TALES DE MILETO -625 / -547 Qalh<V o2 Milh'sioV
|
|
- Lucía Maestre Pérez
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 TALES DE MILETO -625 / -547 Qalh<V o2 Milh'sioV.- BREVÍSIMA RESEÑA DE QUIÉN ES TALES DE MILETO: Tales (Qalh<V, Mileto c. 625 a.c. - Mileto c.547 a. C) es un filósofo y científico griego y uno de los Siete Sabios de Grecia. Aunque se le atribuyen varias obras, lo más probable es que no dejara nada escrito. Se le considera el primer hombre de occidente que trató de conocer la verdad del mundo existente mediante explicaciones naturales y no míticas. Realizó numerosas e importantes aportaciones en el conocimiento de la filosofía, matemáticas, física, astronomía y también fue legislador de su ciudad.
2 I.- UNA MEDICIÓN DE ALTURA: LA ALTURA DE LA PIRÁMIDE DE KEOPS!: Gracias al llamado Teorema de Tales o Primer Teorema de Tales, Tales logró medir la pirámide de Keops con sólo un bastón y su sombra. El teorema dice así: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. 1.- La historia: Tales de Mileto visitó las pirámides egipcias de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos) y admirado ante tan portentosos monumentos, se propuso medir la altura en vertical de la pirámide de Keops. Son varias las versiones que cuentan lo que hizo y cómo lo hizo (Anexo I) y tradicionalmente, en todos estos textos, Tales dejaba comprobada solamente la igualdad de ángulos entre triángulos semejantes; pero veremos en nuestra traducción e interpretación que también comprobó la proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes: 2.- Los diferentes datos: 1º.- Según Diógenes Laercio, Tales se colocó delante de la pirámide y esperó a que su propia sombra midiera lo mismo que él; en ese momento, midió la sombra de la pirámide y, por lógica, esa sería la medida de la vertical de la pirámide. 2º.- Según la interpretación tradicional, Tales colocó un bastón delante de la sombra de la pirámide y obtuvo las medidas de ese nuevo triángulo, semejante al triángulo formado por la vertical de la pirámide y su sombra. En ambas versiones hay que aceptar que los rayos del sol son paralelos y realmente sólo se puede deducir la igualdad de los ángulos, pero no estrictamente la proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes. 3º.- Veamos la referencia más antigua, dada por el historiador griego Plutarco en su obra Banquete de los siete sabios, 147A y nuestra traducción: kaì th<v puramídov th>n métrhsin u2períuw<v h1gáphsen, o7ti páshv a5neu pragmateíav kaì mhdenòv o1rgánou dehqeìv a1llà th>n bakthrían sth'sav e1pí tv< pérati th<v skiâv h8n h2 puramìv e1poíei, genoménwn tñ< e1paíñ< th<v a1ktînov dueîn trigw'nwn, e5deixav o8n h2 skià pròv th>n skiàn lógon ei3ce th>n puramída pròv th>n bakthrían e5cousan. Y se quedó admiradamente complacido con la medición de la pirámide, porque no habiendo hecho uso de ninguna acción ni de ningún instrumento, sino habiendo puesto el bastón sobre la parte final de la sombra que daba la pirámide, formándose dos triángulos en el contacto del rayo, demostraste la razón que tenía la sombra con respecto a la sombra, que tiene como razón a la pirámide con respecto al bastón. Según cuenta Plutarco, Tales colocó un palo o bastón (llamado gnomon gnw mwn) en vertical cuando la sombra del bastón y de la pirámide eran perpendiculares a la pirámide. Entonces, A.- midió el gnomon (h) y su sombra (s); B.- midió la base de la pirámide y la sombra de ésta. Sumó la mitad de la base y la sombra (S); C.- observó que el bastón era una línea paralela a la vertical de la pirámide (con lo que se superponían dos triángulos rectángulos) y así este hecho demostraba: 1º.- Ángulos iguales: que necesariamente estos 2 triángulos tenían 3 ángulos iguales. (Anexo I) 2º.- Lados proporcionales: que la relación entre sus lados era la misma. (Véase Anexo II) D.- estableció la relación entre la sombra de la pirámide y la del gnomon: S/s = l; (Anexo III) E.- pues ya sólo multiplicó la longitud del gnomon (h) por la relación obtenida anteriormente (l) y ya obtuvo la altura de la pirámide (H): h*l = H. F.- Por desgracia no tenemos los datos numéricos de sus cálculos.
