DERIVADES. TÈCNIQUES DE DERIVACIÓ

Transcripción

1 DERIVADES. TÈCNIQUES DE DERIVACIÓ Pàgina 55 REFLEXIONA I RESOL Tangents a una corba y f ( 5 5 Troba, mirant el gràfic i les rectes traçades, f'(, f'( y f'(. f'( 0; f'( ; f'( Digues uns altres tres punts on la derivada és positiva. La derivada también es positiva en,, 0 Digues un altre punt on la derivada és zero. La derivada también es cero en. Digues uns altres dos punts on la derivada és negativa. La derivada también es negativa en, 5 Digues un interval [a, b] en el qual es complisca que si é [a, b], aleshores f'( > 0. Por ejemplo, en el intervalo [ 5, ] se cumple que, si é [ 5, ], entonces f'( > 0.

2 Funció derivada Continua escrivint les raons per les quals g ( és una funció el comportament de la qual respon al de la derivada de f (. En el intervalo (a, b, f ( es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a g( en (a, b. y f ( La derivada de f en b es 0: f'(b 0. Y también es g(b 0. a b En general: g( f'( 0 donde f ( tiene tangente horizontal. g( f'( > 0 donde f ( es creciente. g( f'( < 0 donde f ( es decreciente. a b y g( f'( Els tres gràfics de davall, A, B i C, són les funcions derivades dels gràfics de damunt,, i, però en un altre ordre. Eplica raonadament quin és la de cada una. B A C La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa donde la función decrece. A B C

3 UNITAT Pàgina 6. Calcula la derivada de cada una de les funcions següents: a f ( b f ( + + tg c f ( ln d f ( + + tg tg e f ( f f ( ln + tg + g f ( h f ( log (sin cos i f ( sin + cos + j f ( sin + cos k f ( arc sin l f ( sin( 5 + m f ( sin + + n f ( cos + ( a f'( ( + ( + ( + ( + b Utilizamos el resultado obtenido en a: f'( ( + ( ( + + c Utilizamos el resultado obtenido en a: f'( ( + ( + ( ( + + De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f ( ln ( ln ( +. Derivamos: f'( + + d f'( ( + tg ( + tg ( tg ( + tg ( + tg ( + tg [ tg + tg ] ( + tg e tg ( + tg ( + tg ( + De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a: f'( D [tg ] ( + tg ( + tg ( + tg ( + tg ( + tg

4 e Teniendo en cuenta lo obtenido en d: f'( ( + tg ( + tg ( + tg ( tg ( + tg tg + tg También podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b. f f ( ln ln e (tg / f'( e tg + tg tg + g f ( ( + / f'( ( + / ln ln + h f ( log (sen cos [log (sen + log (cos ] cos sen f'( [ + ] cos sen cos ln 0 sen cos ln 0 sen De otra forma: ln 0 sen cos f ( log (sen cos sen log ( cos f'( ln 0 sen i f ( sen + cos + + f'( ln 0 ln 0 ln 0 tg cos sen sen cos ln 0 tg cos + cos j f'( + + sen + ( sen cos + cos + sen + sen k f'( l f'( cos ( 5 + ( 5 + m f'( (cos + sen + + cos + sen + +

5 UNITAT + ( ( n f'( cos + ( [ sen + ( ] ( + ( cos +( sen +( ( 5 + ( (5 sen ( + ( ( + (. Troba les derivades. a,. a i. a de les funcions següents: a y 5 b y cos c y sin + cos + a y 5 y' 5 ; y'' 0 ; y''' 60 b y cos y' cos sen y'' sen sen cos sen cos y''' cos cos + sen cos + sen c y sen + cos + + y' ; y'' 0; y''' 0. Calcula f'( sent: f ( e 5 f ( e / / / e /5 e /0 e /0 5 /5 /5 5 e f'( 7/0 0 5 e Por tanto: f'( 5 e 60. Calcula f'(π/6 sent: f ( (cos sin sin 6 f ( (cos sen sen 6 cos 6 sen 6 f'( cos Por tanto: π f'( 6 6cos 6 cos π 6 cos(π sen 5

6 5. Calcula f'(0 sent: + f ( ln + + arc tg + f ( ln arc tg ln ( arc tg + f'( + / ( Por tanto: f'( Pàgina 6. Estudia la derivabilitat en 0 de la funció:, Ì f (, > Continuidad en 0 : f ( ( 0 f ( f ( f ( ( 0 Por tanto, f ( es continua en 0. 8 Derivabilidad en 0 : f'( ( f'( 8 f'( ( f'( Las derivadas laterales eisten y coinciden. Por tanto, f ( es derivable en 0. Además, f'(. 6

7 UNITAT. Calcula m i n perquè f ( siga derivable en Á: m + 5, Ì 0 f ( + n, > 0 Si? 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. Continuidad en 0: f ( ( m f ( ( + n n f (0 5 Derivabilidad en 0: Para que f ( sea continua en 0, ha de ser: n f'( ( m m f'(0 8 0 f'( ( 0 f'( Para que sea derivable en 0, ha de ser: m 0 8 m 0 Por tanto, f ( es derivable en Á para m 0 y n 5. Pàgina 6. Sabem que la derivada de la funció f ( és f'(. Tenint en compte aquest resultat, troba la derivada de la seua funció inversa: f (. (f ' ( Pàgina 6. Comprova que sin ( y y π + π passa pel punt, i troba 6 l equació de la recta tangent en aquest punt. Sustituimos, y π en la epresión: π sen ( π Se cumple la igualdad. Luego la curva dada pasa por el punto π (,. π π 6 ( 7

