Unidad II: Números pseudoalealeatorios

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1 1 Unidad II: Números pseudoalealeatorios Generación de números aleatorios Un Número Aleatorio se define como un número al azar comprendido entre cero y uno. Su característica principal es que puede suceder en cualquiera de ellos la misma posibilidad. La aplicación de los números aleatorios se remonta a los tiempos de la primera revolución industrial, cuando los procesos manuales tuvieron que reemplazarse por procesos mecanizados como consecuencia de la explosión demográfica que se estaba presentando en los países desarrollados con la disminución de las tasas de mortalidad y el aumento de las tasas de natalidad y que, para satisfacer las necesidades de la población cada vez más creciente hubo necesidad de incrementar la producción de toda clase de bienes y servicios. La mecanización de los procesos de fabricación tuvo como necesidad la creación de técnicas que permitieran realizar simulaciones de dichos procesos y, para ello, la utilización de los números aleatorios en dichas técnicas. De esta manera, es posible identificar diferentes métodos usados a través de la historia para generar números aleatorios que pudieran ser utilizados en los procesos de simulación de las actividades industriales. Dichos métodos pudiéramos clasificarlos en: Manuales Tablas de Biblioteca Generadores Analógicos Generadores Digitales Métodos de Recurrencia o Congruenciales Los primeros en utilizarse fueron los métodos manuales como: ruleta, dados, baraja, etc., que eran los que se disponía en aquella época y que permitieron generar números aleatorios para usarse en los incipientes procesos de simulación. Sin embargo, al desarrollarse nuevas técnicas de fabricación de artículos y como consecuencia del avance tecnológico, poco a poco éste método para generar números aleatorios fué siendo cada vez más insuficiente y poco práctico. Fue de esa manera como surge el método de las tablas de biblioteca, que consiste en generar una gran cantidad de números aleatorios por los mismos métodos manuales y colocarlos en forma de tabla, con renglones y columnas. De esta forma, si se requería utilizar números aleatorios, bastaba con tomar la tabla, seleccionar un renglón y una columna de los mismos y una determinada secuencia, que podría ser de izquierda a derecha y de arriba a abajo, de derecha a izquierda y de abajo hacia arriba, etc. y usar los números ya generados para los procesos de simulación. De tal

2 2 forma que se disminuía el tiempo para generar los números aleatorios e incrementaba la eficiencia de los procesos de simulación. Sin embargo, al desarrollarse la industria, de nuevo esta forma de utilizar los números aleatorios fue quedando obsoleta y hubo necesidad de buscar nuevas alternativas que permitieran eficientar más aún los métodos para generar números aleatorios e incorporarlos a los procesos de simulación. Surgen así los métodos analógicos y digitales, los primeros consisten en un algoritmo que permitiera generar mediante una máquina los números aleatorios e incorporarlos rápidamente a los procesos de simulación; los segundos consisten en desarrollar máquinas (electrónicas) de tal manera que presionando una tecla pudiéramos rápidamente generar el número aleatorio. Para los métodos anteriores fue indispensable desarrollar un algoritmo para poder generar los números aleatorios que, dicho sea de paso, en realidad NO ERAN ALEATORIOS, pues al hacer uso de un PROCEDIMIENTO ya no podrían ser considerados como aleatorios (por su definición). A los números así generados se les denomina PSEUDOALEATORIOS, aunque para efecto de lo que vamos a tratar aquí, les seguiremos denominando ALEATORIOS. Los algoritmos desarrollados se les denomina Métodos Congruenciales o Recurrentes, pues recurren a los números generados para poder generar el resto de los números aleatorios que se requieren. Los métodos recurrentes son muchos, pero aquí analizaremos solamente 5 métodos, el primero de ellos, solamente por su trascendencia histórica al ser el pionero en la generación de números aleatorios con esta técnica. El resto SI se analizarán más a detalle. 2.1 Métodos de generación de números pseudoaleatorios. Método de los cuadrados medios Este método fue planteado por Von Neumann en Se basa en tomar un número, elevarlo al cuadrado y tomar los dígitos del centro como nuevo número, luego repetir el procedimiento. Ejemplo con 4 dígitos : La desventaja es que la secuencia generada por lo general es corta. El ejemplo anterior luego de 34 números degenera a 0; y si en lugar de empezar con 2061 empezamos con 2500, se repite 2500 en la primer iteración (y por lo tanto, en todas las restantes). Aún así si se toman números muy largo se puede llegar a secuencias de 100,000 números diferentes. Procedimiento: 1.- Seleccionar un valor para semilla (n o ) entero, positivo, con e dígitos par

