Obteniu també entre quins valors pot variar x. b) Obteniu raonadament el valor de x pel qual f(x) aconsegueix el valor màxim. PAU, juny 2003.

Transcripción

1 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 1 Siga T un triangle de perímetre 6cm Un dels costats del triangle T té cm i els altres dos costats tenen la mateia longitud a) Obteniu raonadament les epressions de les funcions () i (f(), essent: ()=Àrea del triangle T f () = [ () ] Obteniu també entre quins valors pot variar b) Obteniu raonadament el valor de pel qual f() aconseguei el valor màim PU, juny a) KLM, Siga el triangle isòsceles 6 KM = LM = Siga N el punt mig del costat KL Siga MN altura del triangle KL = plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle 6 MN = = 9 L àrea del triangle KLM és: KL MN 9 S = =, aleshores: 9 () = 1 f() =, > f() Per la desigualtat triangular: KL < KM 6 < Resolent la inequació: < leshores, ], [ b) 1 f'() = ( 9 ), ], [ f '() = 1 KNM 9 = Resolent l equació: = f"() = f "() = < leshores, = és un màim relatiu estricte El màim de la funció f() s assolei quan = cm, és a dir quan el triangle és 1 equilàter i el valor màim de la funció és, f () = = cm K 1 M N L 1

2 Problema Problemes d optimització de les PU València -1 Hem de tancar una zona de m d un prat i amb una tanca en forma de rectangle Cada metre de tanca val 1 Si és la mesura en metres d un dels costats, es demana: a) Obteniu de forma raonada la funció f() siga la despesa de la tanca, i indiqueu entre quins valors pot variar b) Calculeu raonadament el valor de per al qual la funció f() aconseguei el valor mínim PU, setembre a) Siga el rectangle CD, =, C = y L àrea del rectangle és, S = y = leshores, y = La funció a optimitzar és les despeses de la tanca, 1 euros cada metre del seu perímetre: f (,y) = 1( + y) () = + b) f '() = 1 f '() = f ], + [ f() Resolent l equació: = m 8 f "() = 8 f"() = > leshores, = és un mínim relatiu estricte El mínim de la funció f() s assolei quan = m, és a dir quan és un quadrat i les despeses mínimes són: f () = + = 8 D 1 C y

3 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema Des d un punt N de vora mar, un nadador ha d arribar a una boia que flota a km de la costa i dista km des del punt N Si recorrent la vora (que se suposa recta i plana) la velocitat mitjana és de km/h, i nadant, de km/h, quan de temps haurà de caminar fins llançar-se a la mar per a arribar a la boia en el mínim temps possible? PU, juny Siga el punt on es troba la boia Siga el punt de la vora més prop de la boia (la projecció perpendicular de sobre la vora Siga P el punt de la vora des d on s ha de tirar a la mar ' =, N = plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle ( ) = 6 N' = Siga Siga = NP P' = 6 y = P N ' : N km/h P ' km/h plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle y = (6 ) + = 1 + e En el moviment uniforme t = v El temps que tarda el nadador d arribar de N a passant per P és igual a: y t (,y) = t() = +, [, 6] 1 6 t'() = t '() = t() P ' : = Resolent l equació: = ( 6) t"() = 1 + 9( 1 + ) 1 t "() > leshores, = km és un mínim relatiu estricte Calculem el temps mínim: t = + = El nadador tardarà h d anar del punt N fins el punt 1 Per anar de N a P tardarà Hores = min h

4 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 1 Calculeu raonadament el punt de la corba y = en el qual la tangent a la corba té 1+ pendent màim i calculeu el valor d aquest pendent PU, juny 1 Solució gràfica de la funció y = i la seua tangent màima 1+ y /(^ + 1) El pendent de la recta tangent a la corba en un punt és la derivada de la funció: La funció que volem minimitzar és: ( 1) f() = y' =, R f'() = f() ( ) ( ) ( 1) f '() = ( 1+ ) ( 1) =, = f"() = ( 1+ ) = Resolent l equació: f " <, aleshores, = és un màim relatiu estricte f " <, aleshores, = és un màim relatiu estricte El punt de la corba que fa màim el pendent de la corba és El pendent màim és: f = = La recta tangent de pendent màima és: 9 y = = - -6

