(B) Min. 3x + 2y + z s.a 2x 2 2xy + 2y 2 2yz + 2z 2 apple 20 3x x 2 + 2y + 5z z 2 2. (B) Max. xz + y 2

Transcripción

1 MATEMÁTICAS II Grupo GF Ia 2. (0.15 ptos.) Resuelve gráficamente: Opt. x + 2y s.a 2x + y 4 x 2 + y 2 apple 20 x 2 + y 2 5 x, y 0 Indica claramente cuál es la solución óptima del problema de maximizar y cuál la del problema de minimizar. Representa en la figura todo lo necesario para llegar a la solución. 3. (0.05 ptos.) Pon un ejemplo de solución factible interior, factible de frontera e infactible del problema anterior (0.25 ptos.) Razona si alguno de los problemas siguientes cumple las hipótesis del teorema localglobal. Qué podemos concluir en ese caso? (A) Max. 3x + 2y + z s.a 2x 2 2xy + 2y 2 2yz + 2z x x 2 + 2y + 5z z 2 apple 2 (B) Min. 3x + 2y + z s.a 2x 2 2xy + 2y 2 2yz + 2z 2 apple 20 3x x 2 + 2y + 5z z Considera los problemas siguientes: (A) Max. xz + y 2 s.a x + z 2 apple 10 y x x 0 (B) Max. xz + y 2 s.a x + z 2 apple 10 y x y apple 5 x 0 (C) Max. xz + y 2 s.a x + z 2 apple 10 y x y apple 0 x 0 (a) (0.25 ptos.) Razona si cumplen las hipótesis del teorema de Weierstrass. (b) (0.1 ptos.) Razona si tienen máximo global, si son infactibles o no acotados. 6. Razona si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas: (a) (0.1 ptos.) En un problema de programación lineal, todos los óptimos locales son globales. (b) (0.05 ptos.) Las soluciones factibles de frontera son las que saturan todas las restricciones. (c) (0.05 ptos.) Un problema con infinitas soluciones factibles es no acotado.

2 MATEMÁTICAS II Grupo GF Ia 1. (0.5 ptos.) Resuelve el problema siguiente por el método de ramificación y acotación usando LINGO para resolver los problemas intermedios. Escribe el árbol correspondiente y razona por qué termina cada rama. En caso de que puedas ramificar varias variables, elige la menor en orden alfabético, y en caso de que puedas ramificar varios nodos elige el de mejor valor de la función objetivo. El valor óptimo de la función objetivo del primer problema debe darte 424. Max. 20x + 48y + 30z s.a 3x + y + z apple 16 2x + 7y + 4z = 56 x, y, z 0 enteras

3 MATEMÁTICAS II Grupo GF Ib 2. (0.15 ptos.) Resuelve gráficamente los problemas siguientes: (A) Max. 2x y s.a xy 2 x + 2y apple 2 x 2 5y apple 5 x, y 0 (B) Max. 2x y s.a xy apple 2 x + 2y 2 x 2 5y apple 5 x, y 0 Indica claramente cuál es la solución óptima de cada uno. Representa en la figura todo lo necesario para llegar a la solución Considera el problema siguiente: 1 Opt. 2xy + 6xz 2yz 2x 2 5y 2 7z 2 s.a x 2 + 2y 2 + z apple 10 x y 2 apple 2 x, y 0 (a) (0.05 ptos.) Razona si la solución (0, 10, 200) es infactible, factible interior o factible de frontera. Pon ejemplos de soluciones de los tres tipos. (b) (0.15 ptos.) Razona cuáles de las hipótesis del teorema de Weierstrass se cumplen y cuáles no. (c) (0.2 ptos.) Explica por qué no podemos asegurar que el teorema local global sea aplicable a este problema. (d) (0.1 ptos.) Es posible aplicarlo si modificamos alguna desigualdad de alguna restricción? Sólo en el caso de maximizar, sólo en el de minimizar o en ambos? (e) (0.05 ptos.) Si fuera posible la modificación del apartado anterior podríamos asegurar entonces que el problema tiene óptimo global? (f) (0.1 ptos.) Y si suponemos además que z 0? 4. Razona si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas: (a) (0.05 ptos.) Un problema es infactible si tiene soluciones infactibles. (b) (0.05 ptos.) Un problema es no acotado si su conjunto de oportunidades es no acotado. (c) (0.05 ptos.) Si la función objetivo de un problema es Max. x + y + z, entonces (2, 1, 2) y (1, 1, 1) no pueden ser ambas soluciones óptimas globales. 5. (0.05 ptos.) En la situación del apartado 4c), qué podríamos decir de la solución (2, 1, 2) si la solución (1, 1, 1) fuera el máximo global del problema?

