SOLUCIONARI Unitat 1. Exercicis. Comencem. 1. La gràfica velocitat-temps corresponent a dos mòbils és la que pots veure a la dreta (fig. 1.3).

Transcripción

1 SOLUCIONARI Unitat Comencem La funció f() és decreient en l interval (, ). Fes un raonament com el que em fet anteriorment per determinar on decrei amb més rapidesa, si ens movem prop de o si o fem prop de? Prop de, f (,) (,) 6,,9 f (,) (,9), Augment de :,9 (,), Dimensions de f():, 6, Prop de, f (,) (,),,9 f (,9) (,9),6 Augment de :,9 (,), Dimensions de f(),6,,8 Prop de, la funció disminuei vegades el que augmenta, mentre que prop de, la disminució de la funció és vegades més gran que l augment de. Per tat, la funció f() decrei amb més rapidesa prop de. Representa gràficament la funció f(). On crei més de pressa, en o en? Passaria el matei per a qualsevol altre valor de? Raona la resposta. Eercicis. La gràfica velocitat-temps corresponent a dos mòbils és la que pots veure a la dreta (fig..). a) Quina és la velocitat de cada mòbil a l instant inicial, quan t? A l instant inicial, v v. b) Com pots veure, la velocitat de cada mòbil augmenta a mesura que passa el temps. En quin cas augmenta més de pressa? Per què? La velocitat del mòbil augmenta més de pressa, ja que per a qualsevol valor t >, es complei v > v. c) Quin dels dos mòbils aurà recorregut una distància més gran després de s d aver començat el moviment? El mòbil, ja que en tot moment t > la seva velocitat és més gran.. Quina és la velocitat mitjana del ciclista de l eemple anterior durant els s? v m - [,] m/s -. A partir de la gràfica distància-temps següent (fig..), calcula en km/: a) La velocitat mitjana del mòbil en cadascun dels intervals de temps [, ], [,,] i [,,,]. Fig.. El creiement d aquesta funció és uniforme, independentment del valor de que es considera. Fia t que: f() f( + ) ( + ) + Augment de : + Augment de f() + ( ) Sigui quin sigui el valor de, l augment que eperimenta la funció és el doble que l augment de. v m v m v m - [,] 6 km/ [,,] km/, -, [,,,] 87 km/, -, b) La velocitat mitjana del mòbil durant les, que a durat el trajecte. v m 87 - [,,] 86 km/, -. La funció f() + sempre és creient. Calcula n la variació mitjana a cadascun dels intervals següents: [, ], [, ] i [, Matemàtiques. Batillerat

2 7]. En quin dels tres intervals té un creiement més ràpid? f( -)-f(-) -(-) 6 Interval [-, - ]: --(-) - + f() -f() - 8 Interval [,]: - f(7) -f() -7 8 Interval [,7]: 9 7- La funció f() + té el creiement més ràpid en l interval [,7].. Demostra que la variació mitjana de la funció f() + sempre és la mateia, independentment de l interval [, ] considerat. f( ) - f( ) + -(+ ) ( - ) - En qualsevol interval [, ] la variació mitjana de la funció és. 6. Quant val la variació mitjana de la funció f() en qualsevol interval [, ]? Val zero, ja que es tracta d una funció constant. 7. Calcula la variació mitjana de la funció f() + a l interval [,9,,]. Crei o decrei aquesta funció al voltant de? Fes-ne la representació gràfica i tot seguit comprova la teva resposta. Podem esperar que la funció f() + decreii al voltant de. Ho comprovem a la gràfica de la funció. Fig.. f(,) -f(,9),79 -,9,, -,9,, 8. Representa gràficament la funció d t t corresponent al moviment del cos de l eemple anterior. Quant triga a assolir l altura màima? Quin és el valor d aquesta altura? Quant triga a tornar al punt de llançament? Fig.. El cos que es considera: Triga s a assolir l altura màima. El valor d aquesta altura és 8 m. Triga 8 s a tornar altre cop al punt de llançament. 9. Calcula la velocitat d aquest cos en els instants t s i t 8 s. Interpreta n els resultats obtinguts. ft ()-f() t-t -8 t t va ( ) t - t - -( t - 8t + 6) -( t -) t t - t t - [ -( t - )] t t s v() ft ()-f(8) t-t - 8 t 8 v(8) t -8 t -8 -( tt-8) ( - t) - 8 t - 8 t 8 t 8 v(8) - m/s Per a t s, el cos canvia el sentit del seu moviment. Passats 8 s, el cos torna a la posició de sortida. Fia t que i arriba a la mateia velocitat amb què a estat llançat, però moventse en sentit contrari. D aquí el signe menys de v (8).. On es troba el cos en els instants t s i t s? Quina és la seva velocitat en cadascun d aquests instants? t s d f () 7 m. t s d f () 7 m. t s i t s el cos es troba a la mateia posició: a 7 m del punt de llançament. ft ()-f() t-t -7 t t v() t - t - -( t - 8t + ) -( t -)( t -) t t - t t - Matemàtiques. Batillerat

