Correspondencias en la numeración de los ejercicios. Edición 2006 Edición 2004 Edición 2006 Edición 2004

Transcripción

1 David Pujolar (2006): Fundamentos de Programación Lineal y Optimización en Redes. Ejercicios resueltos de Investigación Operativa asistidos por ordenador ; Universitat Autònoma de Barcelona. ISBN: Correspondencias en la numeración de los ejercicios Problemas de programación lineal Problemas de optimización en redes Edición 2006 Edición 2004 Edición 2006 Edición 2004 Problemas 1-13 Misma numeración Problema 1 Misma numeración Problema 14 Problema 2 Problema 15 Problema 14 Problema 3 Problema 2 Problema 16 Problema 15 Problema 4 Problema 3 Problema 17 Problema 16 Problema 5 Problema 4 Problema 18 Problema 17 Problema 6 Problema 5 Problema 19 Problema 18 Problema 7 Problema 6 Problema 20 Problema 8 Problema 7 Problema 21 Problema 19 Problema 9 Problema 8 Problema 22 Problema 20 Problema 10 Problema 9 Problema 23 Problema 21 Problema 11 Problema 10 Problema 24 Problema 12 Problema 11 Problema 25 Problema 22 Problema 13 Problema 12 Problema 26 Problema 23 Problema 14 Problema 13 Problema 27 Problema 24 Problema 15 Problema 14 Problema 28 Problema 25 Problema 16 Problema 15 Problema 29 Problema 26 Problema 17 Problema 16 Problema 30 Problema 31 Problema 27 Problema 32 Problema 28 Problema 33 Problema 29 Problema 34 Problema 30 Problema 35 Problema 36 Respecto a la edición de 2005 sólo se incorporaron como nuevos problemas el 35 y el 36 1

2 David Pujolar (2006): Fundamentos de Programación Lineal y Optimización en Redes. Ejercicios resueltos de Investigación Operativa asistidos por ordenador ; Universitat Autònoma de Barcelona. ISBN: Problemas de la edición de 2006 que no figuran en la de 2004 Problemas de programación lineal (según numeración de la edición de 2006) 14. Un distribuidor compra aceite industrial al por mayor para revenderlo a particulares al por menor. Para ello dispone de un tanque de almacenamiento con una capacidad de l. En el momento actual el tanque contiene 6000 l, pudiéndose adquirir al por mayor hasta l cada mes. El distribuidor desea planificar la estrategia de compra y venta de aceite para los próximos 3 meses. Las previsiones de que dispone indican que la cantidad que podrá vender será de hasta l cada mes, a unos precios previstos de 1 /l el primer mes, 1.2 /l el segundo mes y 1.5 /l el tercero. Asimismo, sabe que los precios previstos a los que podrá comprar aceite serán de 0.8 /l el primer mes, 0.9 /l el segundo mes y 1 /l el tercero. Teniendo en cuenta la información anterior, y suponiendo adicionalmente que el aceite que quede en el tanque al final del tercer mes pueda revenderse a un mayorista a razón de 0.85 /l, cómo debería planificar su actividad para obtener un beneficio máximo al acabar el trimestre? 14. Definamos en primer lugar las variables del problema como: v j : litros de aceite vendido en el mes j-ésimo. c j : litros de aceite comprado en el mes j-ésimo a j : litros de aceite almacenado en el mes j-ésimo. Teniendo en cuenta que hay dos grandes bloques de restricciones: las relativas a limitaciones sobre cantidades (ya sean ventas, compras o almacenamientos) y las vinculadas a las relaciones intertemporales entre las distintas variables, resulta inmediato colegir la estructura matemática del problema: donde x (v 1, v 2, v 3, c 1, c 2, c 3, a 1, a 2, a 3 ) Max f ( x) = ( v1 08. c1) + ( 12. v2 09. c2) + ( 15. v3 c a 3 ) x sa c1 = a1+ v1 a1+ c2 = a2 + v2 a2 + c3 = a3 + v3 0 vj j { 1,, 3} 0 cj j { 1,, 3} 0 a j { 1,, 3} j 20. Un empresario ha encargado un informe con objeto de determinar cuál debe ser la combinación óptima de producción que permita maximizar sus ingresos. Sin embargo, la información que ha recibido se limita al siguiente gráfico, relativo al conjunto factible del problema, en donde se señalan además los vértices de dicho conjunto: 2

