Un atributo expresa las características del centro decisor, que son medibles con independencia del mismo.

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1 NOTAS SOBRE PROGRAMACIÓN MULTICRITERIO Y RIESGO PROGRAMACIÓN MULTICRITERIO. El punto de partida de este enfoque teórico es que, en muchas ocasiones, los agentes económicos no optimizan sus decisiones de acuerdo con un único objetivo, sino que pretenden buscar un equilibrio o compromiso entre un conjunto de objetivos en conflicto, o bien pretenden satisfacer en la medida de lo posible una serie de metas asociadas a dichos objetivos. Cuando hay más objetivos que el de maximizar el ingreso es de esperar que entren en conflicto unos con otros, con lo que probablemente no se alcanzará una solución única, sino que ésta dependerá de la importancia relativa que para el agricultor tengan los distintos objetivos, es decir, cuánto está dispuesto a sacrificar un objetivo con tal de mejorar el nivel alcanzado en los restantes. Conceptos básicos de la Teoría de la Decisión. A continuación se definen los conceptos utilizados en la Teoría de la Decisión Multicriterio. Un atributo expresa las características del centro decisor, que son medibles con independencia del mismo. Un objetivo es un atributo al cual el centro decisor le ha asociado una dirección de mejora. Esta puede ser maximización o minimización. El objetivo debe ser una función matemática de las variables de decisión. Si el centro decisor asigna un determinado nivel de aspiración a un atributo el resultado es una meta. Los niveles de aspiración pueden tener un origen subjetivo o basarse en razones legales, ecológicas, etc. Los problemas pueden, pues, plantearse en base a metas o en base a objetivos, en función de si los atributos tienen un nivel fijado de aspiración o sólo una dirección de mejora. Una restricción es una condición o valor del atributo que tiene que cumplirse necesariamente, ya que de lo contrario la solución sería imposible. La expresión matemática de una restricción es semejante a la de una meta, pero su significado es distinto. Un criterio es un concepto deliberadamente ambiguo que puede aplicarse a un atributo, un objetivo o una meta. Clasificación de los métodos multicriterio. Son 2 las características para identificar los diferentes métodos multiobjetivo: los flujos de información y el contexto de toma de decisiones. Los flujos de información son importantes porque determinan el papel que va a desempeñar el analista en el proceso de toma de decisiones. De una forma simplificada se pueden considerar

2 dos tipos de flujos de información, del analista al centro decisor y del centro decisor al analista. En el primero de ellos el analista transmite al centro decisor los resultados del conjunto eficiente, alternativas no dominadas, niveles de consecución de los objetivos y conflictividad entre los mismos. El segundo tipo de flujo de información se caracteriza porque el centro decisor articula explícitamente sus preferencias y las transmite al analista para que este identifique la mejor solución. Muchas técnicas utilizan exclusivamente uno de estos flujos de información. No obstante, las técnicas interactivas utilizan ambos tipos para alcanzar la solución. El contexto de toma de decisiones se refiere a si la situación estudiada se caracteriza por un único centro decisor o si, por el contrario, hay múltiples centros decisores. En este último caso, los conflictos para el centro decisor son tanto internos como externos. A pesar de esta diferenciación, en muchas ocasiones es posible tratar problemas con centros decisores múltiples como si fueran problemas multiobjetivo más simplificados. De este modo, un centro decisor público puede recoger simultáneamente los intereses de varios grupos sociales. En función de estas consideraciones se pueden clasificar las técnicas en tres tipos diferentes: técnicas generadoras del conjunto eficiente, métodos que incorporan preferencias y métodos de toma de decisiones múltiples. Las técnicas generadoras consisten en el desarrollo de la información disponible acerca del problema multiobjetivo y presentarle al centro decisor las soluciones posibles y el grado de conflictividad entre las mismas. Los analistas aplican una técnica generadora con el objeto de encontrar una representación exacta o aproximada del conjunto no inferior en los espacios de decisión y de las variables. Los resultados son presentados en forma de tablas y/o gráficos al centro decisor, el cual, basándose en esta información, selecciona una solución. Por tanto, el objetivo de estos métodos multicriterio no es la predicción o el análisis político, sino la generación y evaluación de las alternativas en términos de varios objetivos. Las preferencias del centro decisor no son introducidas hasta el final del proceso, quedando la labor del analista al margen de las mismas. Estos métodos son los que menos información previa requieren, por lo que son aplicables a un amplio rango de contextos decisionales. Por el contrario, la tarea previa a realizar en los métodos que incorporan preferencias es obtener una articulación de las mismas. En este caso la solución se encuentra sin necesidad de generar el conjunto de soluciones no dominadas. Si las preferencias pueden ser representadas de forma paramétrica el problema se reduce a encontrar el máximo de una función de utilidad multiatributo. En la mayoría de ocasiones no es posible ajustar una forma funcional a las preferencias, por lo que se utilizan algunos métodos aproximativos, en los cuales los atributos son ponderados, como en el caso de la programación por metas. Estos métodos son aplicables a situaciones en las que un único centro decisor (o uno que engloba a varios grupos) está dispuesto a articular sus preferencias de manera explícita. Las dificultades inherentes a los problemas de toma de decisiones con centros decisores múltiples son la causa de que exista un menor consenso acerca de cuál es el enfoque apropiado. Las técnicas utilizadas proceden de los campos de la economía del bienestar, la ciencia política (social choice) y la investigación operativa. Aunque estos problemas son los