8 Necesitamos obtener el valor de f'(, Derivamos sen ( y y + : 6 cos ( y (y + y' y y' + 0. Hallamos previamente f'(, y: y cos ( y + y' cos ( y yy' + 0 y'( cos ( y y y cos ( y π π Por tanto: f' (, y y cos ( y cos ( y y f'(, π π cos π + π + π cos π π/ π/ 8 π π 8 + π La ecuación de la recta tangente es: y π + π ( 8 + π. Calcula la derivada de cada una de les funcions següents: a f ( (sin b g ( sin a f ( (sen 8 ln f ( ln (sen f'( f ( cos ln (sen + 8 f'( (sen [ ] ln (sen + cos sen sen b g( sen 8 ln g( sen ln g' ( g( cos ln + sen g'( sen [ ] cos ln + sen Pàgina 70. Calcula Dy, dy, Dy dy: a y para 0, d 0 0,0 b y para 0, d 0 0, c y para 0 5, d 0 a Dy y (,0 y ( 6, ,050 dy y' d ( d, que evaluado en 0 y d 0 0,0 es: 5 0,0 0,05 Dy dy 0,000 8

9 UNITAT b Dy y (, y (,866,7 0,5 dy y' d 0, 0,55 Dy dy 0,00 d, que evaluado en 0 y d 0 0, es: c Dy y (6 y (5 5,00 5 0,00 dy y' d d, que evaluado en 0 5 y d 0 es: 0,0 75 Dy dy 0,0000. A una bola de bronze de 7 cm de radi se li dóna un bany de plata de 0, mm de grossor. Calcula la quantitat de plata emprada (aproimadament, a partir de la diferencial. V πr dv πr h π 7 0,0,088 Se emplean, aproimadamente,, cm de plata.. Calcula una aproimació de 6 fent els passos següents: Anomena f(. Obtín df per a 0 5 i d 0. Obtín f(6 f(5 + df(5 per a d 0. f ( df f'( d d Evaluando en 0 5 y d 0 : df (5 0,0 75 Así: f(6 f (5 + df ( ,0 5,0

10 . Procedint com en l eercici anterior, troba, aproimadament: a,0 b 5,8 c 66 a f ( ; 0 ; d 0 0,0 df f'( d d 0,0 0,0 f (,0 f( + df( + 0,0,0 b f( ; 0 6; d 0 0, df f'( d d ( 0, 0,05 6 f(5,8 f(6 + df(6 6 0,05,75 c f( ; 0 6; d 0 df f'( d d 0,07 6 f(66 f(6 + df(6 + 0,07,07 0

11 UNITAT Pàgina 75 EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER A PRACTICAR Regles de derivació Calcula les derivades de les funcions següents: a y b y + a y' ( + ( ( + ( + b y' a y ( + / + b y + ( + ( ( ( + a y' ( / ( / ( + ( / ( + 5/ ( ( + 5 b y' ( + + ln a y b y 7e a y' (/ ln ln b y 7e e + e a y b y sin cos e e a y' (e e (e + e e + e e e (e e (e e b y' cos cos + ( sen sen cos sen cos (e e

12 5 a y b y ln ( + sin a y' cos b y' sen 6 a y arc tg b y cos ( π a y' / + (/ + / + + b y' cos ( π ( sen ( π cos ( π sen ( π cos ( π 7 a y sin b y tg a y' sen cos sen b y' ( + tg tg + tg tg 8 a y sin b y arc tg ( + a y' cos cos b y' + ( a y ( 7 b y log a y' 7( 6 ( 6 b y' ln 0 a y sin b y arc tg a y' sen cos sen cos sen ( + (/ / + / b y' ( 7 ln + a y cos 5 (7 b y + a y' 5cos (7 ( sen (7 70 cos (7 sen (7 b y' ln

13 UNITAT a y (5 b y arc sin a y' (5 / 5 b y' / a y ln ( b y tg a y' ( 0 5 b y' ( + tg + tg a y ln ( b y arc cos a y' b y' ( 5 a y ln b y (arc tg a y ln ln ( / ln ( y' ( b y' (arc tg + arc tg + 6 a y log (7 + b y ln tg 7 a y' ln (7 + tg / b y' ( + tg ( ( + tg / tg / ( a y' e b y' ( 7 a y e b y ln ln 7 (7 + ln ln / / ln(/

14 8 a y b y arc sin a y' ln b y' ( ( + ( ( ( + ( + ( /( ( ( + ( + ( + a y 5 tg ( + b y + a y' 5 tg ( + [ + tg ( + ] 6 0 [tg ( + + tg ( + ] b y' ( a y tg b y + a y' ( + tg tg ( + tg tg + ( b y' ( / + ( + ( + ( + ( + / ( ( + ( ( + ( ( + / ( + ( + ( Altres tècniques de derivació Calcula la derivada de les funcions següents, aplicant-hi prèviament les propietats dels logaritmes: a y ln b y ln ( tg + ( c y ln d y ln ( sin

15 UNITAT a y ln [ln ( ln ( + ] + [ ] + y' + [ ] b y ln ( tg [ln + ln (tg ] + tg y' tg + cotg + tg tg tg [ ( c y ln ln ln ln ( ln y' ( ( d y ln ( sen ln + ln sen ln + ln sen cos y' ln + ln + sen ] [ tg ] Calcula la derivada d aquestes funcions implícites: a + y b + y 6y y ( (y + c + d 6 8 e + y y f y + y a + y y' 0 y' y y b + yy' 6y' 0 y'(y 6 y' y 6 y yy' c yy' + 0 yy' 8 yy' 8 y' 8 8 6y 5

