Econometria. Tema 2: El model de regressió simple Exercicis

Transcripción

1 Econometria Tema 2: El model de regressió simple Exercicis 1. ( ) Considera el següent gràfic on hi ha representat la relació entre els anys d existència del mercat de valors (A) i el rendiment real anual (R) per una mostra de 39 països. rendimiento real anual (R) Anys existència del mercat (A) (a) Donada la informació que tenim en el gràfic, creus que hi ha una relació determinista entre el rendiment real d un mercat (R) i anys d existència del mateix (A)? Raona la resposta. (b) Escriu un model de regressió lineal on es pugui analitzar formalment la relació entre el rendiment mitjà (R) i anys d existència (A). (c) Tria dos elements que hagis inclòs en l especificació del model en la pregunta anterior. Explica breument què capta cadascun d aquests elements, fent referènica específica a l exemple que estem considerant. 2. ( ) Considera el següent model que relaciona la renda per càpita, en milers de dòlars, d un país i (RC i ), amb el seu precentatge de població en el sector agrícola (P A i ): Model : RC i = β 0 + β 1 P A i + u i 1

2 (a) Explica en paraules com interpretar els paràmetres β 1 i β 2. Quin signe creus que tindran? (b) Dibuixa la recta de regressió poblacional (RRP) associada a aquest model suposant que els paràmetres β 0 i β 1 tenen el signe que has indicat en l apartat anterior. Quina informació et dóna aquesta recta? 3. ( ) Considera el següent model: Per aquest model tenim la següent mostra: x i y i (a) Estima per MQO els paràmetres β 0 i β 1, sense utilitzar àlgebra matricial. (b) Estima per MQO els paràmetres β 0 i β 1, utilitzant àlgebra matricial. (c) Calcula els residus MQO sense utilitzar àlgebra matricial i utilitzant àlgebra matricial. Comprova que coincideixen (d) Comprova que N û i = ( ) Considera que es proposa el següent model de regressió per analitzar el comportament de la variable y d una mostra de n observacions: Model(1) y i = β 0 + u i i = 1,..., n (a) Quants paràmetres té aquest model? Quants regressors? Segons el model proposat, què pots dir sobre el comportament de la variable y? (b) Deriva l expressió de l estimador MQO del paràmetre corresponent sense utilitzar àlgebra matricial. Et sorprèn el resultat? (c) Si escrivim l expressió del Model(1) en àlgebra matricial com y = Xβ + u. Quins elements inclouria y? I X? I u? 2

3 (d) Comprova que l expressió de l estimador coincideix amb la que trobaries si apliquem l expressió general en àlgebra matricial: ˆβ = (X X) 1 X y 5. ( ) Considera que es proposa el següent model de regressió per analitzar el comportament de la variable y d una mostra de n observacions: Model(2) y i = β 1 x i + u i i = 1,..., n (a) Quants paràmetres té aquest model? Quants regressors? Segons el model proposat, què pots dir sobre el comportament de la variable y? (b) Deriva l expressió de l estimador MQO del paràmetre corresponent sense utilitzar àlgebra matricial. (c) Si escrivim el model anterior en àlgebra matricial com y = Xβ + u. Quins elements inclouria y? I X? I u? (d) Comprova que l expressió de l estimador coincideix amb la que trobaries si apliquem l expressió general en àlgebra matricial: ˆβ = (X X) 1 X y 6. ( ) Discuteix quin problema tindries per estimar els paràmetres d un model de regressió simple per MQO utilitzant la següent mostra: x y ( ) Considera el següent model: Volem analitzar com queda afectat l estimador MQO quan variem les unitats de mesura de la variable explicativa, és a dir, redefinint el regressor com x i = ax i. 3

4 (a) Analitza com afectaria aquest canvi a la estimació dels parametres sense utilitzar àlgebra matricial. (b) Repeteix l apartat anterior utilitzant ara àlgebra matricial. 8. ( Í ) Volem estimar els paràmetres d aquest model: amb les dades del fitxer mostra1.xls. i = 1,..., 10 (a) Utilitzant un full de càlcul, estima els paràmetres del model, aplicant la següent expressió: N (y i ȳ)(x i x) ˆβ 1 = ˆβ0 = ȳ N ˆβ 2 x (x i x) 2 (b) Amb l ajuda d un guió de comandes de Gretl, estima els paràmetres β 1 i β 2 del model, aplicant la expressió: ˆβ = (X X) 1 X y Fixa t que has de definir les matrius utilitzant la comanda matrix i definint les operacions necessàries. (c) Torna a estimar el model, ara usant l opció del menu de Gretl per estimar per MQO. Comprova que els valors obtinguts són els mateixos que has obtingut en l apartat (a) i (b). (d) Utilitzant un full de càlcul, calcula el coeficient de determinació utilitzant les següents dos expressions següents i comprova que efectivament donen el mateix valor per aquest coeficient: R 2 = SCE SCT = (ŷ i ȳ) 2 (y i ȳ) 2 R 2 = 1 SCR SCT = 1 û i 2 (y i ȳ) 2 4

