Min. 2x + 4y + 11z Coste s.a x + 2y + 5z 300 horas en la primera fase 3x + 2y + 2z 200 horas en la segunda fase x, y, z 0

Transcripción

1 MATEMÁTICAS II Grupo GF Ca APELLIDOS: NOMBRE: NOTA: No se admitirán respuestas basadas en la resolución gráfica (salvo que se indique explícitamente en el enunciado) ni ninguna forma de resolución basada en tanteos o que se apoye en cualquier información que pueda deducirse a priori sobre la solución óptima a simple vista. 1. Una empresa se plantea fabricar tres artículos en cantidades x, y, z. El problema siguiente determina la producción que minimiza el coste garantizando que se emplean al menos las horas de mano de obra que la empresa tiene contratadas para las dos fases de que consta el proceso productivo: Min. 2x + 4y + 11z Coste s.a x + 2y + 5z 300 horas en la primera fase 3x + 2y + 2z 200 horas en la segunda fase x, y, z 0 Actualmente la empresa está produciendo únicamente 300 unidades diarias del primer producto. (a) (0.2 ptos.) Construye (de forma razonada, sin hacer iteraciones ni tanteos) la tabla del símplex correspondiente a la producción actual. (b) (0.2 ptos.) Razona si la solución es óptima o si podría conseguirse un coste mejor que el actual. Le bastará a la empresa con las horas que tiene contratadas o necesitará contratar trabajadores temporales para alguna de las fases? (c) (0.2 ptos.) Razona si la solución óptima es de vértice, de arista finita o de arista infinita. Podría la empresa producir algún otro artículo además del primero sin aumentar por ello sus costes? (d) (0.2 ptos.) Calcula las variables duales e interpreta la correspondiente a la primera restricción. (e) (0.2 ptos.) Calcula e interpreta el intervalo de sensibilidad de las horas contratadas para la primera fase. 2. Considera el problema: Max. 5x + 2xy 3x 2 y 2 s.a 5x x 2 y 2 1 y 2 (a) (0.3 ptos.) Estudia si (x, y) = (1.5, 2) es un punto de Kuhn y Tucker. (b) (0.4 ptos.) Resuelve el problema. (c) (0.2 ptos.) Si la segunda restricción fuera y 2.1, el valor óptimo de la función objetivo aumentaría o disminuiría? En cuánto, aproximadamente?

2 3. Una empresa quiere comprar dos materias primas M y N para abastecer a dos de sus fábricas F 1 y F 2 con el menor coste posible, de modo que con ellas pueda producir al menos unidades de producto en la primera fábrica y en la segunda. Además, la empresa debe cuidar de que las emisiones contaminantes de cada fábrica a la atmósfera no superen el máximo legal permitido, así como que los residuos sólidos generados en total por el proceso de producción no excedan las 80 toneladas. El problema siguiente determina las toneladas de cada materia prima que conviene comprar para cada fábrica. Min. 80M M N N 2 Coste (en C ) s.a 10M N Producción F 1 20M N Producción F M N 1 apple 27 Emisiones F M N 2 apple 27 Emisiones F M N M N 2 apple 80 Residuos M 1, N 1, M 2, N 2 0 Responde a las preguntas siguientes a partir de la solución dada por LINGO. Indica claramente qué datos de la solución usas en tus respuestas. Se valorará en gran medida que las respuestas se ajusten correctamente al contexto del enunciado. (a) (0.4 ptos.) Interpreta los dos números que aparecen en la línea: Variable Value Reduced Cost M (b) (0.4 ptos.) Interpreta el precio dual de la producción de la fábrica 1. Si la empresa dispone de un presupuesto máximo de C para la adquisición de materias primas, cuántas unidades adicionales de producto podría producir en la fábrica 1? (c) (0.4 ptos.) La multa por sobrepasar el límite permitido de emisiones contaminantes es de C por cada unidad que se exceda. Le convendría a la empresa permitir que se exceda dicho límite en la segunda fábrica? Y en la primera? (d) (0.4 ptos.) Una serie de problemas con el suministro ha hecho que el coste de la materia prima M en la fábrica 2 se haya duplicado. Le convendrá entonces a la empresa aumentar la producción de la fábrica 1? Podemos asegurar que las cantidades de cada materia prima que conviene adquirir para cada fábrica seguirán siendo exactamente las mismas? (e) (0.4 ptos.) Si la empresa necesitara producir únicamente toneladas de producto en la fábrica 2, disminuirían las emisiones contaminantes de dicha fábrica? Y los residuos sólidos generados?

