Ecuaciones lineales en álgebra lineal

Transcripción

1 Ecuaciones lineales en álgebra lineal WEB EJEMPLO INTRODUCTORIO Modelos lineales en economía e ingeniería A finales del verano de 949 Wassily Leontief, profesor de Harvard, introdujo cuidadosamente la última de sus tarjetas perforadas en la computadora de la universidad, la Mark II. Las tarjetas contenían información acerca de la economía de Estados Unidos, y representaban un resumen de más de 25, piezas de información producidas por la oficina encargada de las estadísticas laborales en Estados Unidos después de dos años de trabajo intenso. Leontief había dividido la economía de Estados Unidos en 5 sectores, tales como la industria del carbón, la industria automotriz, las comunicaciones, etc. Para cada sector, escribió una ecuación lineal que describía la forma en que dicho sector distribuía sus salidas hacia otros sectores de la economía. Debido a que la Mark II, una de las computadoras más grandes de la época, no podía manejar el sistema resultante de 5 ecuaciones y 5 incógnitas, Leontief había condensado el problema en un sistema de 42 ecuaciones y 42 incógnitas. La programación de la computadora Mark II para las 42 ecuaciones de Leontief requirió varios meses de esfuerzo, y él estaba ansioso por ver cuánto tiempo le tomaría a la máquina resolver el problema. La Mark II zumbó y destelló durante 56 horas hasta que finalmente produjo una solución. La naturaleza de esta solución se analizará en las secciones.6 y 2.6. Leontief, quien recibió el Premio Nobel de Economía en 973, abrió la puerta a una nueva era en el modelado matemático de la economía. Sus esfuerzos desplegados en Harvard en 949 marcaron uno de los primeros usos significativos de las computadoras para analizar lo que entonces era un modelo matemático a gran escala. Desde entonces, los investigadores de muchos otros campos han empleado computadoras para analizar modelos matemáticos. Debido a las masivas cantidades de datos involucrados, por lo general, los modelos son lineales; esto es, se describen mediante sistemas de ecuaciones lineales. La importancia del álgebra lineal para las aplicaciones se ha elevado en proporción directa al aumento del poder de las computadoras, cada nueva generación de equipo y programas de cómputo dispara una demanda de capacidades aún mayores.

2 2 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal Por lo tanto, la ciencia de las computadoras está sólidamente ligada al álgebra lineal mediante el crecimiento explosivo de los procesamientos paralelos de datos y los cálculos a gran escala. Los científicos e ingenieros trabajan ahora en problemas mucho más complejos de lo que creían posible hace unas cuantas décadas. En la actualidad, el álgebra lineal tiene para los estudiantes universitarios un mayor valor potencial en muchos campos científicos y de negocios que cualquier otra materia de matemáticas. El material incluido en este texto proporciona la base para un trabajo posterior en muchas áreas interesantes. A continuación se presentan unas cuantas posibilidades; posteriormente se describirán otras. Exploración petrolera. Cuando un barco busca depósitos submarinos de petróleo, diariamente sus computadoras resuelven miles de sistemas de ecuaciones lineales por separado. La información sísmica para elaborar las ecuaciones se obtiene a partir de ondas de choque submarinas creadas mediante explosiones con pistolas de aire. Las ondas rebotan en las rocas que hay bajo la superficie marina y se miden empleando geófonos conectados a extensos cables instalados debajo del barco. Programación lineal. En la actualidad, muchas decisiones administrativas importantes se toman con base en modelos de programación lineal que utilizan cientos de variables. Por ejemplo, la industria de las aerolíneas emplea programas lineales para crear los itinerarios de las tripulaciones de vuelo, monitorear las ubicaciones de los aviones, o planear los diversos programas de servicios de apoyo como mantenimiento y operaciones en terminal. Redes eléctricas. Los ingenieros utilizan programas de cómputo de simulación para diseñar circuitos eléctricos y microchips que incluyen millones de transistores. Estos programas utilizan técnicas de álgebra lineal y sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones lineales se encuentran en el corazón del álgebra lineal, y este capítulo los utiliza para introducir algunos de los conceptos centrales del álgebra lineal de una manera simple y concreta. En las secciones. y.2 se presenta un método sistemático para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este algoritmo se utilizará para realizar cálculos a lo largo del texto. En las secciones.3 y.4 se muestra cómo un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una ecuación vectorial y a una ecuación matricial. Esta equivalencia reducirá problemas que involucran combinaciones lineales de vectores a preguntas sobre los sistemas de ecuaciones lineales. Los conceptos fundamentales de generación, independencia lineal y transformaciones lineales, que se estudian en la segunda mitad del capítulo, desempeñarán un papel esencial a lo largo del texto mientras se explora la belleza y el poder del álgebra lineal.. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal en las variables,..., x n es una ecuación que puede escribirse de la forma a + a a n x n = b () donde b y los coeficientes a,..., a n son números reales o complejos, por lo general conocidos. El subíndice n puede ser cualquier entero positivo. En los ejemplos y ejercicios del libro, n está normalmente entre 2 y 5. En los problemas de la vida real, n puede ser igual a 5, 5, o incluso a valores más grandes.

