Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial Profr. Eduardo Uresti, enero-mayo 2013

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1 Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial Profr. Eduardo Uresti, enero-mayo 2013 Matrícula: Nombre: NO HAGA MÁS DE 105 PUNTOS 1. Suponga que tiene una empresa que produce tres tipos de productos (P i) que vende a granel. Estos productos están basados en 4 tipos de materias primas (MP j). El personal de operación ha planteado el modelo para maximizar la utilidad neta y lo ha resuelto; se tiene el reporte de LINDO, el cual se muestra a continuación. En los incisos a), b), d) y e) cruce la respuesta y, si así lo requiere, complemente su respuesta llenando el espacio marcado. LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST P P P ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES MP1) MP2) MP3) MP4) NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE P P INFINITY P RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE MP INFINITY MP MP MP INFINITY a) (5 puntos) Suponga que la utilidad del producto 2 aumenta 8 unidades. Es posible estimar el cambio en el óptimo? NO vs SI y el valor del óptimo será: Como el incremento (8) en el coeficiente es mayor que el máximo permitido(7), NO es posible estimar el cambio en el óptimo. b) (5 puntos) Suponga que la utilidad del producto 1 aumenta 12 %, la utilidad del producto 2 aumenta en 1.2 unidades de capital y que la utilidad del producto 3 disminuye 2 unidad de capital; Es posible estimar el cambio en el óptimo? NO vs SI : El valor del óptimo será: Para aplicar la regla del 100 %, determinamos el porcentaje de aumento total: = = < 1 Por tanto, SÍ es posible calcular el cambio en el óptimo: z = (2) ((0.12) 60) + (0) (1.2) + (8) ( 2) = 1.6 con estos cambios el valor del óptimo será = c) (5 puntos) Determine el rango de variación de la materia prima 3 donde es posible estimar el cambio en el valor del óptimo: [, ] [15 5, ] = [10, 22]

2 TC3001, segundo parcial, enero-mayo d) (5 puntos) Suponga que le ofrecen a la empresa un paquete que incluye 2 unidades de la materia prima 1, 2 unidades de la materia prima 2 y 2 unidades de la materia prima 3 a un costo de 25 unidades de capital, le conviene comprar? NO vs SI : Porque el beneficio sería de: El cambio total porcentual es: = Por tanto, sí es posible estimar el cambio en el óptimo utilizando los precios duales de los lados derechos de las restricciones: (0) (2) + (10) (2) + (8) (2) + 0 (0) = 36 Teniendo un beneficio de 36 a un costo de 25, SÍ conviene comprar. e) (5 puntos) Suponga que desafortunadamente se ha dañado en bodega un lote con dos unidades de cada tipo de materia prima que la ha dejado inservible. Diga usted si acaso puede calcular el impacto sobre la utilidad neta, y de ser posible, diga en cuántas unidades monetarias se estima la pérdida. Es posible estimar el cambio en el óptimo? NO vs SI : El valor del óptimo será: El cambio total porcentual es: = = Por consiguiente, SÍ podemos estimar el impacto en el óptimo utilizando los precios duales de los lados derechos de las restricciones: (0) ( 2) + (10) ( 2) + (8) ( 2) + (0) ( 2) = 36 el nuevo óptimo será de = Una empresa que fabrica componentes de computadoras tiene cuatro fábricas que producen, respectivamente, 800, 300, 200 y 600 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a cuatro tiendas que necesitan 1000, 800, 700 y 300 piezas, respectivamente. Suponga que cada pieza que no se entrega a una tienda tiene una multa de 5 dólares. Los costos de transporte, en dólares por pieza, son los que aparecen en la tabla siguiente. Fábrica Tienda A Tienda B Tienda C Tienda D I II III IV a) (10 puntos) Cómo debe organizarse el transporte para que el costo sea mínimo? Debido a que la demanda total (2,800 piezas) excede la capacidad total (1,900) debemos introducir un sitio de escasez que pueda proveer 900 piezas (2,800-1,900) donde los costos de envio a las tiendas son las penalizaciones. Al resolver el problema de transporte obtenemos como solución: Costo: 7, (envio=2900, penalización=4500) Estrategia de Envío De Fábrica A tienda A A tienda B A tienda C A tienda D I II III IV Entregados No entregados

