PRIMER CONCURSO NACIONAL

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1 PRIMER CONCURSO NACIONAL P R O Y E C T O S D E I N N O V A C I O N D E P R A C T I C A L A E D U C A T I V A Y D E C A P A C I T A C I O N P A R A J O V E N E S Y A D U L T O S (CATEGORIA A ) PROPUESTA: PROPIEDADES EN LAS AREAS DE POLIGONOS. DATOS DEL PARTICIPANTE: NOMBRE: JOSE OUDINI ESPINOSA SALGADO PUESTO: TECNICO DOCENTE, EN INEA. DOMICILIO: CALLE 2-PONIENTE No. 3. HUAMUXTITLAN, GRO.

2 PRESENTACION: Deseo expresar con toda sinceridad, que esta Propuesta, no la he visto en algún Documento o en cualquier otro tipo de Información (Oral, escrita, por Internet, etc). Por lo que es considerada como una innovación. Tal vez, haya sido presentada por otro autor, pero aclaro que Su Servidor, no he encontrado esta información en Documentos de Matemáticas. También deseo comentar que expuse esta Propuesta a los siguientes distinguidos Matemáticos, quienes pertenecen al Centro de Actualización del Magisterio, en el Distrito Federal, laborando en el Área Académica de Matemáticas: C. Profesor Marco Antonio García Juárez., autor de varios documentos sobre esta Especialidad. C. Profesor José Maria Maldonado Bernal. C. Profesor Javier Mercado Gómez. Cualquier comentario, duda, sugerencia o crítica las recibiré con gusto. Pueden dirigirse a la Coordinación de Zona 1204, con sede en Tlapa de Comonfort, Guerrero; o también al teléfono (01-747) ATENTAMENTE: C. JOSE OUDINI ESPINOSA SALGADO TECNICO DOCENTE

3 CASO 1: NUEVA FORMULA PARA CALCULAR EL AREA DE POLIGONOS REGULARES.. Sabemos que, un polígono regular, es una figura plana, geométrica y simétrica, que se puede y se debe inscribir en un circulo. Para calcular el área de esta figura, sabemos que: ( Perímetro) ( apotema ) ( P ) ( a ) Fórmula conocida: A = = Esta fórmula es falsa, ya no debe existir, ES INCONSISTENTE. BASES: El área no debe estar en función de estas dos variables ( P, a), sino solamente una de las dos, porque el polígono es regular y depende también del círculo en que se encuentra inscrito. ACTIVIDAD: Se solicita a los Educandos, que traten de construir dos pentágonos regulares (Ver figuras siguientes). 1.- Medidas: Perímetro = 10 cm., apotema = 5 cm. 2.- Medidas: perímetro = 25 cm., apotema = 2 cm. Como se observa, las figuras construidas, no son polígonos regulares: El Perímetro y el apotema no son variables independientes entre si, sino que una depende de la otra! FIGURA 1:?? HOJA 1 DE 9

4 FIGURA 2:? PROCEDIMIENTO ALGEBRAICO Y GEOMETRICO PARA OBTENER LA NUEVA FORMULA: Supongamos que tenemos un polígono regular, el cual se debe inscribir en una circunferencia: HOJA 2 DE 9

5 Debemos utilizar una de las funciones trigonometricas, en este caso, la función tangente, la cual se indica de la siguiente forma: Donde: Tan A = Tan ( ) A = ángulo en grados. 2 ( N ) A = / N = Giro completo (en grados). N = Numero de lados. Supongamos que Lado = Valor conocido. Debemos saber que h = altura del triangulo (también se le podría llamar apotema del polígono), este valor se calcula por la función tangente: Tan (A) = ( L / 2 ) / h.(despeje) h = ( L / 2 ) / tan (A) Se calcula primero el área del triángulo (AT). Se sustituye h: ( L ) (L / 2 ) / tan (A) L 2 AT = ( L ) ( h ) / 2 = = ( 4 ) ( tan A ) Por último, se multiplica por N (Número de lados) y se obtiene el área del polígono (AP): Donde: ( N ) ( L 2 ) A = ángulo en grados. AP = ( 1 ) (4 ) ( tan A ) = / N tan A = función tangente. HOJA 3 DE 9

6 CASO 1.1. CONOCIENDO EL RADIO. Si por alguna razón, el Profesor o Instructor preguntara a los Educandos: Se puede calcular el área de un Polígono regular especifico, si se conociera solamente la abertura del compás, que representa al radio (R) del circulo en el que se encuentra inscrito dicho polígono? La respuesta es: Sí se puede: Lo único que se necesitaría es sustituir la variable L utilizando la función sen (A), esto es: Sen (A) = ( L / 2 ) / R.. (Despejar L) L = 2 (R) sen (A) Ahora, se sustituye en la Fórmula anterior: N( R 2 ) ( sen 2 A) AP = ( 2 ) Tan (A) CASO 2: El cuadrado también es un polígono regular, por lo que las Fórmulas 1 y 2 son válidas para calcular el área de los cuadrados y el resultado es el mismo que la formula conocida: AREA = LADO X LADO. ACTIVIDAD: Se pide a los Educandos que comprueben la Fórmula Nueva para calcular el área de varios cuadrados. CASO 3: NUEVA FORMULA PARA CALCULAR EL AREA DE UN TRIANGULO EQUILATERO. La fórmula conocida AT = ( L ) ( h ) / 2. no se debe aplicar para este caso, porque al igual que un polígono regular: la base y la altura no son variables independientes entre si, sino que una depende de la otra. Se puede aplicar el Teorema de Pitágoras o también se puede aplicar la Formula General para polígonos regulares. FORMA 1: Utilizando el concepto del Teorema de Pitágoras: L 2 = h 2 + L 2 / 4 (Despeje) h 2 = L 2 - L 2 / 4 = 3 L 2 / 4 Se sustrae raíz cuadrada y se sustituye en AT: ( L ) ( 3 ) 1/2 ( L 2 / 4 ) ½ ( 3 ) 1/2 ( L 2 ) AT = = HOJA 4 DE 9

