ANÁLISIS. 1 Junio Junio 98. y = 1al dar vuelta

Transcripción

1 ANÁLISIS Junio 98 Junio 98 Un punto material recorre la parábola y = 7. Deducir razonadamente la posición, o posiciones, en que la distancia del punto al origen (0, 0) es mínima. Considera la superficie limitada por: - La semicircunferencia y = El eje OX. - El segmento que une los vértices (5, 0) y (5, 5). - Y el segmento que une los vértices (-5,0) y (-5,5). Halla el volumen de la figura obtenida al girar esa superficie una vuelta alrededor del eje OX. 3 Junio 99 Volumen del cuerpo limitado por la elipse + 5 y = al dar vuelta 4 Junio 99 completa alrededor del eje OX. Con un hilo de 60 cm formar un rectángulo que al girar alrededor de uno de sus lados engendre un cilindro de área total ( área lateral + área de las bases) máima. 5 Sep. 99 El punto P(, y) recorre la elipse de ecuación + y =. Deduce las 5 9 posiciones del punto P para las cuales su distancia al punto (0, 0) es máima, y también las posiciones del punto P para las cuales su distancia al punto (0, 0) es mínima. 6 Calcular el área del recinto plano limitado por la curva y = e, cuando Sep. 99 varía entre 0 y 5, el segmento horizontal de etremos (0, 0) y (5, 0), y el segmento vertical de etremos (5, 0) y (5, 5e 5 ). 7 El punto P(, y) recorre la curva y =. Utilizando razonadamente el Junio 00 cálculo de derivadas, calcular la posición del punto P para el que su distancia al punto (0, -4) es mínima. 8 Junio 00 La gráfica de la curva y = cos, cuando 0, y el eje OX limitan una superficie. Determinar el área de dicha superficie. 9 Se divide un hilo de 00 metros en dos trozos de longitudes e y. Con el Sep. 00 trozo de longitud se forma un cuadrado y con el de longitud y un rectángulo, el lado mayor del cual mide el doble que el lado menor. Encuentra e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea máima. Idem para que sea mínima. 0 Sep. 00 Al girar la elipse + y = alrededor del eje OX engendra una a 9 superficie que encierra una figura parecida a un huevo, llamada elipsoide. Encuentra el volumen del elipsoide. Si el punto (a, 0) se desplaza hacia la derecha de manera que a= 5+3t, obtener la función derivada del volumen del elipsoide respecto de t, eplicando su significado.

2 Junio 0 Sea la función definida por = 4 si 3 3 = 7 si 3 7 Justificar si f es o no derivable en =3. Cuál es el significado geométrico del resultado obtenido? Se divide un alambre de 00 m. De longitud en dos segmentos de Junio 0 longitudes y 00-. Con el de longitud se forma un triángulo equilátero y con el otro segmento se forma un cuadrado. Sea f() la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. a) Determínese el dominio de la función f, es decir los valores que puede tomar. b) Con el estudio de la derivada de f obtener cuándo f es creciente y cuándo es decreciente. c) Indicar razonadamente para qué valor de se obtiene que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado es mínima 3 Obtener el área de la superficie S limitada por el eje OX, la curva y=, Sep. 0 4 Sep. 0 5 Junio 0 con 0, y la recta =. Descomponer un segmento de longitud 00 m. En cuatro partes de manera que esas partes sean los lados de un rectángulo cuya área sea máima dentro de la familia de rectángulos de perímetro 00. a Hallar el valor positivo de a para que ( + ) 0 d = 9 ( puntos). Obtener razonadamente, la integral que da el área de la superficie comprendida entre el eje OX, la curva y = + y las rectas = 0 y =. (,3 puntos) 6 Junio 0 Considerar las funciones definidas para 0, = arcsin y ) = arccos. + + Calcular f () y g () y epresarlas del modo más simplificado posible. ( p.). Comparar los resultados y deducir justificadamente la diferencia entre f() y ) (,3 p) 7 Sep. 0 3 Sea = + a + b + c. Hallar a, b, c sabiendo que f alcanza un máimo en = 4 y un mínimo en = 0 y que f() =. 8 Sep. 0 Calcular razonadamente el área de la región limitada por las curvas y= e y = +.