4 MATEMÁTICAS II Grupo GF Ib 1. (0.5 ptos.) Resuelve el problema siguiente por el método de ramificación y acotación usando LINGO para resolver los problemas intermedios. Escribe el árbol correspondiente y razona por qué termina cada rama. En caso de que puedas ramificar varias variables, elige la menor en orden alfabético, y en caso de que puedas ramificar varios nodos elige el de mejor valor de la función objetivo. El valor óptimo de la función objetivo del primer problema debe darte Min. 4x + y + 6z s.a x + 3y + 8z = 1 000; y apple 142 2x + 7z 500 x, y, z 0 enteras

5 MATEMÁTICAS II Grupo GF Ic 2. (0.15 ptos.) Resuelve gráficamente el problema siguiente: Opt. x + 2y s.a xy 2 x 2 + y 2 9 2x y 0 x, y 0 Indica claramente cuál es la solución óptima para el problema de maximizar y cuál para el de minimizar. Representa en la figura todo lo necesario para llegar a la solución Considera los dos problemas siguientes: (A) Min. 2xy + 2yz 4x 2 2y 2 z 2 s.a x 2 + 3y 2 + z apple 15 7x x 2 y 2 z 1 z 0 (B) Max. 2xy + 2yz 4x 2 2y 2 z 2 s.a x 2 + 3y 2 + z apple 15 7x x 2 y 2 z 1 y 0 (a) (0.05 ptos.) Razona si la solución (1, 2, 0) es factible o infactible y, en caso de ser factible, si es interior o de frontera para cada problema. (b) (0.25 ptos.) Razona si cumplen las hipótesis del teorema de Weierstrass. (c) (0.25 ptos.) Razona si cumplen las hipótesis del teorema local-global. (d) (0.1 ptos.) Razona si, a partir de los apartados anteriores, podemos concluir que alguno de ellos tiene óptimo global. 4. Considera el problema siguiente: Max. 3x + 2y + 5z s.a x + y + z apple 6 2x + y + 7z = 8 x, y, z 0 (a) (0.1 ptos.) Sabiendo que la solución óptima es una de estas tres: (3, 2, 0), (2, 4, 0), (3, 3, 1), razona cuál de ellas es. (b) (0.05 ptos.) Razona si el problema es de programación no lineal. Si lo es, modifícalo para que ya no lo sea, y si no lo es, modifícalo para que sí que lo sea. 5. (0.05 ptos.) Un problema con infinitas soluciones factibles, puede ser no acotado?, puede ser infactible?, puede tener solución óptima?

6 MATEMÁTICAS II Grupo GF Ic 1. (0.5 ptos.) Resuelve el problema siguiente por el método de ramificación y acotación usando LINGO para resolver los problemas intermedios. Escribe el árbol correspondiente y razona por qué termina cada rama. En caso de que puedas ramificar varias variables, elige la menor en orden alfabético, y en caso de que puedas ramificar varios nodos elige el de mejor valor de la función objetivo. El valor óptimo de la función objetivo del primer problema debe darte Max. 54x + 30y + 20z s.a x + 2y + 3z apple 40 x + 90y 9 7x + 4y + 2z = 56 x, y, z 0 enteras