16 ( (y + y' d 0 8 (y +y' 0 7 y' 7( (y + e + y y' + y + y' 0 y' (y + y y' y y + f y + y y + yy' + y' yy' y' y y'(y y y' y y Aplica la derivació logarítmica per derivar: a y b y + c y e d y (ln + sin e y f y tg ( a Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln : y 8 ln y ln Derivamos como función implícita: y' ln + ln + y Despejamos y': y' (ln + b Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln : y + 8 ln y ( + ln Derivamos como función implícita: y' y ln +( + ln + + 6

17 UNITAT Despejamos y': y' + ln + + c Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln : y e 8 ln y e ln Derivamos como función implícita: y' e ln + e e ln + y Despejamos y': y' e e ln + d Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln : y (ln + 8 ln y ( + ln (ln Derivamos como función implícita: y' ln (ln + ( + ln (ln + y ln Despejamos y': y' (ln + ln (ln + e Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln y que el logaritmo de un cociente es a ln ln a ln b: b y Derivamos como función implícita: y' y sen 8 ln y ln (ln (sen ln cos sen cos ln (sen ln + ln + sen sen Despejamos y': y' ( ( ( sen sen ( ( [ sen cos ln + sen f Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln : y tg 8 ln y tg ln [ ( ( ( + ln ( ] ] ( + ln 7

18 Derivamos como función implícita: y' y ( + tg ln + (tg Despejamos y': y' tg ( + tg ln + Obtín la derivada de les funcions següents de dues maneres i comprova, operant-hi, que arribes al matei resultat: I Utilitzant les regles de derivació que coneies. IIAplicant la derivació logarítmica. a y b y ( c y sin cos + + [ tg ] d y + a I y' ( ( II ln y (ln ( + ln y' y + + ( + ( ( ( + ( ( ( + + ( ( + y' ( ( + ( b I y' + + ( + ( + ( II ln y [ln ( + ln ( ] y' y ( + ( [ ] [ ] ( + ( + y' ( + ( ( + ( 8

19 UNITAT c I y' sen cos cos + sen cos ( sen sen cos cos sen II ln y ln (sen + ln (cos y' y cos sen + sen cos cos sen sen cos y' sen cos cos sen sen cos (cos sen sen cos sen cos cos sen d I y' ( II ln y ln ( + + ln y' y + + ( ( + y' ( Calcula el valor de la derivada de cada una de les funcions següents en 0: a g( e sin f( si f(0 0 y f'(0 b h( [sin f(] π si f(0 y f'(0 c j( ln f( si f(0 e y f'(0 a Aplicamos la regla de la cadena: g'( D [sen f(] e sen f ( f'( cos f( e sen f( g'(0 f'(0 cos f(0 e sen f (0 cos 0 e sen 0 b Aplicamos la regla de la cadena: h'( [sen f(] D [sen f(] [sen f(] f'( cos f( h'(0 [sen f(0] f'(0 cos f(0 π [ π sen cos ] (

20 c Aplicamos la regla de la cadena: D[ln f(] f'( j'( ln f( f( ln f( f'(0 j'(0 f(0 ln f(0 e ln e e e 6 Donades f( I g( +, troba: a (f g' ( b(g f ' ( a (f g' ( f'[g(] g'( Como f( y g( + 8 f'( ; g'( (f g' ( ( + 6 ( También podemos hacer: (f g ( f [g(] f ( + ( + (f g' ( ( b (g f ' ( g'[f(] f'( 6 O bien: (g f ( g[f(] + 8 (g f ' ( 6 Pàgina 76 Derivabilitat i continuïtat 7 a Comprova que la funció següent és contínua i derivable i troba f'(0, f'( i f'(: si < f ( + si Ó b Quina n és la funció derivada? c En quin punt es compli f'( 5? a Si?, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. Continuidad en : f ( ( 8 8 f ( ( + f ( es continua en f ( 0

21 UNITAT Derivabilidad en : f'( f'( 8 f'( ( + f'( + 8 Las derivadas laterales eisten y coinciden. Luego, f ( es derivable en. Además, f'(. Así f( es continua y derivable en todo Á. f'(0 f'( + 7 b f ( < + Ó c Si f'( 5, entonces Ó. Es decir: f'( > f'( 5 8 Comprova que f ( és contínua però no derivable en : ln ( si < f ( 6 si Ó Si?, la función es continua y derivable. Continuidad en : f ( ln ( ln 0 8 f ( ( f es continua en. f ( 0 Derivabilidad en : f'( f'( 8 8 f'( f'( f ( no es derivable en. Las derivadas laterales eisten pero no coinciden.

22 Estudia la continuïtat i la derivabilitat d aquestes funcions: e si Ì 0 a f ( si 0 < < + + si Ó + + si < b f ( + si Ì Ì + 8 si > a Si? 0 y?, la función es continua y derivable. Continuidad en 0: f ( e f ( f ( es continua en f (0 Continuidad en : f ( 8 8 f ( ( f ( Derivabilidad en 0: Los ites por la derecha y por la izquierda no coinciden. La función no es continua en. f'( e f'( f'( 0 0 f'( f ( no es derivable en 0. Las derivadas laterales eisten, pero no coinciden. Derivabilidad en : Como f ( no es continua en, f ( no es derivable en. b Si? y?, f ( es continua y derivable. Continuidad en : f ( ( f ( ( f ( es continua en. f ( 0

23 UNITAT Continuidad en : f ( ( f ( ( f ( f ( no es continua en. Derivabilidad en : Los ites por la derecha y por la izquierda no coinciden. f'( ( + 0 f'( 8 8 f'( f'( f ( no es derivable en. Las derivadas laterales eisten, pero no coinciden. Derivabilidad en : f ( no es continua en 8 f ( no es derivable en. s0 Estudia la continuïtat i la derivabilitat d aquestes funcions: 0 si < 0 e si Ì 0 a f ( si 0 Ì < b f ( si > 0 si Ó a Continuidad: Si? 0 y? 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas. En 0: 8 0 f ( f ( f (0 0 En : 8 0 f ( f (0. Por tanto, la función es continua en 0. 8 f ( 8 f ( f ( 8 f ( f (. Por tanto, la función es continua en. La función es continua en Á.

