UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Transcripción

1 FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA CÁTEDRA DE HIDRÁULICA GENERAL (69.01) ECUACIONES DE CONTINUIDAD Ing. Luis E. Pérez Farrás Edición: Ing. Andrea Bonafine - Julio

2 ECUACIONES DE CONTINUIDAD INDICE 1- GENERALIDADES 2 2. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO 3 3- ECUACIÓN DE CONTINUIDAD EN EL TUBO DE CORRIENTE PARA CAUDAL DE MASA CONSTANTE EN EL TIEMPO PARA CAUDAL DE MASA VARIABLE EN EL TIEMPO Y EL RECORRIDO 8 Pag.1

3 11-- GENERALIIDADESS ECUACIONES DE CONTINUIDAD Estudiareos las ecuaciones de continuidad, las que se obtienen del Principio de la Conservación de la Masa aplicada al escurriiento de fluidos, a través de un voluen de control. En efecto, considerando un voluen arbitrario, fijo en el espacio e inerso en un edio continuo en oviiento que lo ocupa en cada punto y en todo instante (tal coo se esqueatiza en la Figura 1) es evidente que; el balance entre la asa entrante y saliente a través de la superficie del iso y en un instante dado, ás la variación de la asa en su interior y con la variable tiepo tendiendo a cero, da inexorableente una asa resultante nula, puesto que ésta no puede crearse ni desaparecer. Voluen de control S Eleento de Superficie Figura 1 Voluen de control Escurriiento del fluido (configuracion de l.d.c. instantaneas) El principio enunciado se resue sibólica y escuetaente coo: + ( ) 0 s e i En la expresión anterior siboliza la asa y los subíndices indican, "saliente, "entrante" e interior. Obviaente, el síbolo iplica la "variación" de la asa en el tiepo, y es la diferencia entre asa final y asa inicial en el tiepo eleental considerado. Al escribir la expresión, despejando el paréntesis que iplica el balance de asa a través de la superficie lateral, la interpretación del principio de la asa puede interpretarse en fora ás directa, puesto que el balance entre asa entrante y saliente por la superficie de control, es copensado por la variación de la asa en el interior del voluen de control. En síbolos: ( s e ) i Las ecuaciones a obtener dependen de la fora del Voluen de control adoptada. Si ésta es el cubo eleental de lados diferenciales, se obtiene la Ecuación Diferencial de Continuidad en un Punto, en cabio si el voluen de control elegido es el Tubo de corriente, la que se obtiene es la Ecuación Diferencial de Continuidad en el iso, de sua utilidad para la consideración de los Escurriientos Unidiensionales. Pag.2

4 22.. ECUACIIÓN DE CONTIINUIIDAD EN UN PUNTO Es la que se obtiene, al considerar coo voluen de control al eleento diferencial de lados dx, dy y dz. y z u dz dx dy u + u/ x dx Figura 2 Voluen de control: eleento diferencial x Consecuenteente para obtener la ecuación buscada, se considera el cubo de lados diferenciales dx, dy, dz, es decir el punto aterial (ver Figura 2) fijo en el espacio cartesiano Para las tres coordenadas z; y; x; desarrollareos el paréntesis que iplica el "balance total de asa en un instante dado". La asa entrante según el eje x resulta de ultiplicar el "caudal de asa" según x por dt, en efecto: dq ρ dq ρ udxdydt ex La asa saliente resulta: + x ( ) sx ex ex dx Es decir: ρu dx dy dt + x ( ρu dx dy dt )dx El balance o diferencia entre asa saliente y asa entrante resulta: sx ex x ( ρ ) udydzdtdx Extrapolando el iso procediiento a los ejes y, z, se tiene: sy sz ey y ez z ( ρ ) vdzdxdtdy ( ρ ) wdxdydtdz Pag.3

5 Por lo que, el balance total en un instante dado, es decir la diferencia ( ) s x udydzdtdx e + y vdxdzdtdy + z s será: ( ρ ) ( ρ ) ( ρω ) Para evaluar la variación de la asa en el tiepo, se tiene que: e dxdydtdz i dxdydz ρ + [ dxdydz] dt dxdydz t ρ ρ por lo que: i t ( ρ ) dxdydz dt Suando ahora e igualando a 0, con el propósito de obtener la ecuación resultante del principio de la conservación de la asa aplicada al voluen eleental de lados dx, dy, dz, y eliinando adeás los diferenciales counes, se tiene: La que escrita en notación vectorial resulta: ρ ( ρ ) ( ρ ) ( ρω) x u + y v + z + t 0 div ( ρv) ρ + 0 t Si se considera ρcte. en el espacio y el tiepo, la anterior se reduce a: u v divv + + x y w z 0 Que es la ecuación de continuidad para la asa específica considerada coo constante, es decir que su cupliiento, iplica de por sí, una "Condición de Incopresibilidad". Nota: es de destacar que la condición anterior, suada a la iposición de Rotor Nulo (escurriiento irrotacional) da lugar al odelo ateático conocido coo Red de escurriiento la que posibilita conocer el vector velocidad en cada punto de un escurriiento unidiensional. El tea se retoará en el Capitulo correspondiente. Pag.4