5 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema Determineu raonadament la longitud dels costat del quadrat d àrea mínima si té els vèrtes situats sobre els costats d un altre quadrat de costat 16cm PU, Setembre Siga el quadrat CD de costat = 16 Siga PQRS el quadrat inscrit en el quadrat CD Siga P = Notem que P = Q = CR = DS P = 16 plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle PQ = + (16 ) PQ: S D R C Q PQ = + 6 L àrea del quadrat PQRS és: SPQRS = + 6 La funció a optimitzar és: S() = + 6 P Mètode 1: S() és una paràbola còncava el mínim s assolei en el vèrte: = = 8 S() L àrea mínima s assolei quan = 8cm El costat d àrea mínima és PQ = 8 cm i l àrea mínima és S (8) = 18cm 1 Mètode : La funció a optimitzar és: S() = + 6, [,16] S'() = S '() =, quan = 8cm S "() =, S "(8) = >, aleshores, = 8cm és un mínim absolut estricte L àrea mínima s assolei quan = 8cm El costat d àrea mínima és PQ = 8 cm i l àrea mínima és S (8) = 18cm 1

6 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 6 La concentració en sang d un fàrmac després de la seua presa és C(t) =,98t + t, t mg / ml on t és el temps transcorregut en minuts Es demana: a) Calculeu el període de temps durant el qual el fàrmac actua b) Determineu en quin instant la concentració del fàrmac és màima PU, juny a) El període de temps durant el qual el fàrmac actua es realitza quan hi ha concentració en la sang és a dir quan C (t) > i t,98t + t, t > (,98 + t,t ) t > Resolent la inequació: t ], 189[ b) C'(t) =, t,1t C ' (t) =,, t,1 t Resolent l equació: t = 8 min 8min s C" t) = 86,1t C "(8min) <, aleshores, t = 89 min és un màim relatiu estricte La concentració del fàrmac és màima quan t 8 min s = C(t)

7 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 7 Proveu que el volum de qualsevol con recte inscrit en una esfera és menor que el % del volum de l esfera PU, Juny Calculem el volum màim del con inscrit en la esfera i vegem que ocupa menys del % del volum de l esfera Siga l esfera de centre O i radi R Considerem la secció de l esfera que passa pel vèrte C del con i pel centre de la esfera La secció del con és un triangle isòsceles de base = r diàmetre del com Siga M el punt mig del segment Siga = OM plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle OM : = R r 1 El volum del com és: V = Sb h L altura del con mesura CM = R + El volum del con és: 1 V (r) = πr R + R r, r [, R] V(r) 1 π R r r = + 1 V '(r) Rr R r 8 V '(r) = 6 R r r Rr + = Resolent l equació: R r r = R V " R < leshores r = R és un màim relatiu estricte El volum màim del con inscrit en l esfera és: V R = πr 81 El volum de l esfera és: V = πr Calculem el percentatge del volum del con i de l esfera: πr = 9'6% 7 πr O M C r 7

8 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 8 a) El perímetre d un sector circular de radi R és m Quants radians α ha de mesurar el seu angle central perquè la seua àrea siga màima? b) L àrea d un altre sector circular és 1 m Per a quin radi és mínim els seu perímetre? 1 Nota: Perímetre = R + Rα, Àrea = α R PU, setembre a) Utilitzant el perímetre del sector: R + Rα = leshores: R = + α La funció àrea a optimitzar és: 1 ( α ) = α, α [, π] + α 8α ( α ) = α + α + 8α + '( α ) = α + α + ( ) '( α ) = 8α + = Resolent l equació: α = "() <, aleshores, α = m és un màim relatiu estricte 1 En aquest cas R = 1m i l àrea màima és () = 1 = 1m alfa b) Utilitzant l àrea del sector: 1 α R 1 = leshores: α = leshores: R La funció perímetre a optimitzar és: P P (R) = R +, R 1 R 8 P'(R) = 6 R P '(R) = R = Resolent l equació: R = 1m P "(1) = > leshores, R = 1m és un mínim relatiu estricte En aquest cas, α = m i el perímetre mínim és P (1) = 1+ 1 = m 1 R 8

