Universidad de Extremadura. INSTITUTO DE CIENCIAS DE LA EDUCACION

Transcripción

1 Universidad de Extremadura. INSTITUTO DE CIENCIAS DE LA EDUCACION El estudio de la estructura cognitiva de alumnos a través de Redes Asociativas Pathfinder. Aplicaciones y posibilidades en Geometría. Memoria presentada para optar al grado de Doctor por D. Luis M. Casas García Dirigida por el Doctor D. Ricardo Luengo González

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3 D. Ricardo Luengo González, Catedrático EU de la Universidad de Extremadura (Area Didáctica de las Matemáticas) Informo que la memoria " El estudio de la estructura cognitiva de alumnos a través de Redes Asociativas Pathfinder. Aplicaciones y posibilidades en Geometría" realizada por el doctorando D. Luis M. Casas García bajo mi dirección, cumple, en mi opinión, los criterios de calidad necesarios para que el doctorando pueda optar el Título de Doctor. Y para que conste, en cumplimiento de la legislación vigente y a los efectos a que haya lugar, firmo el presente en Badajoz a dos de Septiembre de dos mil dos. Fdo.:Dr D. Ricardo Luengo González

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5 Agradecimientos: En primer lugar, al Director de esta Tesis, el Dr. D. Ricardo Luengo González, quien no sólo en el periodo de realización de la misma, sino durante otros muchos años, ha sido la persona que me ha ido guiando en la investigación y el estudio. Él y D. Cipriano Sánchez Pesquero, han sido además, los amigos con los que he compartido muchos proyectos y discutido muchas ideas en torno a nuestro común interés: la Educación. A mis colegas de la Sociedad Extremeña de Educación Matemática "Ventura Reyes Prósper" y los profesores de los Centros participantes en este estudio. Su profesionalidad e interés me han permitido llevar a cabo la parte para mí mas importante del trabajo: la experiencia con los alumnos. A Milagros, mi esposa, la compañera que me ha apoyado tantas veces y que tantas veces ha disculpado el tiempo que le robaba a ella, a mi familia y a mis amigos. A todos, gracias.

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7 A mis maestros

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9 ÍNDICE

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11 INDICE 1.- INTRODUCCIÓN. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. OBJETIVOS E HIPÓTESIS DE LA INVESTIGACIÓN Introducción El problema de Investigación Problemática de la adquisición y representación del conocimiento Problemática de la Metodología de investigación en Didáctica de las Matemáticas Problemática de la enseñanza y aprendizaje del concepto de ángulo El problema de investigación planteado en este trabajo Interés de la Investigación Objetivos Hipótesis planteadas Partes de que consta esta Tesis MARCO TEORICO Introducción La Ciencia Cognitiva Introducción a la Ciencia Cognitiva Definición Objeto de estudio de la Ciencia Cognitiva Ciencias que la integran Bases históricas de la Ciencia Cognitiva Perspectivas actuales de la Ciencia Cognitiva Implicaciones de la Ciencia Cognitiva en el tema objeto de esta Tesis Biología Psicología Los modelos estructurales de memoria. Representaciones mentales El interés por los modelos concretos de cognición humana..51 i

12 Inteligencia Artificial Introducción Definición de Inteligencia Artificial Desarrollos de la Inteligencia Artificial. Sistemas Expertos y Redes Neuronales Sistemas expertos Redes neuronales El tratamiento de la incertidumbre en Inteligencia Artificial Métodos de adquisición del conocimiento de expertos en Inteligencia Artificial Campos de utilización de la Inteligencia Artificial y previsiones de futuro Adquisición y representación del conocimiento La organización y representación del conocimiento El conocimiento declarativo El conocimiento procedimental La estructura cognitiva Conocimiento en expertos y noveles Transmisión del conocimiento. Educación y Didáctica Transmisión efectiva del conocimiento: aportaciones de la Didáctica Los conocimientos previos Los conocimientos previos en la Teoría del Aprendizaje Verbal Significativo Las diferentes aproximaciones al conocimiento Las habilidades metacognitivas Necesidad de nuevas herramientas de investigación Estructuras de transmisión del conocimiento: texto e hipertexto Generando teoría: una propuesta de integración Introducción Supuestos básicos Sobre la forma de organización del conocimiento humano. 103 ii

13 Enfoques y técnicas a emplear en nuestra investigación en Didáctica Requisitos para construir Ciencia Nuestro modelo teórico Elementos del modelo y esquema funcional Conocimiento jerárquico - conocimiento "geográfico" Conceptos inclusores - conceptos nucleares Complejidad creciente - senderos de mínimo coste Mapas Conceptuales - Redes Asociativas Pathfinder Posibilidades del modelo en la Investigación. Limitaciones y alcances METODOS PARA EL CONOCIMIENTO DE LA ESTRUCTURA COGNITIVA Introducción Métodos para la obtención de datos acerca de la estructura cognitiva Asociación de palabras Listas de palabras Ordenación de Tarjetas Arboles ordenados Tests verbales Tests de Relaciones Semánticas Juicios de Relación Analogías Establecimiento por parte del sujeto Mapas conceptuales Puntuación de la similaridad entre conceptos Construcción de Árboles Mapas cognitivos Redes Asociativas Pathfinder Redes Asociativas Pathfinder: Estudio en detalle de la técnica Construcción de Redes Asociativas Pathfinder El programa KNOT iii