3 3 2.- Elevar al cuadrado n o, completar con ceros a la izquierda del número hasta tener 2*e dígitos, seleccionar los e dígitos centrales del número como n i 3.- Calcular r i = n i 10 e 4.- Repetir 2 y 3 tantas veces como sea necesario. Ejemplo: Suponga que se desean generar números aleatorios por el método de los cuadrados medios con 1111 como semilla i número al cuadrado (n 2 i-1 ) n i r i

4 Método multiplicativo 1. Seleccionar un valor para semilla (n o ) entero, positivo, impar, no divisible por 5 y con e dígitos par. 2. Seleccionar un valor para λ cercano a 10 e/2 a partir de λ = 200t±p Donde: t = cualquier número entero (- λ ) p = un número primo (véase el apéndice A) 3. Calcular n i = n i-1 λ utilizando aritmética entera (es decir, seleccionando los e dígitos del lado derecho del número). 4. Calcular r i = n i /10 e. 5. Repetir 3-4 tantas veces como sea necesario o hasta que se repita la serie. h 5 x 10 e-2 Donde h representa la longitud de serie (es decir, la cantidad de números que se pueden generar hasta antes de que se repita uno de ellos, en cuyo caso se repetirá la serie) Ejemplo: Suponga que se desean generar números aleatorios por el método multiplicativo con 1111 como semilla. n 0 = 1111; e = 4 (pues tiene 4 dígitos) Para seleccionar λ, lo primero que se debe hacer es calcular 10 e/2, que para este ejemplo es 10 4/2 = 10 2 = 100. Es decir, se debe seleccionar un valor para λ cercano a 100 pero a partir de la ecuación λ = 200t ± p. Como p es un número primo, es imposible obtener un valor de 100, pues al sumar o restar un número primo (que siempre es impar, a excepción del número 2), el resultado siempre será un número impar. Entonces el objetivo es encontrar un valor de 99 o de 101, que es el impar más cercano a 100. Ahora bien, como t es cualquier valor entero y al no poder saber cuál es, entonces se considera primero el valor 0 (cero), pues es la mitad del intervalo dado para t. Por lo tanto, si t = 0, entonces λ = 200(0) ± p = ± p = + 101, pues el 99 no es número primo. Como ya se sabe que no se puede mejorar el valor, se selecciona λ = 101. El resto de los cálculos aparecen en la siguiente tabla:

5 5 I n i-1 λ n i (aritm. entera) r i = n i /10 e *101 = *101 = *101 = *101 = De hecho, el proceso se repite tantas veces sea necesario generar números aleatorios o hasta que se repita la serie, que para este ejemplo, debe ser aproximadamente en el quinientosavo número aleatorio (h 5 x 10 e-2 = 5 x = 5 x 10 2 = 500) Método aditivo 1. Generar una tabla de k números enteros positivos (k 10 e 3) 2. Sumar el último elemento de la tabla con el primero, generando de esta manera n i (utilizando aritmética entera) 3. Calcular r i = n i /10 e 4. Sumar el n i generado con el segundo número de la tabla y así sucesivamente En este caso, la longitud de serie (h) tiende a ser infinita, pues podrá repetirse un número, pero nunca se repite la serie completa. Ejemplo: Suponga que se genera la tabla con 10 elementos siguientes por el método de los cuadrados medios (aunque puede usarse cualquiera de los métodos para generar números aleatorios para generar esta tabla. Por lo tanto, k = 10 i Número

6 Ahora se suma el último elemento en la tabla con el primero de la tabla para generar n i, y repetimos el proceso hasta generar 15 números aleatorios (aunque pueden ser los que se deseen), como se muestra en la tabla siguiente: i Suma n i r i = n i /10 e = = = = = = = = = = = = = = = Como podrá observarse, a pesar de que se usan siempre los mismos valores de la tabla, los números aleatorios resultantes son diferentes, con lo cual se comprueba que la serie, para el método aditivo, tiende a ser infinita. Método mixto 1. Seleccionar un valor para semilla (n o ) entero, positivo y con e Seleccionar un valor para c entero, positivo, impar y con número de dígitos menor o igual a e 3. Seleccionar un valor para λ cercano a 10 e/ Calcular n i = n i-1 λ + c utilizando aritmética entera 5. Calcular r i = n i /10 e

