Estudiando Trigonometría

Transcripción

1 La idea es relacionar los segmentos de un triángulo rectángulo cualquiera con sus respectivos ángulos interiores de modo que tras un tiempo se generalice a cualquier situación def.: Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la ipotenusa a + b = c Definición: Se llamarán como se indican a las siguientes razones: seno cateto opuesto ipotenusa cateto adyacente ipotenusa ( = coseno( = tan gente( Ejemplificación cateto opuesto = cateto adyacente Del mismo modo se definen Hipotenusa Cosecante( = Cateto Opuesto Hipotenusa Cateto Adyacente 5 sin ( α = 1 1 cos( 1 5 tan ( 1 1 sen( β = 1 cos 5 β = 1 tan 1 β = 5 α = ( α = ( Secante( = Cotangente( Cateto Adyacente = Cateto Opuesto 1

2 Ejercicios: complete cada uno de los triángulos rectángulos y determine las razones trigonométricas correspondientes Casos particulares Al analizar el caso de un triangulo equilátero, de lado unitario, tal que una altura lo descomponga en dos triángulos rectángulos, tendremos un cateto de medida ½ y una ipotenusa de lado 1. Basado en el ello, al aplicar el teorema de Pitágoras llegaremos a que el valor buscado corresponde a lo siguiente x x x 1 + = = = 1 4 x = x = 4 Por ende se podrá completar fácilmente la tabla de asignación para seno, coseno y tangente 1 sin ( 0 = sen (60 = cos(0 = 1 cos( 60 = tan ( 0 = 1 tan ( 60 =

3 Aplicando la misma estrategia para un cartabón, las respectivas razones para 45 se simplifican de la siguiente forma x + x = 1 x = 1 1 x = 1 x = = Luego La tabla se podra ampliar de la siguiente forma 1 ( = sin ( 45 sin 0 cos(0 = 1 = cos(45 tan 45 1 sen (60 = 1 cos 60 = = ( ( = ( = ( tan 0 tan 60 = Grafica de las funciones Trigonométricas Si analizamos el comportamiento de los catetos de un triangulo rectángulo tal que uno de sus vértices este asociado al centro de la misma y el otro a la circunferencia, tendremos una estructura tal que la ipotenusa del mismo corresponde al radio. Si la consideramos unitaria el proceso será el siguiente: La línea de color azul representara el cateto opuesto, entonces al dividir su medida por el valor de la ipotenusa (1 el valor obtenido será equivalente al seno del ángulo. Del mismo modo la línea de color rojo representara al cateto adyacente, luego su medida representara la medida del coseno del ángulo.

4 Graficando dicas línea se puede obtener fácilmente las graficas α 4

5 Aplicaciones Cuanto mide la altura del árbol, sabiendo que su sombra a cierta ora del día es de 1 metros? Sabemos que los segmentos relacionados son los catetos opuesto y adyacente, luego, la razón trigonométrica a usar es la tangente del ángulo. Si llamamos a la altura de dico árbol, la razón se escribirá de la siguiente forma 1 metros Entonces ( tan 0 = 1 1 = 1 tan(0 = = 4 Un tablón de 15 metros esta apoyado con el borde de una muralla. Sabiendo que la bases del tablón y del muro se encuentra a metros de distancia. Cuánto mide el alto dica muralla? En este caso tenemos una relación entre el cateto adyacente y la ipotenusa, pretendiendo encontrar el cateto opuesto. Claramente lo podemos resolver usando el teorema de Pitágoras, pero usaremos una relación trigonométrica para plantearlo Sabemos que 15 α = 15 + cos = 1 sen( α = y que cos( Y sabemos que sen ( α ( α Entonces + = = = =

6 Desde un acantilado se ve un barquito flotando en el mar, con un ángulo de declinación de 0. Sabiendo que el observador se encuentra a 80 metros de altura en relación al nivel del mar. A que distancia se encuentra el barco? Si la distancia proyectada desde el punto del observador sobre el suelo tendremos dos catetos para trabajar 0 luego Luego tg ( 0 80 = d 80 d = tg ( 0 80 metros Desde de una cierta distancia se observa una cruz en la cima de un cerro. Sabiendo que dica cruz mide exactamente 0 metros de altura. Cuál es la altura del cerro? Relacionando tg + 0 d ( 45 = y tg ( 5 = d Despejando de la primera expresión Altura ( ( d tg 45 = + 0 = d tg Y de la segunda Igualando ( 45 0 d tg( 5 ( 45 d tg( 5 0 ( 45 ( 5 0 d tg = d tg = d tg tg = 0 d = tg ( 45 tg ( 5 ( 5 = d tg entonces, bastará reemplazar en la segunda relación ( 5 = d tg 0 = tg tg ( 45 tg ( 5 ( 5 6