3 ANEXO I - LAS DIFERENTES VERSIONES DE CÓMO TALES MIDIÓ LA PIRÁMIDE: Caso 1º.- Según Diógenes Laercio: Cuando la altura del propio Tales era la misma que su sombra, entonces midió la sombra de la pirámide: Caso 2º.- La interpretación tradicional: Colocando el bastón fuera del triángulo de la sombra de la pirámide: Caso 3º.- Nuestra traducción e interpretación: Cuando la sombra de la pirámide era perpendicular a un lado de sí misma, interpuso el bastón paralelamente a la vertical de la pirámide, por lo que obtuvo los siguientes datos: * h (la altura del gnomon o bastón). * s (la sombra del gnomon). * S (la mitad de la base + la sombra de la pirámide). * R (rayo de sol que forma la hipotenusa de la vertical de la pirámide y su sombra). * r (rayo de sol que forma la hipotenusa de la vertical del bastón y su sombra). Además, en esta interpretación, es notorio que los tres ángulos de los dos triángulos son los mismos: (Recordemos que la suma de los 3 ángulos de un triángulo suman siempre 180º) ' * El ángulo a es común a los dos triángulos, por lo que es el mismo: los dos ángulos a son iguales. * El ángulo recto de cada triángulo es de 90º. * Los ángulos b y b... pues tienen que ser iguales: b = 180º - 90º - a b = b b = 180º - 90º - a
4 ANEXO II - LA PROPORCIONALIDAD DE LOS LADOS 1º.- Tras darse cuenta de que la sombra de la pirámide y la sombra del bastón forman dos triángulos semejantes con sus tres ángulos iguales (Anexo I), le era fácil concluir que si utiliza un bastón más largo o más corto, también se ha de alargar o acortar el otro cateto y la hipotenusa. Pero hay 2 posibilidades: Caso 1º.- Alargando o cortando en una cantidad fija. Téngase (como decían los griegos) un triángulo rectángulo de 3, 4 y 5 unidades de lado. Si sumamos la misma cantidad a cada lado, por ejemplo, 1.44, obtenemos un triángulo de 4.44, 5.44 y Pero, sería un triángulo semejante y rectángulo? Comprobémoslo aplicando el Teorema de Pitágoras: Caso 2º.- Alargando o cortando en un porcentaje fijo. Téngase un triángulo rectángulo de 3, 4 y 5 unidades de lado. Si sumamos a cada lado una misma proporción, por ejemplo, 0.48 veces más largo, obtenemos un triángulo de: 3 + (3 * 0.48) = = (4 * 0.48) = = (5 * 0.48) = = 7.4 Pero, sería un triángulo semejante y rectángulo? Comprobémoslo aplicando el Teorema de Pitágoras: Triángulo original ( ): 2 5 = = (3 + 4 ) 5 = (9 + 16) 5 = 25 5 = 5 Caso 1º Triángulo alargado con una cantidad fija: ( ): =? =? ( ) 6.44 =? ( ) 6.44 =? =? NO! NO es un triángulo semejante ni rectángulo! Caso 2º Triángulo alargado con una razón fija: + (lado*0.48) ( ): =? =? ( ) 7.4 =? ( ) 7.4 =? =? 7.4 SÍ! SÍ es un triángulo semejante y rectángulo! Conclusión del caso 1º: Conclusión del caso 2º: Conclusión común y final: Como los tres lados NO son iguales, no pueden alargarse o acortarse en la misma cantidad fija porque se desharía el triángulo rectángulo y dejarían de ser triángulos semejantes. Los dos triángulos se mantienen rectángulos y proporcionales a lo que cada lado mide, por lo que son triángulos semejantes. Lo que es común a los tres lados no es la cantidad fija, sino el lógov, la proporción, el porcentaje, la razón o la relación (l).