7 7 6. Repetir 4 y 5 tantas veces como sea necesario generar números aleatorios o hasta que se repita la serie. h 5 x 10 e-2 Ejemplo: Suponga que se desean generar números aleatorios por el método aditivo con un valor de n 0 = 222 y con un valor para c = 25. Como la semilla tiene 3 dígitos, e = 3; por lo que 10 e/2 = 10 3/2 = Por lo tanto, λ = 33 El resto de los cálculos aparecen en la siguiente tabla. I n i-1 λ + c n i (aritm. entera) r i = n i /10 e 1 222* = * = * = * = De hecho, el proceso se repite tantas veces sea necesario generar números aleatorios o hasta que se repita la serie, que para este ejemplo, debe ser aproximadamente en el quinientosavo número aleatorio (h 5 x 10 e-2 = 5 x = 5 x 10 2 = 500) Método combinado 1. Generar una tabla de k números enteros positivos (k 10 e 3) 2. Generar un índice j (1 j k) generado a partir de j = int(rnd k ) 3. Seleccionar el j-ésimo elemento de la tabla como n i 4. Reemplazar el n i seleccionado por uno nuevo. 7. Calcular r i = n i /10 e 5. Repetir 2, 3, 4 y 5 tantas veces como sea necesario generar números aleatorios En este caso, la longitud de serie (h) tiende a ser infinita, al igual que en el método aditivo, pues podrá repetirse un número, pero nunca se repite la serie completa. Ejemplo: Suponga que se genera la tabla con 10 elementos siguientes por el método de los cuadrados medios (aunque puede usarse cualquiera de los métodos para generar números aleatorios para generar esta tabla. Por lo tanto, k = 10.

8 8 i Número Número que reemplaza Número que reemplaza Número que reemplaza Número que reemplaza El resto del cálculo aparece en la siguiente tabla. Nota: los números aleatorios (rnd) que aparecen en la tabla, fueron calculados a partir de los números aleatorios generados por el método aditivo. i j = int(rnd k ) n i r i = n i /10 e 1 J = int(0.4895* ) = J = int(0.9791* ) = J = int(0.9499* ) = J = int(0.1951* ) = J = int(0.2074* ) = J = int(0.2225* ) = J = int(0.2453* ) = J = int(0.2972* ) = J = int(0.5665* ) = J = int(0.8187* ) =

9 9 11 Como podrá observarse, a pesar de que se usan siempre los valores de la tabla, los números aleatorios resultantes son diferentes, puesto que al ser reemplazados por valores nuevos, jamás podrá repetirse la serie, con lo cual se comprueba que la serie, para el método combinado, tiende a ser infinita. 2.2 Pruebas estadísticas de aleatoriedad En esta sección se describen 2 de las pruebas estadísticas que se aplican a los números pseudoaleatorios generados por cualquiera de los métodos anteriores; en la primera de ellas, se tratará de verificar la hipótesis de que los números generados provienen de la distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1], en la segunda de ellas, se aplicará la prueba de corrida, misma que sirve para verificar que los números son efectivamente aleatorios. A continuación se detallan ambas pruebas: Prueba de Kolmogorov-Smirnov Esta prueba sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto de observaciones provienen de una determinada distribución. La estadística D que se utiliza en esta prueba es una medida de la diferencia máxima observada entre la distribución empírica (dada por las observaciones) y la teórica supuesta. La estadística D es obviamente una variable aleatoria. A continuación se detalla cómo se utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de números pseudoaleatorios tiene una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0, 1]. Paso 1. Se formula la hipótesis, H 0 de que los números provienen de una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0, 1]. Paso 2. Se selecciona una muestra de tamaño n de números pseudoaleatorios generados (Knuth recomienda n = 1000). Sea F n (X), de la siguiente manera: Paso 3. Calcule la función de distribución acumulada empírica, F n (x), de la siguiente manera: Ordene los valores de la secuencia, tal que X i X i+1 para toda i. Haga F n (0)= 0 y F n (X i ) = i / n, i = l, 2,..., n. Paso 4. Evalúe la estadística de Kolmogorov-Sminov, D, a partir de