14 El trabajo con el programa Knot Asignación de valores de proximidad entre conceptos Almacenamiento de los datos de proximidad Utilización de los datos de proximidad para crear Redes Pathfinder Almacenamiento de la Red Pathfinder obtenida Funciones avanzadas con el programa KNOT Obtención de una red media Cálculo de la coherencia de una Red Pathfinder Cálculo de la similaridad de dos Redes Escalamiento Multidimensional (MDS) Aplicaciones de las Redes Asociativas Pathfinder. Revisión Bibliográfica Aplicaciones en investigación básica Investigación aplicada a la formación del profesorado Aplicaciones al diseño y evaluación de productos hipermedia educativos Aplicaciones en recuperación y organización de la información Aplicaciones diversas Características a destacar en los trabajos analizados EL TEMA OBJETO DE ESTUDIO: EL CONCEPTO DE ANGULO Introducción El tratamiento del concepto de ángulo: definiciones, ejemplos y práctica educativa La definición del concepto de ángulo. Imagen mental y definición matemática Los ejemplos en la práctica educativa Los libros de texto en la práctica educativa Las dificultades de los alumnos El problema de enseñanza y el problema de investigación iv

15 5.- ESTUDIO EXPERIMENTAL Introducción Diseño Muestra Instrumentos y selección de los mismos Programa KNOT (Knowledge Network Organizing Tool) Conceptos seleccionados para su comparación Coeficiente de Similaridad Indice de Coherencia Indice de Complejidad de Redes Procedimiento Prueba piloto Realización de la prueba definitiva Resultados Características de las redes de los alumnos. Dependencia de factores personales Análisis de la Coherencia de las Redes Análisis de la densidad de las Redes Análisis del número de nodos múltiples de las Redes Análisis de la relación entre coherencia y número de nodos múltiples de las Redes Análisis del número y tipo de conexiones de los nodos múltiples de las Redes Análisis del Índice de Complejidad de Redes (ICR) Análisis de los datos anteriores eliminando las coherencias negativas o muy bajas Análisis de la coherencia sin datos negativos o muy bajos Análisis de la densidad sin datos negativos o muy bajos Análisis del número de nodos múltiples sin datos negativos o muy bajos Análisis del número y tipo de las conexiones de los nodos múltiples sin datos negativos o muy bajos. 311 v

16 Análisis del Índice de Complejidad de Redes sin datos negativos o muy bajos Conceptos más importantes que aparecen en las redes Análisis de la similaridad entre redes Conclusiones y discusión del estudio experimental Resultados de investigación Coherencia de las redes Densidad de las redes Número de nodos múltiples de las redes Relación entre coherencia y número de nodos múltiples Número y tipo de conexiones de los nodos múltiples de las redes Índice de Complejidad de Redes Otras características de las redes Conceptos más importantes que aparecen en las redes Similaridad de las redes Interpretación de los resultados de acuerdo con el marco teórico propio propuesto Verificación de las hipótesis planteadas Limitaciones del estudio. Sugerencias de mejora CONCLUSIONES Conclusiones con referencia a los Objetivos planteados Conclusiones con referencia a las cuestiones planteadas en torno al Problema de Investigación Repercusiones para la enseñanza Problemas abiertos y sugerencias para nuevas investigaciones BIBLIOGRAFIA ANEXOS Tablas y gráficos Redes Asociativas Pathfinder de los alumnos vi

17 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. OBJETIVOS E HIPÓTESIS DE LA INVESTIGACIÓN.

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19 1.- INTRODUCCIÓN. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. OBJETIVOS E HIPÓTESIS DE LA INVESTIGACIÓN Introducción. El objeto de interés de la presente investigación es el estudio de los aspectos psicológicos que inciden en la Educación, los fenómenos que se producen en la mente de los alumnos durante los procesos de enseñanza - aprendizaje, y cómo se puede llevar a cabo la representación, descripción y estudio de dichos fenómenos. Conociendo mejor cuáles son y cómo se desarrollan los procesos mentales de los alumnos, se pueden adecuar los métodos de enseñanza - aprendizaje y conseguir mejores resultados en la transmisión y adquisición del conocimiento. Este trabajo entra, pues, de lleno en el campo de interés de la Psicopedagogía, y, por supuesto, en el de las dos ciencias que la conforman, Psicología y Pedagogía, en las que siempre ha existido un gran interés por estudiar los procesos mentales relacionados con la enseñanza y el aprendizaje. Pertenece, naturalmente, y por su interés en la puesta en práctica de las propuestas psicológicas y pedagógicas, al campo de investigación de la Didáctica y especialmente, por su objeto de estudio, de la Didáctica de las Matemáticas. El estudio de los procesos mentales relacionados con la enseñanza y el aprendizaje, ha sido llevado a cabo históricamente, en distintas maneras y con diferentes enfoques. Si en la Psicología conductista la mente era considerada prácticamente como una "caja negra", y solamente interesaban los fenómenos de entrada (estímulos) y de salida (respuestas), puesto que eran los únicos observables, otras corrientes científicas vinieron a destacar el interés por los procesos que ocurrían en el interior de esa "caja negra", entre la entrada de los estímulos y la salida en forma de respuestas, y a considerar la "caja negra" como llena de muy diferentes procesos y complejos sistemas que interpretan la información. Muchos psicólogos investigaron estos fenómenos y entre ellos Piaget estudió en qué forma, mediante los procesos de asimilación, equilibración y acomodación, tratan de integrarse en la mente los conceptos que adquiere y los que previamente conoce el 1