9 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 9 El cost del marc d una finestra rectangular és de 1, per metre lineal dels costats verticals i 8 per metre lineal dels costats horitzontals a) Calculeu raonadament les dimensions que ha tenir el marc d una finestra d 1 m de superfície perquè resulte com més econòmic millor b) Calculeu a més, el cost d aquest marc com més econòmic millor considerat en a) PU, Juny 6 Siga CD els vèrtes del marc rectangular Siga = costat horitzontal, y = C costat vertical L àrea del rectangle és 1 m, aleshores: y = 1 La funció preu a optimitzar és: p (,y) = ()8 + (y)1, p () = 16 +, ],+ [ p'() = 16 p '() = 16 Resolent l equació: = p "() =, p " >, aleshores, = = 1,m és un mínim relatiu estricte Les dimensions de la finestra són = = 1,m costats horitzontals i 8 = =,8 m costats verticals i el cost mínim és, p = D C y p()

10 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 1 Dos pals de m i m es troben clavats verticalment a terra Les bases disten m i, en el segment que les unei, hi ha un punt P que dista de la base del pal més bai L etrem superior de cada pal s unei amb P mitjançant un segment rectilini de cable Es demana: a) Obteniu l epressió f() de la longitud total del cable utilitzat en els dos segments b) Demostreu que aquesta longitud total de cable és mínima quan són iguals els valors absoluts dels pendents dels dos segments considerats Calculeu aquesta longitud mínima PU, setembre 6 Solució 1: Siguen ' =, ' =, '' = Siga 'P =, aleshores, 'P = plicant el teorema de Pitàgores als triangles rectangles ' P, ' P: P = +, P = ( ) + a) La funció longitud total del cable és: f() b) Calculem el mínim de la funció: f'() = f '() = + = = ( ) + 9 Elevant al quadrat i simplificant: = Resolent l equació: =, [, ] 1 = 'P = 7 Estudiant la monotonia de la funció f() 1 1 f '() < quan, f '() > quan 7, 7 leshores, = és un mínim relatiu estricte 7 'P = 7 Vegem que els valors absoluts dels pendents dels dos segments que formen els cables són iguals, per fer-ho ' ' hem de provar que = : 'P 'P ' 7 ' 7 = = = = 'P 1 'P 7 7 Calculem la longitud mínima del cable: 1 f = ,6m f() ' P 1 ' 1

11 Problemes d optimització de les PU València -1 Solució : ' P P' ' " Notem que i és tan en el matei semiplànol que determina la recta Siga el punt simètric de respecte de la recta Siga P la intersecció de la recta r i la recta que passa pels punts, Vegem que el punt P és el punt que la suma de les distàncies a i és mínima P,, estan alineats, aleshores: P + P = P + P" = " Siga P un punt qualsevol de la recta r La recta és mediatriu de la recta que passa pels punts, ja que és el simètric de respecte de leshores, P ' = P'" P ' + P' = P' + P'" " = P + P La igualtat s assolei quan P i P coincideien Els triangles ' P, "' P són iguals Els triangles rectangles ' P, "' P són semblants Siga Siga 'P =, aleshores, 'P = plicant el teorema de Tales: = Resolent l equació: 1 = 7 El mínim de la longitud del cable s assolei quan La longitud mínima del cable és: 1 = L = = + 8,6m La igualtat dels valor absolut de les pendents és obvia, per ser semblants ' P, ' P 11

12 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 11 Determineu les dimensions del cartell d àrea màima amb forma de rectangle que té dos vèrtes subjectes a una estructura rígida parabòlica y = 1, i els altres dos vèrtes estan situats sobre l ei OX PU, juny 7 La paràbola convea y = 1 els seus punts de tall amb l ei d abscisses són: y =, 1 = Resolent l equació; = ± Els punts de tall són (, ), (, ) Per ser la paràbola simètrica respecte de l ei d ordenades OY, el rectangle que cerquem KLMN és simètric respecte de l ei OY Siga = OK, [, ] KL = 1, NK = L àrea del rectangle KLMN a optimitzar és: S() = ( 1 ), [, ] S'() = 6 + S '() =, 6 + = Resolent l equació: = S"() = 1 S "() = < leshores, = és un màim relatiu estricte Les dimensions del rectangle màim són KL = 8, NK = La superfície màima és S () = S() M N O K L 1 1 1

