PRACTICA 2: Distribuciones de probabilidad discretas

Transcripción

1 Fn(x) x PRACTICA 2: Distribuciones de probabilidad discretas 1. Clasi que las siguientes variables como discretas o continuas: (a) Número de crías (b) Peso del contenido estomacal (c) Cantidad de árboles en un área (d) Longitud céfalo-caudal (e) Cantidad total de insulina liberada 2. Se lanzan dos dados distinguibles y se considera la variable aleatoria X como la suma de los números obtenidos entre los dos dados. Halle la distribución de probabilidades. 3. Considere el ejercicio anterior. Halle las probabilidades de que la suma de los dados sea: (a) menor a 10 puntos (b) 10 puntos o más (c) entre 7 y 11 puntos inclusive 4. A partir de la función de probabilidad de la siguiente variable aleatoria discreta X, calcule y X gra que la función de distribución acumulada. P(x) Suponga que la función de distribución de una variable aleatoria X es como se ilustra en la gura 1. Calcule las siguientes probabilidades: 1

2 a) P (X = 1) e) P (0 < X < 3) i)p (3 X 4) m) P (X < 5) b) P (X = 1) f)p (0 < X 3) j) P (5 < X) n) P (X 5) c) P (X < 0) g)p (0 X 3) k)p (5 X) d) P (X 0) h)p (1 X 2) l)p (1 < X 2) 6. Obtenga explícitamente la distribución de probabilidades de: (a) X b (3; 0:25) (b) X P (3) (c) X BN (4; 0:75) (d) X G(0:2) 7. En una población de atunes, la mitad es sensible a cierta droga. Si se toma una muestra de 10 atunes: (a) Qué probabilidad hay de que ningún atún sea sensible a la droga? (b) Qué probabilidad hay de encontrar en esta muestra, uno o dos atunes sensibles a la droga? 8. Suponga que el 30% de una población tiene grupo sanguíneo B. A partir de una muestra de tamaño 20, encuentre la probabilidad de que tengan sangre tipo B: (a) exactamente tres personas (b) tres o más personas (c) menos de tres personas (d) exactamente cinco personas (e) como máximo nueve personas 9. Suponga que en cierta área de una gran ciudad, el número promedio de ratas por cuadra es de 5 y asuma que el número de ratas sigue una distribución de Poisson. Encuentre la probabilidad de que en una cuadra seleccionada aleatoriamente haya: (a) exactamente cinco ratas (b) menos de cinco ratas (c) entre cinco y siete ratas inclusive 10. El número de nudos en un tipo de madera cada diez pies cúbicos tiene una distribución de Poisson con = 1:5: Encuentre la probabilidad de que un bloque de esta madera de diez pies cúbicos tenga como máximo un nudo. 11. Calcule la esperanza y la varianza de la variable del ejercicio Calcule la esperanza y varianza de cada una de las distribuciones planteadas en el ejercicio 6. 2

3 13. En un estudio respecto a la efectividad de un insecticida contra cierto insecto, se fumigó una gran área de tierra que, más tarde, se examinó por cuadrantes elegidos aleatoriamente. De cada cuadrante se contó el número de insectos vivos. En este experimento se mostró que el número promedio de insectos vivos por cuadrante, después de fumigar, es de 0.5. Si el número de insectos vivos por sección sigue una distribución de Poisson, cuál es la probabilidad de que en cierto cuadrante elegido se encuentre: (a) exactamente un insecto vivo? (b) ningún insecto vivo? (c) cuatro insectos vivos? (d) uno o más insectos vivos? Distribuciones probabilísticas con R R contiene un amplio conjunto de tablas estadísticas. Para cada distribución de probabilidad discreta, existen funciones que permiten calcular: la función de distribución, F (x) = P (X x); la función de distribución inversa, dado q hallar el menor x tal que P (X x) > q; la función de densidad y la generación de números pseudoaleatorios de la distribución. Las distribuciones de probabilidad discreta que usaremos en el curso son las siguientes: Distribución Nombre en R Argumentos binomial binom size, prob geométrica geom prob binomial negativa nbinom size, prob Poisson pois lambda Para construir el nombre de cada función, utilice el nombre de la distribución en R precedido de d para la función de densidad, p para la función de distribución, q para la función de distribución inversa, y r para la generación de números pseudoaleatorios. Ejemplos: * Si el 30% de una población tiene grupo sanguíneo B; para determinar la probabilidad de encontrar 3 personas que tengan grupo sanguíneo B en una muestra de 20 personas: pro1 <- dbinom(3,20,0.3) pro1 * Si el 30% de una población tiene grupo sanguíneo B; para determinar la probabilidad de encontrar como máximo 3 personas que tengan grupo sanguíneo B en una muestra de 20 personas pro2 <- pbinom(3,20,0.3) * Para generar una muestra aleatoria de 500 datos que provengan de una distribución binomial con parámetros n=100 y p=0.1; y luego gra car la muestra obtenida: 3