3 9 Junio 03 0 Junio 03 Sep 03 a) Dibujar la recta de ecuación y = y la curva de ecuación y = sin cuando ; obtener razonadamente por cálculo integral el área limitada entre la recta y la curva (,6p). b) Calcular la integral del producto de las dos funciones consideradas en el apartado anterior, es decir, sin d, indicando los pasos realizados. (,7p). Sea T un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide cm. Y los otros dos lados tienen la misma longitud. a) Deducir razonadamente las epresiones de las funciones A y f tales que: A() = Área del triángulo T. f() = { A ()} (,3p) b) Obtener, razonadamente, el valor de para el que f() alcanza el valor máimo (p) Hem de tancar una zona de 400 m d'un prat i amb una tanca en forma de rectangle. Cada metre de tanca val 00 euros. Si és la mesura en metres d un dels costats, es demana: a) Obteniu raonadament la funció f de manera que f () siga la despesa de la tanca, i indiqueu entre quins valors pot variar (,3 b) Calculeu raonadament el valor de per al qual la funció f () conseguei el valor mínim ( Sep 03 a) Representeu la superfície S limitada entre l'ei OX i la corba y = - 4, quan. Indiqueu raonadament, mitjançant una integral, l'àrea de la superfície S (,6 b) Calculeu el volum del cos generat en donar un gir complet al voltant de l'ei OX la superfície S considerada en l'apartat anterior, i indiqueu com heu obtingut el volum (,7 3 Juny 04 Calculeu raonadament el punt de la corba y = + en el qual la recta tangent a la corba té pendent màim i calculeu el valor d'aquest pendent (3,3 4 Juny 04 Calculeu tots els valors reals z de manera que (3,3 z 0 6 d = ln 5. 5

4 5 Sep. 04 Tenim que f() = + m (on m és un paràmetre real) i f'() és la funció derivada de f(): a) Calculeu el valor del paràmetre m perquè f () tinga un mínim relatiu en = - 3/4 (,5 6 Sep Juny 05 b) Per al valor de m calculat en a), determineu l'àrea de la regió compresa entre la corba y = f () i la recta d'equació y= f '() (, a) Calculeu raonadament la integral següent: d ( + ) + 3 b) Aplicant-hi la regla de Barrow, calculeu 4 + d ( + ) + Donades les corbes y 3 = ( ), y = 5 calculeu raonadament: a) El seu punt de tall. b) L àrea tancada per aquestes i l ei OY. 0 8 Juny 05 Trobeu les constants reals a i b perquè = ln + a si > 0 b si = 0 sin si < 0 9 Sep Sep 05 3 Juny 06 siga una funció contínua per a tot valor real. a) El perímetre d un sector circular de radi R és 4 m. Quants radians α ha de mesurar el seu angle central perquè la seua àrea siga màima?. (Nota: Perímetre= R + Rα ; Àrea = α R ). b) L àrea d un altre sector circular és m. Per a quin radi és rnínim el seu perímetre? En el pla es té la corba y = + -. Trobeu raonadament les equacions de les rectes que passen pel punt (, 3) i són tangents a l esmentada corba. a) Dibuieu raonadament la gràfica de la funció g ( ) = 4, quan 4 (, b) Obteniu raonadament els valors màim i mínim absoluts de la funció ( ) = 4,4 (, f en l interval [ ] c) Calculeu l àrea del recinte limitat per la corba d equació y = f() i les rectes =, = 4 i y = 0 (,