7 MATEMÁTICAS II Grupo GF IIIa Una empresa quiere producir al menos unidades de un artículo a partir de tres materias primas sustitutivas que emplea en cantidades x, y, z. El procesado de las dos primeras requiere un tiempo para el que se dispone de un máximo de 500 horas mensuales. Min. 2x + 3y + 4z coste s.a 5x + 3y + z producción mínimo exigido 2x + y apple 500 horas de procesado apple horas disponibles x, y, z 0 1. (0.3 ptos.) Construye (sin hacer iteraciones ni tanteos) la tabla del símplex correspondiente a la solución (x, y, z) = (0, 500, 0). 2. (0.3 ptos.) Qué cantidad conviene emplear de cada materia prima para que el coste de producción sea mínimo? 3. (0.1 ptos.) Razona si la solución que proporciona el coste mínimo es de vértice, de arista finita o de arista infinita. 4. (0.2 ptos.) Calcula las variables duales e interpreta la correspondiente a la segunda restricción. 5. (0.3 ptos.) Calcula el intervalo de sensibilidad de la producción requerida. 6. (0.2 ptos.) Razona si (x, y, z) = (250, 0, 50) es una solución factible básica del problema. 7. (0.1 ptos.) Razona sin hacer ningún cálculo que no puedas hacer mentalmente si la solución del apartado anterior es óptima.

8 MATEMÁTICAS II Grupo GF IIIa (0.5 ptos.) Una empresa química planea destinar un presupuesto de C para la promoción en el extranjero de un fertilizante que distribuye en dos versiones: una de calidad, en sacos de 400 kg, y otra a granel. Para ello planea exportar sus productos a tres países: Alemania, Brasil y Canadá. Los costes de producción y transporte a cada país son, respectivamente, de 0.05, 0.07 y 0.10 C /kg, y el precio de venta en cada país del fertilizante de calidad será p = S C por saco, donde S es el número de sacos exportados al país correspondiente, y el fertilizante a granel se venderá a un precio q = x C /kg, donde x es el número de kg del producto a granel exportados al país. Un estudio de mercado recomienda exportar al menos el doble de kg de fertilizante a granel que de fertilizante de calidad. Por otra parte, la empresa ve especialmente prometedor el mercado canadiense y quiere que el volumen de ventas (ingresos) previsto en Canadá no sea inferior a los C. Por último, la empresa se plantea la conveniencia de realizar una inversión extra en publicidad que, con un coste de 500 C, le permitiría subir en 10 euros el precio del saco de fertilizante de calidad y en 5 céntimos el precio del kg de fertilizante a granel. Determina cuántos sacos de fertilizante de calidad y cuántos kg de fertilizante a granel conviene exportar a cada país para maximizar los beneficios, así como si conviene o no realizar la inversión extra en publicidad. Modeliza el problema indicando claramente el significado de cada variable, de la función objetivo y de cada restricción, resuélvelo con LINGO, indica la solución óptima (con palabras, es decir, de modo que el gerente de la empresa entienda lo que le conviene hacer aunque no sepa programación matemática) y comprueba que la solución que propones cumple todos los requisitos del problema.

9 MATEMÁTICAS II Grupo GF IIIb Una empresa está planeando la producción diaria de tres productos y ha planteado el problema siguiente para determinar las cantidades x, y, z que conviene fabricar de cada uno de ellos: Max. 10x + 137y + 16z beneficio s.a x + 14y + 4z apple 80 horas empleadas apple horas disponibles x + 13y + 6z apple 110 coste apple presupuesto x, y, z 0 1. (0.3 ptos.) Construye (sin iteraciones ni tanteos) la tabla del símplex correspondiente a producir únicamente 80 unidades del primer producto. Razona si es óptima y, si no lo es, itera hasta llegar a la solución óptima. 2. (0.3 ptos.) Al plantear el problema, el responsable de la planificación ha cometido un error al considerar que el beneficio que proporciona cada unidad del tercer producto era de 16 u.m., cuando en la información que le habían suministrado figuraba el valor correcto de 46 u.m. Determina por postoptimización la solución óptima correcta (y constesta a las preguntas siguientes considerando el valor correcto). 3. (0.1 ptos.) Razona si la solución óptima es de vértice, de arista finita o de arista infinita. 4. (0.2 ptos.) Calcula las variables duales e interpreta la correspondiente a la primera restricción. 5. (0.3 ptos.) Calcula el intervalo de sensibilidad del beneficio unitario que proporciona el primer producto. 6. (0.2 ptos.) Razona si la solución (x, y, z) = (110, 0, 0) es básica. Es óptima? 7. (0.1 ptos.) Razona sin hacer ningún cálculo si es posible obtener el mismo beneficio máximo sin producir el primer artículo.