20 niño, dando lugar a nuevas construcciones que no provienen solamente de estímulos externos, sino que también proceden de alguna forma de elaboración interna. En esta misma línea, aunque ya propiamente en el campo de la Pedagogía, se encuentran las teorías de Ausubel y Novak sobre el aprendizaje significativo, ampliamente aceptadas por la comunidad científica y educativa, y que hacen referencia a la forma en que se producen los procesos de integración de los nuevos conocimientos en la estructura cognitiva del alumno y cómo estos procesos han de tenerse en cuenta en la práctica educativa. Hoy en día ha surgido una Ciencia joven de carácter comprensivo, pues hace uso de los recursos de otras disciplinas, que ha recibido la denominación de Ciencia Cognitiva (en adelante CC), y que nos permite abordar este estudio con nuevas herramientas. Además de la Psicología, dos campos de conocimiento conforman básicamente esta nueva Ciencia: la Biología, por lo que se refiere a los procesos mentales y a las estructuras fisiológicas que los soportan, como el sistema nervioso o las estructuras neuronales, y la Inteligencia Artificial (en adelante IA), por su interés en reproducir en sistemas informáticos los procesos de pensamiento y resolución de problemas de los seres humanos, recurriendo a técnicas como las redes neuronales o los sistemas expertos. Los avances de la CC actual, y particularmente de la IA y sus técnicas propias, permiten no sólo hipotetizar acerca de los procesos internos de adquisición y organización del conocimiento, sino monitorizar estos procesos y obtener representaciones visuales de su estado y evolución, que pueden ser recogidas para un estudio detallado. Aunque actualmente los avances en IA no están suficientemente generalizados y por tanto, no aparecen con demasiada frecuencia en la literatura científica sobre Educación, las posibilidades que se abren para el futuro en este campo son ilimitadas. El uso actual de los hipermedia, una forma de transmisión de información que imita, tanto en el acceso como en la estructuración del conocimiento, la memoria semántica de los individuos, la forma profunda de nuestros procesos mentales de tratamiento de la información, constituye un primer indicio de lo que en un futuro será posible alcanzar 2

21 utilizando estos nuevos avances. Si en el momento actual del desarrollo de los hipermedia no se tiene en cuenta (al menos de forma generalizada) a la hora de su diseño y organización, la estructura cognitiva del usuario potencial, en el futuro, sin duda se hará. Nuestros estudios previos (Casas y Luengo, 1.999, 2.000, 2.001a, 2.001b) y este mismo trabajo nos llevan a pensar que haciendo uso de técnicas propias de la IA, tales como las Redes Asociativas Pathfinder, se puede no sólo ver reflejados y confirmar algunos de los presupuestos teóricos que se manejan en Psicopedagogía, sino ir más lejos, y describir, representar y estudiar los procesos mentales relacionados con la adquisición de un concepto y su evolución a lo largo del desarrollo, y estudiar un objeto matemático: el ángulo. Esta Tesis, que se ha centrado en el estudio de un objeto matemático básico puede extenderse al estudio de otros conceptos, tanto de Geometría como de otras ramas de las Matemáticas. De esta forma, se pueden modelizar los procesos y buscar explicaciones de los fenómenos que aparecen, predecir su evolución e incluso proponer sugerencias de intervención con el objetivo de mejorar el proceso de aprendizaje. Por lo que respecta a nuestra forma de aproximación al conocimiento de los procesos educativos, partimos del hecho de que las necesidades prácticas surgidas de la vida cotidiana han sido, desde los orígenes de todas las culturas, el motor de innovaciones y avances. En este mismo sentido, la experiencia ha sido siempre, aunque no la única, la gran fuente de los problemas de investigación científica. La experiencia en la práctica educativa ha sido, también en nuestro caso, como en el de otros muchos compañeros, la fuente de muchas preguntas. Las dificultades de los alumnos a la hora de adquirir y manipular conceptos matemáticos, quizá mal llamados "elementales", han sido el origen de muchas de nuestras reflexiones personales y de muchos de nuestros intentos por abordar los problemas que, día a día, se nos han ido presentando. A lo largo de estos años nos hemos encontrado con ciertas nociones matemáticas como decimos, mal llamadas "elementales", en las que los alumnos tropiezan una y otra vez. Nociones aparentemente tan sencillas como las que tienen que ver con la lateralidad, o con elementos geométricos básicos, son para los alumnos, según nuestra 3

22 experiencia, y por supuesto la de otros muchos profesores, origen de continuas dificultades, que, si no son tratadas adecuadamente en sus inicios, se convierten en errores arraigados que persisten durante mucho tiempo. Uno de estos conceptos a los que hacemos referencia es el de ángulo. Aunque a lo largo del desarrollo de este trabajo tendremos ocasión de tratar el problema en profundidad, baste decir que las dificultades experimentadas en su adquisición son el origen de errores en el aprendizaje de otros conceptos y persisten incluso en alumnos con una formación matemática superior. Por ello hemos decidido abordar su estudio, y no sólo por el interés del propio concepto en sí, sino por considerarlo como ejemplo del tratamiento que se puede dar a otros conceptos "elementales". En esta misma línea, hemos llevado a cabo trabajos anteriores (Luengo y Casas, 1.989; Luengo y Grupo Beta, 1.990; Luengo, Casas y Márquez, 1.991; Casas, Luengo y Sánchez, 1.996; Sánchez y Casas, 1.995; Sánchez y Casas, 1.998; Sánchez y Casas, 2.001) El abordaje del problema que queremos hacer responde a lo que ha sido nuestra forma de proceder en la práctica educativa. Por una parte, nos hemos basado en las aportaciones de las Ciencias que inciden en la Educación: Psicología, Pedagogía y Didáctica. Pero siempre hemos querido además establecer un contrapunto con la práctica concreta en nuestra clase. Hemos partido de los conocimientos de la Teoría, pero hemos aprovechado el conocimiento concreto, el conocimiento práctico del aula, para hacer propuestas de Innovación Educativa apoyadas en la experiencia diaria. (Casas, Luengo y Sánchez, 1.996; Casas y Sánchez, 2.000; Sánchez y Casas, 1.995; Sánchez y Casas, 2.001) De forma análoga, en este trabajo queremos, como es lógico, apoyarnos en las aportaciones científicas establecidas, pero queremos también hacer una apuesta por la Innovación, utilizando en este caso un abordaje metodológico que, por la información de que disponemos, no ha sido utilizado en el campo de la Didáctica, al menos en nuestro país, y que consideramos puede ser muy interesante por sus aplicaciones a este campo y otros relacionados. Somos conscientes de que toda propuesta innovadora presenta sus riesgos, pero somos también conscientes de la comprensión de los compañeros profesores implicados en las tareas de la Didáctica de las Matemáticas que, como nuestro Director de Tesis, 4