7 FORMA 2: También se puede aplicar la Nueva Formula, recordando que un triángulo equilátero es un polígono regular. Tenemos que: N = 3 y A = / N, entonces: tan (A) = tan 60 0 Se sustituye en la Nueva Fórmula, y se obtiene el mismo resultado que en la FORMA 1. ACTIVIDAD: El Instructor puede dejar ejercicios a los educandos. CASO 3.1. CONOCIENDO EL RADIO. Si por alguna razón, el Profesor o Instructor, preguntara a los Educandos: Se puede calcular el área de un triángulo equilátero, si solamente se conociera la abertura del compás, que representa el radio ( R ) del círculo en el que se encuentra inscrito dicho triángulo, pero, sin tener que utilizar funciones trigonométricas? La respuesta es: Sí se puede. ACTIVIDAD: El Educando puede intentar resolver este caso, llegará al siguiente resultado: 3 ( 3 ) 1/2 ( R 2 ) AT = CASO 4: DEMOSTRACION GEOMETRICA DEL TEOREMA DE PITAGORAS, MEDIANTE AREAS DE CUADRADOS Y TRIANGULOS. Todos los que sabemos Matemáticas, conocen este Teorema, el cual dice: En todo triangulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En forma aritmética (como ejemplo) se puede demostrar así: ( 3 cm) 2 + ( 4 cm) 2 = ( 5 cm) 2 9 cuadritos + 16 cuadritos = 25 cuadritos. Como ejemplo geométrico, podemos expresarlo así: La suma de las áreas de dos cuadrados pequeños (pueden ser iguales o diferentes) es igual al área de un cuadrado mas grande : Supongamos que los dos cuadrados pequeños se puedan dividir en dos triángulos rectángulos, así podemos enunciar el Teorema de la siguiente forma: Si dos cuadrados se dividen, cada uno, en dos triángulos iguales, la suma de las áreas de esos cuatro triángulos rectángulos es igual al área de un cuadrado. Podemos demostrar esta igualdad, suponiendo que los cuatro triángulos sean iguales, para facilitar la construcción del cuadrado. HOJA 5 DE 9

8 ACTIVIDAD: 1. Se solicita a los Educandos que consigan una cartulina. 2. Se les pide que dibujen dos cuadrados iguales, de cualquier tamaño. 3. Dividir ambos cuadrados, en dos triángulos iguales. 4. Recortar los cuatro triángulos (deben ser iguales). 5. Formar un cuadrado más grande. CASO 5: DEMOSTRACION DE LA IGUALDAD DE FORMULAS PARA CALCULAR EL AREA DE CUALQUIER TRIANGULO. Existe una fórmula para calcular el área de cualquier triángulo diseñada por el Matemático griego Heron que se expresa como: AT = ( S ( S-A )( S-B )( S-C ) ) 1/2 Donde: S = Semiperimetro. S = ( A + B + C ) / 2 A, B, C = Lados del triangulo. ( ) 1/2 = raíz cuadrada. Queremos demostrar que esta función es igual a la que ya es conocida: ( AT = L X h / 2 ). Para esto, consideraremos tres casos: HOJA 6 DE 9

9 CASO 5.1 PARA UN TRIANGULO EQUILATERO: Debemos saber que: A = B = C ( Tres lados iguales): Llamemos un lado unico ( B ). Sustituimos: S = (B + B + B ) / 2 = 3B / 2 y AT = ( (3B / 2 ) ( 3B / 2 B ) 3 ) 1/2 ( ( 3 B ) ( B ) 3 ) 1//2 ( 3 ) ½ ( B 2 ) AT = = ( 16 ) 1/2 4 Por otro lado, tenemos que: B X h AT = ( Se sustituye h, utilizando el T. Pitágoras) B ( 3 B 2 ) 1/2 ( 3 ) ½ ( B 2 ) AT = = ( Demostrado ). 2 ( 2 ) 4 HOJA 7 DE 9

10 CASO 5.2 PARA UN TRIANGULO ISOSCELES. A A B Sabemos que A = C (Dos lados iguales) A + A + B 2A + B S = = Se sustituye en la Formula y se desarrolla algebraicamente, llegando al siguiente resultado: ( 4 A 2 - B 2 ) 1/2 ( B ) AT = Por otro lado, tenemos: B X h AT = (Se sustituye h, utilizando el T. Pitágoras). B ( 4A 2 B 2 ) 1/2 ( 4 A 2 - B 2 ) 1/2 ( B ) AT = = ( 2 ) 4 (Demostrado) HOJA 8 DE 9

11 CASO 5.3 PARA UN TRIANGULO RECTANGULO: A C A B C Consideraremos dos triángulos rectángulos, formando un triángulo isósceles, para facilitar el desarrollo algebraico. Tenemos: (2 A ) ( B ) 2 AT = = A B 2 Por el Teorema de Pitágoras: B = ( C 2 - A 2 ) 1/2 Por otro lado: 2 A + 2 C S = = A + C 2 Se sustituye en la Fórmula de Herón: 2 AT = (( C + A ) ( C A ) ( A ) ( A )) 1/2 = ( A 2 ) 1/2 ( C 2 A 2 ) 1/2 2 AT = A ( C 2 A 2 ) 1/2 (Demostrado) HOJA 9 DE 9