3 . Sistemas de ecuaciones lineales 3 Las ecuaciones = y = x 3 son ambas lineales porque pueden reordenarse algebraicamente como en la ecuación (): 3 5 = 2 y 2 + x 3 = 2 6 Las ecuaciones 4 5 = y = 2 6 no son lineales debido a la presencia de en la primera ecuación y en la segunda. Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una colección de una o más ecuaciones lineales que involucran las mismas variables digamos,,..., x n. Un ejemplo es 2 +.5x 3 = 8 4x 3 = 7 (2) Una solución del sistema es una lista (s, s 2,..., s n ) de números que hacen de cada ecuación un enunciado verdadero cuando los valores s,..., s n sustituyen, respectivamente, a,..., x n. Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una solución del sistema (2) porque, cuando estos valores sustituyen en (2) a, y x 3, respectivamente, las ecuaciones se simplifican a 8 = 8 y 7 = 7. El conjunto de todas las soluciones posibles se llama conjunto solución del sistema lineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Esto es, cada solución del primer sistema es una solución del segundo sistema, y cada solución del segundo sistema es una solución del primero. Determinar el conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones lineales resulta sencillo porque consiste en localizar la intersección de dos rectas. Un problema típico es 2 = + 3 = 3 Las gráficas de estas ecuaciones son rectas, las cuales se denotan mediante l y l 2. Un par de números (, ) satisface las dos ecuaciones de este sistema si, y sólo si, el punto (, ) pertenece tanto a l como a l 2. En el sistema anterior, la solución es el punto único (3, 2), lo cual puede verificarse con facilidad. Vea la figura. 2 l 2 l 3 FIGURA Exactamente una solución.

4 4 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal Por supuesto, la intersección de dos rectas no debe darse necesariamente en un solo punto las rectas pueden ser paralelas o coincidir y, por lo tanto, intersecar en todos los puntos sobre la recta. En la figura 2 se muestran las gráficas que corresponden a los siguientes sistemas: (a) 2 = (b) 2 = + 2 = = 2 2 l 2 l 3 l 3 FIGURA 2 (a) (a) Sin solución. (b) Con infinidad de soluciones. (b) Las figuras y 2 ilustran los siguientes hechos generales acerca de los sistemas lineales, los cuales serán verificados en la sección.2. Un sistema de ecuaciones lineales puede. no tener solución, o 2. tener exactamente una solución, o 3. tener una cantidad infinita de soluciones. Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene una solución o una infinidad de soluciones; un sistema es inconsistente cuando no tiene ninguna solución. Notación matricial La información esencial de un sistema lineal puede registrarse de manera compacta en un arreglo rectangular llamado matriz. Dado el sistema 2 + x 3 = 2 8x 3 = x 3 = 9 con los coeficientes de cada variable alineados en columnas, la matriz (3)

5 . Sistemas de ecuaciones lineales 5 se denomina matriz coeficiente (o matriz de coeficientes) del sistema (3), y (4) se denomina matriz aumentada del sistema. (Aquí, la segunda fila contiene un cero porque la segunda ecuación podría escribirse como + 2 8x 3 = 8.) La matriz aumentada de un sistema consta de su matriz de coeficientes con una columna adicional que contiene las constantes de los lados derechos de las ecuaciones. El tamaño de una matriz indica el número de filas y columnas que la integran. La matriz aumentada (4) que se presentó líneas arriba tiene 3 filas y 4 columnas y se conoce como una matriz de 3 4 (se lee 3 por 4 ). Si m y n son enteros positivos, una matriz m n es un arreglo rectangular de números con m filas y n columnas. (El número de filas siempre va primero.) La notación matricial simplificará los cálculos de los ejemplos que se presentan enseguida. Resolución de un sistema lineal En esta sección y en la siguiente se describe un algoritmo, o procedimiento sistemático, para resolver sistemas lineales. La estrategia básica es reemplazar un sistema con un sistema equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solución) que sea más fácil de resolver. Dicho de manera sencilla, utilice el término que esté presente en la primera ecuación de un sistema para eliminar los términos que haya en las otras ecuaciones. Después use el término presente en la segunda ecuación para eliminar los términos en las otras ecuaciones, y así sucesivamente, hasta que obtenga un sistema de ecuaciones equivalente muy simple. Para simplificar un sistema lineal se utilizan tres operaciones básicas: reemplazar una ecuación mediante la suma de la propia ecuación y un múltiplo de otra ecuación, intercambiar dos ecuaciones, y multiplicar todos los términos de una ecuación por una constante distinta de cero. Después del primer ejemplo, se verá por qué estas tres operaciones no cambian el conjunto solución del sistema. EJEMPLO Resuelva el sistema (3). Solución El procedimiento de eliminación se muestra enseguida con y sin notación matricial, y los resultados se colocan uno junto al otro para compararlos: 2 + x 3 = 2 2 8x 3 = x 3 = Mantenga en la primera ecuación y elimínela de las otras ecuaciones. Para hacer esto, sume 4 veces la ecuación a la ecuación 3. Por lo general, luego de alguna práctica este tipo de cálculos se realizan mentalmente: 4 [ecuación ]: x 3 = + [ecuación 3]: x 3 = 9 [nueva ecuación 3]: 3 + 3x 3 = 9