23 Don Ricardo Luengo González, han sabido y sabrán apoyar estos nuevos caminos de investigación El problema de investigación. Independientemente del tratamiento en profundidad que le dedicaremos en los correspondientes capítulos, queremos presentar en este apartado una breve visión general que nos permita centrar el posterior desarrollo de todo lo expuesto. A tal fin, describiremos en los siguientes subapartados, de una forma extremadamente resumida, cuáles son las principales características y los elementos de lo que va a constituir nuestro problema de investigación Problemática de la adquisición y representación del conocimiento. En nuestra opinión, la adquisición y representación del conocimiento son, planteados en términos muy elementales, dos de los problemas clave de todo el proceso educativo. Resulta claro que la adquisición del conocimiento tiene que ver con los procesos que se suceden durante el aprendizaje por parte del alumno. Todas las teorías educativas, y consecuentemente, todas las aportaciones de la Didáctica están encaminadas a tratar cómo se produce la integración de los conocimientos, que son elementos externos, con la estructura cognitiva interna de los alumnos. Mientras las teorías educativas tratan de explicar y modelizar cómo se produce la adquisición del conocimiento, la Didáctica, en todas sus ramas, y por lo tanto la Didáctica de las Matemáticas, tratan de mejorar este proceso, incidiendo en sus distintas fases. Del mismo modo, la representación del conocimiento tiene una importancia crucial, pues se puede reducir a ello una gran parte del proceso de enseñanza - aprendizaje: la relativa a la transmisión de los contenidos. Efectivamente, la transmisión de un contenido consiste esencialmente en la adquisición por parte de un alumno de la estructura de conocimientos de un profesor o en sentido más general, de un campo científico o cultural. Gran parte del proceso se centra en lograr una adecuada representación, sea verbal, sea escrita, sea gráfica, del conocimiento, para lograr una eficaz asimilación por el alumno. Adecuar las representaciones preexistentes en los alumnos a las nuevas representaciones que aporta 5

24 el profesor o en general cualquier fuente de transmisión de conocimiento, es una de las necesidades básicas del proceso. De ahí que consideremos de suma importancia el fenómeno de la adquisición y representación del conocimiento, pues, en último término, a ello se puede reducir todo el proceso de enseñanza - aprendizaje. El conocimiento en profundidad de cómo se llevan a cabo estos procesos es, pues, esencial para definir el problema y tratar posteriormente de encontrar aproximaciones a su solución. Desde las aportaciones de la Psicología, la Pedagogía y la Didáctica se puede acceder a este conocimiento. Particularmente, consideramos de gran interés las aportaciones que se han hecho en los últimos años desde el paradigma de la Ciencia Cognitiva, pues esta nueva ciencia integra las propuestas hechas desde campos como la Psicología, la Biología o la Inteligencia Artificial y creemos que el enfoque multidisciplinar característico de este paradigma puede aportar una visión nueva y enriquecedora del estado de la cuestión. A partir de esta nueva visión, y apoyándose posteriormente en los resultados de la Investigación y la práctica, se pueden construir nuevas aportaciones, en un proceso dinámico que caracteriza a la auténtica Ciencia. De todo ello trataremos en profundidad en los capítulos de nuestra Tesis a los que antes hicimos mención Problemática de la metodología de investigación en Didáctica de las Matemáticas. Aunque como indicamos anteriormente, en el Capítulo 2 plantearemos más en profundidad esta cuestión, queremos dejar esbozados aquellos aspectos de la problemática de la Metodología de Investigación en Didáctica de las Matemáticas, que posteriormente abordaremos. Primeramente, queremos señalar que, si como hemos indicado, consideramos interesante el conocimiento del proceso de adquisición del concepto de ángulo, el problema de investigación que se nos plantea en este área es que no se dispone de herramientas de fácil manejo que permitan acceder a dicho conocimiento. 6

25 Han sido empleadas diversas técnicas para estudiar la estructura cognitiva del alumno. Entre ellas podemos mencionar el uso de cuestionarios, protocolos de pensamiento en voz alta, entrevistas a profesores y alumnos, mapas conceptuales, y otras similares, algunas de las cuales describiremos en el Capítulo 3. Pero el gran problema de estas técnicas es que son difíciles y exigen un elevado esfuerzo y consumo de tiempo por parte de profesores y alumnos. En relación con el concepto de ángulo, la mayor parte de las investigaciones que hemos tenido ocasión de revisar tienen un abordaje metodológico parecido, pues utilizan como herramientas de investigación la resolución de problemas, el cuestionario o la entrevista. Mediante la resolución de una situación problemática o a partir de cuestionarios o entrevistas más o menos estructuradas, se trata de inferir cuál es la concepción que el alumno de una determinada edad tiene acerca de lo que es un ángulo. Muchas de estas investigaciones tratan además, de ver cómo va evolucionando este concepto y cuáles son las dificultades que se van presentando a los alumnos en su camino para llegar a dominarlo. Este abordaje metodológico es también común al estudio de otros conceptos matemáticos. Pero en nuestra opinión, reconociendo el mérito y validez de las investigaciones, éstas presentan algunos problemas que señalamos: 1.- Hay, una gran inferencia por parte del profesor para expresar lo que el alumno piensa. Por ejemplo, en muchas de ellas se utiliza el análisis de las situaciones presentadas al alumno para inferir qué relación hay entre los conceptos implicados en cada situación. Pero desde el momento en que el profesor infiere que determinada situación incluye a ciertos conceptos y no a ciertos otros, de forma distinta a como puede estarlo haciendo el alumno, puede haber una modificación de los datos originales que deforma la información y naturalmente, su posterior interpretación. 2.- En muchas de las investigaciones nos encontramos con trabajos muy laboriosos, que exigen gran esfuerzo en la recogida de los datos y quizá a causa de ello se hacen, en la mayoría de las ocasiones, con muestras muy pequeñas. Esta 7