5 ANEXO III.- LA MEDICIÓN DE LA PIRÁMIDE: 1º.- Como decíamos, si se alarga o acorta el bastón, también se alarga y se acorta proporcionalmente el resto de los lados, por lo que los lados en común de los triángulos formados son proporcionados entre sí: H S T h' s' t' H S T = = = l = = = l = = = l h s t h'' s'' t'' h'' s'' t'' y así sucesivamente º.- Así que: * con los datos obtenidos en la medición de la pirámide, que eran S, s y h, H S H * y si = = l = l H = l * h h s h
VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman
Más detallesSEGUNDA EDICIÓN DEL CURSO DE CAPACITACION EN MATEMATICA PARA PROFESORES DE PRIMARIA
SEGUNDA EDICIÓN DEL CURSO DE CAPACITACION EN MATEMATICA PARA PROFESORES DE PRIMARIA MODULO III - GEOMETRIA ENCUENTRO NÚMERO TRES El Teorema de Thales y sus Aplicaciones 03 DE AGOSTO DE 2014 MANAGUA FINANCIADO
Más detallesEl proyecto Eratóstenes. Guía para el estudiante.
El proyecto Eratóstenes. Guía para el estudiante. En esta actividad vas a trabajar en colaboración con estudiantes de otra escuela para medir el radio de la Tierra. Vas a usar los mismos métodos y principios
Más detallesTEMA 8: TRAZADOS GEOMÉTRICOS
EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL 3º DE LA E.S.O. TEMA 8: TRAZADOS GEOMÉTRICOS En dibujo técnico, es fundamental conocer los trazados geométricos básicos para construir posteriormente formas o figuras de mayor
Más detallesLección 20: Gráficas de frecuencia
Lección : Gráficas de frecuencia En la lección anterior vimos cómo organizar en una tabla de frecuencias, un conjunto de datos que contiene la información sobre alguna variable. Esas tablas permiten una
Más detalles_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas
Más detallesTEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Tema 6 Semejanza de triángulos Matemáticas - 4º ESO 1 TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ESCALAS EJERCICIO 1 : En una fotografía, María y Fernando miden,5 cm y,7 cm, respectivamente; en la realidad, María
Más detallesÁNGULOS Y TRIÁNGULOS EN LAS PIRÁMIDES EGIPCIAS
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS EN LAS PIRÁMIDES EGIPCIAS En las pirámides egipcias, todo parece indicar que fueron diseñadas sobre la base de los Triángulos Sagrados egipcios, que son aquellos triángulos rectángulos
Más detallesEsta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:
Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.
Más detallesGEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMAS DE PROYECCIÓN
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA La Geometría Descriptiva es la ciencia de representación gráfica, sobre superficies bidimensionales, de los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y planos. La Geometría
Más detallesUNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS
UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables
Más detallesLección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones
LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce
Más detallesClase de apoyo de matemáticas Ángulos Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut
Clase de apoyo de matemáticas Ángulos Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut Este texto intenta ser un complemento de las clases de apoyo de matemáticas que se están realizando en la escuela 765 de
Más detallesPRISMA OBLICUO > REPRESENTACIÓN Y DESARROLLO POR EL MÉTODO DE LA SECCIÓN NORMAL
1. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL PRISMA OBLICUO Desde el punto de vista de la representación en SISTEMA DIÉDRICO, el prisma oblicuo presenta dos características importantes que lo diferencian del prisma
Más detallesSISTEMA DIÉDRICO PARA INGENIEROS. David Peribáñez Martínez DEMO
SISTEMA DIÉDRICO PARA INGENIEROS David Peribáñez Martínez SISTEMA DIÉDRICO PARA INGENIEROS David Peribáñez Martínez Valderrebollo 20, 1 A 28031 MADRID 1ª Edición Ninguna parte de esta publicación, incluido
Más detallesHOJA 5 SUCESIONES Y PROGRESIONES
HOJA 5 SUCESIONES Y PROGRESIONES Sucesión: Término general 1.- Calcula el término general de las sucesiones: a) -1, 2, 5, 8, 11, b) 3, 3/2, ¾, 3/8, c) 1, 4, 9, 16, 25, 2.- Halla el término general de cada
Más detallesGEOMETRÍA 1.- INTRODUCCIÓN:
GEOMETRÍA 1.- INTRODUCCIÓN: Etimológicamente hablando, la palabra Geometría procede del griego y significa Medida de la Tierra. La Geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las idealizaciones
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. 1 PÁGINA 180 EJERCICIOS Semejanza de figuras 1 Sobre un papel cuadriculado, haz un dibujo semejante a este ampliado al triple de su tamaño: 2 En un mapa a escala 1 :50 000 la distancia entre dos pueblos,
Más detallesTema 6: Ecuaciones e inecuaciones.
Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 1. Encontrar, tanteando, alguna solución de cada una de las siguientes ecuaciones: 3 a) + 5 = 69 Probamos para =,3,4,... = = 3 3 = 4 4 3 3 3 + 5 = 13. + 5 =
Más detallesEjercicios de Trigonometría
Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple
Más detallesMOOC UJI: La Probabilidad en las PAU
3. Definición intuitiva de probabilidad: ley de Laplace La palabra probabilidad, que usamos habitualmente, mide el grado de creencia que tenemos de que ocurra un hecho que puede pasar o no pasar. Imposible,
Más detallesUna fracción puede interpretarse como parte de un total, como medida y como operador de OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
_ 0-0.qxd //0 0: Página racciones INTRODUCCIÓN Con el empleo de las fracciones se observa la utilidad de los conceptos estudiados como, por ejemplo, las operaciones básicas con números naturales o el cálculo
Más detallesLos últimos cinco reyes de Judá (640 a 587 a.c.) Lección 1A. Jeremías y los últimos cinco reyes de Judá (A) (Jeremías 1:1-3)
Los últimos cinco reyes de Judá (640 a 587 a.c.) Lección 1A Jeremías y los últimos cinco reyes de Judá (A) (Jeremías 1:1-3) Bienvenido a la Lección 1A! Estas lecciones tienen más trabajo que los otros
Más detallesTema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones
Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones 1.- los polígonos. Un polígono es un trozo de plano limitado por una línea poligonal (sin curvas) cerrada. Es un polígono No son polígonos Hay dos clases de polígonos:
Más detallesVectores no colineales.
Vectores no colineales. Por definición son aquellos vectores que no tienen igual dirección. La resultante de los mismos no surge de la suma algebraica de los módulos de dichos vectores, sino que deben
Más detallesTEMA 6: LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
TEMA 6: LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán 1. INTRODUCCIÓN... 1 2. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS... 2 3. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES... 3 4. SEMEJANZA
Más detallesCálculo del radio de la Tierra. Método de Eratóstenes ( Siglo III a.c.)
Cálculo del radio de la Tierra. Método de Eratóstenes ( Siglo III a.c.) Introducción histórica El griego Eratóstenes vivió en Alejandría entre los años 276 a. C. y 194 a. C. Era un conocido matemático,
Más detallesTORNEO DE LAS CUENCAS. 2013 Primera Ronda Soluciones PRIMER NIVEL
TORNEO DE LAS CUENCAS 2013 Primera Ronda Soluciones PRIMER NIVEL Problema 1- La figura adjunta está formada por un rectángulo y un cuadrado. Trazar una recta que la divida en dos figuras de igual área.
Más detallesIDEAS PARA EL AULA. Thales de Mileto y la medición de las pirámides de Egipto
IDEAS PARA EL AULA Epsilon - Revista de Educación Matemática 2011, Vol. 28(1), nº 77, pp. 127-131 Thales de Mileto y la medición de las pirámides de Egipto Elisa Quirós Bajo Alumna del master de educación
Más detallesTemas de electricidad II
Temas de electricidad II CAMBIANDO MATERIALES Ahora volvemos al circuito patrón ya usado. Tal como se indica en la figura, conecte un hilo de cobre y luego uno de níquel-cromo. Qué ocurre con el brillo
Más detallesINSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que
Más detallesRecordando la experiencia
Recordando la experiencia Lanzadera Cohete En el Taller de Cohetes de Agua cada alumno, individualmente o por parejas construisteis un cohete utilizando materiales sencillos y de bajo coste (botellas d
Más detallesMATERIAL DE LECTURA 2014-2
MATERIAL DE LECTURA 2014-2 Parte de esta lectura ( pp 1-4) ha sido extraída del Libro : Contabilidad General Autor: Cevallos, Erly ( 2012),pp 157-160. solo para efectos didácticos. CPC: Mg.. José Henry
Más detallesSOLUCIONES ELEMENTALES A PROBLEMAS ELEMENTALES. Darío Durán Cepeda
