SOLUCIONARI Unitat 3. Comencem. Exercicis

Transcripción

1 SOLUCIONARI Unitat Comencem Troba i classifica les discontinuïtats que resenta la funció y y la simlificació indica que a hi ha una discontinuïtat - ( + )( -) - evitable. A l eressió y hi trobem una - discontinuïtat asimtòtica a. Una funció f() és tal que D f R {, }. Què ots dir de la continuïtat de la funció en els unts i? f() no està definida a i ja que aquests valors no són del domini de la funció i, er tant, la funció no és contínua en aquests unts. ì < ï Considera la funció: f( ) í ï î - < Què ots dir de la continuïtat en els unts i? f( ) i f( + ) a l esquerra i a la dreta de la funció resenta valors diferents, er tant, hi ha una discontinuïtat de salt a. f( ) f( + ) i, er tant, a la funció és contínua. Eercicis. A artir de les funcions f() + i g() f, escriu les funcions f + g, f g, i. g Són contínues? Raona la teva resosta. (f + g)() (f g)() ( + )( ) 5 + Les dues funcions són contínues er ser olinomis. æ f + ç ( ) resenta una discontinuïtat èg ø - asimtòtica a, valor que anul la el denominador.. Descomon la funció y 5 4 e en tres factors que siguin funcions contínues. Es oden donar diferents resultats. Per eemle: f() 5, g() i h() e.. La funció y tg és contínua? Recorda que sin tg es ot definir com a. cos sin y tg no és contínua en els valors cos de que fan cos (k + ), amb k un nombre enter. 4. Considera les funcions f() i g() f g +. Escriu les funcions,, f g i g g f f. Raona si les funcions obtingudes són contínues. æ f - ç ( ) és contínua. èg ø + æg + ç ( ) resenta una discontinuïtat a è f ø -, valor que anul la el denominador. (g o f)() + és contínua. (g o f)() ( ) + és contínua. 5. Elica un fet quotidià que osi de manifest el teorema dels valors intermedis. Per eemle, en una etaa ciclista els corredors assen er un quilòmetre determinat. 6. Considera la funció f() Elica er què es ot alicar el teorema de Bolzano en l interval [, ]. Troba un valor aroimat a les centèsimes de c tal que f(c) en aquest interval. La funció f() és contínua i verifica: f() i f(). Es verifica el teorema de Bolzano en l interval [,]. Utilitzant la calculadora er trobar valors numèrics tenim que f(,),6, er tant, el valor c buscat es troba entre i,. El valor de c,8 dóna 7. Seara les quatre arrels reals de la funció següent: f() Matemàtiques. Batillerat 5