7 Estudiando Trigonometría Dos observadores notan un platillo volador sobrevolando, con siniestras intenciones, el centro de Santiago. Ambas personas se comunican por celular y confirman su posición, lo cual les da como dato que están separados por 6 kilómetros, y los respectivos ángulos de elevación con que notan dica amenaza. A qué altura se encuentra? 6000-X X X Sabemos que las relaciones se basan en los catetos mostrados en la figura. Por ende al aplicar las tangentes pertinentes tendremos que tg(40 = 6000 x y tg(60 = x Entonces, despejando e igualando tendremos que ( 6000 x tg(40 = x tg( tg(40 x tg(40 = x tg( tg(40 = x tg(60 + x tg(40 [ ] 6000 tg(40 = x tg(60 + tg( tg(40 x = tg(60 + tg(40 Por ende, evaluando en la expresión tg(60 = tendremos = x tg(60, por ende x 6000 tg(40 = tg(60 tg(60 + tg(40 7

8 Estudiando Trigonometría Desde tres puntos alejados entre si, tres observadores se sorprenden al notar un impresionante bico en el cielo. Dos de ellos saben exactamente a que distancia se encuentran y, afortunadamente, todos pueden medir el ángulo de elevación en que se encuentra el fenómeno a b A qué distancia se encuentran entre si y a qué altura sobrevuela la misteriosa ave? Por tangentes se observa que tg ( 0 = 10 + a+ b tg a b ( 40 = tg ( 50 + = b Despejando en cada una de ellas se llega a tg ( 0 = 10 + a+ b = + a+ b tg ( 10 ( 0 ( ( ( = 10 tg 0 + a tg 0 + b tg 0 De la segunda expresión Y de la tercera ( ( 40 = a+ b tg ( 40 ( 40 = a tg + b tg ( 50 = b tg 8

9 Igualando convenientemente en pares de estas ecuaciones se llega a un sistema. ( ( ( ( ( 10 tg0 + atg 0 + btg 0 = atg 40 + btg 40 El cual, al ser ordenado se simplifica en lo siguiente Despejando Ordenando ( ( ( ( ( 10 tg0 + atg 0 + btg 0 = atg 40 + btg 40 ( ( ( ( ( 10 tg 0 = a tg 40 + b tg 40 a tg 0 b tg 0 ( ( ( ( ( 10 tg 0 = a tg 40 a tg 0 + b tg 40 b tg 0 Lo cual queda como ( ( ( ( ( 10 tg 0 = a tg 40 tg 0 + b tg 40 tg 0 De otro par tendemos un desarrollo similar Ordenando se tendrá que ( 40 ( 40 ( 50 atg + btg = btg ( ( ( 0= atg 40 + btg 50 btg 40 Y factorizando ( ( ( 0= a tg 40 + b tg 50 tg 40 Ordenando estas ideas en un sistema tendremos que ( 40 ( 0 ( 40 ( 0 10 ( 0 ( 40 ( 50 ( 40 0 a tg tg + b tg tg = tg a tg + b tg tg = Si aplicamos el método de reducción en torno a la variable a tendremos lo siguiente ( 40 ( 0 ( 40 ( 0 10 ( 0 ( 40 ( 50 ( 40 0 atg ( 40 ( 40 ( 0 a tg tg + b tg tg = tg atg + b tg tg = tg tg 9

10 Es decir a tg 40 tg 0 tg 40 + b tg 40 tg 0 tg 40 = 10 tg 0 tg 40 ( ( ( ( ( ( ( ( ( 40 tg ( 40 tg ( 0 ( 50 g ( 40 tg ( 40 tg ( 0 0 atg + b tg t = Lo cual se reduce a Entonces ( 40 ( 0 tg ( ( 0 tg ( 40 ( 50 tg ( 40 tg ( 40 tg ( 0 0 b tg tg = tg b tg = Adicionando ambas ecuaciones ( 40 ( 0 tg ( ( 0 tg ( 40 ( 50 tg ( 40 tg ( 40 tg ( 0 0 b tg tg = tg b tg = ( 40 ( 0 tg ( 40 ( 40 ( 0 tg ( 40 = 10 tg ( 0 tg ( 40 b tg tg + b tg tg Factorizando por b { ( 40 ( 0 tg ( 40 + ( 40 g( 0 tg ( 40 } = 10 tg( 0 tg ( 40 b tg tg tg t Despejando b Reduciendo 10 tg ( 0 tg ( 40 ( 40 ( 0 tg ( 40 + tg ( 40 tg ( 0 ( 40 b = tg tg tg b = t g 4 10 tg ( 0 tg ( 40 ( 0 tg ( 0 tg ( 40 Simplificando Se tendrá que b = 5 10 tg 0 tg 40 ( ( tg ( 40 tg ( 0 tg ( 40 b = tg 5 tg ( 0 ( 40 tg ( 0 10