26 circunstancia, no permite ni pretende la generalización de los resultados, aunque sin duda nos aproxima a la comprensión del fenómeno. 3.- El análisis de los datos obtenidos es, casi siempre, de tipo cualitativo, y, de nuevo presenta el problema de la inferencia por parte del profesor para extraer conclusiones de ellos, lo que hace que la variable profesor intervenga con demasiada carga subjetiva a pesar de los procedimientos de triangulación que se utilizan. Frente a estos problemas, hemos observado un interesante desarrollo, en otros campos, de la aplicación de las técnicas de representación del conocimiento, de las que trataremos ampliamente en el Capítulo 3. Sin embargo, estas técnicas no están suficientemente implantadas en nuestro ámbito cultural, tal como lo demuestra la escasez de trabajos publicados en español y menos aún en el área de Didáctica de las Matemáticas. Creemos, a pesar de ello, que su utilización puede resultar muy útil en esta área, pues ofrecen posibilidades que, como veremos en el desarrollo del presente trabajo, permiten evitar, al menos en buena medida, las dificultades que antes hemos señalado. Efectivamente, en nuestro trabajo utilizaremos una técnica que: 1.- Permite obtener una representación de las asociaciones entre conceptos tal como el alumno las percibe, con la mínima interferencia posible por parte del profesor, pues ésta supone un gran peligro de contaminación de los resultados. 2.- Nos proporciona con cierta economía de esfuerzo y medios, una cantidad suficiente de datos, de modo que, con una muestra suficientemente representativa podemos generalizar resultados. 3.- Permite realizar un análisis cuantitativo de los datos obtenidos así como compararlos y representarlos de manera que la información obtenida tiene una interpretación relativamente fácil. Por estas razones nos hemos inclinado a utilizar las Redes Asociativas Pathfinder, y a crear el Indice de Complejidad de Redes que emplearemos, junto con los índices de Similaridad y Coherencia, como indicadores cuantitativos. Como veremos, permiten, 8

27 con muy poco consumo de tiempo, y sin que el profesor influya al alumno en su elaboración, obtener una representación gráfica de la forma en que éste relaciona los conceptos de un determinado campo de conocimiento. La técnica de las Redes Asociativas Pathfinder ha venido siendo utilizada en otros ámbitos, de los que daremos cuenta en este trabajo, pero como indicábamos anteriormente, creemos que tiene unas grandes posibilidades, que aún no han sido suficientemente aplicadas en el campo educativo Problemática de la enseñanza y aprendizaje del concepto de ángulo. Tal como hemos hecho en los apartados anteriores, e independientemente del análisis con mayor detalle que haremos en el Capítulo 2, plantearemos brevemente en este apartado, una visión general de las dificultades asociadas al concepto de ángulo que suelen aparecer tanto en el proceso educativo como en el proceso de investigación en Didáctica de las Matemáticas, y que nos han hecho inclinarnos por este tema como objeto de estudio. Como hemos indicado anteriormente, el problema que trataremos en esta investigación, expresado en términos sencillos, consiste en estudiar en qué forma el alumno asocia en su mente los conceptos relacionados con el de ángulo y de qué modo la complejidad de las asociaciones va evolucionando conforme avanza la escolaridad. Este tema concreto de investigación, la estructura cognitiva referente al concepto de ángulo, ha surgido por el hecho de que, como anteriormente apuntamos, aun siendo un tema en apariencia muy simple, hemos observado en nuestra práctica educativa que encierra en el fondo una gran complejidad. Como expondremos más detenidamente, en el Capítulo 4 de esta Tesis, se trata, en efecto, de un concepto fundamental en Matemáticas, a cuya enseñanza, en nuestra opinión, no se le ha dado toda la importancia que merece. En dicho capítulo, mostraremos las diferentes aproximaciones teóricas y experimentales que la investigación actual ha llevado a cabo, y que confirman nuestra opinión acerca de la complejidad de este concepto. 9

28 A lo expuesto en dicho capítulo nos remitimos, pero baste por ahora indicar que el alumno no llega a adquirir y dominar este concepto sino tras un proceso de distintas aproximaciones parciales y multiformes a lo largo de toda su escolaridad. De las diferentes aproximaciones que pueden hacerse del concepto de ángulo puede darnos una cierta idea la propia dificultad que encierra dar una definición de dicho concepto: ángulo como figura plana, ángulo como par de líneas o ángulo como cantidad de giro, son distintas ideas implicadas en las varias definiciones que se dan de un concepto tan simple en apariencia. De igual manera, las distintas aproximaciones a que hacemos referencia se hacen patentes en el distinto tratamiento que le dan los libros de texto, algunas veces poco congruentes, pues puede darse el caso de que hagan definiciones de un determinado tipo, mientras utilizan ejemplos que no corresponden con las definiciones o ejercicios que no corresponden ni con los ejemplos ni con las definiciones. El proceso de adquisición del concepto de ángulo no está, pues, exento de errores, que se siguen conservando en adultos incluso con una formación matemática superior, tal como nos apuntan los resultados de una investigación que actualmente mantenemos en curso El problema de investigación planteado en este trabajo. Revisados anteriormente los aspectos problemáticos de la cuestión, básicamente podemos definir el problema de investigación de este trabajo en los siguientes términos: Problema de Investigación: "Obtener formas de representación de la estructura cognitiva de los alumnos en lo referente al concepto matemático de ángulo de modo que permita identificar los elementos más importantes, la relación entre ellos y su evolución en el tiempo". Así propuesto, el problema de investigación puede aparecer como muy general, por lo que intentaremos plantearlo en términos que nos permitan su identificación de una forma más precisa, con una descripción clara y objetiva, de manera que posteriormente podamos obtener especificaciones para contrastar si el trabajo realizado permite resolver el problema al nivel que se plantea. Planteamos pues las siguientes cuestiones: 10