2 En la funció tenim: f() 5 i f() 6 igualment er la aritat de les otències de tenim: f( ) 4, f( ) 5 i f( ) 6. Els intervals que searen les quatre arrels són: [,], [, ], [,] i [, ]. 8. Calcula els valors de f() a i. Pots determinar si la gràfica de la funció talla l ei de les abscisses en algun unt entre i? Troba aquest unt amb una aroimació fins a les centèsimes. f() i f( ). Pel teorema de Bolzano en l interval [,] la gràfica de la funció talla en un unt l ei de les abscisses. Calculant valors numèrics de la funció er a diferents valors de de l interval, s obté 9. Considera la funció f() +. És una funció contínua que té com a gràfica una aràbola. Eistei un c tal que f(c)? Elica si en aquesta funció es ot alicar el teorema de Bolzano en l interval [, ]. La funció verifica f() c. No es ot alicar el teorema de Bolzano en l interval [,] ja que f() f().. Troba el màim i el mínim absoluts de la funció f() + en l interval [, ]. Reresenta gràficament la funció er ajudar-te a trobar la solució. En l interval [,] es verifica: f( ), f() i f() que és el màim absolut i vèrte de la aràbola. El mínim absolut es troba a, un dels etrems de l interval.. Verifica si la funció f() tg té màim i mínim absoluts en l interval ê,. Raona la é ù ú ë û teva resosta. La funció f() tg no és contínua a. Té mínim absolut a f(). No té màim absolut a er la discontinuïtat.. Troba els unts de la funció y en - els quals no sigui derivable. La funció no és contínua a i, valors que no són del domini; er tant, no és derivable en aquests unts.. Considera la funció f() Troba n els unts estacionaris i classifica ls. Calculem la derivada de la funció i la igualem a. f'() ( + ) - + Per < f'() >, i er > f'() > ; er tant, a hi ha un mínim relatiu. Per < f'() >, i er > f'() > ; er tant, a hi ha un unt d infleió de tangent horitzontal. En ambdós casos es consideren valors de l entorn de i, resectivament. 4. Interreta el valor de la derivada de la funció y en el unt. La derivada y'. En el unt s anul la la derivada i er valors anteriors i osteriors de l entorn de, la derivada és ositiva. A hi ha un unt d infleió de tangent horitzontal. 5. Troba la derivada de les funcions f() e i de g() ln. Tenen unts estacionaris aquestes funcions? Raona n la resosta. f'() c i la funció no té unts estacionaris ja que la derivada no s anul la er a ca valor de. Igualment assa amb la funció g() ln, ja que la derivada g'() no s anul la. 6. Considera la funció f() sin en l interval [, ]. Alica-li el teorema de Rolle er trobar un unt c tal que f (c). f() i f(). El teorema de Rolle afirma que hi ha un unt de l interval (,) en el qual la derivada s anul la. f '( ) cos cos Î(, ) 7. Esbrina si la funció f( ) verifica ( - ) les condicions del terorema de Rolle a l interval [, ]. La funció resenta una discontinuïtat en el unt ; er tant, la funció no és contínua en l interval [,] i no es ot alicar el teorema de Rolle. 8. Considera la funció f() en l interval [, ] i alica el teorema de Rolle en aquest interval. Quin és el unt c que rediu el teorema? Hi ha algun altre unt que Matemàtiques. Batillerat 6

3 no ertany a (, ) en què també s anul li la derivada? f() i f() es ot alicar el teorema de Rolle. f'() 6 6 ( ) c Î (,) i Ï (,) 9. Demostra que a la funció f() se li ot alicar el teorema del valor mitjà en l interval (, ). Troba el unt c de l interval en què f (c). Troba l equació de la recta tangent a la corba en aquest unt. f'() és contínua en l interval (,) i f() ¹ f() ; er tant, es ot alicar el teorema del valor mitjà. æ Equació de la recta tangent: unt ç,, m è4 ø y + 4 f '( ) c c 4. Demostra que la funció f() és decreient en tot el seu domini. - - f '( ). L eressió de la derivada < er a qualsevol valor de ; er tant, la funció és decreient. 5. Comrova que el unt c és el unt on es verifica el teorema de Cauchy er les funcions següents f() + i g() + en l interval [, 4]. æ5 f '( ) f' ç è ø æ5 g'( ) g' ç 5 è ø æ5 f ' f(4) - f() 9 ç è ø g(4) - g() 5 5 æ 5 g ' ç - è ø. Troba els unts de la funció f() 4 que verifiquen f (). Classifica ls i eressa els intervals de monotonia i concavitat. f '( ) ± ± 4 f''() 6 æ f '' ç Mínim relatiu a > è ø æ f '' ç - < Màim relatiu a - è ø f ''() 6 Punt d infleió æ æ f() és creient: ç -,- i ç, + è ø è ø æ decreient: ç -, è ø convea: (,); còncava: (,+ ). Estudia la rimera i la segona derivada de la funció f() ln ( + ) er trobar ossibles màims o mínims relatius i unts d infleió. Vés amb comte a l hora d interretar els valors que anul len la segona derivada. - + ''( ) - + ± f ( + ) f ''() > a hi ha un mínim relatiu Els unts ± no són veritables unts d infleió ja que la funció és còncava en tot el seu domini. 4. Troba els etrems relatius i els unts d infleió de les funcions: a) f() + f '( ) + f '() ± f''() f ''() > a hi ha un mínim relatiu f ''( ) < a a hi ha un màim relatiu No hi ha unts d infleió ja que f''() ¹ Matemàtiques. Batillerat 7