6 33-- ECUACIIÓN DE CONTIINUIIDAD EN EL TUBO DE CORRIIENTE Es la que se obtiene, cuando el voluen de control es el Tubo de Corriente (ver Figura 3) es decir cuando el escurriiento es Unidiensional, caso que cubre el vasto capo de aplicación de las Conducciones a Presión y a Superficie Libre (Canales) PARA CAUDAL DE MASA CONSTANTE EN EL TIEMPO A continuación se realizará la deducción, en fora siilar a la anterior, y destacando que por ser el tubo de corriente ipereable (por definición no puede aditir velocidades norales) el balance de asas entrante y saliente solo tendrá lugar entre las secciones de inicio y final, caracterizadas, por los subíndices 1 y 2 respectivaente. A éste tipo de escurriiento, cuando la variación de la asa es nula en el tiepo y variable en el recorrido, se lo denoina seiperanente l.d.c. Tubo de corriente Ω Qe de Qs Figura 3 Tubo de corriente Con estas consideraciones se obtendrá la Ecuación de Continuidad, en la fora de ayor uso en las aplicaciones que constituyen los objetivos fundaentales de nuestra asignatura. El desarrollo consiste en elaborar la expresión que sintetiza la interpretación del Principio de Conservación de la Masa, aplicado ahora al voluen de control Tubo de corriente y teniendo en cuenta la variación del iso en el tiepo, coo consecuencia de la variación de asa en el recorrido. ( ) + 0 s e i El proceso es análogo al anterior, pero siplificado dado que ahora el espacio está expresado en una sola coordenada l, puesto que coo es lo habitual y obligado en conducciones unidiensionales, el sistea de referencia adoptado es la terna intrínseca. La velocidad U es la definida coo Velocidad edia en la sección, según se analizó oportunaente en Cineática. Considerado el eleento diferencial dl del tubo de corriente, se tiene que la asa entrante resulta de ultiplicar el Caudal de asa entrante por el tiepo diferencial dt, en efecto: Pag.5

7 e ρ Q dt ρ UΩ dt La asa saliente, resulta de suar a la anterior, su variación en el espacio dl, es decir: s ρ UΩ dt + l ( ρ UΩ dt)dl Por lo que el balance entre Masa Saliente y Masa Entrante, resulta: s e l ( ρ UΩ dt)dl Para copletar la ecuación, se debe considerar ahora la variación en el tiepo, de la asa contenida dentro del voluen de control. La asa inicial es: La asa final, luego de un instante dt, es: i ρ Ω dl f ρ Ω dl + t ( ρ Ω dl)dt La diferencia entre asa final y asa inicial resulta, en consecuencia i t ( ρ Ω dl)dt Para obtener la expresión final, sólo resta concretar la sua entre el balance da asa entrante y saliente y la variación de asa en el interior del voluen de control (tubo de corriente en éste caso) lo que resulta: l ( ρ UΩ dt) dl + t ( ρ Ω dl) dt 0 Dividiendo por los diferenciales counes, finalente se obtiene: l t ( ρ U Ω) + ( ρ Ω) 0 La anterior constituye la Ecuación diferencial de continuidad, para Escurriientos Unidiensionales (en tubo de corriente) en la que el Caudal de Masa Entrante no varía con el tiepo. Pag.6

8 Su aplicación es trascendente en la probleática de escurriientos iperanentes (transitorios) tanto en conducciones a presión coo a superficie libre. Nota: En particular, en el desarrollo de nuestra asignatura, será convenienteente aplicada y elaborada, para desarrollar la Segunda Ecuación de Saint Venant, la que en conjunto con la priera (que tabién será oportunaente deducida) posibilitan el encare del estudio y cálculo de los Escurriientos Iperanentes a Presión (un caso particular del iso, de gran iportancia en la Hidráulica de las Conducciones a Presión, es el denoinado y teido Golpe de Ariete ). La Ecuación diferencial de Continuidad, para ρ cte en el espacio y el tiepo, se reduce a l t ( U Ω) + ( Ω) 0 Para el régien peranente y desde que el prier paréntesis es el caudal que atraviesa la sección, la anterior se reduce a: Q l l ( U Ω) 0 En consecuencia: Q U Ω cte La anterior es la expresión de la Ecuación de Continuidad para Escurriiento peranente, Unidiensional (en tubo de corriente) de un fluido Incopresible. Constituye una ecuación de vital iportancia en el Diseño y Cálculo de Conducciones a presión, a Superficie libre (canales) y en general para la Hidráulica unidiensional del régien peranente. Nota: Incluso, fora parte fundaental de la etodología de cálculo aplicable a escurriientos bidiensionales, precisaente en el tea Red de Escurriiento. En efecto, entre cada par de líneas de corriente de la red, se establece un escurriiento en tubo de corriente bidiensional en el que es válida la ecuación de referencia. El tea se estudiará específicaente en el capítulo relativo a Red de Escurriiento pero se adelanta que la Ecuación de Continuidad posibilita su uso. Pag.7

9 3.2- PARA CAUDAL DE MASA VARIABLE EN EL TIEMPO Y EL RECORRIDO En este caso, conocido tabién coo de Iperanencia Total, la ecuación cuenta con un suando ás, y tal coo puede obtenerse del texto de la ateria Fundaentos, la deducción para ese caso lleva a la ecuación ás general l 1 U t t ( ρ U Ω) + ( ρ U Ω) + ( ρ Ω) 0 Es de destacar que, de considerar que el caudal no varía con el tiepo y sólo lo hace con el espacio, el segundo suando resulta nulo, obteniéndose la ecuación anterior que, obviaente, es un caso particular de esta últia. Se reite al aluno a su lectura y seguiiento de la deducción, sin que sea necesario eorizar la isa (a pesar que no es dificultosa). La deducción será exigida para las dos foras precedentes de la ecuación de Continuidad, las que se obtienen de fora totalente análoga, las que son de aplicación inediata, no solo en la ateria, sino que tabién, en uchísios teas de la Especialidad Hidráulica. Pag.8