24 Derivabilidad: Si? 0 y? 8 La función es derivable. Su derivada es, en esos puntos: 0 si < 0 f'( si 0 < < si > En 0: f'(0 0 f'(0 +. Por tanto, f ( es derivable en 0; y f'(0 0. En : f'(? f'( +. Por tanto, f ( no es derivable en. La función es derivable en Á {}. Su derivada es: 0 si < 0 f'( si 0 < si > b Continuidad: En? 0 8 La función es continua, pues está formada por dos funciones continuas. En 0: f ( e f ( ( f (0 f ( f (0. Por tanto, la función es 8 0 continua en 0. La función es continua en todo Á. Derivabilidad: Si? 0 8 La función es derivable. Además: f'( e si < 0 si > 0 En 0: f'(0 f'(0 + Por tanto, f ( es derivable en 0 y f'(0. La función es derivable en todo Á. Su derivada sería: e si < 0 f'( si Ó 0

25 UNITAT Definició de derivada Utilitza la definició de derivada per a trobar f'( en els casos següents: a f ( + b f( + a f ( 8 f'( + h 8 0 f( + h f( h + h h + f( + h + h + h + f( + h+ h + h h f( + h f( h+ (h + (h + f( + h f( h h : h (h + h f'( (h + h 8 0 b f( + 8 f'( h 8 0 (h + f( + h f( h f( f( + h + h + h+ f( + h f( h + f( + h f( h h + h ( h + h + f'( h 8 0 h h 8 0 ( h + + h h + h 8 0 h ( h + + h 8 0 h + + Aplica la definició de derivada per a trobar f'( en cada cas: a f( + b f( + a f( + 8 f'( h 8 0 f( + h f( h 5

26 f( + h +h + 8 f( + h f( + h h +h + h + + h ( + h f( + h f( h b f( + 8 f'( + 8 f'( ( + h ( + h f( + h ( + h + 8 f( + h f( ( + h + + ( + h ( ( +h + ( + f'( + + h h 8 0 +h + h + h 8 0 h 8 0 f( + h f( h h( ( +h h 8 0 h 8 0 [ h( ( +h ] h( + h h h( ( +h PER A RESOLDRE Estudia la derivabilitat de les funcions següents: a y b y c y + d y + Mira l eercici resolt. a Definimos la función por intervalos: + si < f( si Ó Derivamos: si < f'( si > f'( f'( + f'(? f'( + 8 No eiste f'( La función es derivable en Á {}. 6

27 UNITAT b Definimos la función por intervalos. Para ello, calculamos los puntos en los que y 0: 6 ± si < f( 6 8 si Ì Ì si > Derivamos: + 6 si < f'( 6 si < < + 6 si > 6 ± f'( ( + 6 f'( + ( 6 f'(? f'( + 8 No eiste f'( f'( ( 6 f'( + ( + 6 f'(? f'( + 8 No eiste f'( La función es derivable en Á {, }. c Analizamos el signo de para definir la función por intervalos: + +( + + Así: si < f( si Ó Derivamos: 0 si < f'( si > f'( 0 f'(? f'( + 8 No eiste f'( f'( + La función es derivable en Á {}. si < 0 d Definimos la función por intervalos. Recordamos que. si Ó 0 Así: si < 0 f( + si Ó 0 7

28 Derivamos: si < 0 f'( + si > 0 f'(0 0 f'(0? f'(0 + 8 No eiste f'(0. f'( La función es derivable en Á {0}. Calcula els punts de derivada nul la de les funcions següents: 6 a y b y ( + ( + c y + + d y e ( e y e f y sin + cos a y' ( + ( + ( + ( + ( + y' y Se anula en el punto (,. ( + b y 6 8 y' 6( 8 ( y' ( no está en el dominio. 0 (no vale y La derivada se anula en el punto (,. c y' ( ( + + ( + ( + ( ( ( + + y' Se anula en los puntos (, y (,. 8 y 8 y 8

29 UNITAT d y' e ( + e e ( + e y' y Se anula en el punto (0,. e y' e + e e ( + y' ( + 0 Se anula en los puntos (0, 0 y (, e. 0 8 y 0 8 y e f y' cos sen y' 0 8 cos sen 8 tg π Se anula en los puntos ( + πk, (, 5π + πk, π + πk 8 y 5π + πk 8 y, con k é Z. s5 a Calcula m i n perquè f siga derivable en tot Á. 5 + m si Ì f ( + n si > b En quins punts és f'( 0? a Para que sea derivable, en primer lugar ha de ser continua. Si?, la función es continua, pues está formada por dos polinomios. En : f ( ( 5 + m + m 8 8 f ( ( + n + n f ( + m Para que sea continua en, ha de ser: + m + n; es decir: m n +. Derivabilidad: Si?, la función es derivable. Además: 5 si < f'( + n si >