3 Naturalment, per a t s, el cos està en trajectòria ascendent (v > ). En canvi, quan t, el cos ja està en trajectòria descendent (v < ). En ambdós instants, el mòdul de la velocitat és el matei: m/s.. Sabem que la funció f() + 6 és decreient al voltant de. Quantifica aquest decreiement a partir del càlcul de f( ) - f(). Interpreta n el resultat obtingut. - Per a valors de pròims a, la funció f() disminuei de l ordre de dues vegades el que augmenta.. Fes el matei estudi de l eercici anterior per a. Fia t en la gràfica de la funció i interpreta el resultat que as obtingut. Als voltants de, la funció pràcticament no varia.. Representa gràficament la funció f() +. Calcula f'( ), f () i f'(). Interpreta n els resultats. Fig.. [ -( t - )] - (- ) m/s t ft ()-f() t-t -7 t t v() t - t - -( t -)( t -) [ -( t - )] t t - t - - m/s f( ) -f() ( -)( -) ( - ) - - f( ) -f() ( -) ( - ) - f( - + ) -f(-) f '(- ) o -(- + ) També es verifica: f'() f'(). La funció f () + decrei sempre de la mateia manera, és a dir, presenta un decreiement uniforme. En general, f'( ), ÎR.. Donada la funció f() a + b, demostra que f'( ) a, independentment del valor considerat.. Calcula, si és possible: a) f'(8) si f() f( + ) -f( ) f '( ) a ( + ) + b- ( a + b) a + a + b -a -b a a a + f(8 + ) - f(8) f '(8) o ( 9+ + ) ( ) b) f' si f() æ ö æö f ç + -f ç æ ö è ø è f ' ø ç è ø æ ö æ ö - ç + -ç - è ø è ø ( - + ) ( - + ) - ( 9+ - )( 9+ + ) ( 9+ + ) 9+ - Matemàtiques. Batillerat

4 c) f'() si f() No eistei f' (), ja que no pertany al domini de la funció f( ) no eistei f(). 6. Representa gràficament la funció f() + i indica n, a partir de la gràfica, els intervals de creiement i decreiement. Comprova que f'(). ( - 6) ( - 6) - 6 f ( - ) < decreient en 8. Com a de ser una funció perquè la derivada sigui nul la en tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què? La funció a de ser constant, f() K, KÎR. És aií perquè si una funció és constant, la seva variació és zero per a qualsevol valor de Î Df R. 9. Calcula si és possible: a) f'( ) si f() Fig.. Decreient: (, ) Creient: (, + ) f( + ) -f() f '() ( + ) - ( + ) Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f() ( ) és creient o decreient en 6. Fes el matei estudi en. f(6 + ) -f(6) f '(6) - (6 + ) + (6 + ) ( + 8) ( + 8) 8 f' (6) > creient en 6. f( - + ) -f(-) f '(- ) -( - + ) + ( + ) No és possible, ja que no eistei f( -): f( - ) - ÏR b) f'() si f() - f( + ) - f() f '() ( + ) o + c) f'() si f() + f( + ) -f() f( ) -f() f '() + - d) f'( ) si f() +. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: a) f() + 7 f( - + ) -f(-) f '(- ) ( - + ) + -(-7) ( + ) + 7 -(- + 7) f '( ) Matemàtiques. Batillerat