6 6 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal El resultado de este cálculo se escribe en lugar de la tercera ecuación original: 2 + x 3 = 2 8x 3 = x 3 = Ahora, multiplique la ecuación 2 por /2 para obtener como el coeficiente para. (Este cálculo simplificará la aritmética del siguiente paso.) 2 + x 3 = 4x 3 = x 3 = Utilice en la ecuación 2 para eliminar 3 en la ecuación 3. El cálculo mental es 3 [ecuación 2]: 3 2x 3 = 2 + [ecuación 3]: 3 + 3x 3 = 9 [nueva ecuación 3]: x 3 = 3 El nuevo sistema tiene una forma triangular: 2 + x 3 = 4x 3 = 4 x 3 = Al final, se deseará eliminar el término 2 de la ecuación, pero resulta más eficiente utilizar primero x 3 en la ecuación 3, para eliminar los términos 4x 3 y +x 3 en las ecuaciones 2 y. Los dos cálculos mentales son 4 [ec. 3]: + [ec. 2]: [nueva ec. 2]: 4x 3 = 2 4x 3 = 4 = 6 [ec. 3]: + [ec. ]: [nueva ec. ]: x 3 = x 3 = 2 = 3 Es conveniente combinar los resultados de estas dos operaciones: 2 = 3 = 6 x 3 = Ahora, después de haber limpiado la columna que está sobre la x 3 en la ecuación 3, regrese a la en la ecuación 2 y úsela para eliminar el 2 ubicado sobre ella. Debido al trabajo previo realizado con x 3, ahora no existe ninguna operación que involucre a términos de x 3. En la próxima sección, el término intuitivo triangular se reemplazará por uno más preciso.

7 . Sistemas de ecuaciones lineales 7 Sume dos veces la ecuación 2 a la ecuación para obtener el sistema = = 6 6 x 3 = 3 3 En esencia, el trabajo ya está hecho. Se observa que la solución única del sistema original es (29, 6, 3). Sin embargo, como hay muchos cálculos involucrados, resulta una buena práctica verificar las operaciones. Para comprobar que (29, 6, 3) es una solución, sustituya estos valores en el lado izquierdo del sistema original, y calcule: (29, 6, 3) Cada una de las ecuaciones originales determina un plano en el espacio tridimensional. El punto (29, 6, 3) pertenece a los tres planos. (29) 2(6) + (3) = = 2(6) 8(3) = = 8 4(29) + 5(6) + 9(3) = = 9 Los resultados coinciden con el lado derecho del sistema original, así que (29, 6, 3) es una solución del sistema. En el ejemplo se ilustra cómo, en un sistema lineal, las operaciones sobre ecuaciones corresponden a las operaciones sobre las filas apropiadas de la matriz aumentada. Las tres operaciones básicas mencionadas con anterioridad corresponden a las siguientes operaciones sobre la matriz aumentada. OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA. (Reemplazo) Reemplazar una fila por la suma de sí misma y un múltiplo de otra fila (Intercambio) Intercambiar dos filas. 3. (Escalamiento) Multiplicar todas las entradas de una fila por una constante distinta de cero. Las operaciones de fila pueden aplicarse a cualquier matriz, no únicamente a una que surja como la matriz aumentada de un sistema lineal. Se dice que dos matrices son equivalentes por filas si existe una sucesión de operaciones elementales de fila que convierta una matriz en la otra. Es importante advertir que las operaciones de fila son reversibles. Si dos filas se intercambian, pueden regresarse a sus posiciones originales mediante otro intercambio. Si una fila se escala mediante una constante c distinta de cero, al multiplicar después la nueva fila por /c se obtiene la fila original. Por último, considere una operación de reemplazo que involucra dos filas por ejemplo, las filas y 2 y suponga que a la fila 2 se le suma la fila multiplicada por c para producir un nueva fila 2. Si desea revertir esta operación, sume a la nueva fila 2 la fila multiplicada por c y obtenga la fila 2 original. Vea los ejercicios 29 a 32 al final de esta sección. Por el momento, nuestro interés reside en las operaciones de fila sobre la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. Suponga un sistema que se transforma en otro nuevo mediante operaciones de fila. 2 Una paráfrasis común del reemplazo de una fila es sumar a una fila un múltiplo de otra fila.