3 más frecuentes, son también los menos desarrollados, por lo que su aplicación práctica ha sido más limitada. En el campo de la investigación operativa multicriterio el énfasis se ha puesto en la construcción de una gran cantidad de algoritmos de toma de decisiones multicriterio, sin haberse puesto de acuerdo en decidir cuáles de ellos eran los mejores. Un ejemplo típico de esto ha sido lo ocurrido con el método ELECTRE en Francia. A lo largo de 10 años muchos analistas pensaron que este era el método ideal para tratar problemas multicriterio complicados, aunque el mismo no satisface ningún conjunto de axiomas consistentes y razonables (Arrow y Raynaud, 1989). El centro decisor debe saber que en el análisis multicriterio puede ser víctima de una serie de sesgos personales que deben ser evitados. Por ello, más que un simple algoritmo, es deseable que el método tenga unos fundamentos sólidos. Se pueden establecer los siguientes criterios de clasificación: 1.- Tamaño del conjunto de soluciones factibles. El número de alternativas puede ser infinito o finito, lo que permite diferenciar entre métodos continuos y métodos discretos. 2.- En función de cómo se articulen las preferencias del centro decisor, a priori, interactivamente o a posteriori. En la Programación Multiobjetivo el centro decisor no articula sus preferencias hasta el final del proceso de decisión. La tarea del analista consiste en ofrecer el conjunto de soluciones eficientes al centro decisor para que éste escoja. En la Programación por Metas el centro decisor articula sus preferencias en primer lugar, asignando un conjunto de pesos a los distintos criterios que indican la intensidad de preferencias. A partir de estos pesos el analista genera una única solución. En la Programación Interactiva las preferencias se van modelando poco a poco mediante un proceso interactivo entre el analista y el centro decisor: se le van presentando soluciones al centro decisor para distintas combinaciones de las ponderaciones y se le pregunta si le satisface. En caso negativo, se le sugiere cómo ha de cambiar las ponderaciones. Los métodos continuos normalmente pueden aplicarse a problemas discretos, no obstante, se han desarrollado métodos específicos para este último tipo de problemas. Un proceso decisional multicriterio discreto consta de los siguientes elementos: 1.- Un conjunto de m puntos (E1,..,Em) que representan las posibles alternativas o elecciones del centro decisor. 2.- Un conjunto de n puntos (A1...An) que representan los criterios o atributos relevantes para el correspondiente problema.