5 b) f() f( ) e) f(), > -( + ) ( + ) -(- ) - ( + + ) ( + ) - ( + ) - c) f(), ¹ ( + ) f '( ) ( + ) ( + ) d) f(), ¹ -( + ) - ( + ) ( + ) f '( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) f '( ) ( + - )( + + ) ( + + ) + - ( + + ) ( + + ) + + f) f() - f '( ) g) f() + ( + ) + ( + ) - -( + -) f '( ) ( + 6+ ) ( ) 6 + ) f() p. Sense fer-ne la representació gràfica, determina els intervals de creiement i decreiement de la funció f() Quant val f'()? -( + ) + 6( + ) -8 -( ) f '( ) ( ) ( ) f '( ) > + 6 > - > - 6 < 6 < f '( ) < < < - 6 > 6. Donada la funció f() 6, calcula f'( ) i f'(). Indica si la funció és creient o decreient en i en. 6 -( + ) -(6- ) f '( ) (- -) ( - - ) - f '(- ) - (- ) > la funció és creient en f '() < la funció és decreient en. Donada la funció f(), calcula f'() de dues maneres diferents: a) Aplicant la definicó de funció derivada. ( + ) - f '( ) ( ) ( ) p-p f '( ) (-,) funció creient (, + ) funció decreient f '() Matemàtiques. Batillerat

6 b) A partir de la segona regla que acabem de veure.. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: a) f() b) f() 7 c) f() f '( ) f '( ) f '( ) 7 -/ f '( ) Pot decréier en algun punt la funció de l eercici anterior? Per què? No, perquè f'() per a qualsevol ÎR 7. Considera la funció: f(). Calcula f'() i f'(8). Interpreta n els resultats obtinguts. f '() ; f'(8) 6 f' () > i f' (8) > la funció és creient en i també en 8. f' () > f' (8) la funció crei amb més rapidesa prop de que prop de Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: a) f() + 7 -/ f '( ) d) f() f '( ) 9 - e) f() f) f() 6 -/ f '( ) f '( ) f '( ) 6. Donada la funció f(), calcula f'( ) i f'(). Indica si la funció és creient o decreient en aquests dos punts, i en cas que i presenti el matei tipus de variació, digues on és més ràpida aquesta variació. ( + ) - f '( ) ( + + ) 6 7 ( + + ) f '() ; f'( - ) ( - ) f '() f'( - ) > la funció és creient en i en ambdós punts crei amb la mateia rapidesa. b) f() + c) f() d) f() e) f() ( + ) f) f() f '( ) - 6 f '( ) - 7 f '( ) f '( ) 8 + f '( ) - 9. Indica per a quins valors de s anul la la derivada de la funció f() + +. f '( ) - + Matemàtiques. Batillerat 6