8 8 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal Al considerar cada uno de los tipos de operaciones de fila, puede advertirse que cualquier solución del sistema original continúa siendo una solución del sistema nuevo. Asimismo, como el sistema original puede producirse mediante operaciones de fila sobre el sistema nuevo, cada una de las soluciones del sistema nuevo también es una solución del sistema original. Esta explicación justifica el hecho siguiente. Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución. Aunque el ejemplo es extenso, puede afirmarse que, después de algún tiempo de práctica, los cálculos se ejecutan con rapidez. Por lo general, en el texto y en los ejercicios las operaciones de fila serán muy fáciles de realizar, lo cual permitirá que el estudiante se enfoque en los conceptos importantes. No obstante, se recomienda aprender a realizar operaciones de fila de manera precisa porque se utilizarán a lo largo de todo el libro. En el resto de esta sección se muestra cómo utilizar las operaciones de fila para determinar el tamaño de un conjunto solución, sin resolver por completo el sistema lineal. Preguntas de existencia y unicidad En la sección.2 se estudiará porqué un conjunto solución para un sistema lineal puede no contener ninguna solución, contener solamente una solución, o contener una infinidad de soluciones. Para determinar cuál posibilidad es verdadera para un sistema en particular, se formulan dos preguntas. DOS PREGUNTAS FUNDAMENTALES ACERCA DE UN SISTEMA LINEAL. El sistema es consistente? Es decir, existe al menos una solución? 2. Si existe solución, sólo hay una? Esto es, la solución es única? Estas dos preguntas aparecerán a lo largo del texto en muchas formas diferentes. En esta sección y en la próxima, se mostrará cómo contestarlas mediante operaciones de fila sobre la matriz aumentada. EJEMPLO 2 Determine si el siguiente sistema es consistente: 2 + x 3 = 2 8x 3 = x 3 = 9 Solución Éste es el sistema del ejemplo. Suponga que se realizan las operaciones necesarias para obtener la forma triangular 2 + x 3 = 4x 3 = 4 x 3 = En este punto ya se conoce x 3 ; si su valor se sustituyera en la ecuación 2, sería posible calcular y, por ende, se podría determinar a partir de la ecuación. Por lo tanto,

9 . Sistemas de ecuaciones lineales 9 existe una solución; y el sistema es consistente. (De hecho, se determina únicamente con la ecuación 2 puesto que x 3 tiene un solo valor posible, y por lo tanto se resuelve solamente a partir de la ecuación. De manera que la solución es única.) EJEMPLO 3 Determine si el siguiente sistema es consistente: 4x 3 = x 3 = x 3 = Solución La matriz aumentada es (5) Para obtener una en la primera ecuación, se intercambian las filas y 2: Para eliminar el término 5 en la tercera ecuación, se agrega a la fila 3 la fila multiplicada por 5/2: (6) /2 2 3/2 Enseguida, utilice el término en la segunda ecuación para eliminar el término (/2) de la tercera ecuación. Sume a la fila 3 la fila 2 multiplicada por /2: (7) 5/2 Ahora, la matriz aumentada está en forma triangular. Para interpretarla de manera correcta, regrese a la notación con ecuaciones: x 3 = 4x 3 = 8 = 5/2 (8) Este sistema es inconsistente porque no existe un punto que pertenezca de manera simultánea a los tres planos. La ecuación = 5/2 es una forma corta de + + x 3 = 5/2. Desde luego, este sistema en forma triangular tiene una contradicción. No existen valores de,, x 3 que satisfagan (8) porque la ecuación = 5/2 nunca es verdadera. Como (8) y (5) tienen el mismo conjunto solución, el sistema original es inconsistente (es decir, no tiene solución). Preste atención especial a la matriz aumentada en (7). Su última fila es típica de un sistema inconsistente en forma triangular.