13 Problema 1 Problemes d optimització de les PU València -1 La vora d un estany està formada per l arc de corba y = d etrems (, ) i (, ) i el segment rectilini que unei aquests dos punts Un sortidor està situat en el punt de coordenades (, ) Es demana el següent: a) Determineu, raonadament, el punt del segment rectilini de la vora de l estany que està més pròim al sortidor b) Determineu, raonadament, els punts de l arc de corba de la vora de l estany que estan més pròims al sortidor c) Quins són els punts de la vora de l estany més pròims al sortidor PU, Setembre 7 Siga el punt F (, ) el sortidor L arc y = és una paràbola convea els seus punts de tall amb l ei d abscisses són: y =, = Resolent l equació; P = ± Els punts de tall són (, ), (, ) F Un punt qualsevol de l arc y = té coordenades P(, ) on [, ] 1 a) El punt del segment rectilini de la vora de l estany que està més pròim al sortidor és la projecció ortogonal de F sobre l ei d abscisses, és a dir, l origen de coordenades O (, ) 1 O La mínima distància és d (O,F) = b) ( ) FP = + La distància de qualsevol punt de l arc a F és: ( ) = +, [, ] d () + d() = + d'() = + d '() =, = Resolent l equació: =,, Estudiant la monotonia de la funció: La funció és estrictament decreient en,, La funció és estrictament creient en,, leshores, =, són mínims relatius estrictes els punts de l arc de corba de la vora de l estany que estan més pròims al sortidor són 1

14 Problemes d optimització de les PU València -1 P 1,, P, En tots dos casos la mínima distància és: 7 d(p 1,F) = d( P,F) = + + = c) Els punts de la vora de l estany més pròims al sortidor és el mínim entre els punts de l arc i del segment rectilini que formen el recinte és a dir P 1,,, 7 P, ja que (P,F) = d( P,F) = < d(of) d() 1 1 d 1 =

15 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 1 Una finestra té forma de trapezi rectangular La base menor fa cm i el costat oblic fa cm Determineu l angle α que ha de formar el costat oblic amb la base major perquè l àrea de la finestra siga màima Nota: un trapezi rectangular és un quadrilàter amb dos costats paral lels en què un dels altres costats és perpendicular a aquests dos costats paral lels PU, Juny 8 Siga el trapezi rectangle CD de base =, costat oblic C = i = D = 9º Siga α = CD angle que forma el costat oblic i la base major Siga P altura del triangle plicant raons trigonomètriques al triangle rectangle PC: P = sin α, CP = sin α CD = = D P L àrea del trapezi és igual a l àrea del rectangle PD més l àrea del triangle rectangle PC sin α cos α S( α ) = sinα + π S ( α) = 8 sin α + sinα, α, S '( α) = 8 cos α + 8 cosα y S '( α ) =, cos α + cosα = 1 cosα = cosα = cos( π α) leshores, α = π α Resolent l equació: 8 π 6 α = S "( α) = 8 cos α 16 cos α π S " = 8 16 < leshores, π α = és un màim relatiu estricte π L àrea màima és: S = 8 sin 6º + sin1º = 1 19cm C alfa 1

16 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 1 Una empresa decidei llançar una campanya de propaganda d un dels seus productes editant un tet que ocupa 18 cm en fulls rectangulars impresos a una cara, amb marges superior i inferior de cm i laterals d 1cm Determineu les dimensions del full per a les quals el consum de paper siga mínim PU, juny 8 El consum és mínim quan la superfície total del full siga mínima Siga CD el rectangle que forma el full (part impresa i marges) Siga =, C = y Siga PQRS el rectangle que forma la part impresa PQ =, QR = y L àrea impresa ocupa 18 cm, aleshores: ( )(y ) = 18 ïllant la incògnita y: 18 y = + La funció a optimitzar és l àrea del quadrat CD: S (,y) = y 18 () = + S, ], + [ + 1 S() = 16 S'() = ( ) 16 S '() =, = ( ) Resolent l equació: = 7 S"() = ( ) S "() >, aleshores, = cm, y = 1cm Les dimensions del full que fa mínim el consum és de cm horitzontals i 1cm verticals La superfície mínima del full és S () = cm S() D S P R Q C 16