30 En : f'( f'( + + n Para que sea derivable en, ha de ser + n, es decir, n. Por tanto, la función será derivable en todo Á si m y n. En este caso, la derivada sería: f'( 5 si < si Ó b f'( 5 si < ; pero > f'( si Ó 0 8 ; pero < Por tanto, f'( no se anula en ningún punto. s6 Calcula a i b perquè la funció següent siga derivable en tot Á: a + si Ì f ( b si > Para que sea derivable, en primer lugar, ha de ser continua. Si? 8 la función es continua, pues está formada por dos polinomios. En debe cumplirse que 8 f( f(: 8 f ( (a + a + 6 f ( ( b b 8 + f ( a Para que sea continua, ha de ser a + 6 b; es decir, a + b o bien b a. Derivabilidad: Si? 8 la función es derivable. Además: f'( a + si < b si > 0

31 UNITAT En debe cumplirse que f'( f'( + : f'( a + f'( + b Para que sea derivable, ha de ser a + b; es decir, b a +. Teniendo en cuenta las dos condiciones obtenidas: b a b a + a a + 8 a 8 a b 7 Por tanto, para que f ( sea derivable en todo Á, ha de ser a y b 7. 7 Aquest és el gràfic d una funció y f (. Calcula, observant-lo: f'(, f'( y f'( En quins punts no és derivable? En, la recta tangente a f es horizontal; su pendiente es 0. Por tanto, f'( 0. En, f es una función constante. Luego f'( 0. En, f es una recta que pasa por los puntos (, y (, 5. Calculamos su pendiente: 5 m. Por tanto, f'(. No es derivable en 0 ni en, porque en ellos observamos que f'(0? f'(0 + y f'(? f'( +. s8 Observa els gràfics de les funcions següents i indica en quins punts no són derivables. Algun és derivable en tot Á? a b c a No es derivable en porque f'(? f'( + (tiene un punto anguloso ni en (no está definida la función. b Es derivable en todo Á. c No es derivable en 0 porque f'(0? f'(0 + (tiene un punto anguloso.

32 Pàgina 77 s Calcula a i b perquè f siga contínua i derivable. si Ì 0 f ( a + b si > 0 Continuidad: En? 0 8 La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En 0: f ( ( f ( (a + b b Para que sea continua ha de ser b f (0 0 Derivabilidad: Si? 0 8 La función es derivable. Además: f'( si < 0 a si > 0 En 0: f'(0 f'(0 + a Para que sea derivable, ha de ser a. Por tanto, f ( será continua y derivable si a y b 0. 0 Troba el valor de la derivada de la funció cos ( + y + sin( y 0 en el π π punt,. ( Derivamos: sen ( + y ( + y' + cos ( y ( y' 0 sen ( + y y' sen ( + y + cos ( y y' cos ( y 0 sen ( + y + cos ( y y' (sen ( + y + cos ( y sen ( + y + cos ( y y' sen ( + y + cos ( y Calculamos la derivada en el punto (, : π π y' (, 0 π π

33 UNITAT s Calcula la derivada d ordre n de la funció f ( e. f'( e f''( e e f'''( 8e e f n ( n e Lo demostramos por inducción: Para n, n y n, vemos que se cumple. Supongamos que es cierto para n ; es decir, que f n ( n e ; entonces, derivando, tenemos que: f n ( n e n e. Por tanto, la epresión obtenida es cierta para todo n. s Aquests gràfics representen les funcions derivades de les funcions f, g, h i j: f' g' h' j' a Quines d aquestes funcions tenen punts de tangent horitzontal? b Quin d aquests gràfics és la funció derivada d una funció polinòmica de primer grau? c Quin d aquests correspon a una funció polinòmica de segon grau? a Los puntos de tangente horizontal son los puntos en los que se anula la derivada. f tiene un punto de tangente horizontal en, pues f'( 0. j tiene dos puntos de tangente horizontal en y en, pues j'( j'( 0. g y h no tienen ningún punto de tangente horizontal. b La derivada de una función polinómica de primer grado es una función constante. Por tanto, es g'. c La derivada de una función polinómica de segunda grado es una función polinómica de primer grado. Por tanto, es f'.

34 Quin dels apartats següents representa el gràfic d una funció f i el de la seua derivada f'? Justifica la resposta. a b c a La función en rojo es una recta que tiene pendiente. Por tanto, su derivada es y (la recta verde. Luego, estas gráficas sí representan a una función y su derivada. b La función en rojo es un polinomio de. grado, una parábola. Su derivada es una recta. En 0, la función tiene un máimo; la derivada se anula. Para que la recta fuera la derivada, tendría que pasar por (0, 0. No representan, por tanto, a una función y su derivada. c La función tiene que ser un polinomio de. er grado porque tiene dos etremos relativos. Su derivada será un polinomio de. grado, una parábola. En, la función tiene un máimo; la derivada se anula, f'( 0, y tendría que pasar por (, 0. Estas tampoco representan a una función y su derivada. Por tanto, solo la primera es válida. a Representa la funció següent: f ( + + Observant el gràfic, digues en quins punts no és derivable. b Representa f'(. + si < a f ( + + si Ì Ì + + si > + si < si Ì Ì si > No es derivable en ni en. (Son puntos angulosos. 6 si < b f'( 0 si < < si >

35 UNITAT s5 Troba els punts de derivada nul la de la funció següent: f ( ( e f'( ( e +( e ( + e ( + e f'( 0 8 ± ± 5 6 Donada la funció f ( e + ln (, comprova que f'(0 0 i f''(0 0. Serà també f''' (0 0? f'( e 8 f'(0 0 f''( e 8 f''(0 0 ( f'''( e 8 f'''(0? 0 ( 7 Estudia la continuïtat i la derivabilitat d aquesta funció: si 0 ( f ( si? 0,? si si 0 si 0 ( f ( si? 0,? si? 0,? ( ( + + si si El dominio de la función es Á { }. Por tanto, en no es continua (ni derivable, pues no está definida. Continuidad: En? 0, y? : Es continua, pues las funciones que la forman son continuas en este caso. En 0 debe ser 8 0 f( f(0: 8 0 f (0 f ( No es continua en 0 (tiene una discontinuidad evitable. 5