3 Sabiendo que la función de ingresos tiene por expresión f (,, xyz) = x+ y+ zresponder a las siguientes cuestiones: 20.1 Existe alguna combinación óptima de producción? Fundamente su respuesta En el caso de que la respuesta a la cuestión anterior fuese afirmativa, obtenga la expresión analítica de la solución óptima del problema. Argumente su respuesta Hay alguna combinación factible de producción que no sea óptima? Por qué? 20. La respuesta a las distintas cuestiones es: 20.1 Puesto que el conjunto factible es un conjunto compacto y la función objetivo una función continua, podemos utilizar el teorema de Weierstrass para garantizar la existencia de al menos una solución óptima Una vez que hemos garantizado en 20.1 la existencia de solución, procedamos a identificarla. Para ello, utilizando el teorema 24 de la sección de fundamentos matemáticos sabemos que la solución óptima se hallará en al menos uno de los vértices del conjunto factible. Si evaluamos la función en los distintos vértices se obtiene que: f( 100,, ) = f( 010,, ) = f ( 001,, ) = 1 Esto supone que los tres vértices sean soluciones óptimas, así como sus combinaciones lineales convexas (recuérdese el teorema 22) por lo que la expresión analítica de la solución será: 3 3 ( x, y, z ) R /( x, y, z ) = λ1( 100,, ) + λ2( 010,, ) + λ3( 001,, ); λ = 1; λ [ 01, ] i i i i= 1 que, geométricamente, se corresponde con todo el conjunto factible No, puesto que, de acuerdo con la expresión anterior, todo el conjunto factible es óptimo. 3

4 24. Un empresario ha recibido el siguiente informe relativo a la planificación óptima de su producción para maximizar sus beneficios: Global optimal solution found at iteration: 1 Objective value: Variable Value Reduced Cost PRODUCTO(1) PRODUCTO(2) PRODUCTO(3) BENEFICIO_UNITARIO(1) BENEFICIO_UNITARIO(2) BENEFICIO_UNITARIO(3) RECURSO_DISPONIBLE(1) COEFICIENTE_TECNICO(1,1) COEFICIENTE_TECNICO(1,2) COEFICIENTE_TECNICO(1,3) Row Slack or Surplus Dual Price RECURSO(1) Teniendo en cuenta los datos del informe, responda las cuestiones siguientes: 24.1 Cuál es la expresión de la primera tabla del algoritmo símplex? 24.2 Determinar cuál es el plan óptimo de producción así como el tipo de solución Cuál es la expresión de la última tabla del algoritmo símplex asociada a los datos? Nota: deducir la tabla sin aplicar el algoritmo Obtener, de forma analítica, el rango de variación del recurso disponible para el cual el precio dual que figura en el informe es válido Partiendo de la información proporcionada, resulta inmediato obtener la primera tabla: Base c B Valor x 1 x 2 x 3 x 4 x De acuerdo con los resultados de LINGO que figuran en el enunciado y teniendo en cuenta los comentarios del apéndice informático, la solución es propia y única, con x 1 = 0; x 2 = 0; x 3 = 8; x 4 = 0 y el valor de la función objetivo es de Los elementos de la tabla, excepto los y ij se infieren directamente del enunciado. Por su parte, los y ij se pueden calcular fácilmente usando la relación T = B -1 A (recuérdese el teorema 29 de la sección de fundamentos matemáticos) Base c B Valor x 1 x 2 x 3 x 4 x