10 MATEMÁTICAS II Grupo GF IIIb (0.5 ptos.) Una empresa que fabrica muebles de lujo tiene que servir dos remesas de 550 mesas de cierto modelo a dos almacenes de una empresa distribuidora situados en Alicante y en Barcelona respectivamente (debe servir 550 mesas a cada almacén). Para producirlas dispone de dos fábricas, una en Valencia y otra en Zaragoza. En el plazo previsto para la entrega, la fábrica de Valencia puede producir hasta 560 mesas, mientras que la de Zaragoza puede producir hasta 600. Los componentes principales de las mesas son madera y cristal. Para fabricar cada mesa se necesitan 30 kg de madera en bruto y 45 kg de una mezcla de arena y piedra caliza que la empresa compra para fabricar su propio cristal con un procedimiento exclusivo. Además cada mesa requiere 0.13 litros de un barniz exclusivo, y en la fábrica de Zaragoza sólo se dispone de 100 litros, y no podrá recibir más a tiempo. Los costes del proceso de producción son los mismos en cualquier caso, excepto los correspondientes al transporte de las materias primas y de las mesas. Las tablas siguientes muestran el coste de transportar cada kg de materia prima a cada fábrica y cada mesa de cada fábrica a cada ciudad. Valencia Zaragoza Alicante Barcelona kg de madera 1.5 C 2 C Valencia 5 C 6 C kg de mezcla 2.5 C 2 C Zaragoza 7 C 6.5 C Por otra parte, la empresa dispone de dos opciones para reducir costes: 1. Puede prescindir de algunos trabajadores temporales en Valencia y contratar otros tantos en Zaragoza. En tal caso podría fabricar 200 mesas más en Zaragoza y 200 menos en Valencia. 2. Puede aceptar una solicitud de modificación del pedido que le ha hecho la distribuidora y servir 100 mesas más en Alicante y 100 menos en Barcelona. Determina cuántos kg de madera y de mezcla conviene llevar a cada fábrica y cuántas mesas conviene producir en cada fábrica para cada ciudad, así como si a la empresa le conviene alguna de las dos posibilidades (o ambas) para minimizar los costes de transporte. Modeliza el problema indicando claramente el significado de cada variable, de la función objetivo y de cada restricción, resuélvelo con LINGO, indica la solución óptima (con palabras, es decir, de modo que el gerente de la empresa entienda lo que le conviene hacer aunque no sepa programación matemática) y comprueba que la solución que propones cumple todos los requisitos del problema.

11 MATEMÁTICAS II Grupo GF IIIc Una empresa fabrica diariamente tres artículos en cantidades x, y, z. El proceso productivo tiene dos fases principales. Los recursos de la empresa permiten emplear un máximo de 110 horas diarias en la primera fase, mientras que en la segunda la situación es la contraria: la empresa dispone de recursos suficientes para llevar a cabo cualquier producción razonable, pero para compensar los costes fijos es necesario emplear al menos 60 horas diarias. Max. 4x + 17y + z beneficio s.a 2x + 18y + 5z apple 110 horas primera fase apple horas disponibles x + 10y + 3z 60 horas segunda fase mínimo exigido x, y, z 0 1. (0.2 ptos.) Estudia si la solución (x, y, z) = (30, 0, 10) es factible básica. 2. (0.3 ptos.) Construye la tabla del símplex correspondiente a la solución anterior. Razona si es óptima y, si no lo es, itera hasta llegar a la solución óptima. 3. (0.2 ptos.) Calcula las variables duales e interpreta la correspondiente a la primera restricción. 4. (0.2 ptos.) Calcula el intervalo de sensibilidad del beneficio unitario del segundo artículo. 5. (0.3 ptos.) La empresa se plantea subir el precio del segundo artículo, de modo que el beneficio que obtiene por cada unidad producida pasaría a ser de 20 u.m. Cuál sería la producción diaria más conveniente en tal caso? 6. (0.3 ptos.) Razona mediante postoptimización qué sucedería si la situación de la primera fase fuera la misma que la de la segunda, es decir, si la primera restricción fuera 2x + 18y + 5z 110. (Observa que esto supone cambiar un coeficiente de la matriz técnica.)

