1) (4 punts) La física clàssica prediu correctament la forma dels espectres atòmics? Justifica la teva resposta.

Transcripción

1 Juny 3 Només es corregirà el que estigui escrit en bolígraf. 1) (4 punts) La física clàssica prediu correctament la forma dels espectres atòmics? Justifica la teva resposta. ) (4 punts) L energia de la partícula lliure en una dimensió no està quantitzada, és a dir, que totes les energies són possibles. Per altra banda, les energies de la caixa quàntica i l oscil lador harmònic monodimensionals sí que estan quantitzades. Explica quin és l origen de la quantització i per què es presenta en la caixa quàntica i oscil lador monodimensionals i no en la partícula lliure. 1/1

2 Juny 3 3) (6 punts) a) Quines aproximacions s apliquen en el mètode de Hückel? b) Habitualment l energia del sistema π es calcula com: Ε π n = N a E a on N a i E a són l ocupació i l energia d un orbital molecular, respectivament, i el sumatori inclou tots els orbitals moleculars del sistema. Explica quina aproximació s ha aplicat per obtenir aquesta fórmula. En quin cas hipotètic aquesta formula ens donaria l energia exacta del sistema. a /1

3 Juny 3 4) (6 punts) El dos primers orbitals moleculars de la molècula de H lineal vénen donats per: 1 i) ψ 1 = ( φ1s A + φ1s B ) (1 + S) 1 ii) ψ = ( φ φ ) (1 S) 1s A 1s B a) Construeix la funció densitat de probabilitat dels dos orbitals b) Justifica a partir del resultat obtingut en l apartat anterior per què un orbital és enllaçant i l altre és antienllaçant? c) Els orbitals anteriors són de tipus σ o de tipus π?. Justifica la teva resposta. 3/1

4 Juny 3 5) (1 punts) Les funcions d ona corresponents a tres estats del oscil lador harmònic venen donades per: 1 1 αx α 4 i) ψ i ( x) = α xe π 1 αx α 4 ii) ψ j ( x) = e π 1 αx 4 1 α iii) ψ k ( x) = ( αx 1) e π a) Indica quina d aquestes tres funcions correspon a l estat fonamental, al primer estat excitat i al segon estat excitat? Justifica la teva resposta. b) Quines són les condicions de contorn del oscil lador harmònic? Comprova que la funció ii) les compleix. c) Construeix la funció densitat de probabilitat de l estat fonamental del oscil lador harmònic. Compara el resultat obtingut amb la distribució de probabilitat de trobar la partícula donada per la física clàssica. Per l oscil lador harmònic coincideixen en algun cas la distribució de probabilitat clàssica i quàntica? d) Segons la física clàssica l energia mínima del oscil lador harmònic és zero. Explica, sense fer cap càlcul, per què això no és possible segons la física quàntica? 4/1

5 Juny 3 6) (1 punts) a) Es proposen les tres funcions de prova següents per descriure l estat fonamental d una partícula dins un caixa quàntica monodimensional de llargada a centrada en el centre de coordenades, es a dir a x a. i) ψ ( x) = e on α és el paràmetre variacional. αx ii) ( ) α ( ) α ψ ( x ) = x a x + a on α és el paràmetre variacional. α βx α iii) ψ ( x) = ( x a) ( x + a) e on α i β són els paràmetres variacionals. Quines de les funcions anteriors són bones funcions de prova per la caixa quàntica monodimensional? Justifica la teva resposta sense fer cap càlcul. b) Després d aplicar el mètode variacional, quina de les tres funcions ens donarà una energia més propera a l energia de l estat fonamental de la caixa quàntica monodimensional? Justifica la teva resposta sense fer cap càlcul. c) Escriu l expressió general de les funcions de prova del mètode variacional lineal. Indica quins són els paràmetres variacionals. d) Explica com es pot millorar sistemàticament el resultat obtingut amb el mètode variacional lineal de manera que l energia sigui cada cop més propera a l energia exacta. 5/1

6 Juny 3 7) (15 punts) a) Determina la configuració electrònica del B (Z=5) b) A partir del resultat obtingut en l apartat a) construeix un producte de Hartree associat a l estat fonamental del B que compleixi el principi d exclusió de Pauli. c) Comprova si el producte de Hartree que has construït en l apartat anterior compleix el principi d antisimetria de Pauli. d) A partir del resultat obtingut en l apartat a) construeix un determinant de Slater associat a l estat fonamental del B. e) Construeix un determinat de Slater associat a la configuració electrònica de l estat excitat del He (1s 1 1d 1 ) i comprova si compleix el principi d antisimetria de Pauli. f) És certa la afirmació següent?: La funció d ona exacta d un àtom polielectrònic ve donada per un determinant de Slater Justifica la teva resposta. 6/1