1 SOLUIONES ELEMENTLES ROLEMS ELEMENTLES arío urán epeda He sido profesor de matemática desde el año de 1960 hasta la fecha y he aprendido que la matemática no se enseña aunque sí se aprende. Mucha gente
Más detallesEL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos
EL TRIÁNGULO 1. EL TRIÁNGULO. PRIMERAS PROPIEDADES El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades
Más detalles2) PRÁCTICAS DE BIOLOGÍA (2º de Bachillerato) IDENTIFICACIÓN DE CROMOSOMAS HUMANOS Y REALIZACIÓN DE UN IDEOGRAMA DE UN CARIOTIPO
2) PRÁCTICAS DE BIOLOGÍA (2º de Bachillerato) IDENTIFICACIÓN DE CROMOSOMAS HUMANOS Y REALIZACIÓN DE UN IDEOGRAMA DE UN CARIOTIPO OBJETIVO El objetivo de esta práctica es aprender a reconocer los cromosomas
Más detallesDefinición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
Más detallesPARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:
Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay
Más detallesPENDIENTES 2º ESO. Segundo examen DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Preparación del segundo examen de recuperación de MATEMÁTICAS DE 2º ESO Curso 2013-2014
014 015 Preparación del segundo examen de recuperación de MATEMÁTICAS DE º ESO Curso 013-014 PENDIENTES º ESO Segundo examen DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Preparación del segundo examen de recuperación de
Más detallesDIBUJO I. Teórica CLASE 1
DIBUJO I Teórica CLASE 1 Primera parte Objetivo del dibujo Representar sobre una superficie, formas naturales o artificiales, pensamientos e ideas o todo lo imaginado por la mente del hombre. Podemos entender
Más detallesEl rincón de los problemas. Oportunidades para estimular el pensamiento matemático. Triángulos de área máxima o de área mínima Problema
www.fisem.org/web/union El rincón de los problemas ISSN: 1815-0640 Número 37. Marzo 2014 páginas 139-145 Pontificia Universidad Católica del Perú umalasp@pucp.edu.pe Oportunidades para estimular el pensamiento
Más detalles, y su resultado es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes. Si u = (u 1, u 2 ) y v = (v 1, v 2 ), = u1 v 1 + u 2 v 2
Los vectores Los vectores Distancia entre dos puntos del plano Dados dos puntos coordenados del plano, P 1 = (x 1, y 1 ) y P = (x, y ), la distancia entre estos dos puntos, d(p 1,P ), se calcula de la
Más detallesPÁGINA 77 PARA EMPEZAR
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77 Pág. 1 PARA EMPEZAR El arte cósico Vamos a practicar el arte cósico : Si a 16 veces la cosa le sumamos 5, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos
Más detallesDEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS
DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS Ana M. Martín Caraballo, Universidad Pablo de Olavide de Sevilla. José Muñoz Santonja, IES Macarena de Sevilla. ESTALMAT ANDALUCÍA SEDE SEVILLA ÍNDICE INTRODUCCIÓN PRIMERA PARTE:
Más detallesCENAFE MATEMÁTICAS POLÍGONOS
POLÍGONOS Es la porción del plano comprendida dentro de una línea poligonal cerrada. Es la superficie del plano limitada por una línea poligonal. La medida de un polígono es su área. Criterios de clasificación:
Más detallesLa forma algebraica de la ecuación producto cruz es más complicada que la del producto escalar. Para dos vectores 3D y,
Materia: Matemática de 5to Tema: Producto Cruz Marco Teórico Mientras que un producto escalar de dos vectores produce un valor escalar; el producto cruz de los mismos dos vectores produce una cantidad
Más detallesa) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7
1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 1 = x + x 6 = c) x 9x + = d) x 6x 7 = = a) x = 1 y x = 1 x = 3 y x = c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)
Más detallesPROBLEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
PROBLEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS Por: ELÍAS LOYOLA CAMPOS 1. En un recinto del zoológico se tienen dos tipos de animales: avestruces y jirafas. Hay 30 ojos y 44 patas, cuántos animales hay de cada tipo?