5 24.4 A partir de 24.1 y 24.3 podemos deducir que B = B -1 = 1. Aplicando el teorema 30 sobre los datos del problema (téngase en cuenta que sólo existe una restricción y, por ende, únicamente un término independiente) el rango de variación admisible será: [ ) 1*( 8+Δb) 0 Δb 8 Δb 8, 30. Una compañía dedicada a la fabricación de componentes de automóvil debe planificar su producción para las próximas dos semanas siguiendo una política de minimización de costes. De acuerdo con los convenios firmados con los sindicatos, puede ampliar su producción recurriendo a la contratación de horas extraordinarias, en cuyo caso los costes de producción se verán incrementados. Los costes de producción (en ) imputados por unidad de producto y la producción media semanal (en unidades totales) tanto en régimen de jornada ordinaria como extraordinaria; así como la demanda prevista, son los que figuran en la tabla adjunta: Semana 1 Semana 2 Producción máxima prevista en régimen ordinario Producción máxima prevista en régimen extraordinario Coste unitario de producción en régimen ordinario Coste unitario de producción en régimen extraordinario Demanda prevista Formular el correspondiente programa matemático que permita cubrir la demanda prevista con un coste mínimo; teniendo en cuenta que, caso de producirse excedentes, los costes unitarios de almacenamiento ascienden a 3 por cada semana de almacenamiento. 30. Como en el caso anterior, el problema puede resolverse considerando dos estrategias distintas. La primera de ellas consiste en tratarlo como un problema de transporte. Para ello, si definimos xr ij como la producción en régimen ordinario de la semana i-ésima suministrada en la semana j-ésima, y xe ij como la producción en régimen extraordinario de la semana i-ésima suministrada en la semana j-ésima, tendremos que la estructura del problema, sin equilibrar, es: Min f ( xr, xe) = 12xr + 15xr + 12xr + 18xe + 21xe + 20x xr,xe sa. xr11 + xr xe11 + xe xr xe xr11 + xe xr12 + xe12 + xr22 + xe xr11, xr12, xe11, xe12, xr22, xe22 0 xr, xr, xe, xe, xr, xe Las cuatro primeras restricciones son restricciones de producción y las dos siguientes de demanda. Nótese como, obviamente, hay relaciones no factibles dado que, por ejemplo, no es posible transferir producción desde la segunda semana a la primera. Alternativamente, el ejercicio puede ser resuelto considerando un enfoque análogo al del problema 3. En ese caso, definiendo las variables del modo siguiente: 5

6 x 1 : producción en régimen ordinario de la semana 1. x 2 : producción en régimen extraordinario de la semana 1. x 3 : producción en régimen ordinario de la semana 2. x 4 : producción en régimen extraordinario de la semana 2. y 1 : stock primera semana. y 2 : stock final segunda semana. La estructura del problema será: Min f ( x, y) = 12x1+ 18x2 + 12x3 + 20x4 + 3y1+ 3y2 x,y sa. x1 900 x2 500 x3 900 x4 500 y1 = x1+ x y0 y2 = x3 + x4 + y y = 0 0 xj 0 j { 1,, 4} yi 0 i { 0,, 2} xj j { 1,, 4} yi i { 0,, 2} Donde las cuatro primeras restricciones son restricciones de producción y las tres siguientes de demanda. Problemas 35 y 36: descargar el fichero simula.zip desde el acceso directo (se corresponden con los ejercicios 1 y 3, respectivamente): Problemas de optimización en redes (según numeración de la edición de 2006) 2. Cierta entidad bancaria quiere diseñar una red informática sobre cable óptico que permita interconectar los ordenadores centrales de sus sucursales. El total de ordenadores centrales de la red es de n, uno por delegación. Entre dos sucursales cualesquiera no puede haber, por cuestiones técnicas, más de una conexión directa. Por otra parte, es preciso que la red integre a la totalidad de sucursales (esto es, no pueden quedar sucursales aisladas) si bien no es necesario que todas las sucursales estén conectadas directamente entre sí. El coste de interconectar directamente con cable óptico dos sucursales es proporcional a la distancia existente entre ambas. Teniendo en cuenta las premisas anteriores, responda a las siguientes cuestiones: Cuál es el número total de conexiones que debe tener la red para que su estructura sea compatible con la de un árbol de expansión? Justifique la respuesta Suponga que la red trazada es un árbol de expansión de longitud mínima. Cuántas cadenas habrá entre dos sucursales cualesquiera? Razone la respuesta. 2. La respuesta a las distintas cuestiones es la siguiente: 6

7 2.1 n 1. Si el número fuese menor entonces la red no sería débilmente conexa y, por lo tanto, no sería un árbol de expansión. Si fuese mayor existirían ciclos, dejando de ser la estructura compatible con un árbol de expansión. Nótese en cualquier caso como la existencia de n 1 conexiones en una red con n nodos es una condición necesaria pero no suficiente para que posea una estructura de árbol de expansión. 2.2 Exactamente una. De haber más de una ya no tendríamos un árbol de expansión, por cuanto la existencia de más de una cadena comportaría la aparición de ciclos. Por otra parte, tener pares de nodos (sucursales) para los que no existiese ninguna cadena que las uniese significaría que la red no es débilmente conexa y, en consecuencia, que no es un árbol de expansión. 7