4 3.- Un conjunto de m*n puntos (R11...Rmn) que representan el resultado alcanzado por cada alternativa en cada uno de los atributos. Rij resultado de la alternativa i-ésima con respecto al criterio j-ésimo.. Todos estos elementos se representan en la matriz decisional. Los métodos multicriterio discretos pretenden realizar una ordenación de las alternativas a partir de la información que proporcionan los resultados. El primero de los métodos discretos es el más consistente a nivel teórico pero el más difícil de aplicar. Bajo ciertos supuestos (que son muy restrictivos y por tanto dificultan la aplicabilidad del método) se realiza una representación paramétrica de la utilidad que reporta cada alternativa (a partir de la agregación de las utilidades que proporciona para cada atributo). La alternativa a escoger sería aquélla que maximizase esta función de utilidad multiatributo. Estas dificultades han hecho aparecer los métodos de sobreclasificación, que son menos sólidos desde un punto de vista teórico y deben ser considerados como simples reglas de clasificación. Programación por metas. Esta técnica minimiza la desviación entre los niveles de aspiración deseados para cada objetivo por el centro decisor y los niveles realmente alcanzados. La suma de desviaciones se pondera según la importancia que cada objetivo tenga para el decisor. La forma general de un programa por metas responde a la estructura siguiente: sujeto a min d = ( á i n i + â i p i ) R X + N - P = T X Fd Donde á i y â i son las ponderaciones que el centro decisor asigna a las desviaciones n i y p i, respectivamente. Los vectores N y P, que recogen las desviaciones negativas y positivas, son calculados como la diferencia entre el valor alcanzado por la meta i y el valor asignado a dicha meta o nivel de aspiración, que es Ti. Por último, las soluciones deben pertenecer al conjunto de soluciones alcanzables, Fd. Los valores T son fijados por el centro decisor de acuerdo con criterios de tipo técnico, económico,etc. Las metas no deben confundirse con una restricción, pese a tener la misma forma matemática. Las restricciones han de cumplirse siempre, mientras que las metas pueden no alcanzarse, siendo este el motivo de la introducción de las variables de desviación.

5 La programación por metas es muy operativa, contando además con la ventaja de dar una solución única al problema planteado. Los inconvenientes que presenta son el exigir mucha información a priori sobre pesos, preferencias y metas del centro decisor. Además, si los niveles de aspiración de las metas son fijados muy bajos, puede generar soluciones no eficientes. Las variantes principales de este método son la programación por metas ponderadas y la programación por metas lexicográficas. En la programación por metas ponderadas, las preferencias entre distintas metas vienen dadas por los pesos. La relación de intercambio entre las distintas metas viene dada por sus pesos relativos. En la programación por metas lexicográficas las metas se ordenan según orden de prioridades, y sólo cuando una meta ha sido alcanzada es cuando se toma en consideración a las metas situadas en una prioridad de orden inferior. Puede haber pesos relativos entre metas situadas dentro de un mismo nivel de prioridad. La relación de intercambio es infinita entre las metas situadas en distintos niveles de prioridad. Los inconvenientes de la programación por metas son los siguientes: - Exige mucha información a priori. - Puede generar soluciones no eficientes. - Mucha sensibilidad de las soluciones a la variación de los pesos relativos. - La existencia de relaciones de intercambio infinitas es poco realista. Como ventajas de la programación por metas destacan las siguientes : - Es muy operativa. - Es compatible con la idea de combinar satisfacer y optimizar. - Genera una solución óptima única. Programación multiobjetivo. Este conjunto de técnicas se basa en el concepto de eficiencia paretiana, el cual establece que una solución es eficiente cuando, dada cualquier otra solución, ésta es, al menos, igual en todas sus componentes siendo la primera superior al menos en una de ellas. Si tenemos, para un determinado problema, sólo tres soluciones alcanzables,definidas por dos criterios, de la siguiente manera: A = (5,10) ; B = (6,8) ; C = (5,8) En este caso, A y B son soluciones eficientes, pero C no lo es al ser igualada en una de sus componentes y ser superada en el otro. El programa multiobjetivo llega a su fin cuando se han generado todas las soluciones eficientes, que constituyen el conjunto eficiente, también llamado no-dominado o paretoeficiente. La formulación del problema como un programa multiobjetivo es :

6 eff Z (X)= [Z1(X)...Zn(X)] X Fd donde eff significa búsqueda de soluciones Pareto-óptimas Zi(X) expresión matemática del objetivo i-ésimo X vector de variables de decisión. Fd conjunto de restricciones que define el conjunto de soluciones factibles. Hay varias técnicas que permiten generar el conjunto eficiente. La primera en aparecer fue la simple ponderación de la función objetivo. A partir de los objetivos iniciales se construye una nueva función que incorpora los objetivos por medio de diferentes pesos y de forma aditiva simple. La expresión matemática es sujeto a maximizar Z (w) = Ó Wi Zi X Fd La segunda técnica consiste en la parametrización de una restricción artificial mientras se optimiza el objetivo restante. sujeto a maximizar Z1 (X) Zk (X) > Lk X Fd donde Lk es el valor de la restricción artificial. La tercera técnica, denominada NISE (Non-inferior Set Estimation Method, Cohon et al, 1979), permite generar el conjunto eficiente cuando sólo existen dos objetivos. El fundamento del método es escoger un máximo error o tolerancia para detener el proceso de búsqueda de nuevos puntos extremos. Se construye para ello una función artificial en la que los pesos vienen definidos en función de las pendientes que generaron los puntos extremos adyacentes. El proceso, además de rápido, nos da como información adicional las pendientes del conjunto eficiente. Z (w) = w1 Z1 (X) + w2 Z2 (x) X Fd Dados dos puntos extremos del conjunto eficiente, S1 y S2, los pesos son : w1/w2 = ( Z2(S2)-Z2(S1) ) / ( Z1(S2)-Z1(S1) )