5 9. ( Í ) Al fitxer salutrenda.gdt hi ha observacions sobre les despeses en salut (exphlth) i la renda (income) de 51 estats dels EU, expressats en mils de milions de dolars. Amb aquesta mostra volem estimar el següent model: Model(1) exphlth i = β 0 + β 1 income i + u i (a) Interpreta els paràmetres del model. (b) Amb l ajuda de Gretl, estima el model. Comenta. (c) Quina predició es pot fer sobre el consum esperat d una familia amb una renda de 700 euros setmanals i una amb una renda de 1200? (d) Considera que amb les mateixes dades es proposa el següent model Model(2) ln(exphlth i ) = β 0 + β 1 ln(income i ) + u i Quina interpretació tindria ara el paràmetre β 2 en aquest segon model? (e) Amb l ajuda de Gretl, estima aquest segon model. Comenta. 10. (Í) Tenint les dades de la següent taula: estudiant hores d estudi nota mitjana , , , , ,25 (a) Volem estimar la relació entre les hores d estudi i la nota mitjana utilitzant un model de regressió simple. Entra les dades en un full de càlcul. Des de Gretl importa les dades i estima els paràmetres del model per MQO. Interpreta els coeficients estimats. (b) Quina predicció donaries de la nota esperada d un estudiant que ha posat 20 hores d estudi? 11. (Í) Considera el següent mecanisme de generació de dades: y i = x i + u i, u i i.i.n.(0, σ 2 ) on les observacions de x es generen a partir d una uniforme (0, 30). (a) Escriu un guió de comandes de Gretl que generi una mostra de 80 observacions d aquest mecanisme pel cas de σ 2 = 144. Inclou la comanda set seed

6 (b) Executa el guió. Fes un plot (scatter) amb les 80 observacions (x i, y i ) generades. Et sorprèn? comenta. (c) Repeteix els apartats (a) i (b) pel cas de σ 2 = 16. Compara els gràfics i comenta. 12. ( ) El fitxer de dades employment.xls inclou dades sobre la taxa de creixement anual de l ocupació (employment) i la taxa de creixement economic anual (gdp) per 25 països durant els anys 90. Per estudiar la creació d ocupació en relació al creixement econòmic en aquest periode, es proposa el següent model de regressió lineal: employment i = β 0 + β 1 gdp i + u i (a) Amb l ajuda de Gretl (via menus) estima el model indicat. (b) Amb l ajuda d un guió d instruccions de Gretl i construint les matrius corresponents, verifica el càlcul de l estimació de β 0 i β 1 i de les desviacions estandar estimades de l estimador de cadascun d aquests paràmetres. (c) Ha sortit el signe de l estimació del paràmetre β 1 tal com esperaves? (d) Comenta la bondat d ajust. (e) Presenta la recta de regressió ajustada en forma analítica. estimació inclou les desviacions estandar estimades. A sota de cada (f) Fes un plot de les dades. Inclou en el plot la recta ajustada. 13. El fitxer espvida.xls inclou dades per 92 països sobre la seva renda per càpita anual en dolars (R) i l esperança de vida de la seva població en anys (E), circa Per extreure informació d aquesta mostra sobre el comportament de l esperança de vida en relació al nivell de renda per càpita, es proposa el següent model de regressió: E i = β 0 + β 1 ln(r i ) + u i (a) Quin signe creus que tindrà el paràmetre β 2? Raona breument. (b) Amb l ajuda de Gretl (via menus), estima el model anterior per MQO. (Atenció, fixa t que la variable explicativa del model és ln(r) i no R, així, abans d estimar, has de generar la variable corresponent). Inclou com a resposta una còpia de l output de Gretl. (c) Amb l ajuda d un guió d instruccions de Gretl i construint les matrius corresponents, verifica el càlcul de l estimació de β 0 i β 1 i de les desviacions estandar estimades de l estimador de cadascun d aquests paràmetres. (d) Presenta la recta de regressió ajustada en forma analítica. estimació inclou les desviacions estandar estimades. 6 A sota de cada

7 (e) Amb l ajuda de Gretl fes un gràfic de les observacions i de la recta ajustada en el mapa (lnr, E). (És a dir, la variable lnr en l eix horitzontal i E a l eix vertical.) (f) Interpreta l estimació obtinguda de β 1? (g) Quina és el valor del coeficient de determinació? Dóna l expressió exacta que s ha fet servir per calcular-lo, fent referència a les variables incloses en aquest model. (h) Segons l estimació obtinguda, si un país té una renda per càpita un 1% més alta, com esperem que variï la seva esperança de vida? (i) Quina estimació faries sobre l esperança de vida d un país que té una renda per càpita de dolars l any? (j) Creus que aquesta regressió serviria per mesurar l efecte que té la renda per càpita sobre l esperança de vida? Comenta de forma breu però rigorosa. 14. (Í) Considera que utilitzant el mecanisme següent: mgd : y i = x i + u i u i /x i.i.n(0, 81) volem generar mostres de 50 observacions cadascuna, totes elles compartint les mateixes observacions de la variable x. Amb cada mostra volen estimar per MQO el model: com si no coneixessim els valors dels paràmetres. (a) Quantes estimacions de β 0 obtindries? Quantes estimacions de β 1 obtindries? (b) Escriu un guió d instruccions que (i) generi mostres del mecanisme anterior, totes elles compartint les mateixes observacions de la variable x, (ii) amb cada mostra estimi el model de regressió abans indicat i (iii) guardi les estimacions del paràmetre β 1 en un fitxer anomenat b1est.gdt. Inclou la instrucció set seed 1234 just després de la comanda nulldata. Guarda aquest guió com a Guio1. (c) Obre el fitxer b1est.gdt. Troba la mitjana de les estimacions obtingudes de β 1. És el valor d aquesta mitjana el que esperaves? (d) Fes un histograma (de freqüències relatives) amb les estimacions obtingudes de β 1. Ha sortit el gràfic com esperaves? (e) Quina propietat es pot il lustrar amb el gràfic anterior? Argumenta rigorosament. (f) Si en lloc de mostres haguessim generat totes les possibles mostres que poden sortir d aquest mecanisme (totes elles compartint les mateixes observacions de la variable x), quina etiqueta portaria el gràfic en l aparta 14d? Dibuixa com seria en aquest cas el gràfic. Justifica la resposta i etiqueta be els eixos. 7