3 TC3001, segundo parcial, enero-mayo b) (10 puntos) Si existe forma de contactar un proveedor para suplir las piezas faltantes cuyo costo total (pieza y transporte) es de 3.5 dólares, Cómo debe organizarse el transporte para que el costo sea mínimo? A nuestra red de transporte (la que tiene el nodo de escasez para planear quizá no entregar algunas piezas) añadimos un nodo que pueda proveer a un costo de 3.5 dólares; suponemos que nos puede proveer el total del producto. Al resolver el problema de transporte obtenemos Costo: 6, (envio=2900, penalización=0, proveedor=3150) Estrategia de Envío De Fábrica A tienda A A tienda B A tienda C A tienda D I II III IV Por proveedor Entregados No entregados c) (15 puntos) Suponga que el proveedor externo le ofrece un precio de 3.25 dólares si el número total de piezas es por lo menos 600. La capacidad que tiene el proveedor es de 700 piezas. Cómo debe planear sus envíos para minimizar costos? Debido a que la demanda total (2,800 piezas) excede la capacidad total (1,900) debemos introducir un sitio de escasez que pueda proveer 900 piezas (2,800-1,900) donde los costos de envio a las tiendas son las penalizaciones. Añadimos un nodo que pueda proveer a un costo de 3 dólares; suponemos que nos puede proveer 700 piezas de producto. Al resolver el problema de transporte obtenemos Costo: 6, (envio=2900, penalización=1000, proveedor=2100) Estrategia de Envío De Fábrica A tienda A A tienda B A tienda C A tienda D I II III IV Por proveedor Entregados No entregados Utilice el método de Ramificación y Acotamiento visto en clase para resolver el siguiente problema: sujeto a Maximizar z = 2 x x x 3 x x 2 + x x x x 3 25 y x 1, x 2, x 3 0 y x 1, x 2 y x 3 enteros. Desarrolle el árbol de búsqueda indicando en cada nodo los resultados del simplex y en cada rama indique la desigualdad que se va sumando al problema. Hasta 8 nodos o encontrar el óptimo, lo que ocurra primero. Desarrollo de nodos N 1 : Problema relajado(p): [z = 15.66,x1 = 7.8, x2 = 0, x 3 = 0]

4 TC3001, segundo parcial, enero-mayo N 2 : P+(x1 8): RF Vacía N 3 : P+(x1 7): [z = 15.24,x1 = 7.0, x2 = 0.4, x 3 = 0] N 4 : P+(x1 7,x2 1: [z = 14.43,x1 = 5.666, x2 = 1, x3 = 0] N 5 : P+(x1 7,x 2 1,x 1 6): RF Vacía N 6 : P+(x1 7,x 2 1,x 1 5): : [z = ,x1 = 5.0, x2 = 1.25, x3 = 0] N 7 : P+(x1 7,x 2 1,x 1 5+x 2 2): [z = 12.2,x1 = 3.0, x2 = 2., x3 = 0] N 8 : P+(x1 7,x 2 1,x 1 5+x 2 1): [z = 13.5,x1 = 5, x2 = 1., x3 = 0.8] N 9 : P+(x1 7,x 2 1,x 1 5+x 2 1+x3 1): [z = 13.2,x1 = 4.8, x2 = 1., x3 = 1.0] 4. (30 puntos) Hay trece proyectos disponibles para inversión. Los proyectos requieren recursos y proporcionan utilidades que se muestran en la tabla siguiente (las cantidades están en millones). Se tienen las siguientes restricciones. C1: No se puede invertir en los proyectos 1, 5 y 9 a la vez. Proyecto Recursos (r(i)) Utilidad (u(i)) C2: Si se invierte en el proyecto 2, será obligación invertir en los proyectos 6, 10 y 12. C3: Los proyectos 3, 7, 11 y 13 constituyen un grupo de riesgo alto, y por tanto, a lo más 3 de estos proyectos se podrán aprobar. C4: Entre los proyectos 4,8, 10 y 13 habrá que aprobar al menos dos. C5: Si se invierte en al menos dos proyectos del portafolio formado por los proyectos 1, 2, 3 y 4 ó se invierte en al menos dos proyectos del portafolio formado por los proyectos 5, 6, 7 y 8, entonces se deberá invertir en al menos dos proyectos del portafolio formado por los proyectos 9, 10, 11, 12 y 13. Si se disponen de 30 millones para inversión, encuentre el plan de inversión que maximiza la utilidad. Si en su solución el plan de inversión no cumple C5, se penalizará con 15 puntos. Esta es una aplicación directa del problema de la mochila. No codificaremos la resstricción 5 y revisaremos si el resultado la cumple. MODELO Variables de Decisión { 1 si se invierte en el proyectoi x(i) = 0 otro caso