17 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 1 Un terreny amb forma de semicercle de m de radi, es dibuia un rectangle que té dos vèrtes sobre la semicircumferència del perímetre del terreny Els altres dos vèrtes del rectangle estan sobre el segment rectilini del perímetre disten metres Obteniu raonadament a) L àrea del rectangle en funció de b) El valor de pel al qual és màima l àrea del rectangle PU, setembre 8 Siga el semicercle de centre O i diàmetre = Siga PQRS el rectangle tal que PQ =, QR = y OR = OQ = plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle OQR: y + = ïllant y: y = a) L àrea del rectangle PQRS en funció de és: S() =, ], [ b) Maimitzem l àrea del rectangle S'() = 1 1 S '() =, = Resolent l equació: = 1, y = Estudiant els intervals de monotonia de la funció S() S() és creient en ],1[ i decreient en l interval ] 1, [ leshores, = 1m és un màim relatiu estricte Les mesures del rectangle d àrea màima inscrit en el semicercle té costats = 1m, y = m L àrea màima és: S (1) = m S() S P O R Q 17

18 Problema 16 Problemes d optimització de les PU València -1 Es desitja construir una bodega amb forma de paral lelepípede rectangular de 1 m de volum de manera que el llarg de la seua base siga de l amplada Se sap que els preus d un metre quadrat del sòl, del sostre i de la paret lateral, són, respectivament, /m, / m i 6 /m Determineu raonadament: a) el valor de l amplada de la base que minimitza el cost b) quest cost PU, Juny 9 Siga el paral lelepípede rectangular de d ample i y d alt El seu volum és 1 m, aleshores: y = 1 ïllant la incògnita y: 7 y = Els cost de la bodega és: 1 7 c () = c() = 7 +, > 896 c'() = c '() =, 1 = = Resolent l equació: = 896 c"() = 1 + c "() >, aleshores, = m és un mínim relatiu estricte El cost de la bodega és: 896 c () = 7 + = 6m de llarg, y / c() e+ 1e+ 1e

19 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 17 Un proveïdor ven un producte a un comerciant al preu de la unitat El comerciant incrementa la quantitat de en un % per a obtindre el preu de venda al públic El comerciant sap que a aquest preu vendrà unitats cada mes i que durant el més de rebaies per cada de reducció en el preu de venda de la unitat aconseguei un increment de vendes de unitats Determineu, raonadament, el nombre d unitats que ha de demanar al proveïdor per a vendre-les en el mes de rebaies i el preu de venda de cada unitat per maimitzar els seus beneficis durant aquest període PU, juny 9 Siga el nombre d unitats que ha de demanar al proveïdor 1 Una d aquestes unitats sense reducció el comerciant les ven a = 1 Si demana si supera les, reduei ( ) del preu de venda per unitat El preu de venda d una unitat és: ( ), leshores, el preu de venda de les unitats és: ( ), El benefici és: () = ( ), () = + 1, La funció benefici és una paràbola convea el màim s assolei en el vèrte: 1 = = 1 leshores, el comercial hauria de demanar al proveïdor 1 unitats i el màim benefici seria: (1) = 97, el preu de venda de cada unitat és (1 ) = 7 ()

20 Q Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 18 les 7 del matí, una llana està situada a 1km a l est d una altra llana La llana navega cap a l oest a una velocitat de km/h i la llana es dirigei cap al nord a km/h Si es mantenen aquests rumbs, determineu raonadament, a quina hora estaran ambdues llanes a distància mínima PU, setembre 9 km/h P km/h Siga el punt on es troba inicialment la llana Siga el punt inicial on es troba la llana = 1km Siga P el punt del segment i Q punt de la perpendicular al segment de mínima distància Siga t el temps en hores transcorregut per anar de a P la llana, i a la vegada el temps transcorregut per anar de a Q la llana 1km 1 P = km /h t La llana tarda = h = hmin en arribar a km /h Q = km /h t leshores, P = 1 t plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle QP: PQ = (t) + (1 t) La funció distància a optimitzar és: 1 d(t) = t 1t +, t, t 1 d'(t) = t 1t + 1 d '(t) =, t = h = hmin Estudiant la monotonia de la funció d (t): d(t) 1 1 En l interval, la funció és estrictament creient 1 1 En l interval, la funció és estrictament decreient 1 leshores, t = h = hmin és un mínim relatiu estricte leshores, a les 9h i min les llanes estan a mínima distància i la mínima distància 1 és, d = 9km 1 1 t