7 Juny 3 8) (15 punts) Considera la taula de caràcters incompleta següent: a) Determina els elements de simetria mitjançant els quals s apliquen les operacions de simetria i digues de quin grup puntual es tracta. Quin es l ordre del grup? b) Quantes representacions irreductibles possibles pot tenir aquest grup? Hi són totes? c) Podrien ser vàlides per aquest grup les representacions irreductibles següents? Raona la teva resposta en cada cas: χ 1 = { } χ = { } χ 3 = { 1-1 } d) Determina el caràcter de la representació que s obté utilitzant com a base un orbital p z situat al centre de coordenades (àtom central). e) Explica breument per què un orbital p x de l àtom central no es pot utilitzar com a única base per una representació del grup. 7/1

8 Juny 3 9) (14 punts) Les configuracions electròniques ns 1, np 1 i nd 1 estan representades per 1 sol terme espectral cadascuna. a) Determina quin és en cada cas. b) Què tenen en comú els tres termes? c) Entre quins termes hi podria haver transició i entre quins no. Justifica la teva resposta. d) Representa les línies espectrals que explicarien les possibles transicions entre els nivells corresponents als termes espectrals que representen les configuracions electròniques ns 1 i np 1. En cas d'aplicar-se un camp magnètic, quantes línies es podrien observar? e) Determina el terme fonamental per una configuració ns 1 np 1. La configuració electrònica nd està representada pels termes espectrals següents: 1 G, 3 F, 1 D, 3 P i el 1 S. f) Genera els nivells corresponents a cada terme espectral. g) Ordena els nivells energètics de més estable a meny estable. Dades: Les regles de selecció per un àtom polielectrònic son: S=, L=,±1, J=,±1 (excepte el cas J= J=), Μ J =,±1 (excepte el cas Μ J = Μ J = quan J=) 8/1

9 Juny 3 1) (16 punts) En les taules següents es donen les parts radials i angulars solució de l equació d Schrödinger per a àtoms hidrogenoids. Considerant el cas de l àtom d hidrogen: a) Construeix les funcions d ona corresponents als orbitals s i 3p z (m l = ). (si vols pots utilitzar unitats atòmiques) b) Comprova que l orbital s esta normalitzat i és ortogonal a l orbital 3p z. (veure taula d integrals) c) Construeix la funció de distribució radial de l orbital 3p z i troba la distancia més probable electró nucli. d) Troba els nodes radials de l orbital 3p z. e) Per l orbital s, troba la probabilitat que l electró és trobi dins la regió definida per l interval <θ < π/ i < φ < π/. (si dedueixes el resultat sense fer cap càlcul, justifica la teva resposta) f) És funció pròpia del Hamiltonià una combinació lineal dels orbitals s i p z? (No cal fer cap càlcul. Recorda que l energia de l àtom hidrogenoide és E n =-13.6 (Z/n) ev ) l m l Part angular Y(θ,φ) 1 Θ, = π Θ 1, = cosθ π 3 1 ±1 Θ 1,± 1 = sinθ cosφ π 3 1 ±1 Θ 1,± 1 = sinθ sinφ π 1 1 Θ, = ( 3cos θ 1) 4 π 15 ±1 Θ, ± 1 = sinθcosθ cosφ π 15 ±1 Θ, ± 1 = sinθcosθ sinφ π ± 15 Θ,± = sin θ cosφ π ± 15 Θ,± = sin θ sinφ π n l Part Radial R(r) Z 1 a Z a 3 1 Z 6 a 3 e Zr a Zr a 3 e Zr a Zr a e Zr a 1 Z 4Zr 4Z r a a 9a 3 1 Z 9 6 a 3 1 Z 9 3 a 3 e Zr a Zr Zr 4 3a 3a e Zr 3 Zr 3a 3 e Zr a 3a 9/1

10 Juny 3 Integrals π π π sin (nx) dx = cos (nx) = ( sin (ax) ) 3 1 sin ax dx = cos(ax) + x sinx sin 3 4 x dx = π sin x dx = n -ax n! n (n -1)!! π x e dx = si n i a > -ax dx = n+ 1 x e n+1 n+ 1 a a x cos x dx = + sinx 4 3a n+1 n! -ax x e dx = n+ 1 a si n i a>. 1/1