierto de rock, se reservó un área rectangular de 100 m x 50 m para el público. Las entradas para el concierto se agotaron, y el sitio estaba lleno, con todos los fans de pie. Cuál de las siguientes podría ser la mejor estimación del número total de personas asistentes al concierto? A B C D E

85 El terreno puede representarse a través de un rectángulo de 100 m por 50 m. 100 m 50 m Pero, a partir de los datos que proporciona el problema, no resulta simple darse cuenta si hay algún cálculo para hacer, si hay información que se omitió. Se trata de un problema de estimación, pero cuáles son los conocimientos necesarios para poder estimar la cantidad de personas que pueden entrar paradas en un terreno como el descripto en el problema? Una forma de resolver problemas de opción múltiple como este, consiste en analizar la factibilidad de cada una de las opciones. Si se divide el área de la zona destinada al público por la cantidad de personas, se obtiene el área que ocupa cada persona. La opción A (2.000 personas) implica que cada persona ocupa m 2 /2.000 = 2,5 m 2, que es una zona demasiado amplia para una sola persona. De ser esta la respuesta, el terreno no estaría lleno. Para la opción E resulta que cada persona ocupa un área de m 2 / personas = 0,05 m 2. Si este fuera el caso, habría 20 personas por metro cuadrado, lo cual no resulta posible. La opción D se descarta por la misma razón, pues en este caso habría m 2 / = 0,1 m 2 por persona o 10 personas por metro cuadrado. En el caso de la opción B, cada persona ocupa un área de 1 metro cuadrado, mientras que para la opción C cada una ocupa un área de m 2 / = 0,25 m 2, por lo cual habría 4 personas por metro cuadrado. Es necesario volver a analizar la situación que propone el problema para decidir en cuál de los casos anteriores la respuesta es la más acertada. Se trata de un caso en el que no solo son necesarios conocimientos matemáticos para responder sino que además es preciso poner en juegos conocimientos prácticos, relativos a determinar cuántas personas es razonable que entren en un metro cuadrado de un estadio lleno. Si se pensara en resolver el problema en forma directa, resulta complejo para los alumnos entender que al tratarse de una estimación, hay datos que ellos mismos tienen que proponer. En este caso se trata de determinar la cantidad de personas que entran en un metro cuadrado de estadio lleno, pero claramente no se trata de un dato certero, absoluto, sino que puede haber diferentes respuestas. Si los estudiantes comprenden esta falta de certeza, entonces no hay dudas de que cada posible respuesta tiene que cotejarse con las opciones, que se trata solo de una manera de seleccionar la respuesta más cercana a la estimación hallada. 85

86 Los siguientes gráficos muestran información acerca de las exportaciones procedentes de Zedlandia, país que usa el el zed como unidad monetaria. Pregunta 1: EXPORTACIONES Cuál fue el valor total (en millones de zeds) de las exportaciones procedentes de Zedlandia en 1998? Pregunta 2: EXPORTACIONES Cuál fue el valor del jugo de frutas exportado por Zedlandia el año 2000? A B C D E 1,8 millones de zeds. 2,3 millones de zeds. 2,4 millones de zeds. 3,4 millones de zeds. 3,8 millones de zeds. 86

87 Pregunta 1: EXPORTACIONES La primera pregunta requiere de la lectura de información que provee un gráfico de barras. El alumno podrá ubicar el año en el eje horizontal, para luego leer el valor de las exportaciones en la parte superior de la barra: 27 millones de zeds. Se trata de una pregunta que sirve para que los alumnos necesiten explicitar qué datos están representados en el gráfico y de qué modo. Esta lectura es necesaria para responder las preguntas siguientes. Pregunta 2: EXPORTACIONES Como parte de la actividad necesaria para responder esta pregunta, los alumnos necesitan decidir qué gráfico utilizar como fuente de información. El gráfico circular informa que se exportó el 9% en jugos de fruta, pero no se trata ese del valor de las exportaciones de jugo en el año A partir del gráfico de barras es posible saber que en el año 2000 se exportaron 42,6 millones de zeds en Zedlandia. El valor exportado en jugo de frutas es, entonces: 9% de 42,6 millones = 0,09. 42,6 millones = 3,834 millones La dificultad que plantea esta pregunta consiste en tener que combinar la información proporcionada en dos gráficos diferentes para luego poder operar con ellas. 87

88 Muchos científicos temen que el aumento del nivel de CO 2 en nuestra atmósfera sea la causa del cambio climático. El siguiente diagrama muestra los niveles de emisión de CO 2 en 1990 (las barras blancas) para varios países (o regiones), los niveles de emisión de 1998 (las barras oscuras) y el porcentaje de cambio en los niveles de emisión entre 1990 y 1998 (las flechas con porcentajes). 88