21 Problema 19 Problemes d optimització de les PU València -1 Es vol construir un estadi tancat de 1 m de superfície L estadi està format per un rectangle de base i dos semicercles eteriors de diàmetre, de manera que cada costat horitzontal del rectangle és diàmetre d un dels semicercles El preu d un metre de tanca per als costats verticals del rectangle és d 1 i el preu d un metre de tanca per a les semicircumferències és de Determineu raonadament: a) La longitud del perímetre del camp en funció de b) El cost f() de la tanca en funció de c) El valor de per tal que el cost de la tanca siga mínim PU, juny 1 Siga y la longitud del costat vertical del rectangle L àrea de l estadi és igual a l àrea del rectangle de costats,, y, més l àrea d un cercle de diàmetre : π y + = 1 ïllant la incògnita y: π y = a) La longitud del perímetre és: p(,y) = y + π π p() = + π b) El cost de la tanca és: f(,y) = y + π π f() = + π, π f'() = π f '() =, = Resolent l equació: = 61m, y 1m π f "() = f " >, aleshores, π = 61m és un mínim relatiu π estricte El cost mínim de la tanca és: f 61 π f() y 1

22 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema Dos elements d un escut són una circumferència i un triangle La circumferència té centre (, ) i radi Un dels vèrte del triangle és el punt (, ) Els altres dos vèrtes del triangle són els punts de la circumferència (, y), C(, y) Determineu: a) L àrea del triangle en funció de b) Els vèrtes i C per als quals és màima l àrea del triangle c) el valor màim de l àrea del triangle PU, Setembre 1 Siga un punt de la circumferència del primer quadrant Si estiguera en el segon quadrant el seu simètric respecte de l ei d ordenades estaria en el primer quadrant i el triangle tindria la mateia base i més altura Siga la circumferència de centre O (, ) i radi El punt pertany a la circumferència ja que O = Siga M el punt mig del costat C OM = M = + plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle y = C = y = Si considerem C base i M altura del triangle S() = ( + ), [, ] S'() = OM : C, la funció àrea a optimitzar és: S '() =, = Resolent l equació amb la regla de Ruffini: =, Notem que = no pertany al domini Estudiant la monotonia de la funció S() La funció és estrictament creient en S() l interval,,, i estrictament decreient en l interval,, aleshores, = és un màim relatiu estricte La superfície màima és 7 S = 8 u 1 1 O M C

23 Problemes d optimització de les PU València -1 Problema 1 Es desitja construir un camp rectangular amb vèrtes,, C, D de manera que: Els vèrtes i siguen punts de l arc de la paràbola y =, i el segment és horitzontal Els vèrtes C i D siguen punts de l arc de la paràbola y = 16, i el segment CD és també horitzontal Els punts i C han de tindre la mateia abscissa, el valor del qual és un nombre real positiu Els punts, D han de tindre la mateia abscissa, el valor del qual és un nombre real positiu - Determineu raonadament: a) L epressió S() de l àrea del camp rectangular en funció del nombre real positiu b) El nombre real positiu per al qual l àrea S() és màima c) El valor de l àrea màima PU, juny 11 Les coordenades dels vèrte del rectangle CD són: (, ), C(, 16), D(, 16), (, ), [,] =, C = ( 16) = + La funció àrea a optimitzar és: S() ( + ), =, [ ] S'() = 1 + S '() =, 1 + = Resolent l equació: 1 = = 18u S"() = S " < leshores, relatiu estricte L àrea màima és, S S() = 8 9 = és un màim 869u D C 1 1 1