12 MATEMÁTICAS II Grupo GF IIIc (0.5 ptos.) Juan López planea abrir dos panaderías en dos locales de su propiedad. Según su tamaño, calcula que para el primero le conviene contratar a 4 trabajadores, mientras que para el segundo bastan 2. Después de entrevistar a varios aspirantes ha seleccionado a seis, con los que, en función de su currículum y de su situación personal (distancia a los locales desde su domicilio, etc.) ha pactado un posible salario mensual dado por la tabla siguiente: Candidato: Álvarez Benítez Chávez Díaz Enríquez Fernández Salario en la panadería 1: Salario en la panadería 2: No obstante, López considera que Chávez es demasiado joven, y no quiere contratarlo si su madre (Enríquez) no trabaja con él en la misma panadería para que lo dirija. Por otra parte, López se está planteando el adscribirse a la franquicia PAN DERETA que, por una cuota de C mensuales, le simplificaría enormemente el proceso de producción. En caso de adscribirse a PAN DERETA, necesitaría sólo dos trabajadores para la primera panadería y uno para la segunda. Y, como el trabajo también se simplifica, el salario de cada trabajador se reduciría en 50 C. Su objetivo es producir al menos kg de producto al mes (conjuntamente entre las dos panaderías), y la producción que consigue viene dada por la función de Cobb-Douglas Q(K, L) = 1.8KL, donde K es el capital invertido mensualmente en la producción (que es independiente de los salarios de los trabajadores) y L el número de trabajadores contratados, a la que hay que sumar 750 kg adicionales si se adscribe a la franquicia. Determina a qué trabajadores conviene contratar para cada panadería, qué capital conviene invertir mensualmente y si le conviene a López adscribir sus panaderías a la franquicia para minimizar el coste mensual. Modeliza el problema indicando claramente el significado de cada variable, de la función objetivo y de cada restricción, resuélvelo con LINGO, indica la solución óptima (con palabras, es decir, de modo que Juan entienda lo que le conviene hacer aunque no sepa programación matemática) y comprueba que la solución que propones cumple todos los requisitos del problema.

13 MATEMÁTICAS II Grupo GF IVa Una empresa tiene que fabricar en el menor tiempo posible 4 000, y unidades de tres productos. Para ello dispone de dos fábricas A y B con recursos suficientes para la producción salvo por el hecho de que en una fase se requiere una maquinaria especializada que puede usar durante 250 horas diarias en fábrica A y durante 300 en la fábrica B. El problema siguiente determina la cantidad de cada producto que conviene producir en cada fábrica: Min 5a 1 + 4a 2 + 6a 3 + 6b 1 + 3b 2 + 5b 3 Tiempo (en minutos) s.a a 1 + b Producción del producto 1 a 2 + b Producción del producto 2 a 3 + b Producción del producto 3 2a 1 + a 2 + 4a 3 apple Minutos de maquinaria usados en la fábrica A. 3b b 2 + 3b 3 apple Minutos de maquinaria usados en la fábrica B. a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b Interpreta los costes reducidos de las variables a 1 y a Si la empresa tuviera que elegir entre producir 10 unidades más del primer producto o 20 más del segundo, cuál de las dos opciones podría conseguir en menos tiempo? 3. Si pudiéramos reducir en un minuto el tiempo de producción del primer producto en la fábrica A, convendría producir más unidades que ahora? Serviría la misma respuesta en caso de que se tratara del segundo o del tercer producto? 4. Interpreta el intervalo de sensibilidad de la producción requerida del producto Si pudiéramos disponer de una hora más de maquinaria en la fábrica B, convendría aumentar la producción total de alguno de los productos? Podemos concluir que esa hora extra sería innecesaria y no convendría aprovecharla?