10 10 D = MáxІF n (X i )-X i І, 0<X i < 1. Paso 5. Consulte la tabla de límites aceptables para la prueba de Kolmogorov-Smirnov, para un tamaño de muestra n y un determinado nivel de riesgo α(ver apéndice B). Si D es menor o igual a este número se acepta H Q ; de otra manera se rechaza H Q. Ejemplo. De una tabla de números aleatorios se eligen los siguientes 50 (divididos entre 100 para que su valor oscile entre 0 y 1) Se desea probar la hipótesis H 0 : Provienen de una distribución uniforme en [0, 1], a un nivel de significancia del 90%. Paso 2. Se arregla la tabla anterior para que se cumpla la condición X X i+1 para toda i Paso 3. Se construye F n (X ) para toda i siendo n = 50. Paso 4. F n (0.00) = 0.00 F n (0.12) = 0.22 F n (0.36) = 0.43 F n (0.65) = 0.64 F n (0.85) = 0.90 F n (0.02) = 0.04 F n (0.13) = 0.24 F n (0.37) = 0.48 F n (0.66) = 0.66 F n (0.90) = 0.92 F n (0.03) = 0.06 F n (0.19) = 0.26 F n (0.38) = 0.50 F n (0.68) = 0.70 F n (0.94) = 0.96 F n (0.04) = 0.08 F n (0.23) = 0.28 F n (0.42) = 0.52 F n (0.70) = 0.74 F n (0.97) = 0.98 F n (0.05) = 0.10 F n (0.24) = 0.30 F n (0.45) = 0.54 F n (0.73) = 0.76 F n (0.99) = 1.00 F n (0.08) = 0.12 F n (0.31) = 0.32 F n (0.63) = 0.56 F n (0.74) = 0.82 F n (0.09) = 0.16 F n (0.32) = 0.34 F n (0.64) = 0.62 F n (0.77) = 0.84 F n (0.10) = 0.20 F n (0.34) = 0.38 F n (0.80) = 0.86 F n (0.35) = 0.42 F n (0.82) = 0.88 que ocurre para F n (.38). D = MáxІF n (X i )-X i І = 0.12

11 11 Paso 5. Para un nivel de significancia del 90% y una muestra de 50 números se tiene del apéndice B, un valor Como D < se acepta H Q : Los 50 números si provienen de una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0, 1].

12 12 Prueba de corrida Una corrida se define como un conjunto de números que aparecen ordenados en forma monofónicamente creciente o decreciente. Por ejemplo: 03, 23, 57, 92, 99 contiene una sola corrida, mientras que 03, 99, 23, 92, 57 contiene 3 corridas: (03, 99), (23, 92), (57). Si se utiliza el signo (+) para identificar que el número que aparece a la derecha de otro es mayor, o (-) si es menor, se tiene que: 03, 10, 23, 57, 92, 99 +, +, +, +, + mientras que 03,99,23,92,57 +,-,+,-. Esta prueba se basa en el supuesto que el número de corridas es una variable aleatoria. Se ha demostrado que si una secuencia tiene más de 20 números, el número de corridas es una variable aleatoria distribuida normalmente con media y variancia conocida. La prueba se realiza de la siguiente manera: Paso 1. Se formula la hipótesis H o : La secuencia de números es aleatoria. Paso 2. Se selecciona una muestra de tamaño n (n > 20). Paso 3. Se definen con los signos (+) y (-) las posibles corridas. Paso 4. Se define a la estadística r como el número de corridas. Paso 5. Si n > 20 y H o es verdadera, entonces r se aproxima a una distribución normal con media y varianza E r = 2n 1 3 Var r = Paso 6. Se acepta HQ, a un nivel de riesgo a, si 16n α 2 Z r E r Var r 1 α 2 Donde Z(.) se encuentra tabulada en la distribución normal (ver apéndice C) Ejemplo. Se tiene la siguiente secuencia de números pseudoaleatorios:

13 Se tiene r = 35 y E r = 2n 1 3 = = = 99 3 = 33 Var r = 16n r E(R) Var(r) = = = = = 0.68 = = 8.57 De las tablas de distribución normal (apéndice C) se tiene Z 0.68 = Por lo que para un nivel de riesgo, por ejemplo 10%, se tiene α 2 Z α Z Por ello, se afirma la hipótesis H 0 : La secuencia de números es aleatoria.