Más detallesSOLUCIONES. Matemáticas 3 EDUCACIÓN SECUNDARIA 1 3 1 1 3, 4 2,3 + : a) Expresamos N = 2,3 en forma de fracción: 10 N = 23,333 N = 2,333 21 7 = + = =
Matemáticas EDUCACIÓN SECUNDARIA Opción A SOLUCIONES Evaluación: Fecha: Ejercicio nº 1.- a) Opera y simplifica: 1 1 1, 4, + : 5 b) Reduce a una sola potencia: 4 1 5 5 0 a) Expresamos N =, en forma de fracción:
Más detallesLección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones
Más detallesESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.
ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.
Más detallesBeatriz Galán Luque Natividad Adamuz-Povedano Universidad de Córdoba
Épsilon - Revista de Educación Matemática 2012, Vol. 29(1), nº 80, pp. 75-81 Actividades sobre el tamaño de la Luna y su distancia a la Tierra Beatriz Galán Luque Natividad Adamuz-Povedano Universidad
Más detallesLectura: LA PIRÁMIDE DE KEOPS. Consideraciones didácticas y soluciones
Lectura: LA PIRÁMIDE DE KEOPS Consideraciones didácticas y soluciones 1 El tema de las pirámides nos parece atractivo y motivador para el alumnado y, por ello, nos sirve como excelente punto de partida
Más detallesMedición del radio de la Tierra
Metodología del Álgebra y la Geometría en la Enseñanza Secundaria Metodología de los Recursos en la Enseñanza de las Matemáticas en Secundaria Medición del radio de la Tierra Facultad de Matemáticas 26
Más detallesDatos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina
Datos del autor Nombres y apellido: Germán Andrés Paz Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Correo electrónico: germanpaz_ar@hotmail.com =========0========= Introducción
Más detallesAptitud Matemática ( ) ( ) EDADES RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN. 3x x = 75 3x 5x = 75 x = 15 3(x) = 45. 1 + 2α = 9 + α RPTA.: B RPTA.
EDADES 1 Teófilo tiene el triple de la edad de Pedro Cuando Pedro tenga la edad de Teófilo, este tendrá 75 años Cuál es la edad de Teófilo? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 3 Las edades de tres amigos son
Más detalles1 Estática Básica Prohibida su reproducción sin autorización. CONCEPTOS DE FISICA MECANICA. Conceptos de Física Mecánica
1 CONCEPTOS DE FISICA MECANICA Introducción La parte de la física mecánica se puede dividir en tres grandes ramas de acuerdo a lo que estudia cada una de ellas. Así, podemos clasificarlas según lo siguiente:
Más detallesAPLICABILIDAD DE LA TRIGONOMETRÍA: MIDIENDO ALTURAS
APLICABILIDAD DE LA TRIGONOMETRÍA: MIDIENDO ALTURAS AUTORIA NOEMI MÍNGUEZ LOPERA TEMÁTICA TRIGONOMETRÍA ETAPA 3º Y 4º DE ESO Resumen En este artículo vemos una de las aplicaciones de la tosca geometría
Más detallesOPERATORIA CON NUMEROS NEGATIVOS
OPERATORIA CON NUMEROS NEGATIVOS Conjunto Z de los N os Enteros María Lucía Briones Podadera Profesora de Matemáticas Universidad de Chile. 34 CONJUNTO Z DE LOS NUMEROS ENTEROS.- Representación gráfica
Más detallesLos polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x
Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada
Más detallesECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1- ECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra sin eponente y que es cierta para un solo
Más detallesQué son los monomios?
Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes
Más detallesColegio Alexander von Humboldt - Lima. Tema: La enseñanza de la matemática está en un proceso de cambio
Refo 07 2004 15 al 19 de noviembre 2004 Colegio Alexander von Humboldt - Lima Tema: La enseñanza de la matemática está en un proceso de cambio La enseñanza de la matemática debe tener dos objetivos principales:
Más detallesAnálisis de propuestas de evaluación en las aulas de América Latina
Este trabajo de evaluación tiene como objetivo la caracterización de figuras del espacio. Para ello el alumno debe establecer la correspondencia entre la representación de la figura y algunas de sus propiedades.