10 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal NOTA NUMÉRICA En problemas reales, los sistemas de ecuaciones lineales se resuelven empleando una computadora. Para una matriz de coeficientes cuadrada, los programas de cómputo casi siempre usan el algoritmo de eliminación que se presenta aquí en la sección.2, con pequeñas modificaciones para mejorar su precisión. La gran mayoría de los problemas de álgebra lineal que se presentan en los negocios y la industria se resuelven con programas que utilizan la aritmética de punto flotante. Los números se representan como decimales ±.d d p r, donde r es un entero y el número p de dígitos a la derecha del punto decimal usualmente se encuentra entre 8 y 6. Normalmente, las operaciones aritméticas con estos números resultan inexactas, porque el resultado debe redondearse (o truncarse) al número de dígitos almacenados. El error de redondeo también se presenta cuando un número como /3 es introducido a la computadora, puesto que su representación debe aproximarse mediante un número finito de dígitos. Por fortuna, las inexactitudes de la aritmética de punto flotante muy pocas veces causan problemas. Las notas numéricas incluidas en este libro lo prevendrán, ocasionalmente, sobre aspectos que podrá necesitar tener en consideración más adelante en su carrera. P ROBLEMAS DE PRÁCTICA A lo largo del texto, debe intentar resolver los problemas de práctica antes de trabajar con los ejercicios. Después de cada serie de ejercicios se presentan las soluciones.. Exprese con sus propias palabras la siguiente operación elemental de fila que debe realizarse para resolver los sistemas presentados a continuación. [Para (a), existe más de una respuesta posible.] a x 3 + 8x 4 = 2 7x 3 + 2x 4 = 4 5x 3 x 4 = 7 x 3 + 3x 4 = 5 2. La matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transformada mediante operaciones de fila a la forma que se presenta a continuación. Determine si el sistema es consistente Es (3, 4, 2) una solución del siguiente sistema? 5 + 2x 3 = x 3 = x 3 = 7 b x 3 2x 4 = + 8x 3 = 4 2x 3 = 3 x 4 = 4. Para cuáles valores de h y k es consistente el siguiente sistema? 2 = h = k

11 . Sistemas de ecuaciones lineales. EJERCICIOS Resuelva los sistemas de los ejercicios a 4 usando las operaciones elementales de fila sobre las ecuaciones o sobre la matriz aumentada. Utilice el procedimiento de eliminación sistemática descrito en esta sección = = = = 3. Encuentre el punto (, ) que pertenece tanto a la línea + 5 = 7 como a la línea 2 = 2. Vea la figura. + 5 = 7 4. Encuentre el punto de intersección de las rectas 5 = y 3 7 = 5. Considere cada matriz de los ejercicios 5 y 6 como la matriz aumentada de un sistema lineal. Exprese con sus propias palabras las siguientes dos operaciones elementales de fila que deben realizarse en el proceso para resolver el sistema = 2 En los ejercicios 7 a, la matriz aumentada de un sistema lineal ha sido reducida mediante operaciones de fila a la forma que se muestra. En cada caso, ejecute las operaciones de fila apropiadas y describa el conjunto solución del sistema original Resuelva los sistemas de los ejercicios a x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = = x 3 = x 3 = 2 + 5x 3 = x 3 = 2 3x 4 = x 3 + 2x 4 = 3 + 7x 4 = x 4 = x 3 = x 3 + 3x 4 = x 3 + x 4 = 5 + x 3 = Determine si los sistemas de los ejercicios 5 y 6 son consistentes. No resuelva los sistemas por completo. 7. Las tres rectas 4 =, 2 = 3, y 3 = 4 tienen un punto de intersección común? Explique su respuesta. 8. Los tres planos x 3 = 4, x 3 =, y + 3 = tienen al menos un punto de intersección común? Explique su respuesta. En los ejercicios 9 a 22, determine el valor o los valores de h tales que la matriz dada es la matriz aumentada de un sistema lineal consistente.