4 b) f() ( ) ( ) La funció és: f() ( ) ( ). f() f '() A hi ha un mínim relatiu i absolut; és 8 el vèrte de la aràbola. c) f() e f '() e + e e ( + ) + f''() e ( + ) + e e ( + ) + f''( ) e > a hi ha un mínim relatiu i a hi ha un unt d infleió. d) f() cos amb Î[, ] f '() sin sin f ''() cos f ''() < a hi ha un màim relatiu f ''() > a hi ha un mínim relatiu f ''() < a hi ha un màim relatiu 5. Calcula els límits següents: a) b) sin - cos tg sin cos - cos sin (sin cos ) tg cos 6. Calcula els límits següents sabent que són una otència del nombre e. Cal trobar l eonent k de e k en cada cas. a) b) c) d) æ + ç + è - ø æ + ln æ ç æ + - k ln è ø ç ç. è è - øø Derivant numerador i denominador tot alicant la regla de L Hôital, sobté k. Per tant, e és el resultat. ( + é ù ln( + ) k ê ln( + ) ú ë û + e æ ç + è ø é k ê lnç + ú e e - - ë ) æ + ç è - ø æ ln ç + æ ù è ø è øû - é æ + ù k ln - ê ç ú ë è - øû - e - c) d) - cos - cos sin cos + + Acabem. Raona la continuïtat de les funcions: a) f() ln ( + ) f() ln( + ) és contínua er a tot ja que + > b) f() (sin ) e + f() (sin ) e + és contínua ja que és el roducte de dues funcions contínues. Matemàtiques. Batillerat 8

5 c) f() f() és contínua er a tot ¹. + Per a resenta una discontinuïtat asimtòtica. d) f() cos + cos f() cos + cos és contínua er ser suma de tres funcions contínues.. La funció f() + + és contínua. Elica si es ot alicar el teorema de Bolzano en algun interval. Té alguna arrel l equació f()? L eressió + + > er a tot Î R i, er tant, no es ot alicar el teorema de Bolzano i l equació f() no té ca arrel.. Dóna un raonament er tal de justificar que la funció f() talla l ei de les abscisses en un sol unt. f() ( ) f(), que és el unt on talla l ei de les abscisses; > er a tot Î R i, er tant, la gràfica no talla a ca altre unt l ei de les abscisses. 4. Estudia la derivabilitat de la funció f() + en el unt. f() + és contínua er a tot del domini: D f [,+ ) f '( ) no està definida a, er + tant, no és derivable en aquest unt. A no és derivable. 5. Demostra que f() és decreient en - tot el seu domini. ( -) - - f '( ) < ( -) ( -) del domini. er a tot Si la derivada és negativa, la funció és decreient. 6. Calcula les tres rimeres derivades de f(). Troba una eressió er a la derivada enèsima. 5 f( ) ; f '( ) - ; f ''( ) æ- 8 ( n a ; ) n a f '''( ) - ç f ( ) + n amb n è ø a n n Troba l equació de la recta tangent a la corba següent: y en el unt d abscissa. Punt de tangència: P(,); endent: m y' ( ). Equació de la recta: y - 8. Esbrina si f() és creient en tot el ( + ) seu domini. Què assa en el unt? f '( ). La derivada és ositiva i la funció és creient er a > ; és negativa i la fun- ( + ) ció decreient er a <. En el unt hi ha una discontinuïtat asimtòtica. 9. Calcula la derivada de les funcions següents: - a) y y y - 4 b) y sin tg Simlifica les eressions obtingudes. y sin tg y' cos tg + æ + sin sin + ç cos cos è ø. Raona er què la funció f() + cos no ot tenir màims ni mínims relatius. f '() sin > ja que sin i la derivada no s anul la er a ca valor de.. Classifica els ossibles etrems relatius de les funcions: a) f() sin + cos - - ' ln f '() cos sin cos sin cos sin cos cos cos ( sin ) - sin 5,,, 4 en [,] 6 6 f ''() sin 4 cos Matemàtiques. Batillerat 9