5 TC3001, segundo parcial, enero-mayo Objetivo: 13 max z = u(i) x(i) i=1 Restricciones: Naturales: x(i) binarias para i = 1,..., 13 C1: x(1) + x(5) + x(9) <= 2 C2: 3 x(2) <= x(6) + x(10) + x(12) C3: x(3) + x(7) + x(11) + x(13) <= 3 C4: x(4) + x(8) + x(10) + x(13) >= 2 Presupuesto: x(i) r(i) 30 CODIFICACION No la incluya RESULTADO Óptimo:26.5 Variables que no son cero: x(1), x(2), x(4), x(6), x(8), x(9), x(10), x(12), x(13) A posteriori, y para fortuna nuestra, nuestro plan de inversión satisface la condición C5: Es cierto que Entre los proyectos 1, 2, 3, y 4 se aprueban por lo menos 2 (se aprueban 3), entre los proyectos 5, 6, 7, y 8 se aprueban por lo menos 2 (se aprueban 2), y entre los proyectos 9, 10, 11, 12 y 13 se aprueban por lo menos 2 (se aprueban 4) INTERPRETACION El plan óptimo da una utilidad de 26.5 y requiere de una inversión de 29; y consiste de invertir en invertir en los proyectos 1, 2, 4, 6, 9, 10, 12 y (25 puntos) La empresa X produce 4 tipos de productos que distribuye a granel: A, B, C y D. Estos artículos requieren materia prima, mano de obra y tiempo en un horno de procesamiento. En la siguiente tabla se muestran los recursos requeridos y las ganancias por cada tipo de producto. Cada semana se cuenta con 400 kilogramos de materia prima, 160 horas de mano de obra y puede contratar horas de procesamiento en dos posibles hornos: 60 horas de tiempo de procesamiento en cada horno. El costo de la renta del horno 1 es de 2,000 unidades de capital, mientras que en el horno 2 el costo es de 2,500 unidades de capital. La empresa reconoce que para sea factible la producción de sus productos debe procesar al menos 10 kilogramos del producto A, 15 kilogramos de B, 12 kilogramos de C y 10 kilogramos de D. Formule y resuelva un modelo PLE para maximizar las utilidades semanales de X. A B C D Materia prima (kg) Trabajo requerido(hr) Tiempo de procesamiento (min) horno Tiempo de procesamiento (min) horno Utilidad obtenida ($/kg) MODELO Por los modelos que tenemos ya implementados, es más conveniente tener dos modelos para nuestro problema: uno para el primer horno y otro para el segundo. Encontraremos el óptimo para el primero y luego para el segundo y compararemos resultados para ver cuál es la opción de horno más conveniente. Variables de Decisión: x(i) = Total de kilogramos del producto i a producir semanalmente y(i) = 1 ó 0 si se decide ó no producir el producto i

6 TC3001, segundo parcial, enero-mayo Objetivo: max z = 400 x(1) x(2) x(3) x(4) Costo horno donde Costo horno es 2, 000 unidades de capital en el modelo para el primer horno y 2, 500 unidades de capital para el segundo horno. Restricciones (C1) Materia prima (kg): 2 x(1) + 3 x(2) + 3 x(3) + 2 x(4) 400 (C2) Horas de trabajo (hr): 2 x(1) + 4 x(2) + 3 x(3) + 2 x(4) 160 Usaremos una de estas dos codificaciones dependiendo de cuál es el horno que estemos considerando: (C3H1) Tiempo de procesamiento en horno 1(min): 10 x(1) + 20 x(2) + 15 x(3) + 15 x(4) 3, 600 (C3H2) Tiempo de procesamiento en horno 2(min): 8 x(1) + 25 x(2) + 12 x(3) + 12 x(4) 3, 600 (C4) Producción de A: x(1) = 0 ó x(1) >= 10 x(1) M y(1) y (10 x(1)) M (1 y(1)) (C5) Producción de B: x(2) = 0 ó x(2) >= 15 x(2) M y(2) y (15 x(2)) M (1 y(2)) (C6) Producción de C: x(3) = 0 ó x(3) >= 12 x(3) M y(3) y (12 x(3)) M (1 y(3)) (C7) Producción de D: x(4) = 0 ó x(4) >= 10 x(4) M y(4) y (12 x(4)) M (1 y(4)) Naturales: x(i) 0 y y(i) binaria para i = 1, 2, 3, 4 CODIFICACION No la incluya RESULTADO En cualquier caso (primer horno o segundo), el plan óptimo consiste en: Producir únicamente 80 kilogramosde la sustancia D. El único recurso que se consume integramente es las horas de trabajo requerido, que tiene un precio dual de 275 unidades de capital (usando cualquiera de los hornos). De la materia prima sobran 240 kilogramos y El tiempo de procesamiento de horno el sobrante depende del tipo de horno: con el primero sobran del horno de 2,400 minutos y con el segundo sobran 2,640 minutos. El valor del óptimo para el primer horno es de 42,000 unidades de capital, mientras que para el segundo es de 41,500 unidades de capital.