12 2 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal h h 8 En los ejercicios 23 y 24, varios enunciados clave de esta sección se citan directamente, se han modificado un poco (pero siguen siendo verdaderos), o se han alterado de alguna forma que los vuelve falsos en algunos casos. Marque cada enunciado como verdadero o falso y justifi que su respuesta. (Si el enunciado es verdadero, dé la ubicación aproximada en el texto donde aparece uno similar o haga referencia a una definición o teorema. Si es falso, dé la ubicación del enunciado que se cita o utiliza de manera incorrecta, o proporcione un ejemplo que muestre que no es verdadero en todos los casos.) En muchas secciones de este texto aparecerán preguntas similares del tipo verdadero/falso. 23. a. Todas las operaciones elementales de fila son reversibles. b. Una matriz de 5 6 tiene seis filas. c. El conjunto solución de un sistema lineal que incluya las variables,..., x n es una lista de números (s,..., s n ) que hace de cada ecuación del sistema un enunciado verdadero cuando los valores s,..., s n sustituyen, respectivamente, a,..., x n. d. Las dos preguntas fundamentales acerca de un sistema lineal involucran la existencia y la unicidad. 24. a. En una matriz aumentada, las operaciones elementales de fila no cambian nunca el conjunto solución del sistema lineal asociado. b. Dos matrices son equivalentes por filas cuando poseen el mismo número de filas. c. Un sistema inconsistente tiene más de una solución. d. Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. 25. Encuentre una ecuación que involucre a g, h y k, la cual permita que esta matriz aumentada corresponda a un sistema consistente: 4 7 g 3 5 h k 26. Construya tres matrices aumentadas diferentes de tres sistemas lineales cuyo conjunto solución sea = 2, =, x 3 =. 27. Suponga que el sistema presentado a continuación es consistente para todos los valores posibles de f y g. Qué puede afirmarse acerca de los coeficientes c y d? Justifique su respuesta. + 3 = f c + d = g h h Suponga que a, b, c y d son constantes de tal forma que a es diferente de cero y el sistema presentado a continuación es consistente para todos los valores posibles de f y g. Qué puede afirmarse acerca de los números a, b, c y d? Justifique su respuesta. a + b = f c + d = g En los ejercicios 29 a 32, encuentre la operación elemental de fila que transforma la primera matriz en la segunda, determine entonces la operación de fila inversa que transforma la segunda matriz en la primera , , , , Un aspecto importante en el estudio de la transferencia de calor es determinar la distribución de la temperatura en estado estable sobre una placa delgada cuando se conoce la temperatura presente alrededor de los bordes. Suponga que la placa mostrada en la figura representa la sección transversal de una viga de metal, con un flujo de calor insignificante en la dirección perpendicular a la placa. Sean T,..., T 4 las temperaturas en los cuatro nodos interiores de la malla que se muestra en la figura. En un nodo, la temperatura es aproximadamente igual al promedio de los cuatro nodos más cercanos a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo. 3 Por ejemplo, T = ( T 2 + T 4 )/4, o 4T T 2 T 4 = Vea Frank M. White, Heat and Mass Transfer (Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, 99), pp

13 . Sistemas de ecuaciones lineales Escriba un sistema de cuatro ecuaciones cuya solución proporcione un estimado para las temperaturas T,..., T Resuelva el sistema de ecuaciones del ejercicio 33. [Sugerencia: Para acelerar los cálculos, intercambie las filas y 4 antes de comenzar las operaciones de reemplazo.] S OLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRÁCTICA. a. Para realizar cálculos a mano, lo mejor es intercambiar las ecuaciones 3 y 4. Otra posibilidad es multiplicar la ecuación 3 por /5; o reemplazar la ecuación 4 por su suma con la fila 3 multiplicada por /5. (En cualquier caso, no utilice en la ecuación 2 para eliminar 4 en la ecuación. Espere hasta alcanzar la forma triangular y hasta que los términos con x 3 y x 4 hayan sido eliminados de las primeras dos ecuaciones.) b. El sistema está en forma triangular. La simplificación posterior comienza con x 4 en la cuarta ecuación. Utilice esta x 4 para eliminar todos los términos con x 4 localizados arriba de ella. Ahora, el paso adecuado es sumar la ecuación 4, multiplicada por 2, con la ecuación. (Después de esto, vaya a la ecuación 3, multiplíquela por /2, y utilice la ecuación resultante para eliminar los términos con x 3 ubicados arriba de ella.) 2. El sistema correspondiente a la matriz aumentada es x 3 = 6 4 7x 3 = 2 5x 3 = La tercera ecuación vuelve x 3 =, que ciertamente es un valor permisible para x 3. Después, al eliminar los términos con x 3 en las ecuaciones y 2, es posible encontrar valores únicos para y. Por lo tanto, existe una solución y es única. Compare esta situación con la del ejemplo Resulta sencillo verificar si una lista específica de números es una solución. Sean = 3, = 4, y x 3 = 2, y encuentre que (3, 4, 2) Como (3, 4, 2) satisface las dos primeras ecuaciones, se encuentra sobre la línea de intersección de los dos primeros planos. Como (3, 4, 2) no satisface las tres ecuaciones, no pertenece a los tres planos. 5(3) (4) + 2( 2) = = 7 2(3) + 6(4) + 9( 2) = = 7(3) + 5(4) 3( 2) = = 5 Aunque se satisfacen las primeras dos ecuaciones, la tercera no, entonces (3, 4, 2) no es una solución al sistema. Observe el uso de paréntesis cuando se hacen sustituciones, los cuales son muy recomendables como protección contra errores aritméticos. 4. Cuando la segunda ecuación se reemplaza por su suma con la primera ecuación multiplicada por 3, el sistema se convierte en 2 = h = k + 3h Si k + 3h es diferente de cero, el sistema no tiene solución. El sistema es consistente para cualesquiera valores de h y k que produzcan k + 3h =.