29 1.- Tal como describiremos en el capítulo de este trabajo dedicado al Marco Teórico de esta investigación, los conceptos forman en la mente una estructura, la estructura cognitiva, de modo que, para conocerlos, deben estudiarse en el contexto de las relaciones de unos con otros, en forma de configuraciones y no de forma aislada. Así mismo, y según expondremos en el capítulo dedicado al estudio del concepto de ángulo, consideramos necesario conocer adecuadamente cuál es la estructura de estos conceptos no sólo desde el marco curricular, sino, y en nuestra opinión esto es lo más importante, desde el punto de vista epistemológico. El problema de investigación, en este sentido, se concreta, pues en las siguientes preguntas: Cuestión Cuáles son los conceptos asociados al objeto matemático de ángulo que tienen más significación para el alumno y que por tanto resultan más destacados en su estructura cognitiva? Cuestión Son estos conceptos siempre los mismos o cambian con la edad y el aprendizaje? conceptos? Cuestión Cuál es el tipo de relaciones que se establecen entre estos 2.- En nuestro Capítulo 3 plantearemos el problema de la representación del conocimiento, y haremos una revisión de las técnicas actualmente utilizadas para extraer información acerca de la forma en que se organizan los conceptos en la estructura cognitiva de los alumnos. Estas técnicas son ampliamente utilizadas en campos como el diseño de productos hipermedia o de aplicaciones de la Inteligencia Artificial. Entre otras, trataremos en detalle de las Redes Asociativas Pathfinder así como de sus aplicaciones en distintos campos. En lo relativo a este aspecto de la investigación, planteamos las siguientes cuestiones: Cuestión Sirve este método para representar la estructura cognitiva relacionada con un campo de conocimiento, de un modo sencillo y objetivo? 11

30 Cuestión Permite este método comparar las estructuras cognitivas de los alumnos? Cuestión Permite este método evaluar la calidad de las estructuras cognitivas de los alumnos en un campo de conocimiento? Cuestión Permite este método estudiar la evolución de la estructura cognitiva de los alumnos? 3.- En nuestro Capítulo 2 presentamos una propuesta teórica que permite enmarcar adecuadamente nuestra técnica e interpretar los datos de la investigación, así como abrir nuevas vías de estudio dentro de dicha propuesta. Sus implicaciones, puesto que parten de situaciones surgidas en la enseñanza, pueden servir para afrontar nuevas situaciones de enseñanza. Nos planteamos las siguientes cuestiones en este sentido: Cuestión Puede ser aplicable este método al estudio de otros conceptos matemáticos? Cuestión Tiene aplicaciones en la práctica educativa el método propuesto? A modo de resumen, podemos concluir que el problema de investigación hace referencia a tres ámbitos, que son, desde el más específico al más general: lo relativo a la formación del concepto matemático de ángulo, las técnicas generales de adquisición y representación del conocimiento, y la propuesta teórica que se presenta en este trabajo y que permitirá la interpretación de los resultados obtenidos. Las preguntas planteadas en estos ámbitos serán ampliamente tratadas a lo largo de los capítulos siguientes, y serán contestadas de forma más específica en el capítulo final dedicado a las conclusiones y resultados obtenidos Interés de la Investigación. En esta Investigación planteamos un trabajo que se inscribe en el ámbito general de la representación del conocimiento, campo que, en nuestra opinión es de gran 12

31 actualidad e interés científico. Así nos lo indica el creciente número de investigaciones que se están realizando, aunque no están muy difundidas en nuestro ámbito cultural, y los prometedores resultados obtenidos, que tienen sus aplicaciones más inmediatas en campos que van desde la Inteligencia Artificial hasta el diseño de software. Pero si resulta interesante en campos tales como los que mencionamos, y en otros relacionados con la investigación básica en Psicología, debemos señalar que, en nuestra opinión, se abre además una prometedora vía de trabajo para la investigación y la práctica en el terreno educativo. En efecto, si consideramos que el conocimiento de lo que un alumno previamente sabe es la base para todo el desarrollo posterior de su instrucción, disponer de métodos que permitan conocer su estructura cognitiva puede resultar de una innegable utilidad. Tal como apuntamos en la introducción de este trabajo, consideramos de gran interés llegar a conocer la estructura cognitiva del alumno en un tema que, como el del ángulo, es de gran complejidad, y acerca del cual no existe suficiente investigación. Consideramos que podría resultar de gran interés la aplicación al diseño de Unidades Didácticas, material hipertextual y en general libros de texto, las conclusiones a las que se llegue en el estudio de este tema. En nuestra opinión, nuestro trabajo puede ser una aportación en esta línea. Pero resumiendo, creemos que el interés de la Investigación radica en los siguientes aspectos: 1.- En primer lugar, una Investigación es interesante si su problema lo es. Naturalmente, en nuestra opinión consideramos que, a lo largo del trabajo presentado tendremos ocasión de comprobar que efectivamente lo es, por sus implicaciones en la práctica educativa. 2.- En segundo lugar, es necesario que la Investigación responda a los problemas planteados y contribuir con ello al avance de la Ciencia. En las conclusiones finales tenderemos ocasión de comprobar cómo, efectivamente, y tal como se planteaba en el apartado anterior, se responde a las cuestiones problemáticas presentadas. 3.- Particularmente, creemos, que el interés de esta Tesis radica no sólo en el objeto de investigación en sí, sino además, en el marco teórico generado. Este marco 13