14 MATEMÁTICAS II Grupo GF IVa Modeliza el problema siguiente y resuélvelo con LINGO siempre que sea posible: Una empresa tiene fábricas en Madrid, Barcelona y Valencia, con capacidad para producir mensualmente unidades de producto cada una. Actualmente está estudiando cómo repartir su producción entre cuatro distribuidores mayoristas, uno que se encargará de distribuir a su vez el producto en España, otro en el resto de Europa, otro en América y el cuarto en Asia. Como mínimo, debe suministrar unidades de producto al distribuidor de España, al de Europa, 900 al de América y 800 al de Asia. La tabla siguiente contiene el coste de transporte de cada unidad producida de cada fábrica a cada destino: España Europa América Asia Madrid Barcelona Valencia El transporte a América se hace en barco, y por ello prefiere no exportar a este destino desde Madrid. Por otro lado, por razones logísticas la empresa quiere exportar desde Valencia al menos dos veces más producto a Asia que a América. Por otra parte, la empresa se plantea la posibilidad de mejorar las instalaciones de sus fábricas. Esto requeriría en cada fábrica una inversión mensual de 400 u.m. y a cambio le permitiría aumentar su capacidad de producción mensual en 100 unidades de producto. Determina qué cantidad conviene servir a cada distribuidor desde cada fábrica para minimizar los costes de transporte, así como si le conviene a la empresa mejorar las instalaciones de alguna o algunas de sus fábricas. Indica la solución óptima con palabras, es decir, de forma que la pueda entender alquien que no conozca el LINGO o no sepa programación matemática.

15 MATEMÁTICAS II Grupo GF IVb Una empresa tiene que fabricar en el menor tiempo posible 4 000, y unidades de tres productos. Para ello dispone de dos fábricas A y B con recursos suficientes para la producción salvo por el hecho de que en una fase se requiere una maquinaria especializada que puede usar durante 250 horas diarias en fábrica A y durante 300 en la fábrica B. El problema siguiente determina la cantidad de cada producto que conviene producir en cada fábrica: Min 5a 1 + 4a 2 + 6a 3 + 6b 1 + 3b 2 + 5b 3 Tiempo (en minutos) s.a a 1 + b Producción del producto 1 a 2 + b Producción del producto 2 a 3 + b Producción del producto 3 2a 1 + a 2 + 4a 3 apple Minutos de maquinaria usados en la fábrica A. 3b b 2 + 3b 3 apple Minutos de maquinaria usados en la fábrica B. a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b Interpreta el precio dual de la primera restricción. 2. Vemos en la función objetivo que producir cada unidad del primer producto en la fábrica B cuesta 6 minutos. Podemos concluir que si exigiéramos fabricar una unidad de dicho producto en la fábrica B el tiempo mínimo necesario aumentaría en 6 minutos? 3. Supongamos que una avería hace que el tiempo de producción del segundo artículo en la fábrica B pasa a ser de 3.5 minutos. Convendría entonces desviar parte de la producción de dicho artículo a la fábrica A? Podemos asegurar que las cantidades que conviene producir de dicho artículo en cada fábrica siguen siendo exactamente las mismas que antes? 4. Se están empleando todos los minutos de maquinaria especializada disponibles en las fábricas? 5. Cuánto tendría que disminuir como mínimo la producción requerida del segundo artículo para que pudieran sobrar minutos de maquinaria en ambas fábricas?

16 MATEMÁTICAS II Grupo GF IVb Modeliza el problema siguiente y resuélvelo con LINGO siempre que sea posible: Una empresa distribuye tres productos en cuatro mercados: España, resto de Europa, América y Asia y se está planteando abrir nuevas sucursales. Más concretamente, la empresa tendría capacidad para abrir hasta 8 nuevas sucursales en España y hasta un máximo de 6 en cada mercado extranjero. El coste de apertura de cada nueva sucursal sería de 90 u.m. en España, de 100 u.m. en otros países europeos, de 120 u.m. en América y de 180 u.m. en Asia. Además, un estudio de los mercados americano y asiático recomienda que el número de sucursales que se abran en uno de ellos no exceda al doble de las que se abran en el otro. La tabla siguiente recoge el beneficio anual que le reportaría cada nueva surcursal para cada producto, así como el beneficio que, como mínimo, quiere conseguir la empresa para cada producto con las nuevas sucursales: España Europa América Asia Producto Producto Producto Por otra parte, la empresa podría reducir en 15 u.m. el coste de cada nueva sucursal comprando los locales a otra empresa que está interesada en desprenderse de ellos, pero el acuerdo que le propone exige que le compre al menos dos locales en cada mercado. Determina cuántas nuevas sucursales le conviene abrir a la empresa en cada mercado para obtener los beneficios deseados con coste mínimo, así como si le conviene o no adquirir los locales de la otra empresa. Indica la solución óptima con palabras, es decir, de forma que la pueda entender alquien que no conozca el LINGO o no sepa programación matemática.