5 3 Juny Sep Sep. 06 Donada la funció, = ln en l interval tancat [,e], sent e = a) Raoneu que hi ha un punt P de la gràfica y = ln en què la recta tangent a aquesta és paral lela a la recta que passa pels punts A = (, 0) i B = (e, ) ( punt). b) Obteniu el punt P considerat en a) (,8 c) Calculeu el pendent de la recta tangent a y = ln en aquest punt P (0,5 Donades les funcions f() = i )= -3, es demana: a) Calculeu el màim absolut de la funció f() en l interval [-3, 0] ( punt). b) Calculeu el punt de tall de la corba y= f() i la recta y = ) ( punt). c) Obteniu l àrea del recinte limitat per la corba y = f() i les rectes y = ), = -3 i = 0 (,3 a) Obteniu la derivada de la funció f() = a + b + sin (0,5 Calculeu a i b si O = (0, 0) és un punt de la corba y = a + b + sin, la recta tangent de la qual en O = (0, 0) és l ei OX(,8 b) Justifiqueu que la funció ) = + sin s anul la en dos punts de l interval [ 0, ], (0,5 c) Calculeu aquests dos punts (0,5 35 Juny Juny 07 3 Es consideren les funcions reals = i g ( ) = Es demana el següent: a) Determineu les equacions de les asímptotes a la gràfica de la funció. (,6 ) b) Calculeu la funció H ( ) = d que complei H() =. (,7 ) 3 Es considera la funció real = + a + b + c, on a, b i c són paràmetres reals. a) Esbrineu els valors de a i b per als quals les rectes tangents a la gràfica de f() en els punts d abscisses = i = 4 són paral leles a l ei OX. ( b) Amb els valors de a i b trobats anteriorment, calculeu el valor de c per al qual es complei que el punt d infleió de la gràfica de f() està en l ei OX. (,3

6 37 Sep Sep Juny Juny 08 4 Sep. 08 Ateses les funcions reals = i g ( ) = , es demana el següent: a) Determineu les equacions de les asímptotes a la gràfica de la funció. (,6 ) b) Calculeu la funció H ( ) = d que complei H(0) =0. (,7 ) Siga la funció amb domini els nombres reals no nuls = 4. a) Calculeu l equació de la recta tangent i de la recta normal a la gràfica de f() en el punt d abscissa =. (,8 b) Determineu els punts M i N de la gràfica de f() per als quals les rectes tangents a la gràfica en M i N es tallen en el punt (4, - 8). (,5 Es considera, en el primer quadrant, la regió R del pla limitada per: l ei X, l ei Y, la recta = i la corba y = 4 +. a) Calculeu raonadament l àrea de la regió R. (,5 b) Trobeu el valor de α perquè la recta = α dividisca la regió R en dos parts A (esquerra) i B (dreta) tals que l àrea de A siga el doble que la de B. (,8 Es considera la funció real = 4. Obteniu, eplicant el procés de càlcul: a) La gràfica de la corba y = f(). (0, 7 b) Els valors de per als quals està definida la funció real ) = ln f(). (,3 c) Els intervals de creiement i decreiement de la funció ), raonant si té, o no, màim absolut. (,3 Atesa la funció f(t) = at + b (amb a i b constants reals), es definei F ( ) = + a) La integral f ( t) dt. Es demana que obteniu raonadament: + f ( t) dt. (,5 b) L epressió de la derivada F () de la funció F(). (0,5 c) La relació entre els valors a i b per a la qual es verifica: F (0) = 0. (,3

7 4 Sep Juny 09 Per a cada nombre real positiu α, es considera la funció g ( ) = + α. Es demana que calculeu raonadament: a) L àrea de la regió del pla limitada per l ei X, l ei Y, la recta = 6 i la corba y = ). ( b) El valor α per al qual la corba y = + α dividei el rectangle de vèrtes (0,0), ( 6,0), ( 6,6 + α ),(0, 6 + α ) en dues regions d igual àrea. (,3 a) Determinar, raonadament, el domini i els intervals de creiement i decreiement de la funció = (3 )(3 + ) ( punt) b) Obtindre raonadament els valors A i B tals que A B = + (3 )(3 + ) ( punt) c)calcular raonadament l àrea de la superfície S limitada per la corba y = (3 )(3 + ), l ei OX i les rectes d equacions = - i =. (,3 44 Juny Sep Sep.09 Donada la funció real a) La funció f() + f(-). (,l b) La integral a a f ( ) = e e, es demana calcular raonadament: d on a és un nombre real positiu. (, e) El punt d infleió de f(). (,l Es consideren les funcions reals f() = i g ( ) = ( )( + 9). Es demana que obtingueu raonadament: a) Les equacions de les asímptotes a la gràfica de la funció b) La funció H ( ) = d que complei ) H (3) = ). (,7 3. (,6 8 Atesa la funció real = +,es demana que calculeu raonadament: a) Les derivades primera i segona de la funció f(). (0,8 b) Els punts d infleió de la corba y = f(). ( punt). e) La pendent màima de les rectes tangents a la corba y = f(). (,5