7 . Determina els intervals de creiement i decreiement de la funció f() + 7. f' () + f' () < + < < f' () > > (, ) funció decreient (, + ) funció creient. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon grau f() a + b + c s anul la per al valor de corresponent al vèrte de la paràbola que en resulta de representar-la gràficament. f' () a + b. La distància d un mòbil a un punt de referència ve donada per l epressió d f(t) + t + t, d en metres i t en segons. a) Determina l epressió de la funció que permet calcular la velocitat del mòbil en qualsevol instant. v f'(t) + t m/s. b) Indica raonadament si en algun moment aquest mòbil canvia el sentit del seu moviment. El mòbil no canvia el sentit del moviment, ja que v(t) per a t ¹ per a t la velocitat d aquest mòbil no s anul la per a t.. Troba l equació d una funció f() que tingui per derivada la funció f () representada en la gràfica (fig..). Pots trobar-ne més d una? Per què? Compleien la condició que s establei a l enunciat totes les funcions del tipus f() + K, amb KÎR. Acabem f '( ) - + i. Aplicant la definició, calcula la derivada de cadascuna de les funcions següents en : a) f() + f '( ) a + b a - b - -( + ) + -(-8) f '(- ) b a b) f() -(- + ) f '(- ) c) f() (6 -) (6 - ) 6 ( - -)( - + ) - - ( - + ) ( - + ) f '() ; f'(8) 6 - ( - + ) ( ) f '( ) - ( - + ) ( - + ) 9. Donada la funció f(), és possible - calcular f'()? Per què? No, perquè Ï Df. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f() ( ) és creient o decreient en,. f( ) ( - ) f '( ) -8 f '(,), f'(,) < la funció és decreient en,. En la gràfica (fig..) em representat la funció f'(), derivada d una certa funció f(). Quina és l epressió algèbrica de f'()? I la de f()? Pots trobar-ne més d una? f' () f () + c, amb CÎR Per tant i a infinites funcions la funció derivada de les quals és f'().. Indica raonadament el signe de la funció f'() corresponent a la funció f() representada en la gràfica de la figura., en cadascun dels intervals següents: (, ) (, ) (, + ) Matemàtiques. Batillerat 7

8 Î (, ) de funció és creient f' () > Î (, ) la funció és decreient f' () < Î (, + ) la funció és creient f' () > 6. Compara la rapidesa del creiement de la funció f() + en els punts d abscisses i f () + f'() + f'( ) ( ) + > f'() + > Com que f'( ) f' (), la funció crei amb la mateia rapidesa en que en. 7. Aplicant la definició, calcula la funció derivada de: a) f() + ( + ) + -( + ) f '( ) ( + + ) ( + + ) b) f() ( + ) -( + ) f '( ) (+ 6 + ) ( ) + 6 c) f() + - f '( ) ( + - )( + + ) ( + + ) ( + - ) ( + + ) ( + + ) Indica els intervals de creiement i decreiement de la funció f () +. Verifica la teva resposta fent-ne la representació gràfica f () + f' () f' () < per a qualsevol ÎR la funció és decreient en tot el seu domini. Fig Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: a) f() + b) f() c) f() d) f() ( + 7 ) e) f() / -/ f '( ) f) f() ( 6) f '( ) f '( ) ( ) f '( ) 6 + f '( ) f '( ) Per a un determinat mòbil, la distància d en metres a un punt de referència en funció del temps t en segons ve donada per l epressió: d f(t) t t a) Troba l epressió algèbrica que et permeti calcular la velocitat d aquest mòbil en qualsevol instant. v f '( t) - t, en m/s b) Indica a quina distància del punt de referència es troba quan canvia el sentit del moviment. v - t t, s d f - (,),,, m. Matemàtiques. Batillerat 8

9 c) Interpreta físicament el signe de la velocitat per a t >, s. t >, s v < el mòbil es mou en sentit negatiu cada cop més de pressa.. A conseqüència de la dilatació, la longitud L d una barra metàl lica augmenta amb la temperatura T d acord amb l epressió: L 8( + T), on L s epressa en centímetres i T, en graus centígrads. a) Quina és la longitud de la barra a C? I a C? L ( ºC) 8 cm; L ( ºC) 8,8 cm b) Quan augmenta més bruscament la longitud d aquesta barra, si T C o si T 8 C? Per què? L (T) T L (T) 8 cm/ºc Com que L (T) no depèn de la temperatura, la longitud de la barra augmenta amb la mateia rapidesa independement de la temperatura.. Representa gràficament les funcions f() + i g(). Què obtens? Quina de les dues funcions crei més de pressa al voltant de? I al voltant de? Procura respondre les dues últimes qüestions sense fer cap càlcul i argumenta n la resposta. Fig..7 S obtener dues rectes paral leles. Es complei que f' () g' () la funció f i la funció g creien amb la mateia rapidesa, independement del valor de la variable. Matemàtiques. Batillerat 9

10