36 En : f ( f ( 8 f ( f(. La función es continua en. En : No es continua, pues no está definida. Por tanto, f ( es continua en Á {, 0}. Derivabilidad: Si? 0,? y? : Es derivable. Además: f'( 6 ( + En 0 y en : No es derivable, pues no es continua. En : Sí es derivable, pues f'( f'( + f'(. 6 Por tanto, f ( es derivable en Á {, 0}. Además: 6 f'( si? 0 y? ( + s8 Determina, si és possible, el valor del paràmetre a perquè la funció f siga derivable en tot el seu domini de definició: ln si 0 < Ì f ( a ( e si < Para que f ( sea derivable, en primer lugar, ha de ser continua. Si > 0,? : La función es continua, pues está formada por funciones continuas. En : f ( ( ln f ( [a( e ] 0 f( es continua en f ( 0 Derivabilidad Si > 0,? : es derivable. Además: ln + si 0 < < f'( ae si > En : f'( f ( es derivable en si a. f'( + a Luego, para que f sea derivable en todo su dominio de definición, ha de ser a. 6

37 UNITAT s Estudia la derivabilitat en 0 de la funció següent: + Ì 0 f ( > 0 Como f ( f ( f (0, la función es continua en Veamos si es derivable: Si? 0, tenemos que: si < 0 f'( si > 0 No eisten las derivadas laterales en 0. Por tanto, f ( no es derivable en 0. s50 Estudia la continuïtat i la derivabilitat de les funcions següents: a f ( b f ( + a Definimos la función por intervalos: si < 0 f( si Ó 0 + Continuidad: Si? 0: Es continua, pues está formada por dos funciones continuas en los intervalos en los que están definidas. Si 0: f ( f ( f (0 8 0 f ( f(0. Es continua en 0. Por tanto, es una función continua en Á. 7

38 Derivabilidad: Si? 0: Es derivable. Además: si < 0 ( f'( si >0 ( + En 0: f'(0? f'(0 + No es derivable en 0. Por tanto, es derivable en Á {0}. b Definimos la función por intervalos: si < 0 f( si Ó 0 El dominio de la función es Á {, }. Por tanto, en y en la función no es continua (ni derivable. Continuidad: Si? 0,?,? : La función es continua, pues está formada por funciones continuas (en estos puntos. En y en : No es continua, pues no está definida en estos puntos. En 0: f ( f ( f( f ( La función es continua en 0. f(0 0 Por tanto, es una función continua en Á {, }. Derivabilidad: Si? 0,?,? : Es derivable. Además: + si < 0 ( f'( si >0 ( 8

39 UNITAT En y en : No es derivable, pues no está definida la función. En 0: f'(0? f'(0 +. No es derivable en 0. Por tanto, es derivable en Á {, 0, }. e e 5 Prova la igualtat següent: D arc tg e e [ e + e D [ ] arc tg e e + e + e ( (e + e (e + e (e + e + (e + e ] e + e ( e + e e + e 5 cos Demostra que la derivada de la funció y arc tg + cos amb 0 Ì Ìπ és una constant. Recorda la fórmula de tg. Si 0 Ì Ìπ 8 0 Ì Ì π cos 8 tg + cos cos Así: y arc tg arc tg ( tg + cos Por tanto: y' 5 Si f (, troba f', f'' y f'''. si < 0 f ( si Ó 0 Derivando: si < 0 f'( si Ó 0 (En 0, tenemos que f'(0 f'(0 + f'( si < 0 f''( 6 si Ó 0 (En 0, tenemos que f''(0 f''(0 + f''( si < 0 f'''( 6 si > 0 (En 0 no eiste f''', puesto que f'''(0 6? f'''(0 + 6.

40 5 Troba els punts de derivada nul la de la funció y cos cos. y' sen ( sen sen + sen sen cos + sen sen ( cos + y' 0 8 sen ( cos + 0 sen k π cos cos π + πk 5π + πk ; con k é Z Pàgina 78 QÜESTIONS TEÒRIQUES f ( 55 Saps que 0 + h f ( 0 f'( 0. h 8 0 h A partir d aquesta epressió, justifica la validesa d aquesta altra: f ( f ( 0 f'( Llamando h 0, tenemos que: Si h 8 0, entonces 8 0. Además, 0 + h f ( Por tanto: f'( h f ( 0 h 8 0 h 8 0 f ( f ( Relaciona els its següents amb la derivada de les funcions que hi apareien: g( g(a f(h f(0 a b c a h 8 a g( g(a a g'(a 8 a a f (h f (0 b f'(0 h 8 0 h c f ( + f ( f'( 8 0 h f ( + f ( 0

41 UNITAT s57 Una funció polinòmica de tercer grau, quants punts de derivada nul la pot tindre? És possible que no en tinga cap? És possible que només en tinga un? La derivada de una función polinómica de tercer grado es una función polinómica de segundo grado. Por tanto, puede haber dos puntos, un punto, o ningún punto con derivada nula. Por ejemplo: f ( 8 f'( 0 Dos puntos f ( 8 f'( Un punto f ( + 8 f'( +? 0 para todo 8 Ninguno 58 Justifica que una funció polinòmica de segon grau té sempre un punt de tangent horitzontal. Su derivada es una función polinómica de primer grado, que se anula siempre en un punto. 5 Hi pot haver dues funcions que tinguen la mateia derivada? Posa eemples de funcions la derivada de les quals siga f'(. Sí. Por ejemplo, si f'(, podemos considerar: f ( + k, siendo k una constante cualquiera. 60 Demostra que totes les derivades d ordre parell de la funció f ( sin s anul len en l origen de coordenades. f I ( cos f II ( sen sen f III ( 8cos cos f IV ( 6sen sen En general, las derivadas de orden par son de la forma: f (n ( k sen, donde k es constante. Por tanto, se anulan todas en 0, puesto que sen 0 0. Como f (0 0, tenemos que todas las derivadas de orden par de f ( se anulan en el origen de coordenadas.