Más detalles1.3 Números racionales
1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples
Más detalles1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS
1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es Revisores: Javier Rodrigo y Raquel Hernández Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF 19 Índice 1. PERÍMETROS Y ÁREAS
Más detallesLos números racionales
Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones
Más detallesConsideremos un mercado normal con una oferta y una demanda normales (Gráfico 1).
NOTA SOBRE INCIDENCIA (nota técnica apta para economistas y gente que quiera aprender teoría económica): Cuando hice la propuesta de reducir el IVA en Chile, algunos de los miembros de este foro recordaron
Más detallesCaracterización geométrica
Caracterización geométrica Ahora vamos a centrar nuestra atención en la elipe. Esta figura geométrica tiene la misma esencia que la circunferencia, pero ésta está dilatada en uno de sus ejes. Recuerda
Más detallesProblemas de ecuaciones de primer grado
Problemas de ecuaciones de primer grado 1. La suma de dos números pares consecutivos es 102. Halla esos números. (50 y 52) 2. La suma de tres números impares consecutivos es 69. Busca los números. (21,23
Más detallesINSTRUCCIONES SOBRE CÓMPUTO Y LIQUIDACION DE LA JORNADA DE TRABAJO PARA NOMBRAMIENTOS DE DURACION INFERIOR A UN AÑO.
INSTRUCCIONES DG RRHH COMPUTO JORNADA 28/05/04 INSTRUCCIONES SOBRE CÓMPUTO Y LIQUIDACION DE LA JORNADA DE TRABAJO PARA NOMBRAMIENTOS DE DURACION INFERIOR A UN AÑO. Objetivos Las presentes instrucciones
Más detallesEstudio estático y dinámico de un muelle
PRÁCTICA Nº 2 Estudio estático y dinámico de un muelle Objetivo general.- Determinar la constante elástica de un muelle. A.- Estudio Estático A.1.- Objetivo.- Calcular la constante K de un muelle mediante
Más detallesCÓMO HACER MOSAICOS AL ESTILO ESCHER POR: ELÍAS LOYOLA CAMPOS
CÓMO HACER MOSAICOS AL ESTILO ESCHER POR: ELÍAS LOYOLA CAMPOS AUTORETRATO 1943 El 17 de junio de 1998, se cumplió el primer centenario del natalicio del genial grabador Mauricio Cornelio Escher, quien
Más detallesESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos.
ESTATICA: Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. TIPOS DE MAGNITUDES: MAGNITUD ESCALAR: Es una cantidad física que se especifica por un número y una unidad. Ejemplos: La temperatura
Más detallesNOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA CONTENIDO Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas Coordenadas cartesianas de un punto Distancia entre dos
Más detallesLABORATORIO Nº 2 GUÍA PARA REALIZAR FORMULAS EN EXCEL
OBJETIVO Mejorar el nivel de comprensión y el manejo de las destrezas del estudiante para utilizar formulas en Microsoft Excel 2010. 1) DEFINICIÓN Una fórmula de Excel es un código especial que introducimos
Más detallesVECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5.
VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5. Elementos de un vector. 6. Concepto de origen de un vector. 7.
Más detallesQué debo hacer después de ser salvo para agradar a Dios?
LECCIÓN 3: EL BAUTISMO "... Este es mi Hijo amado, en quien tengo complacencia." Mt. 3:17 Qué debo hacer después de ser salvo para agradar a Dios? Entre las muchas religiones que existen hoy, el bautismo
Más detallesJuan 9:1-12 Jesús sana a un ciego de nacimiento
Estudios Bíblicos del Evangelio de Juan Juan 9:1-12 Jesús sana a un ciego de nacimiento 1. Introducción. Dolor, enfermedad, sufrimiento son parte de nuestra realidad. Y aunque no podemos evitar todas estas
Más detallesGuía del docente. Guía para el docente Geometría Volumen de un cuerpo por rotación y traslación
Guía del docente Descripción curricular: - Nivel: 4. Medio - Subsector: Matemática - Unidad temática: - Palabras claves: traslación, rotación, generación de cuerpos, volumen, esfera, cilindro, cono, prisma,
Más detallesPROBLEMAS DE ÓPTICA RESUELTOS
PROBLEMAS DE ÓPTICA RESUELTOS PROBLEMAS DEL CURSO En el fondo de un recipiente con agua de 1 m de profundidad hay un foco que emite luz en todas las direcciones. Si en la vertical del foco y en la superficie
Más detalles2. El largo de un buque, que es de 99 metros, excede en 3 metros a 8 veces el ancho. Hallar el ancho.