11 Reemplazando este valor en cualquiera de las otras ecuaciones, como por ejemplo la segunda, se llegará a que ( 40 ( 40 ( 50 atg + btg = btg Reemplazando 5 tg ( 0 5 tg ( 0 atg ( 40 + tg( 40 = tg 50 tg ( 40 tg ( 0 tg ( 40 tg ( 0 Ordenando Reduciendo Y despejando Y el valor de? tg ( ( ( tg ( ( ( ( atg ( 40 = tg( 50 tg 40 tg 40 tg 0 tg 40 tg 0 ( 5 tg ( 0 ( 40 tg ( 0 ( ( 0 atg 40 = 50 4 tg tg tg a = tg 5 tg ( 0 ( 40 tg ( 0 tg ( 50 tg ( 40 tg ( 40 Bastará reemplazar en la ecuación más simple b tg( 50 = b tg( 50 5 tg ( 0 = tg( 50 tg ( 40 tg ( 0 Complicado? Trabajemos con números. Eso le simplificará la idea. Veamos el sistema, pero evaluando las expresiones =, es decir a tg tg + b tg tg = tg 0,890 0,577 0,890 0,577 0,577 ( 40 ( 0 ( 40 ( 0 10 ( 0 0,617 0,617 a tg ( 40 + b tg ( 50 tg ( 40 = 0 0,890 1,1917 0,890 0,56 ( 11

12 Es decir Estudiando Trigonometría 0,617 a + 0,617 b= 5,77 0,890 a+ 0,56 b= 0 Lo encontró más simple? Precisamente ese es el punto. Usted puede desarrollar las ideas en forma ordenada y llegar a conclusiones interesantes sólo si mantiene un orden en su proceso. El objetivo de esta técnica de estudio es precisamente invitarlo a plantear las estrategias necesarias para relacionar los segmentos en su libre albedrío. Usted a de decidir como resolver y, por ende, la aplicación de las erramientas en una forma de definir su procedimiento personal. 1

13 Algunos ejercicios Ejercicio nº 1.- a. Calcula x e y en el triángulo: b. Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos α y β Ejercicio nº.- Sabiendo que 0 < α < 90, completa la siguiente tabla usando las relaciones fundamentales: sen α 0,8 cos α tg α 0,75 Ejercicio nº.- Carlos sube por una rampa de 5 m asta el tejado de su casa. Estando aí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70. Calcula la altura de la casa de Carlos y el ángulo que ay entre la rampa y el suelo. Ejercicio nº 4.- Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente: Ejercicio nº 5.- Hallar la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 0. 1

14 Ejercicio nº 6- La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40. Calcula el perímetro y el área del triángulo. Ejercicio nº 7.- Hallar las razones trigonométricas de los ángulos α y β del triángulo ABC sabiendo que es rectángulo. Ejercicio nº Calcular el sen(α y cos(α de un ángulo agudo,α, sabiendo que tg α = Ejercicio nº 9.- Un tronco de 6, m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55 º. a. A qué altura de la pared se encuentra apoyado? b. Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco asta la pared. Ejercicio nº 10- Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa: 14

15 Ejercicio nº 11- Estudiando Trigonometría Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m. a la misma ora que un árbol de 1 m. proyecta una sombra de 4 m. Sol: 49 m Autoevaluación 1. Los valores según la figura de sen α, cos α y tg α, respectivamente son: a b c d e 4 4, y , y , y , y , y 5 5. De acuerdo al esquema I Determinar el valor de x, redondeando al entero. a 5,9 b 5,8 c 6 d 5,58 e 6,1 II Determinar la altura del edificio redondeando a dos cifras decimales a 1,44 b 1,45 c 1 d 1,4 e 1,5 15

16 . Los catetos del siguiente triángulo miden a = 8 cm. y c = 4 cm. Encontrar todos los valores que faltan a α = 90º, β =5º, b = 18 cm b α = 18,4º, β =71,56º, b = 5,9 cm c α = 18,4cm, β =71,56cm, b = 5,9º d α = 71,56º, β =18,4º, b = 5,9 cm e α = 5,9º, β =18,4º, b = 71,56 cm 4. Calcular el largo de la sombra que proyecta un edificio de 150 m de alto cuando el sol se encuentra a 0º por encima del orizonte. a,84 cm b,84 m c 50 cm d 59,81 m e 59,81 cm 5. Desde lo alto de un faro de 10 m sobre el nivel del mar, el ángulo de elevación desde un bote es de 15º. A qué distancia está el bote del faro? a 447,84 cm b 447,84 m c 447 cm d 447m e 446 m 16