42 6 La funció y, té algun punt de derivada nul la? I la funció y? y 8 Dominio 0] «[, +@ y' 0 8 Pero no pertenece al dominio de definición de la función. Por tanto, no tiene ningún punto de derivada nula. Para la otra función: y 8 Dominio [0, ] y' 0 8 (Sí pertenece al dominio La derivada se anula en. 6 Siguen f i g dues funcions derivables en Á, tals que: f (0 5; f'(0 6; f'( g (0 ; g' (0 ; g' (5 Prova que f g i g f tenen la mateia derivada en 0. Aplicamos la regla de la cadena: ( f g' (0 f'(g(0 g'(0 f'( g'(0 ( g f ' (0 g' ( f (0 f'(0 g'(5 f'(0 6 PER A APROFUNDIR-HI 6 π Dada y sin, troba un punt en l interval 0, en el qual la tangent π siga paral lela a la corda que passa per (0, 0 y,. La cuerda que pasa por (0, 0 y π (, Tenemos que hallar un punto del intervalo ( 0, función sea igual a : π ( ( tiene pendiente: m. π/ π π en el que la derivada de la y' cos é ( 0, π π 8 0,88

43 UNITAT 6 Prova, utilitzant la definició de derivada, que la funció: f ( ( és derivable en y no ho és en. f( +h f( f'( h h 8 0 ( ( + h 0 f'( h 8 0 h ( + h ( h 8 0 h ( f( + h ( h ( + h f( 0 f( + h f( f'( h h 8 0 ( h h ( h ( h ( h h 8 0 h h 8 0 h 8 no eiste f'( 0 ( h h h 0 h ( h 8 0 ( f( + h ( + + h ( + h ( + h h h f( ( + ( 0 sin + si? 0 s65 f ( k si 0 Hi ha cap valor de k per al qual f ( siga contínua en 0? Continuidad: Debe cumplirse que f ( f ( f ( sen ( f (0 k La función será continua en 0 si k. 66 Troba la derivada enèsima de les funcions següents: a y e a b y c y ln ( + a y' a e a ; y'' a e a ; y''' a e a ; y n a n e a Lo demostramos por inducción: (para n,, se cumple.

44 Si y n a n e a, derivando obtenemos: y n a a n e a a n e a, como queríamos demostrar. b y' ; y'' ; y''' 6 ; y n Lo demostramos por inducción: (para n,, se cumple. Si y n, derivando obtenemos: y n ( n (n! ( n ( n n!, como queríamos demostrar. n + c y' ; y'' ; y''' ; y n + ( + ( + ( n (n! n ( n n! n + n + Lo probamos por inducción: (para n,, se cumple. ( n (n! ( + n Si y n ( n (n! ( + n, derivando, obtenemos: y n ( n (n! ( (n ( n (n!, como queríamos ( + n ( + n demostrar. 67 Considera la funció: n sin(/ si? 0 f ( 0 si 0 sent n un nombre natural. a Demostra que f és derivable en 0 per a n. b Demostra que f no és derivable en 0 per a n. f(0 + h f(0 h sen (/h 0 a f'(0 h sen (* 0 h h h h 8 0 (* Tenemos en cuenta que Ì sen Ì. h Por tanto, f es derivable en 0 para n. f(0 + h f(0 h sen (/h 0 b f'(0 sen h h h 8 0 h 8 0 h 8 0 Este ite no eiste (el valor de sen va oscilando entre y. h Por tanto, f no es derivable en 0 para n. ( ( h 8 0 h 8 0 ( ( h

45 UNITAT 68 Prova que hi ha un punt de la corba: f ( e + arc tg la tangent del qual (en aquest punt és paral lela a la recta y +. Aplica el teorema de Bolzano a la funció g( f' (. La pendiente de la recta y + es m. Tenemos que probar que eiste un punto de la curva f ( tal que f'(. f'( e + + Consideramos la función g( f'( ; es decir: g( e + + g(0 < 0 5 Tenemos que: g( e 0, > 0 g( es una función continua en [0, ] Aplicando el teorema de Bolzano, sabemos que eiste un punto c é (0, tal que g(c 0. Es decir, f'(c 0; o bien f'(c, como queríamos probar. Pàgina 7 6 Comprova en cada cas que f ( verifica l equació indicada: a f ( e sin b f ( ln f''( f'( + f ( 0 f' ( + e f ( a f'( e sen + e cos f''( e sen + e cos + e cos e sen e cos f''( f'( + f ( e cos e sen e cos + e sen 0 Por tanto: f''( f'( + f ( 0 De otra forma: f'( e sen + e cos f ( + e cos f''( f'( + e cos e sen f'( + e cos e sen + e sen e sen f'( + (e sen + e cos e sen f'( + f'( f ( f'( f ( Por tanto: f''( f'( + f ( 0 + 5