14 Método de Monte Carlo Conceptos Generales Si el sistema que se está simulando incluye entradas que son variables aleatorias, el modelo de simulación debería reflejarlas con la mayor precisión posible. Una forma de hacerlo es usando una técnica llamada simulación de Monte Carlo, en la cual el simulador se diseña para que los eventos simulados ocurran aleatoriamente y reflejen las frecuencias teóricas que se están modelando. El método fue llamado así por el principado de Mónaco por ser la «capital del juego de azar», al tomar una ruleta como un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 con el desarrollo de la computadora electrónica. Sin embargo hay varias instancias (aisladas y no desarrolladas) en muchas ocasiones anteriores a La simulación de Monte Carlo fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver por métodos analíticos; para resolver estas integrales se usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para cualquier esquema que emplee números aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas. Ejemplo La simulación de Monte Carlo utiliza números aleatorios, que pueden generarse por programas de computación o tomados de una tabla de números aleatorios, para generar eventos simulados. El proceso de relacionar números aleatorios con eventos simulados se llama mapeo de números aleatorios. Para ilustrar como se desarrollan los mapeos de números aleatorios y cómo se usan los números aleatorios en una simulación de Monte Carlo, consideremos el siguiente ejemplo de la Jewel Vending Company6. Problema Bill Jewel es el dueño de la Jewel Vending Company, que instala y provee máquinas expendedoras de golosinas en supermercados, tiendas y restaurantes. Bill está considerando instalar una máquina expendedora de caramelos en un supermercado de la Avenida Lincoln. La máquina expendedora contiene 80 caramelos. Idealmente, Bill desea llenar la máquina cada vez que su contenido llega a la mitad. Basado en la performance de lugares similares, Bill estimó la siguiente distribución de demanda diaria: P(demanda diaria = 0 caramelos) =.10 P (demanda diaria = 1 caramelo) =.15 P (demanda diaria = 2 caramelos) =.20 P (demanda diaria = 3 caramelos) =.30

15 15 P (demanda diaria = 4 caramelos) =.20 P (demanda diaria = 5 caramelos) =.05 Bill desea estimar el número de días que le tomará a una máquina llena llegar a 40 unidades. Esta información le permitirá saber la frecuencia para rellenar la máquina. Solución Bill puede considerar estimar el tiempo esperado entre rellenados calculando el promedio de demanda diaria, basado en la distribución de probabilidad y dividiendo 40 por este valor. Tiempo esperado entre rellenados = 40 = 40 = 16 días (5) 2.5 Bill no está seguro de que este método le de el verdadero promedio de días requeridos para vender 40 o más caramelos, pero considera que es una buena aproximación. Para probarla utilizará la simulación. Simulación de demanda diaria Para simular el sistema de Jewel Vending Company, definimos la variable aleatoria: X = demanda diaria de caramelos en el supermercado Con base en las estimaciones de Bill, la función de distribución de probabilidad para X es la de la siguiente tabla: x 0 P(X = x) Distribución de probabilidad La teoría aplicada supone que si se simulan 1000 días del sistema de Jewel Vending Company, los resultados esperados son aproximadamente 100 días de demanda nula, 150 días de demanda 1, etc. Sin embargo, no se debe seguir un patrón, como que la demanda sea cero en los días 1, 11, 21, etc. Mapeo de números aleatorios Una forma de simular eventos aleatorios que siga la distribución de probabilidad deseada es generar números aleatorios entre 00 y 99 de forma tal que cada número tenga igual