17 6. En la azotea de un edificio se instala una torre de transmisión de ondas de la radio USACH de m de alto. Desde la cumbre de la torre se dirige una visual a un punto P del suelo situado a una cierta distancia a la pared del edificio obteniéndose un ángulo de depresión de 48º. A su vez desde la azotea del edificio la visual para el mismo punto P se obtiene con un ángulo de depresión de 5º. Determinar la altura del edificio y la distancia del punto P a la pared de este mismo. a = 54,55m; d =77,9m b = 54,55cm; d =77,9cm c = 77,9m; d =54,55m d = 77,9cm; d =54,55cm e = 77m; d =54m P 48 5 d 7. Dado el triángulo DEF, rectángulo en F, encontrar las medidas del ángulo ε a ε = 90º b ε = 180º c ε =45º d ε =60º e ε =40º 8. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B, la ipotenusa vale 15 cm. y ACB = 0º. Calcular α, a y c a α =70º c = 5,1cm a = 14,09cm b α =70º c = 14,09cm a = 5,1cm c α =90º c = 5,1cm a = 14,09cm d α =70º c = 5,1m a = 14,09m e α =70º c = 5,1m a = 14,09m 17

18 ITEM : DESARROLLO Estudiando Trigonometría 1. Dado el triángulo rectángulo ABC: A a Hallar c b Hallar a 4 cm c 9 C a B. Dado el triángulo rectángulo EFG allar el ángulo EFG. 1. Si sen α = allar el valor de 5 a cos α b tan α c cot gα 4 9 sec α 1 18

19 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: ( Teorema Seno y Coseno 1. Dos vigilantes de incendios están ubicados en sus torres A y B. Ambos divisan fuego en un punto C. Si las torres de observación están a 1,5 Km. una de la otra. Cuán lejos se encuentra el fuego de la Torre A? 46. Un ombre observa la altura de una torre de alta tensión de 10 metros de altura. Si el ángulo de elevación del sol en relación al observador es de 0, calcular la distancia entre el ombre y la torre. 95. Hasta la cima un risco de 60 metros de altura sobre el nivel del mar el ángulo de elevación desde un bote de pesca es de 15. Cuán lejos de la base del risco se encuentra el bote? 4. Un octágono regular se inscribe en una circunferencia de radio 10 cm. Calcular el perímetro del octágono. 19

20 ITEM: SELECCIÓN MULTIPLE Estudiando Trigonometría 1. En el triángulo rectángulo ABC de la figura, se tiene que c=5 cm y = cm. Con respecto a él, no es verdad que: a sen α = cos β B b cos α = 0,6 β c cos β = 0,8 c d tan α = 1, a e cosec α = 1,5 α C A. En el triángulo ABC, rectángulo en C, el valor de tan α + tan β, en función de los lados es: a c ab c a bc b ab c d b ac e c ab. Encuentra la altura del árbol de la figura adjunta sabiendo que tg(β = 4 1 a 8 m b 6 m c /8 m d 8/ m e 4 m β 4 m 0

21 4. Cuál de los siguientes valores no puede corresponder a sen α? a b 0,9 c 0,6 d e 5. Al reducir al primer cuadrante sen 160 se obtiene: a sen 0 b sen 0 c cos 70 d cos 0 e Ninguna de las anteriores. 6. Es un ejemplo de identidad trigonométrica: a sen α + cos α = -1 b sen - cos α = -1 c sen α = cos α d sec α = 1 cosα e tg α = 1 + sec α 7. El valor de tangente 15 es: a 1 b 1 c 0 d e otro valor 8. Sabiendo que tanα + tan β tan( α + β =, entonces tan 105 =? 1 tanα tan β a b c 1+ d 1 e + 1

22 9. Un barco se encuentra frente a un acantilado de 954 metros sobre el nivel del mar. Al dirigir la visual desde la proa del barco asta la cumbre del acantilado se obtiene un ángulo de elevación de 5 0. Entonces el barco se encuentra de la orilla aproximadamente a : a 455 m b 440 m c km d 0,9 km e otro valor 10. Si x = cosα, y = sen² α, entonces la expresión x ² + y equivale a: a 1 b c 4 d 6 1 e ITEM : DEMOSTRACIONES Demuestra las siguientes identidades: a cos α senα senα + = c osec α b tg α ( sen α + cot g α cos α = secα cosα 1+ senα c = 0 1 senα cosα Pregunta inocente. Qué opinas de agregar Identidades, Teorema del Seno, Teorema del coseno Teorema de la tangente Razones de ángulos dobles, medios o múltiplos Razones de suma y/o diferencia de ángulos Teorema de Moivre?