32 teórico, que presentaremos en el siguiente capítulo, supone no sólo una revisión de las concepciones teóricas preexistentes, sino que presenta un nuevo marco teórico, que permite la interpretación de los datos de investigación obtenidos, y un nuevo enfoque de aspectos no considerados en teorías anteriores. 4.- Consideramos, por último, y volvemos a insistir en ello, que puede resultar de interés el abordaje metodológico utilizado, que puede hacerse extensivo a otros campos de Investigación. Consideramos, en resumen, que nuestra investigación es plenamente acorde con la línea de los objetivos del programa de doctorado del Instituto de Ciencias de la Educación, en que se ha desarrollado esta Tesis, y entre los que se destacan precisar los métodos de investigación en el área de las Ciencias de la Educación o desarrollar recursos tecnológicos y nuevas aplicaciones de los mismos a la investigación y la docencia. 4.- Objetivos. Se pretenden alcanzar con este trabajo los siguientes objetivos: Objetivo 1.- Crear un marco teórico que, dentro del paradigma de la Ciencia Cognitiva y las ciencias que lo conforman, permita interpretar de forma unitaria los resultados de los procesos de enseñanza - aprendizaje observados en la práctica educativa. Objetivo Llevar a cabo una revisión acerca de los planteamientos actuales en Pedagogía y Psicología acerca de la adquisición y representación del conocimiento. Objetivo Aportar desde la práctica educativa y los resultados de la investigación nuevos elementos para completar los referentes teóricos estudiados. Objetivo 2.- Estudiar la estructura de conceptos asociados al objeto matemático de ángulo y su evolución en las distintas edades y/o cursos de la escolaridad. 14

33 Se trata de enfocar nuestra atención en la manera en la que el concepto de ángulo va evolucionando con la edad y en la que el alumno va organizando su propio conocimiento, tratando de averiguar qué estructuras crea y cómo las relaciona hasta llegar al concepto general de ángulo. Se trata también de ver cuáles son los conceptos más importantes asociados al objeto matemático de ángulo, y proponerlos como conceptos nucleares para la posterior enseñanza. Objetivo Llevar a cabo una revisión acerca de los estudios actuales sobre la Didáctica del concepto de ángulo. Objetivo Obtener mediante el uso de Redes Asociativas Pathfinder, representaciones de las redes conceptuales de los alumnos, en lo referente al concepto de ángulo. Objetivo Estudiar de forma experimental, mediante un análisis descriptivo y utilizando las Redes Asociativas Pathfinder, la evolución a lo largo de la escolaridad, de la estructura cognitiva de alumnos de Enseñanza Obligatoria respecto al concepto geométrico de ángulo Objetivo Estudiar de forma cuantitativa la complejidad de las redes conceptuales obtenidas. Objetivo 3.- Estudiar las posibilidades en Didáctica de las técnicas de adquisición y representación del conocimiento. Consideramos que la técnica propuesta, como otras utilizadas para la adquisición y representación del conocimiento, puede ser muy útil para ayudarnos a conocer mejor las interrelaciones entre conceptos de los alumnos, manejando de una forma cómoda un número significativo de representaciones, obtenidas de una forma rápida, eficaz, y, dentro de lo posible, objetiva. 15

34 Objetivo Estudiar las aplicaciones actuales y posibilidades en distintas áreas de conocimiento de las Redes Asociativas Pathfinder como técnica para representar la estructura cognitiva. Objetivo Mejorar los estudios de tipo cuantitativo que se pueden hacer con estas técnicas. Objetivo Ofrecer orientaciones para la enseñanza del concepto de ángulo basándose en los resultados del estudio de la evolución de la estructura cognitiva de los alumnos respecto a dicho concepto Hipótesis planteadas. A la hora de realizar este trabajo, nos plantamos las siguientes hipótesis: Hipótesis 1.- Las características (coherencia y complejidad) de la estructura cognitiva de los alumnos en lo que respecta al concepto matemático de ángulo variarán en función de parámetros personales (edad y sexo). Hipótesis 2.- Existen conceptos más significativos que otros, pues se asocian más fuertemente con los demás y permanecen más estables en la estructura cognitiva a lo largo del tiempo. Hipótesis 3.- Los conceptos más significativos en la estructura cognitiva de los alumnos no son sólo los más generales, sino también algunos muy específicos que son incluso utilizados como ejemplos durante la enseñanza Partes de que consta esta Tesis. Además del presente capítulo, donde se presenta una visión general del problema de investigación y se exponen los objetivos e hipótesis planteados en la Tesis, nuestro trabajo está dividido en otras cuatro partes principales, que van acompañadas por unas referencias Bibliográficas, y Anexos en los que se recoge el material obtenido de la experimentación con alumnos. 16

35 En el Capítulo 2 se establecerá un Marco Teórico general en el que, partiendo de las aportaciones a la Educación del paradigma de la Ciencia Cognitiva, llegaremos a una propuesta teórica propia que nos permitirá no sólo interpretar los resultados de nuestra experimentación sino realizar nuevos enfoques e interpretaciones de las teorías educativas revisadas. En el Capítulo 3 se tratará de lo relativo a la representación del conocimiento como área de investigación y se hará una revisión de las técnicas utilizados en este campo. Dentro de este capítulo se tratará detalladamente de la técnica empleada, las Redes Asociativas Pathfinder, así como del funcionamiento del programa KNOT, que permite su aplicación. Se incluirá además, una revisión bibliográfica de las investigaciones en que se ha empleado esta técnica en la última década. El Capítulo 4 se analizará el concepto de ángulo, objeto de estudio. Desde las aproximaciones de la Didáctica de las Matemáticas tanto a su enseñanza - aprendizaje como a su Investigación, trataremos de mostrar la complejidad del tema y las implicaciones para su enseñanza. En el Capítulo 5, dedicado a la parte experimental se describirá la metodología empleada para llevar a cabo la investigación y el proceso seguido, incluyendo la elección de los conceptos a utilizar, la selección de la muestra, la creación del Indice de Complejidad de Redes, la aplicación a los alumnos, los resultados obtenidos, su análisis y la verificación de las Hipótesis planteadas En el Capítulo 6, se expondrán las conclusiones de la investigación y los futuros desarrollos que, de acuerdo con los resultados obtenidos consideramos interesante abordar. El Capítulo 7 se dedicará a la Bibliografía utilizada en la Tesis. El Capítulo 8, dedicado a Anexos, incluirá gráficos y tablas, además de representaciones de las Redes Asociativas Pathfinder de los alumnos. 17