14 4 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal.2 REDUCCIÓN POR FILAS Y FORMAS ESCALONADAS En esta sección se perfecciona el método de la sección. en un algoritmo de reducción por filas que permitirá analizar cualquier sistema de ecuaciones lineales. Las preguntas fundamentales de existencia y unicidad, expuestas en la sección., podrán contestarse utilizando la primera parte del algoritmo. El algoritmo se aplica a cualquier matriz, ya sea vista como una matriz aumentada para un sistema lineal o no. Entonces, la primera parte de esta sección trata acerca de una matriz rectangular arbitraria. Se comienza por introducir dos clases importantes de matrices que incluyen las matrices triangulares de la sección.. En las definiciones presentadas a continuación, una fila o una columna distinta de cero en una matriz serán una fila o una columna que contengan al menos una entrada diferente de cero; una entrada principal de una fila se refiere a la entrada diferente de cero que se encuentra más a la izquierda (en una fila distinta de cero). DEFINICIÓN Una matriz rectangular está en forma escalonada (o en forma escalonada por filas) si tiene las tres propiedades siguientes:. Todas las filas distintas de cero están arriba de cualquier fila integrada sólo por ceros. 2. Cada entrada principal de una fila está en una columna situada a la derecha de la entrada principal de la fila que se encuentra arriba de dicha entrada. 3. Todas las entradas que se localicen en una columna situada debajo de una entrada principal son ceros. Si una matriz en forma escalonada satisface las siguientes condiciones adicionales, entonces se encuentra en forma escalonada reducida (o forma escalonada reducida por filas): 4. La entrada principal de cada fila distinta de cero es. 5. Cada principal es la única entrada distinta de cero en su columna. Una matriz escalonada (respectivamente, matriz escalonada reducida) es una matriz que está en forma escalonada (respectivamente, forma escalonada reducida). La propiedad 2 enuncia que las entradas principales forman un patrón escalonado ( como escalera ) que avanza hacia abajo y a la derecha de la matriz. La propiedad 3 es una simple consecuencia de la propiedad 2, pero se incluyó aquí para enfatizarla. Las matrices triangulares de la sección., tales como y 6 5/2 3 Este algoritmo es una variación de lo que se conoce comúnmente como eliminación gaussiana. Los matemáticos chinos utilizaron un método de eliminación similar alrededor del año 25 a.c. El proceso no se conoció en la cultura occidental sino hasta el siglo xix, cuando un famoso matemático alemán, Carl Friedrich Gauss, lo descubrió. Un ingeniero alemán, Wilhelm Jordan, popularizó el algoritmo al emplearlo en un texto sobre geodesia en 888.

15 .2 Reducción por filas y formas escalonadas 5 están en forma escalonada. De hecho, la segunda matriz está en forma escalonada reducida. A continuación se presentan ejemplos adicionales. EJEMPLO Las siguientes matrices están en forma escalonada. Las entradas principales ( ) pueden tener cualquier valor distinto de cero; las entradas con asterisco (*) pueden tener cualquier valor (incluso cero)., Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida porque las entradas principales son números, y abajo y arriba de cada principal sólo existen ceros., Cualquier matriz distinta de cero se puede reducir por filas (esto es, transformarse mediante operaciones elementales de fila) para producir más de una matriz en forma escalonada, para ello se usan diferentes sucesiones de operaciones de fila. Sin embargo, la forma escalonada reducida que se obtiene a partir de una matriz es única. El teorema siguiente se comprueba en el apéndice A incluido al final del texto. TEOREMA Unicidad de la forma escalonada reducida Cada matriz es equivalente por filas a una y sólo una matriz escalonada reducida. Si una matriz A es equivalente por filas a una matriz escalonada U, se dice que U es una forma escalonada (o una forma escalonada por filas) de A; si U está en su forma escalonada reducida, se afirma que es la forma escalonada reducida de A. [La mayoría de los programas de matrices y de las calculadoras con capacidad para resolver matrices utilizan la abreviatura RREF para encontrar la forma escalonada reducida (por filas). Algunos usan REF para la forma escalonada (por filas) (del inglés row reduced echelon form y row echelon form).] Posiciones pivote Cuando las operaciones de fila sobre una matriz producen una forma escalonada, las operaciones de fila posteriores para obtener la forma escalonada reducida no cambian las posiciones de las entradas principales. Como la forma escalonada reducida es única, las entradas principales siempre están en las mismas posiciones en cualquier forma escalonada obtenida a partir de una matriz dada. Estas entradas principales corresponden a los números principales que hay en la forma escalonada reducida.