6 b) f() 4 e æ f '' ç >, a è ø hi ha un mínim relatiu æ f '' ç >, a è ø hi ha un mínim relatiu æ f '' ç >, a è6 ø 6 hi ha un màim relatiu æ5 5 f '' ç >, a è 6 ø 6 hi ha un màim relatiu f '() 4 e + 4 e ( ) e (4 ) e (4 ) 4 f ''() e (4 ) e (4 ) e f ''(), a hi ha un unt d infleió f ''(4) <, a 4 hi ha un màim relatiu c) f() f '() ± 7 f ''() 6 æ f '' > ç, a è ø hi ha un mínim relatiu æ f '' > ç, a è ø hi ha un màim relatiu. d) f() 4 f '() 4 4 ( ) - f ''() f ''() <, a hi ha un màim relatiu æ æ f '' f'' - > ç ; i ç è ø è ø hi ha màims relatius.. Troba els etrems absoluts de f() e en l interval [, ]. f( ) f '() e f() no té etrems relatius ja que e ¹, er tant, els etrems absoluts es troben en els etrems de l interval: a hi ha el mínim absolut i a el màim absolut.. Estudia la monotonia i dóna els intervals de creiement i decreiement de les funcions: a) f() f '() 6 6 > >. La funció és creient; er > la funció és decreient. (, ) i (, + ) resectivament. b) f() + sin f '() + cos ³, la funció és creient er a tot ¹ en [,] c) f() ln f '(). f() és creient (,+ ) i decreient (,). d) f() 4 És la funció de l eercici d). Arofitant els etrems relatius estab que f() és: æ æ Creient: -, i, + ç ç è ø è ø æ æ Decreient: -,- i, ç ç è ø è ø 4. Determina la concavitat i els unts d infleió de les funcions: En cada cas cal trobar els unts en els que s anul len les derivades rimera i segona. a) f() f '() i f ''() és un unt d infleió Matemàtiques. Batillerat

7 f ''( ) < hi ha un màim relaitu a æ f '' ç > hi ha un mínim relatiu a è ø f() és convea (, ) i còncava (,+ ) b) f() + f '() ; f ''() 6 és un unt d infleió de tangent horitzontal i de canvi de concavitat. f() és convea (,) i còncava (,+ ). c) f() + cos f '() sin i f ''() cos cos convea: (, ); (,) i còncava: (,) d) f() 4 f '() 4 5. Calcula. f ''() ± tenint en comte els etremes relatius de la funció trobats a l eercici d) odem establir: a) ( cos ) b) (sin ) tg És del tius e K. f() és còncava: (, ) i (,+ ) i con- 6 6 æ vea -, ç. 6 6 è ø És un it del tius e K. ln( - cos ) K ( ln( - cos ) ) sin - cos e 6 c) cos lnsin R tg lnsin sin tg cos - ln( + ) d) 4 ln e - e cos - ln( ) e + e ( )( e - e ) ln ln Determina els unts d infleió de la funció següent: f() + - f '() ( + ) - ( + ) + ( + ) 6 - f ''() 4 ( + ) ( + ) 6 ± Hi ha dos unts d infleió. e sin e - e + 7. Calcula la rimera i la segona derivada de la funció f() ( ). S anul len les dues derivades en un matei unt? Troba aquest unt i elica de quin tius és. f '() ( ) ; f ''() 6( ) Les dues derivades s anul len er a. En aquest unt hi ha una infleió de tangent horitzontal i de canvi de concavitat. 8. Considera la funció f() + + b + 7. Troba b de manera que la gràfica de la fun- Matemàtiques. Batillerat

8 ció tingui a un unt d infleió de tangent horitzontal. f '() + + b f '() 5 + b b 5 f ''() 6 + f ''( 5) ¹ i no hi ha unt d infleió. 9. Determina f() sabent que la derivada tercera és f () 4, f(), f () i f (). f() és un olinomi de quart grau ja que la tercera derivada és de rimer grau: f() a 4 + b + c + d + e f() e f '() 4a + b + c + d f '() d f ''() a + 6b + c f ''() c c f '''() 4a + 6b 4 a i b Substituint: f() Analitza la continuïtat i la derivabilitat de la funció f() si ¹ i f(). La funció resenta una discontinuïtat de salt a. No és derivable a ja que no és contínua en aquest unt.. Raona si la funció f() té alguna arrel entre i. Troba aquest valor amb una aroimació fins a les centèsimes. Aliquem el teorema de Bolzano ja que: f() ; f() i la funció és contínua. Eistei un c Î [,] tal que f(c). Utilitzant la canculadora er trobar valors numèrics de la funció er valors de de l interval, s obté com a valor aroimat Matemàtiques. Batillerat