4 muestra1 <- rbinom(500,100,0.1) summary(muestra1) muestra1<- as.factor(muestra1) plot(muestra1) 14. Consideremos una variable aleatoria que sigue una distribución B (15, 0.33), calcular con R: (a) Calcular la probabilidad de que la variable sea mayor que 3 y menos o igual que 7. (b) Calcular la probabilidad de que sea mayor que 5. (c) Qué valor de la variable deja por debajo de sí el 75% de la probabilidad? (d) Calcular el percentil 95% de la distribución. (e) Obtener una muestra de tamaño 1000 de esta distribución, representarla grá camente mediante un diagrama de barras y comparar éste con las frecuencias esperadas según el modelo que genera los datos. 15. Consideremos una variable aleatoria que sigue una distribución P (7.2), calcular con R: (a) Calcular la probabilidad de que sea mayor o igual que 10. (b) Calcular la probabilidad de sus valores mayores o iguales a 2 y menores o iguales a 8. (c) Obtener el percentil 75 de la distribución. (d) Qué valor es el que deja por debajo de sí el 5% de los valores más bajos de la variable? (e) Obtener una muestra de tamaño 500 de la distribución, representarla grá camente mediante un diagrama de barras y comparar éste con las frecuencias esperadas según el modelo que genera los datos. 16. Sea X una variable aleatoria con distribución Geo (0.56), calcular con R: (a) Calcular P [X < 2]. (b) Calcular P [3< X < 9]. (c) Obtener el percentil 50, es decir, la mediana. (d) Cuál es el valor de la variable por debajo del cual queda el 25% de los valores más bajos? (e) Obtener dos muestras de tamaño 100 y los diagramas de barras de ambas muestras. Son iguales? Por qué? 17. Sea Y una variable aleatoria con distribución BN (5, 0.25), calcular con R: (a) Calcular P [2 < Y < 9]. (b) Calcular P [Y > 5]. (c) Calcular el percentil 5 y el percentil 95. (d) Qué valor de la variable se encuentra justo en el centro de la distribución? 4

5 (e) Obtener una muestra de tamaño 1000 de la distribución, representarla grá camente mediante un diagrama de barras y comparar éste con las frecuencias esperadas según el modelo que genera los datos. 18. Considere las siguientes variables aleatorias: X 1 : N o obtenido al arrojar un dado; X 2 : N o obtenido al arrojar un segundo dado; X 1 + X 2 : N o obtenido al arrojar los dos dados. Compruebe que: (a) E(X 1 + X 2 ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) (b) E(3 X 1 ) = 3 E(X 1 ) 19. Suponga que al inspeccionar un lote de manzanas, la probabilidad de obtener una manzana infectada es 1=30: (a) Cuál es el número esperado de manzanas sanas que se obtendrán antes de que se hayan obtenido cinco manzanas infectadas? (b) Cuál es la varianza del número de manzanas sanas que se obtendrán antes de que se hayan obtenido cinco infectadas? 20. Considere el experimento del ejercicio anterior. (a) Cuál es el número esperado de extracciones que se necesitarán para obtener cinco manzanas infectadas? (b) Cuál es la varianza del número de extracciones que se necesitarán para obtener cinco manzanas infectadas? 21. Se sabe que el 10% de una especie acuática está parasitada. Se desea extraer un individuo parasitado para su estudio, por lo tanto se comienza a extraer de a uno hasta lograrlo. (a) Calcule la distribución de la variable cantidad de intentos necesarios para obtener un individuo con parásitos (b) Calcule la cantidad media de intentos necesarios para obtener un individuo con parásitos 22. Dados los siguientes fenómenos, qué distribución de probabilidades usaría para modelizarlos? (a) número de ratones examinados hasta llegar a 5 infectados (b) número de árboles en un área dada (c) estado de un ratón (infectado o no) (d) número de ratones examinados hasta encontrar el primero infectado (e) número de ratones infectados por cada 10 examinados 5

6 Resultados: 5.a) 0.1 b)0.1 c)0.1 d) 0.2 e) 0.2 f) 0.6 g) 0.7 h) 0.2 i) 0.5 j) 0 k) 0.1 l) 0.1 m) 0.9 n) 1 7. a) ; b) a) 0.072; b) ; c) ; d) e) a) ; b) 0.44; c) E(X) = 1:6; V (X) = 0: a) E(X) = 0:75; V (X) = 0:56 b) E(X) = 3; V (X) = 3 c) E(X) = 5:33; V (X) = 1:78 d) E(X) = 5; V (X) = a) 0.303; b) 0.606; c) ; d) a) 145; b) a) 150; b)