17 MATEMÁTICAS II Grupo GF IVc Una empresa tiene que fabricar en el menor tiempo posible 4 000, y unidades de tres productos. Para ello dispone de dos fábricas A y B con recursos suficientes para la producción salvo por el hecho de que en una fase se requiere una maquinaria especializada que puede usar durante 250 horas diarias en fábrica A y durante 300 en la fábrica B. El problema siguiente determina la cantidad de cada producto que conviene producir en cada fábrica: Min 5a 1 + 4a 2 + 6a 3 + 6b 1 + 3b 2 + 5b 3 Tiempo (en minutos) s.a a 1 + b Producción del producto 1 a 2 + b Producción del producto 2 a 3 + b Producción del producto 3 2a 1 + a 2 + 4a 3 apple Minutos de maquinaria usados en la fábrica A. 3b b 2 + 3b 3 apple Minutos de maquinaria usados en la fábrica B. a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b Interpreta las dos cantidades que aparecen en esta línea: Row Slack or Surplus Dual Price PRODUCCION La empresa está interesada en que en la fábrica B se produzcan también algunas unidades del primer artículo. Cuántas podría fabricar sin aumentar el tiempo de producción en más de una hora? 3. Una avería hace que el tiempo de producción del artículo 1 en la fábrica A pase a ser de 6.5 minutos, superior al de la fábrica B. Podemos deducir de aquí que entonces convendrá dejar de producir parte del artículo en la fábrica A para producirlo en la B? 4. Calcula e interpreta el intervalo de sensibilidad de la producción requerida del segundo producto. 5. Si en la fábrica B se pudiera usar la maquinaria especializada una hora más, seguiría conviniendo producir las mismas cantidades de producto en dicha fábrica? Sería conveniente entonces producir el primer producto en dicha fábrica?

18 MATEMÁTICAS II Grupo GF IVc Modeliza el problema siguiente y resuélvelo con LINGO siempre que sea posible: Una empresa tiene en estos momentos ocho pedidos personalizados, aunque no puede hacerse cargo de todos ellos, debido principalmente a que para atender a cada uno de ellos necesita ciertas cantidades de cuatro materias primas de las que dispone temporalmente de cantidades limitadas. La tabla siguiente recoge las necesidades de cada materia prima para cada pedido, las existencias disponibles, así como el beneficio que cada pedido le reportaría: P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 Existencias Materia prima Materia prima Materia prima Materia prima Beneficio Por una cuestión de imagen ante sus clientes potenciales, la empresa quiere hacerse cargo al menos de 4 de los pedidos. Además, el segundo pedido debe servirse antes que el primero, por lo que no es posible atender el primero si finalmente la empresa decide no hacerse cargo del segundo (pero sí que podría atender el segundo y no el primero). Finalmente, la empresa tiene la opción de incurrir en un gasto extraordinario de 500 u.m. a cambio de incrementar en un 30% las reservas de cada una de sus materias primas. Determina qué pedidos conviene que atienda la empresa para maximizar sus beneficios, así como si le conviene o no aumentar sus reservas de materias primas en las condiciones indicadas. Indica la solución óptima con palabras, es decir, de forma que la pueda entender alquien que no conozca el LINGO o no sepa programación matemática.

19 Variable Value Reduced Cost A A A B B B Row Slack or Surplus Dual Price TIEMPO PRODUCCION PRODUCCION PRODUCCION TIEMPO_A TIEMPO_B Objective Coefficient Ranges: Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease A A INFINITY A B INFINITY B B Righthand Side Ranges: Current Allowable Allowable Row RHS Increase Decrease PRODUCCION PRODUCCION PRODUCCION TIEMPO_A INFINITY TIEMPO_B