46 b f ( ln ln ( + ln( + f'( + + f'( + + e ln ( e f ( Por tanto: f'( + e f ( s70 Una persona camina, a la velocitat constant de m/s, allunyant-se horitzontalment en línia recta des de la base d un fanal el focus lluminós del qual està a 0 m d altura. Sabent que la persona mesura,70 m, calcula: a La longitud de l ombra quan la persona està a 5 m de la base del fanal. b La velocitat de creiement de l ombra als t segons de començar a caminar. a 0 m 5 m,70 m s Sea s la longitud de la sombra. Por semejanza de triángulos: 0,7 8 0s,7(5 + s 8 0s 8,5 +,7s s s 8 8,s 8,5 8 s,0 m La sombra mide,0 metros. b El espacio recorrido a los t segundos es t. Veamos cómo varía la sombra: 0,7 5,t 8 0s 5,t +,7s 8 8,s 5,t 8 s t + s s 8, Esta es la función que nos da la longitud de la sombra según el tiempo trans currido desde que se empieza a caminar. La velocidad de crecimiento de la sombra será la derivada de s respecto de t: 5, s' 0,6 m/s 8, 6

47 UNITAT 7 Un avió vola horitzontalment a 6 km d altura. La ruta de l avió passa per la vertical d un punt P i se sap que, en l instant en què la distància de l avió a P és 0 km, aquesta distància augmenta a raó de 6 km/minut. Troba la velocitat de l avió, que suposarem constant. Passos: a Epressa d en funció de : d 6 P b Obtén la epresión de la velocidad de alejamiento de P, d'(t, en función de y de '(t. c Despeja '(t 0 siendo t 0 el instante al que se refiere el enunciado y, por tanto, para el que conocemos algunos datos numéricos. '(t 0 es la velocidad del avión en ese instante y, por tanto, su velocidad constante. v constante 0 km 6 km d(t 6 km P 8 km (t a d + 6 b d(t ((t + 6 La velocidad es la derivada de d(t: d'(t (t '(t ((t + 6 (t '(t ((t + 6 c Como d (no vale En t t 0, d(t 0 0 km, d'(t 0 6 km/min y (t 0 8 km d'(t 6 8 '(t 0 0 ((t ,5 km/min (t El avión va a 7,5 km/min; es decir, a 50 km/h. 7

48 Pàgina 7 AUTOAVALUACIÓ. Troba la funció derivada de les funcions següents: + a y ( + b y arc tg c y ln (ln d y e y (tg f + y y 0 + a y' + ( ( 6 b y' +8 + ( +( ( ( D ( c Aplicando las propiedades de los logaritmos: y ln (ln D (ln / ln (ln 8 y' ln ln d Epresando la raíz como potencia: ln y 8 y' D ( ln e Aplicamos la derivación logarítmica: y' D (tg ln y ( ln (tg 8 ln (tg + ( 8 y tg f Derivamos implícitamente: y' + tg 8 ln (tg + ( 8 y tg ( ( + tg 8 y' ln (tg + (tg tg (tg ln (tg + ( ( tg (tg + y y yy' y y' 0 8 (y y' y 8 y' y y [ ( + + ln ] 8

49 UNITAT. Aplica la definició de derivada per a trobar f'( sent f(. f( ( +h f( + h f( ( +h ( +h f( + h f( h h f'( h ( + h h h 8 0 h 8 0 h h ( + h. Donada la funció f(, defini-la per intervals i troba: a f'( bf''( Representa f'( i f''(. f( si < 0 si Ó 0 si < 0 a f'( si > 0 Como f'(0 f'(0 + 0, la función es derivable en 0. si < 0 b f''( si > 0 No eiste f''(0, ya que f''(0? f''(0 + f' f''. Estudia la derivabilitat de la funció f ( i calcula f'(. f'( f ( es una función continua en Á. f ( es derivable en Á {0} (en 0 no eiste la derivada. f'(

50 5. Estudia la continuïtat i la derivabilitat de: + si Ì f ( + si > Hi ha cap punt en què f'( 0? Representa l gràficament. Continuidad: En? : La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En : f ( ( f ( f (. 8 f ( ( Por tanto, la función es continua en. f ( La función es continua en todo Á. Derivabilidad: Si? : La función es derivable. Además: + si < f'( si > En : f'( f'( + La función no es derivable en. Por tanto, la función es derivable en Á {}. Puntos en los que f'( 0: f'( + si < f'( si > 8 f'(? 0 si > Por tanto, la derivada se anula en. Gráfica de f (: 50

51 UNITAT 6. Troba a i b perquè f ( siga contínua: + a si < f ( a + b si Ì < 0 + si 0 Ì Per als valors de a i b obtinguts, estudia la derivabilitat de f. Si? y? 0: La función es continua, pues está formada por polinomios. En : f ( f ( f ( a + b En 0: 8 8 ( + a + a (a + b a + b Para que sea continua, ha de ser + a a + b; es decir: b a f (0 f ( 8 0 (a + b b f ( ( Para que sea continua, ha de ser b. Por tanto, f ( será continua si a y b. Para estos valores, queda: + si < f ( + si Ì < 0 ; es decir: f ( + si 0 Ì + si < 0 + si Ì 0 Derivabilidad: Si? 0: Es derivable. Además: f'( si < 0 6 si > 0 En 0: f'(0? f'(0 + 0 La función no es derivable en 0. Por tanto, es derivable en Á {0}. 5

52 7. bservant el gràfic d aquesta funció f, estudia n la derivabilitat. Troba, si hi ha f'(, f'(0, f'(. f es discontinua en. Por tanto, no es derivable en. En observamos que f'(? f'( + : tampoco es derivable. Luego f es derivable en Á {, } f'( 0 porque en ese punto la función es constante. f'(0 0 porque en 0 la tangente es horizontal. f'( porque es la pendiente de la recta que pasa por (, y (, 0: 0 m 5