16 16 probabilidad de ser elegido (distribución uniforme). Luego se asignan 10 de estos números al evento «demanda diaria = 0», 15 al evento «demanda diaria = 1», etc. Dado que cada número entre 00 y 99 tiene la misma probabilidad de ser elegido, la probabilidad de cualquier número es de 1/1 00. Por lo tanto, si 10 de estos números son asignados a «demanda diaria = 0», este evento ocurrirá con una probabilidad de.10. El modo más simple de hacer esto es asignar los primeros 10 números a «demanda diaria = 0», los siguientes 15 a «demanda diaria = 1», etc. Este proceso se denomina mapeo de números aleatorios, porque relaciona un número aleatorio a la salida de un evento simulado. Demanda diaria (X) Números aleatorios correspondientes Mapeo de números aleatorios Enfoque de distribución acumulada para el mapeo de números aleatorios A pesar de que este enfoque funciona bien para variables aleatorias discretas, es necesario un enfoque más general para distribuciones continuas. Una forma que puede usarse tanto con distribuciones discretas como continuas involucra el uso de la función de distribución acumulada para la variable aleatoria, X. Una distribución acumulada, F(x), da la probabilidad de que X sea menor o igual a algún valor x; o sea, F(x) = P(X d» x). La función de distribución acumulada para el problema de Jewel Vending Company es la siguiente: x F(x) = P(X d» x) Distribución acumulada Si un número aleatorio Y (entre 0 y 1) es elegido, se puede determinar el valor para el evento encontrando el valor mínimo de x para que F(x) e» Y. Por ejemplo, si se elige el número 0.34, el valor mínimo de x para que F(x) e» 0.34 es 2. Este es el mismo valor de demanda que se obtenía mediante la tabla de mapeo de números aleatorios.

17 17 Generación de números aleatorios Una forma de generar números aleatorios entre 00 y 99 consiste en tomar 100 bolas y marcar cada una de ellas con un número entre 00 y 99 y ponerlas en una caja. Un número aleatorio puede generarse eligiendo una bola de la caja y mirando su número. En la práctica, lo que se hace es imitar este proceso mediante el uso de una computadora con un generador de números aleatorios. Un generador de números aleatorios en realidad genera lo que se denomina números pseudo-aleatorios, porque los números no son realmente aleatorios sino que son generados a partir de una fórmula matemática. Un generador de números aleatorios parte de un valor inicial, llamado semilla, y produce una secuencia de números que tienen las siguientes características: Todos los números tienen la misma probabilidad de ocurrir. No hay relación aparente entre los números generados por la fórmula. Simulación del problema Usando un conjunto de números pseudo-aleatorios (ver Anexo A) se ilustrará como realizar una simulación para el problema propuesto. El enfoque es el siguiente: Comenzando en el día 1, un número aleatorio es elegido para determinar la demanda diaria para ese día. El valor de demanda será usado para actualizar el número total demandado hasta la fecha. La simulación será repetida para el día 2, luego el día 3, etc., hasta que la demanda total acumulada alcance 40 o más. El número de días simulados requeridos para alcanzar la demanda de 40 o más luego será almacenado. Dado que sólo se necesitan números aleatorios de dos dígitos para generar demandas de caramelos, la simulación comienza usando los primeros dos dígitos de la primera fila de la columna 1 en el Anexo A. Para cada día subsiguiente, una nueva demanda será determinada usando el número de dos dígitos de la siguiente fila de la columna 1. El primer número de la columna 1 es Los primeros dos dígitos son 65. Según el mapeo de la Tabla 2.3, el número aleatorio correspondiente al número 65 es de tres caramelos. Para el día 2, se utilizan los primeros dos dígitos del número aleatorio de la segunda fila de la primer columna, 77. Esto corresponde a una demanda de cuatro unidades. Continuando en la columna 1, se llega al resultado de la tabla siguiente:

18 18 Día Número aleatorio Demanda Demanda total acumulada Simulación Día Número aleatorio Demanda Demanda total acumulada Segunda simulación En la primera simulación, se ve que tomó 18 días vender 40 caramelos, 2 días más de los 16 que había estimado Bill originariamente. De todas formas, es difícil sacar conclusiones a partir de una ejecución de simulación. Para conseguir una mejor estimación, es necesario ejecutar varias veces la simulación. Al ejecutar la simulación una segunda vez, usando como entrada los números aleatorios de la columna 15 del Anexo A, se obtienen los resultados de la segunda simulación. Esta vez tomó 14 días vender 40 caramelos. Además la demanda fue de 41 en vez de 40 caramelos.