24 Problema Problemes d optimització de les PU València -1 Un cote recorre l arc de paràbola Γ d equació y = 6, 6 6 Es representa per f() la distància del punt (, 9) al punt (, y) de l arc Γ on està situat el cote Determineu raonadament: a) L epressió de f() b) Els punts de l arc Γ on la distància f() té mínims relatius c) El valor màim i mínim de la distància f() d) L àrea de la superfície limitada per l arc de paràbola Γ i el segment rectilini que unei els punts, ( 6, ) i ( 6, ) PU, setembre 11 a) Siga P un punt qualsevol de l arc Γ, les seues coordenades són: P,18 La distància entre i P és: = , [ 6, 6] f() 1 f() = +, [ 6, 6] b) Optimitzem la funció f() 16 f'() = + f '() =, 16 = Les solucions 6 de l equació són: =,, Estudiem la monotonia de la funció f() La funció és estrictament creient en l interval, ],, [ ], 6[, i estrictament decreient en l interval ] 6, [ ], [, aleshores,: = és un mínim relatiu estricte = és un màim relatiu estricte = és un mínim relatiu estricte Per la simetria de la paràbola els mínims relatius estrictes tenen la mateia ordenada i són: P(,1) i Q (,1) c) La distància mínima és: f ( ) = f() = 17 El valor màim de la distància és =, màim relatiu o bé els etrems del domini f () = 9 f( 6) = f(6) = leshores, la distància màima s assolei en els punts ( 6, ) i ( 6, ) i és f( 6) = f(6) = f() P

25 Problemes d optimització de les PU València -1 d) Calculem àrea de la superfície limitada per l arc de paràbola Γ i el segment rectilini que unei els punts, ( 6, ) i ( 6, ) Per la simetria de la funció: 6 6 = 18 d 18 1u 6 = 6 S =

26 Problema Per dissenyar un escut es dibuia un triangle C(, ) essent < 1 Determineu raonadament: Problemes d optimització de les PU València -1 C de vèrtes (, 1), (, ), a) L àrea del triangle C en funció de l abscissa del vèrte C b) Les coordenades dels vèrtes i C perquè l àrea del triangle C siga màima Per a completar l escut s afegei al triangle C d àrea màima la superfície S limitada entre la recta y = i l arc de paràbola y =, quan Determineu raonadament: c) L àrea de la superfície S d) L àrea total de l escut PU, juny 1 Siga, 1 < leshores, [, [ Siga M el punt mig del segment C Les seues coordenades són M(, ) M = 1 C = a) L àrea del triangle C en funció de l abscissa del vèrte C és: f() = (1 ), [, [ f() b) 1 Maimitzem la funció àrea f() f'() = + 1 f '() =, + 1 = Resolent l equació: = f"() = 6, f "() > leshores = és un màim relatiu estricte Les coordenades dels punts, i C on l àrea és màima són: (, ), C (, ) La superfície màima del triangle C és, f () = u c) Calculem l àrea afitada entre la recta y = i l arc de paràbola y =, quan Notem que la recta i la paràbola s intersecte en els punts (, ), C (, ) L àrea és igual a la integral definida de la recta menys la paràbola entre [, ] Per ser la recta i la paràbola, cadascuna, simètriques respecte de l ei OY S ( ) d = = = u d) L àrea total de l escut és igual a la suma de les àrees del triangle la superfície S 18 S Total = + = u 1 1 M C C més l àrea de 6

27 Problema Problemes d optimització de les PU València -1 Es vol construir un dipòsit cilíndric de 1 m de volum, obert per la part superior La base és un cercle en posició horitzontal de radi i la paret vertical del dipòsit és una superfície cilíndrica perpendicular a la base El preu del material de la base del dipòsit és de /m i el preu del material de la part vertical és de / m Determineu raonadament: a) L àrea de la base en funció del seu radi b) L àrea de la paret vertical del cilindre en funció de c) La funció f() que dóna el cost del dipòsit d) El valor del radi de la base per al qual el cost del dipòsit és mínim i el valor del cost mínim PU, setembre 1 Siga h l altura del cilindre a) L àrea de la base és l àrea del cercle de radi : Sb = π b) L àrea de la paret vertical és l àrea d un rectangle de base la longitud de la circumferència de radi i l altura h del cilindre = π h S L El volum del cilindre és: V = S 1 1 = π h ïllant h: h = π La funció àrea lateral és: 1 SL = π Simplificant: S L = π c) La funció cost del dipòsit és: f() = π + f() = π +, > d) Minimitzem la funció cost del dipòsit f'() = 8π f '() =, 8π = Resolent l equació: b h f() 1 = m π 8 f "() = 8π + f" >, aleshores, = m és un mínim relatiu estricte π π El cost mínim és f = π + 8 π π π h 7