UNIVERSIDAD DE ATACAMA

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA N 1 Profesor: Hugo S. Salinas. Primer Semestre En un ensayo de colaboración, se enviaron muestras de aceite a 25 laboratorios para determinar el nivel de cadmio (ppm). Los datos representan las mediciones informadas por cada laboratorio. Los laboratorios usan uno de dos métodos A (clásico) y B (nuevo). Método A: Método B: a) En término medio, Cuál es el nivel de cadmio de los métodos A y B?. Sean A y B las medias muestrales de los métodos A y B, respectivamente. Entonces A 13 i1 A i y B 12 i1 B i Por lo tanto, el nivel medio de cadmio para A y B son ppm y 5.5 ppm, respectivamente. b) Determinar el método que tiene los niveles de cadmio más parejos. Justificar la respuesta. Sean SA 2 y S2 B las varianzas muestrales de los métodos A y B, respectivamente. Entonces S 2 A 13(A2 A 2 ) y 2 B 12(B2 B 2 ) Luego las desviaciones estándar muestrales son S A 6.06 y S B Con esto podemos calcular los coeficientes de variación de ambos métodos: CV A S A A y CV B S B B Por lo tanto, el método A es más homogéneo. CORRECCIÓN PRUEBA 1 1

2 c) Construir un box-plot para cada método (en un sólo gráfico). Identificar todos sus componentes. Comentar sobre asimetrías, variabilidad y anomalías. Componentes: Método A: Min 3, Max 26, Q 1 9, Q 2 14 y Q Límites admisibles: LI 0 y LS 24. Método B: Min 1, Max 12, Q 1 3.5, Q 2 5 y Q Límites admisibles: LI 2.5 y LS Asimetría: En ambos casos se observan asimetrías. En el método A se la distribución es sesgada a la izquierda y en el método B la distribución sesgada a la derecha. Datos anómalos: En el método A hay un dato anómalo superior (el máximo). En el método B no hay dato outliers. Variabilidad: Se observa mayor variabilidad en el método A que en el método B. d) Al no diferenciar por tipo de método, se observan asimetría y/o anomalías?. Justificar la respuesta. CORRECCIÓN PRUEBA 1 2

3 Primero ordenamos los datos sin diferenciar por tipo de método, es decir: Anomalías: No hay anomalías porque los límites admisibles para todos los datos están dados por: LI 4.5 (1.5)( ) 10.5 y LS (1.5)( ) Asimetría: En este caso los datos siguen una distribución sesgada a la derecha. 2. Sean E y F dos sucesos tales que P (E) 0.25, P (F E) 0.5 y P (E F ) Con esta información y utilizando los axiomas de probabilidad correspondientes, decir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: a) E y F son independientes. Es cierto. En efecto, E y F son independientes, pues: P (E F ) P (E)P (F E) (0.25)(0.5) 0.125, P (E F ) P (E)P (F E) P (F )P (E F ) (0.25)(0.5) P (F )(0.25) P (F ) 0.5, y Otra forma: P (E)P (F ) (0.25)(0.5) P (E F ) P (E) 0.25 E y F son independientes. b) E y F son independientes. Es cierto. En efecto, E y F son independientes, pues: P (E F ) P ((E F ) ) 1 P (E F ) 1 [P (E) + P (F ) P (E F )] , y P (E )P (F ) (1 0.25)(1 0.5) (0.75)(0.5) c) E y F son mutuamente excluyentes. No es cierto que E y F sean mutuamente excluyentes, ya que: P (E F ) P (E)P (F E) (0.25)(0.5) CORRECCIÓN PRUEBA 1 3