19 19 Se suelen utilizar diagramas de flujo para representar el programa de computación que se utilizará para resolver el problema. La Figura siguiente muestra un posible diagrama de flujo para la simulación del problema de Jewel Vending Company. El propósito de ejecutar la simulación, es determinar si el número de días requeridos para vender 40 caramelos es, efectivamente, 16. Ninguna de las dos ejecuciones dio como resultado 16, sin embargo, el promedio del resultado de las dos ejecuciones, 18 y 14, es 16. A medida que se ejecuten más simulaciones, las leyes de probabilidad sugieren que el promedio calculado se acercará más al verdadero promedio. Se puede utilizar Excel para simular el problema de Jewel Vending Company. Esta simulación se realiza de la manera siguiente:

20 20 Mediante expresiones IF, se imprime el día en la columna A si aún no se vendieron 40 caramelos. En la columna B, se genera la demanda diaria usando variables aleatorias y el comando VLOOKUP. La tabla de búsqueda es ingresada en las columnas G y H. La demanda acumulada es generada en la columna C, sumando la demanda diaria y la acumulada del día anterior. Asumiendo que nunca tomará más de 100 días vender 40 caramelos, las fórmulas de las celdas A6:C6 son arrastradas 100 filas hasta las celdas A1 05:C1 05. El número máximo de la columna A es el número de días que tomará vender 40 o más caramelos. Este valor se almacena en la celda E1. Esta simulación puede ser replicada mediante la tecla F9 en Excel. Validación de Modelos de Simulación Introducción La validación de un modelo de simulación es la demostración de que el modelo representa la realidad con un grado de exactitud adecuado para la aplicación deseada.

21 21 Es importante advertir que la validación de modelos no consiste únicamente en procedimientos y construcciones enteramente formales y objetivos. La validación, en cualquier disciplina, debe contener componentes subjetivos y semiformales por varias razones. Una razón importante tiene que ver con la relación entre la validez de un modelo y su propósito. Es imposible desligar el proceso de validación del propósito del modelo. Además, una vez que la validación es vista como «una utilidad con respecto a un propósito», tendría que ser cuestionada la propia «utilidad del propósito». Es decir, juzgar la validez de un modelo fundamentalmente implica juzgar también la validez de su propósito, lo cual es esencialmente un proceso no técnico, informal y cualitativo. Otro aspecto informal y no técnico de la validación es su naturaleza distribuida y prolongada. La validación, para que sea efectiva, debería ser un proceso gradual, repartido a lo largo de toda la metodología de modelado. Validación de modelos de simulación La validación de modelos de simulación consta de tres fases, la validación conceptual, la validación lóg ica y la validación de aptitud. Validación conceptual: La validación conceptual se aplica para que en el proceso de conceptualización desde el sistema real a modelar hasta el modelo conceptual, se incluyan y desarrollen las percepciones esenciales de los actores relevantes del proceso. Cabe aclarar que el modelo conceptual es una imagen mental coherente de la situación a resolver, indica la forma en que se encarará el problema de modelado y los elementos que a él pertenecen. Por lo tanto la validación conceptual incluye temas como el proceso de percepción de la situación a resolver, la identificación de los factores a tener en cuenta, la formulación de objetivos y necesidades en los que enfocar el proceso de modelado y validación, la elección de un ángulo de ataque del problema, la obtención de un marco adecuado de desarrollo, y la identificación de elementos clave para la formulación de un modelo formal capaz de obtener soluciones válidas. Validación lógica: Los factores que rigen el proceso de transformar el modelo conceptual en un modelo formal constituyen los elementos a examinar por este tipo de validación. Esta transformación, que puede llamarse modelado formal, puede tener como resultado un modelado matemático, lingüístico, o computacional (de simulación). En cualquiera de los casos puede ocurrir que la transformación no capture toda la riqueza del modelo conceptual, y la validación lógica deberá asegurarse de que se alcanza el nivel adecuado de validez. Validación de aptitud: El objetivo primario de la validación de aptitud es evaluar la adecuación del modelo formal en relación con su utilidad, capacidad, representatividad y costo, desde el punto de vista de los potenciales usuarios. Validación de los resultados de un modelo 1. Obtención de datos del mundo real