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37 CAPÍTULO 2 MARCO TEÓRICO

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39 2.-MARCO TEORICO Introducción A lo largo del presente capítulo se hará un recorrido por los temas que sucintamente han sido presentados hasta ahora, y que servirán para nuestra propuesta teórica. Al final del mismo, presentaremos cuáles son nuestras propias ideas y aportaciones, creando un nuevo marco teórico que pensamos puede servir de complemento a los ya establecidos. Presentaremos, en primer lugar, en el apartado 1, dedicado a CC las principales y más actuales aportaciones teóricas y resultados de investigación de las ciencias que forman parte de la CC: Psicología, Biología e IA. Continuaremos en los apartados 2 y 3 con una revisión de los principales desarrollos en el campo de la Educación y la Didáctica acerca de la forma en que se produce la representación, adquisición y transmisión del conocimiento, y centrándonos particularmente en las aportaciones de la CC a estas áreas. Finalmente, en el apartado 4, presentaremos nuestras aportaciones, nuestro propio Modelo Teórico. A este respecto, en cualquier trabajo, habitualmente, el autor hace una selección explícita de las ideas y teorías de otros autores que se utilizan de forma habitual en el terreno de la investigación que está realizando, y esas teorías conforman una declaración del paradigma científico en que se mueve. También hay una selección, por omisión, de los autores y trabajos que no son mencionados, y que, por exclusión, también ayudan a definir el marco teórico de referencia. Pero un trabajo para una Tesis Doctoral no se limita a la recopilación de ideas de otros autores, pues en tal caso poca aportación supondría al conocimiento científico. Por el contrario, siempre debe haber aportaciones de las ideas propias del autor, que son presentadas y, por supuesto, contrastadas en el cuerpo principal de la Tesis. Ideas que contribuyan al avance de la Ciencia. 19

40 Así pues, en algún momento se distinguen lo que son ideas propias u opiniones del autor de lo que son aportaciones de otros. Llegado este momento, suele optarse entre dos formatos. Puede hacerse que las ideas del autor vayan entrelazándose en la exposición general de los antecedentes teóricos del tema que se trate, sirviendo de contrapunto en unos casos, de comentario en otros, de abierta critica en ocasiones, a las ideas que se van exponiendo, de manera que, en último término, se obtiene una visión contrastada y crítica de las ideas propias del autor, de sus fundamentos teóricos, en fin. Puede elegirse otra forma de trabajo, que consiste en ir presentando en un marco acorde con las ideas del autor, una selección de los principales desarrollos teóricos que hacen al caso, de forma que sirva para establecer las referencias del trabajo, y presentar, una vez terminada esta exposición, las propuestas, diferenciadas, del autor, con las correcciones, precisiones y objeciones que desee hacerle a lo expuesto por otros. Esta segunda es la alternativa por la que hemos optado, y tras exponer los referentes en los que nos movemos, propondremos nuestra propia aportación teórica. Para diferenciar aún más ambas secciones, cambiaremos incluso de estilo de redacción, escrita en tal momento en un tono más personal. Aprovechando las potencialidades de la propia técnica que se utilizará en la parte experimental de este trabajo, las Redes Asociativas Pathfinder, y que ya hemos utilizado en otros trabajos previos (ver Casas y Luengo, y Casas y Luengo, 2.000), se puede obtener una representación gráfica de cuáles son las principales ideas que serán manejadas en nuestro marco teórico. La siguiente representación gráfica, en forma de red, muestra, como si fuera un mapa de carreteras, la concepción personal, la estructura cognitiva que del tema tiene el equipo investigador. 20

41 representación visual organización de un hipermedia representacion hipermedia texto navegacion redes representación del conocimiento hipertexto redes asociativas Pathfinder transmisión del conocimiento educación memoria episódica psicología memoria semántica ciencia cognitiva mente sistema nervioso representaciones mentales neuronas inteligencia artificial biologia conexionismo: redes neuronales funcionalismo: sistemas expertos En esta representación gráfica se puede observar que existe como una cierta columna vertebral, una vía principal, formada por seis conceptos clave, que aparecen relacionados con tres o más conceptos cada uno, y que nos sugieren una mayor importancia que los demás: psicología y mente, educación, transmisión y representación del conocimiento, y por último, IA. 21

42 representación del conocimiento transmisión del conocimiento educación psicología mente inteligencia artificial Estos son los conceptos que, como si fueran los hitos principales de nuestro mapa cognitivo, aparecen más relacionados con los demás, y serán los más importantes a tratar. La propia representación gráfica hace que unos conceptos aparezcan más próximos a otros, formando unas estructuras en forma de regiones. Se puede ver también que toda la estructura, como si de un mapa geográfico se tratara, está organizado en torno a tres de estas grandes regiones: la primera de ellos, en la parte superior izquierda es lo relacionado con la representación y transmisión del conocimiento. La segunda, situada arriba a la derecha hace referencia a la transmisión del conocimiento, mediante texto, hipertexto y en general hipermedia. La tercera, situada en la parte inferior, es lo relativo a la Psicología, las estructuras mentales, su soporte biológico y la IA, aspectos todos ellos objeto de estudio de la CC. 22