7 El último método generador del conjunto eficiente es el denominado Simplex Multicriterio (Steuer, 1986), que consiste en un algoritmo que se desplaza de un punto a otro del conjunto eficiente. Este método presenta dificultades para su aplicación, por lo que su empleo de reduce a problemas de tamaño reducido. A pesar de que los métodos multiobjetivo concluyen cuando ha sido generado el conjunto eficiente, el centro decisor suele querer una solución concreta, lo que exige la utilización de alguna técnica adicional en la que se introduzcan de alguna manera las preferencias del centro decisor y se llegue, de esta manera, a una solución única. Los principales inconvenientes de la programación multiobjetivo son : - Exige gran cantidad de cálculos. - Exceso de información que necesita de análisis previo. - El problema se complica enormemente si el número de objetivos es elevado (mayor que 5). - Es sólo el primer paso del proceso de decisión. Es necesaria una segunda fase de resolución en la que se introduzcan las preferencias del centro decisor. Las ventajas de los métodos multiobjetivo son: - Están basados en el concepto de eficiencia paretiana. - Establecen una partición del subconjunto alcanzable entre soluciones eficientes y no eficientes. - No necesitan ninguna articulación a priori de las preferencias del centro decisor. -Hay métodos de generación del conjunto eficiente que proporcionan las condiciones de intercambio (trade-offs) entre objetivos de forma automática.

8 INTRODUCCIÓN DEL RIESGO: CONJUNTO EFICIENTE MARGEN BRUTO-MAXIMIN a) Maximización del margen bruto: MAX 8 X1 + 7 X2 SUBJECT TO 2) X1 + X2 + X3 = 10 3) X1 + 2 X2 <= 12 4) 2 X1 + X2 <= 12 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X X X INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY b) Maximin para 6 estados de la naturaleza: MAX MXM SUBJECT TO 2) X1 + X2 + X3 = 10 3) X1 + 2 X2 <= 12 4) 2 X1 + X2 <= 12 5) 13 X1 + 5 X2 - MXM >= 0

9 END 6) 3 X1 + 9 X2 - MXM >= 0 7) 10 X1 + 5 X2 - MXM >= 0 8) 5 X1 + 8 X2 - MXM >= 0 9) 4 X1 + 9 X2 - MXM >= 0 10) 13 X1 + 6 X2 - MXM >= 0 11) 8 X1 + 7 X2 - MB = 0 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X MXM MB ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X X X MXM INFINITY MB RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY

10 INFINITY INFINITY INFINITY c) Generación del conjunto eficiente mediante parametrización de uno de los objetivos: Añadimos una restricción (12) MB 60) al modelo del apartado b), en la que condicionamos el valor del margen bruto. Después parametrizamos el valor del RHS de esa restricción (parametrizar el RHS de la restricción desde el valor actual, 60, hasta 0 : PARA 12 0), para obtener los puntos esquina del conjunto eficiente MAX MXM SUBJECT TO 2) X1 + X2 + X3 = 10 3) X1 + 2 X2 <= 12 4) 2 X1 + X2 <= 12 5) - MXM + 13 X1 + 5 X2 >= 0 6) - MXM + 3 X1 + 9 X2 >= 0 7) - MXM + 10 X1 + 5 X2 >= 0 8) - MXM + 5 X1 + 8 X2 >= 0 9) - MXM + 4 X1 + 9 X2 >= 0 10) - MXM + 13 X1 + 6 X2 >= 0 11) 8 X1 + 7 X2 - MB = 0 12) MB >= 60 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST MXM X X X MB ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 0

11 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE MXM INFINITY X INFINITY X INFINITY X MB INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY VAR VAR PIVOT RHS DUAL PRICE OBJ OUT IN ROW VAL BEFORE PIVOT VAL SLK 7 SLK E