22 22 Para obtener un modelo válido, los analistas deben intentar medir las entradas y las salidas del sistema real, así como los atributos de variables intermedias. En la práctica, los datos estarán disponibles en diferentes cantidades, como se muestra en las cuatro siguientes situaciones: 2. A veces es difícil o incluso imposible obtener datos relevantes. Por ejemplo, en la simulación de una guerra nuclear, es imposible tomar los datos necesarios. 3. En ocasiones, si no está disponible el sistema real hay que recurrir a algún sistema parecido. Los militares, comúnmente, realizan pruebas de campo para predecir futuras situaciones. 4. Usualmente es posible recoger sólo algunos datos correspondientes a ciertos períodos históricos o ciertas partes del sistema En otras aplicaciones, existe una sobrecarga de datos de entrada, en particular si estos datos se recogen electrónicamente. Cuanto más retrocedan los analistas en el tiempo en busca de información, más cantidad de datos podrán recoger y más seguras serán las pruebas de validación, a menos que, vayan tan atrás que, las leyes que gobiernan el sistema sean ya diferentes, en ese caso, los datos serían inútiles. Técnicas para comparar datos reales y simulados Supongamos que los analistas han tenido éxito al obtener datos del sistema real y desean validar el modelo de simulación. Entonces se deben introducir esos datos en el modelo, en orden histórico. Tras ejecutar el programa de simulación, se obtienen una serie de valores de salida que se compararán con los datos de salida que poseemos del sistema real. Tras haber validado el modelo de simulación, se deberán comparar diferentes escenarios usando entradas desordenadas, no entradas históricas. De hecho, la historia nunca se va a repetir exactamente. Para comparar una serie de valores de salida del modelo de simulación con una serie de valores de salida en orden histórico del sistema real, se hallan disponibles algunas técnicas: 1. Representar en un plano los valores de salida del sistema real y del sistema simulado, en donde el eje horizontal denota tiempo y el eje vertical denota los valores reales y simulados. A simple vista y comparando las dos series de puntos podremos decidir si el modelo de simulación refleja de forma precisa el fenómeno de interés. 2. Otra técnica simple es la prueba de Schruben-Turing1. Los analistas muestran a sus clientes una mezcla de las series de valores del sistema real y simulado, y les invitan a identificar qué datos han sido generados por el ordenador. Naturalmente, estos clientes pueden identificar correctamente algunos datos por casualidad. No obstante, esta coincidencia se tendrá en cuenta si así se demuestra estadísticamente.

23 23 3. En lugar de inspeccionar a simple vista las series de valores reales y simulados, se pueden usar estadísticas matemáticas con objeto de obtener datos cuantitativos acerca de la calidad del modelo de simulación. Análisis de sensibilidad Los modelos y submodelos (módulos) dotados de entradas y salidas no observables no pueden estar sujetos a las pruebas anteriormente citadas. En ese caso, se aplicará análisis de sensibilidad, a fin de determinar si el comportamiento del modelo está de acuerdo con los juicios de los expertos. El análisis de sensibilidad se define como la investigación sistemática de la reacción de la salida del modelo ante cambios drásticos en la entrada y en la estructura del modelo. El análisis de sensibilidad debe aplicarse con el objeto de descubrir qué entradas son realmente importantes. Esta información es útil, incluso si hay muchos datos en la salida y en la entrada del sistema simulado. Es preciso esforzarse, si es posible, en recoger información en las entradas importantes. Sin embargo, puede que sea imposible recoger información en esas entradas, entonces, los analistas deberán aplicar una técnica denominada «ajuste a distribuciones». Esta consiste en deducir la distribución de probabilidad de los valores de entrada, haciendo uso del conocimiento de personal experto. A continuación se realiza un muestreo para generar valores de entrada de esa distribución. Finalmente, esos valores son introducidos en el modelo de simulación, el cual entrega una distribución de probabilidad de valores de salida. Conclusiones No existe un criterio universal a la hora de contrastar la validez de un modelo, tanto en sus aspectos conceptuales como técnicos. Para cualquier tipo de modelo de simulación se ha constatado la importancia de considerar el propósito para el que fue construido en el proceso de validación, además de lo poco definitivas que resultan las pruebas de naturaleza estadística. Éstas tan sólo sirven para otorgar al modelo cierta confianza cuando se usa para predecir el comportamiento del sistema real, pero no al explicar su funcionamiento interno. Por ello, los modelos validados de este modo no serán provechosos si lo que pretendemos es evaluar posibles mejoras en el mundo real.

24 24 Apéndice A Tabla de números primos del 1 al

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26 26 Apéndice B Tabla de Kolmogorov-Smirnov

27 27 Apéndice C Tabla de Distribución Normal