Problemas. Un comerciante compra 5 trajes y 5 pares de zapatos por 6, pesos. Cada traje costó el doble de lo que costó cada par de zapatos más 5 pesos. Hallar el precio de los trajes y de los pares de
Más detallesVectores: Producto escalar y vectorial
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con
Más detallesTrabajo y energía: ejercicios resueltos
Trabajo y energía: ejercicios resueltos 1) Un hombre debe mover 15 metros una caja de 20Kg realizando una fuerza de 40N. Calcula el trabajo que realiza si: a) Empuja la caja desde atrás. b) Tira de la
Más detallesb) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:
1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el
Más detallesPolinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo
Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales
Más detallesVECTORES. Abel Moreno Lorente. February 3, 2015
VECTORES Abel Moreno Lorente February 3, 015 1 Aspectos grácos. 1.1 Deniciones. Un vector entre dos puntos A y B es el segmento de recta orientado que tiene su origen en A y su extremo en B. A este vector
Más detallesCAPÍTULO II INTRODUCCION A LA MATEMÁTICA FINANCIERA EN LA GESTIÓN
CAPÍTULO II INTRODUCCION A LA MATEMÁTICA FINANCIERA EN LA GESTIÓN Introducción. En la bibliografía dreferida a la matemática financiera el primer término que aparece es el de "Capital financiero". Se entiende
Más detallesNÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de
Más detallesCOMERCIO INTERNACIONAL ECONOMIA CLASICA: VENTAJAS ABSOLUTAS Y COMPARATIVAS
COMERCIO INTERNACIONAL Cátedra: Lic. Eliana Scialabba ECONOMIA CLASICA: VENTAJAS ABSOLUTAS Y COMPARATIVAS Conceptos básicos de la economía clásica Hasta el mercantilismo inclusive, la riqueza se creaba
Más detallesActividades con GeoGebra
Conectar Igualdad - "Netbooks Uno a Uno" Actividades con GeoGebra Nociones básicas, rectas Silvina Ponce Dawson Introducción. El GeoGeobra es un programa que permite explorar nociones matemáticas desde
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Factorización
Factorización La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación
Más detallesTarea 7 Soluciones. Sol. Sea x el porcentaje que no conocemos, entonces tenemos la siguiente. (3500)x = 420. x = 420 3500 = 3 25
Tarea 7 Soluciones. Una inversión de $3500 produce un rendimiento de $420 en un año, qué rendimiento producirá una inversión de $4500 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo? Sol. Sea x el porcentaje
Más detallesIX Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid
PRUE POR EQUIPOS 1º y 2º de E.S.O. (45 minutos) 1.- Hallad todos los valores de p y q para que el número de cinco cifras p 5 4 3 q sea múltiplo de 36. 2.- ompleta el siguiente crucinúmeros en el que, como
Más detallesCómo construir un reloj de Sol
Cómo construir un reloj de Sol Historia de los Relojes de Sol: Desde tiempos inmemoriales la humanidad ha sabido que la forma en la que cambia la sombra de un objeto indica la hora del día, que la sombra
Más detalles1.1Estándares de longitud, masa y tiempo
CLASES DE FISICA 1 PRIMER PARCIAL 1) UNIDADES DE MEDIDA 2) VECTORES 3) MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION 4) MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 5) MOVIMIENTO RELATIVO FÍSICA Y MEDICIONES Al igual que todas las demás
Más detallesGeometría Tridimensional
Capítulo 4 Geometría Tridimensional En dos dimensiones trabajamos en el plano mientras que en tres dimensiones trabajaremos en el espacio, también provisto de un sistema de coordenadas. En el espacio,
Más detalles100(n + 2) + 10(n + 1) + n. Análogamente, para el número que se obtiene al invertir las cifras del primero, resulta: 100 n + 10(n + 1) + (n + 2)
INVERSIÓN DE NÚMEROS Los Números de 3 Cifras Decrecientes en 1 y el Número 198. Escríbase un número de tres cifras decrecientes en 1, por ejemplo, 765; inviértanse las cifras: 567; efectúese la resta de
Más detalles