3 Variable Value Reduced Cost M M N N Row Slack or Surplus Dual Price COSTE PRODUCCION PRODUCCION EMISIONES EMISIONES RESIDUOS Objective Coefficient Ranges: Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease M M INFINITY N N INFINITY Righthand Side Ranges: Current Allowable Allowable Row RHS Increase Decrease PRODUCCION PRODUCCION EMISIONES INFINITY EMISIONES RESIDUOS

4 MATEMÁTICAS II Grupo GF 1Cb APELLIDOS: NOMBRE: 4. Considera el problema Opt. 5x + 2y s.a 7x + 3y apple 200 x, y 0 enteras Al resolverlo por el método de ramificación y acotación se obtiene el árbol siguiente: 3a) 1) (28.5, 2a) (28, 1.33) F= b) (27.7, 2) F= (a) (0.1 ptos.) Razona si el problema es de maximizar o de minimizar. Indica sobre cada rama la restricción añadida. (b) (0.5 ptos.) Escribe y resuelve el problema 3a). (c) (0.1 ptos.) Razona si podemos asegurar que la solución obtenida es la óptima o si hay que seguir ramificando. En tal caso indica qué restricciones habría que añadir al árbol. 5. (0.5 ptos.) Resuelve el problema siguiente: Min. 2xy x 2 s.a 2x + y = 10 y 2 x 0

5 6. (0.2 ptos.) Resuelve gráficamente el problema siguiente: Max. x + 2y s.a x + y apple 6 xy apple 2 y x 2 apple 1 x, y 0 Sombrea en la figura el conjunto de oportunidades, representa todo lo necesario para encontrar la solución óptima, señala ésta en la figura e indica aproximadamente (a partir de la gráfica) cuáles son los valores óptimos (x, y) de las variables (0.2 ptos.) Considera el problema: Max. F (x, y) s.a y x apple 2 x + y 2 x, y 0 Los cinco puntos señalados en negro en la figura son sus puntos de Kuhn y Tucker. Los números que aparecen fuera de los ejes son algunos valores de la función objetivo. Por ejemplo, se indica en la figura que F (2, 0) = 4. Razona si el problema tiene solución óptima y en caso afirmativo deduce cuál es.

6 MATEMÁTICAS II Grupo GF 1Cc APELLIDOS: NOMBRE: 8. (1.5 ptos.) Modeliza el problema siguiente y resuélvelo con LINGO siempre que sea posible (también puedes resolverlo sin usar conjuntos, pero entonces la pregunta se valorará sobre 0.5 ptos.): Una empresa química está planificando el lanzamiento al mercado de cuatro nuevos productos para la industria que piensa distribuir en bidones. Éstos se elaboran a partir de tres materias primas principales (sin contar el agua y otros componentes de que dispone en abundancia) que va a adquirir a un suministrador en paquetes de 12 kg. La tabla siguiente contiene los kg de cada materia prima que son necesarios para elaborar cada bidón de producto, el coste de cada paquete de materia prima, el número de paquetes de que puede disponer cada mes y el precio al que pretende vender cada bidón de producto: P1 P2 P3 P4 Coste Disponibilidad Materia prima Materia prima Materia prima Precio Por otra parte, el coste de elaboración de cada bidón de producto es de 50 u.m. y la empresa quiere destinar como máximo un presupuesto de u.m. a la compra de materias primas. Un estudio de mercado recomienda además que el número de bidones fabricados de cada producto no supere al 30% de la producción total y la empresa tiene comprometido con un cliente el suministro de 110 bidones mensuales del producto 4. Finalmente, la empresa tiene la opción de comprar mensualmente a otro suministrador una remesa de 10 paquetes de la materia prima 1 y 5 paquetes de la materia prima 3 (también de 12 kg cada uno) por un coste total de 100 u.m. Determina cuántos paquetes de cada materia prima debe comprar mensualmente la empresa a su suministrador habitual y cuántos bidones debe elaborar mensualmente de cada producto para maximizar su beneficio, así como si le conviene o no comprar cada mes la remesa adicional de materias primas al segundo suministrador.