4 d) P (E F ) 0.5. No es cierto ya que: P (E F ) P (E F ) P (F ) P (E )P (F ) P (F ) P (E ) (1 0.25) 0.75 e) P (E F ) + P (E F ) 1 Es cierto ya que: P (E F ) + P (E F ) Dos profesores de la Universidad de Atacama comparten una oficina con un solo teléfono. Han comprobado que el 45 % de las llamadas recibidas son para el profesor A y el resto para el profesor B. Dos de cada cinco llamadas que recibe el profesor A son externas y las otras tres son llamadas realizadas desde la misma Universidad. El profesor B recibe cuatro de cada seis llamadas desde la Universidad y el resto externas. a) Definir los eventos de interés y asociarlos con los datos del problema. Sean E : se recibe una llamada externa en la oficina. L A : el profesor A recibe una llamada. L B : el profesor B recibe una llamada. De los datos se tiene P (L A ) 0.45, P (L B ) 0.55, P (E L A ) 2/5 y P (E L B ) 2/6. b) Calcular la probabilidad de que se reciba en la oficina una llamada externa. Como dicha llamada puede ir dirigida al profesor A o al profesor B, hay que aplicar el teorema de la probabilidad total. De acuerdo a lo anterior, P (E) P (L A )P (E L A ) + P (L B )P (E L B ) 0.45(2/5) (2/6) c) Sabiendo que se ha recibido una llamada realizada desde la Universidad en la oficina, qué probabilidad hay de que fuera dirigida al profesor A? Las llamadas que se reciben en la oficina se están haciendo desde la Universidad o son externas, por tanto podemos llamar E : se recibe una llamada desde la Universidad. La probabilidad pedida aquí es la probabilidad condicional P (L A E ), para la que hay que usar la fórmula de Bayes P (L A E ) P (L A E ) P (E ) P (L A)P (E L A ) P (E ) 0.45(3/5) (9 ptos.) CORRECCIÓN PRUEBA 1 4

5 4. En la serie mundial de béisbol, dos equipos A y B juegan una serie de partidos uno contra otro y el primer equipo que gana un total de tres partidos es el ganador de la serie mundial. Si la probabilidad de que el equipo A gane un partido contra el equipo B es 1/3. a) Describir el espacio muestral de este experimento. El espacio muestral gráficamente: o de la misma manera todas las combinaciones que están en el árbol: Ω {AAA, AABA, AABBA, AABBB,..., BBB} donde Ω posee 20 elementos. b) Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie mundial? Sea S : el equipo A gana el mundial (3 ptos.) P (S) P ({AAA} {AABA} {AABBA} {ABAA} {ABABA} {ABBAA} {BAAA} {BAABA} {BABAA} {BBAAA}) (1/3) 3 + 3(1/3) 3 (2/3) + 6(1/3) 3 (2/3) Es decir, hay un 21 % de posibilidad que A gane el mundial. (6 ptos.) c) Si la probabilidad de que el equipo A gane cualquier partido es α (0 < α < 1). Cuál es la probabilidad de que sea necesario jugar los cinco partidos para determinar al ganador de la serie? CORRECCIÓN PRUEBA 1 5

6 Sea T es necesario jugar 5 partidos para determinar el ganador de la serie mundial P (T ) P ({AABBA} {AABBB} {ABABA} {ABABB} {ABBAA} {ABBAB} {BAABA} {BAABB} {BABAA} {BABAB} {BBAAA} {BBAAB}) 6α 3 (1 α) 2 + 6α 2 (1 α) 3 6α 2 (1 α) 2 (α + 1 α) 6α 2 (1 α) 2 d) Si la serie termina en el cuarto juego, cuál es la probabilidad de que el ganador sea el equipo B? Sea C : la serie termina en el cuarto juego. P (S C) P (S C) P (C) P ({ABBB} {BABB} {BBAB}) P ({AABA} {ABAA} {ABBB} {BAAA} {BABB} {BBAB}) 3α(1 α) 3 3α(1 α) 3 + 3α 3 (1 α) 3α(1 α) 3 3α(1 α)[(1 α) 2 + α 2 ] (1 α) 2 (1 α) 2 + α 2 CORRECCIÓN PRUEBA 1 6