8 47 Juny 0 48 Juny 0 49 Sep Sep. 0 5 Juny Es vol construir un estadi tancat de metres quadrats de superfície. L estadi està format per un rectangle de base i dos semicercles eteriors de diàmetre, de manera que cada costat horitzontal del rectangle és diàmetre d un dels semicercles. El preu d un metre de tanca per als costats verticals del rectangle és d euro i el preu d un metre de tanca per a les semicircumferències és de euros. Es demana obtindre raonadament: a) La longitud del perímetre del camp en funció de. (3 b) El cost f() de la tanca en funció de. (3 c) El valor de per tal que el cost de la tanca siga mínim. (4 Donada la funció polinòmica = 4, es demana obtindre raonadament: a) El gràfic de la corba y = 4. ( b) El punt P de la corba la tangent de la qual és perpendicular a la recta d equació + y = 0. (3 c) Les rectes que passen pel punt (-, ) i són tangents a la corba y = 4, i obtindre els punts de tangència. (5 3 Donades les funcions = i ) =, es demana: a) Obtindre raonadament els punts d intersecció A i B de les corbes y = f() i y = ). (3 b) Demostrar que ) quan 0. (3 c) Calcular raonadament àrea de la superfície limitada per les dues corbes entre els punts A i B. (4 Dos elements d un escut són una circumferència i un triangle. La circumferència té centre (0,0) i radi 5, Un dels vèrtes del triangle és el punt A = (-5,0). Els altres dos vèrtes del triangle són els punts de la circumferència B = (, y) C = (, - y). Es demana obtindre raonadament: a) L àrea del triangle en funció de. (3 b) Els vèrtes B i C per als quals és màima l àrea del triangle. (5 c) El valor màim de l àrea del triangle. ( Siga f la funció definida per =.Obtingueu 3 + raonadament: a) El domini i les asímptotes de la funció f(). (3 b) Els intervals de creiement i decreiement de la funció f(). (4 c) La integral d = d. (3 3 +

9 5 Juny 53 Sep. Es desitja construir un camp rectangular amb vèrtes A, B, C i D de manera que: Els vèrtes A i B siguen punts de l arc de la paràbola y = 4,, i el segment d etrems A i B és horitzontal. Els vèrtes C i D siguen punts de l arc de la paràbola y = 6, 4 4, i el segment d etrems C i D és també horitzontal. Els punts A i C han de tindre la mateia abscissa, el valor de la qual és el nombre real positiu. Els punts B i D han de tindre la mateia abscissa, el valor de la qual és el nombre real negatiu -. Es demana obtindre raonadament: a) L epressió S() de l àrea del camp rectangular en funció del nombre real positiu. (4 b) El nombre real positiu per al qual l àrea S() és màima. (4 c) El valor de l àrea màima. ( Donada la funció f definida per: Obtingueu raonadament: a) El domini i el recorregut de la funció f. ( punts) b) Els valors de on la funció arriba al màim relatiu i al mínim relatiu. ( c) Els intervals de creiement i de decreiement de la dita funció. ( d) Els valors de on la funció té els punts d infleió. ( e) El gràfic de la corba, i epliqueu amb detall l obtenció de la seua asímptota horitzontal. (

10 54 Sep. Un cote recorre l arc de la paràbola T d equació, variant la de -6 a 6. Es representa per f() a la distància del punt (0, 9) al punt (, y) de l arc T on està situat el cote. Es demana obtindre raonadament: a) L epressió de f(). ( b) Els punts de l arc T on la distància f() té mínims relatius. ( c) Els valors màim i mínim de la distància f(). ( d) L àrea de la superfície limitada per l arc de paràbola T i el segment rectilini que unei els punts (-6, 0) i (6, 0). (4