16 6 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal DEFINICIÓN En una matriz A, una posición pivote es una ubicación en A que corresponde a un principal en la forma escalonada reducida de A. Una columna pivote es una columna de A que contiene una posición pivote. En el ejemplo, los cuadros ( ) identifican las posiciones pivote. Muchos conceptos fundamentales incluidos en los primeros cuatro capítulos de este libro estarán conectados de una forma u otra con las posiciones pivote que aparecen en una matriz. EJEMPLO 2 Reduzca por filas la matriz A que se muestra a continuación hasta la forma escalonada, y localice las columnas pivote de A A = Solución Use la misma estrategia básica aplicada en la sección.. El elemento superior de la columna distinta de cero que se encuentra más a la izquierda de la matriz es la primera posición pivote. En esta posición, debe colocarse una entrada distinta de cero, o pivote. Una buena alternativa es intercambiar las filas y 4 (porque las comparaciones mentales en el siguiente paso no involucrarán fracciones). Pivote Columna pivote Cree ceros debajo del pivote, para ello sume múltiplos de la primera fila a las filas de abajo, y obtenga la matriz () que se presenta enseguida. La posición pivote de la segunda fila debe estar lo más a la izquierda que sea posible a saber, en la segunda columna. Se elegirá al 2 en esta posición como el siguiente pivote. Pivote Próxima columna pivote () Sume la fila 2 multiplicado por 5/2 a la fila 3, y la fila 2 multiplicado por 3/2 a la fila (2) 5

17 .2 Reducción por filas y formas escalonadas 7 La matriz en (2) es diferente a cualquiera de las matrices encontradas en la sección.. No hay forma de crear una entrada principal en la columna 3! (No pueden usarse las filas o 2 porque al hacerlo se destruiría el arreglo escalonado de las entradas principales ya producidas.) Sin embargo, es posible producir una entrada principal en la columna 4 intercambiando las filas 3 y 4. Pivote Forma general: Columnas pivote La matriz está en forma escalonada y, por lo tanto, las columnas, 2 y 4 de A son columnas pivote. Posiciones pivote A = Columnas pivote (3) Un pivote, como el ilustrado en el ejemplo 2, es un número distinto de cero situado en una posición pivote que se utiliza cuando es necesario para crear ceros por medio de operaciones de fila. Los pivotes empleados en el ejemplo 2 fueron, 2 y 5. Debe advertirse que estos números no son los mismos que los elementos reales de A ubicados en las posiciones pivote iluminadas que se muestran en (3). De hecho, una sucesión diferente de operaciones de fila podría involucrar un conjunto de pivotes distinto. Además, un pivote no será visible en la forma escalonada si la fila se escala para convertir el pivote en un principal (lo cual muchas veces es conveniente para realizar cálculos a mano). Con el ejemplo 2 como guía, ahora es posible describir un procedimiento eficiente para transformar una matriz en una matriz escalonada o escalonada reducida. El estudio cuidadoso y el dominio de este procedimiento producirán grandes dividendos durante todo el curso. Algoritmo de reducción por filas El algoritmo que se describe enseguida consta de cuatro pasos, y produce una matriz en forma escalonada. Un quinto paso produce una matriz en forma escalonada reducida. El algoritmo se ilustra mediante un ejemplo. EJEMPLO 3 Aplique operaciones elementales de fila para transformar la siguiente matriz a la forma escalonada y después a la forma escalonada reducida:

18 8 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal Solución PASO Empiece con la columna distinta de cero que se encuentra más a la izquierda. En este caso es una columna pivote. La posición pivote está en la parte superior Columna pivote PASO 2 Seleccione como pivote una entrada distinta de cero en la columna pivote. Si es necesario, intercambie filas para mover esta entrada a la posición pivote. Intercambie las filas y 3. (También podrían haberse intercambiado las filas y 2.) Pivote PASO 3 Use operaciones de reemplazo de fila para crear ceros en todas las posiciones ubicadas debajo del pivote. Como paso preliminar, se podría dividir la fila superior entre el pivote, 3. Pero con dos números 3 en la columna, esto es tan fácil como sumar la fila multiplicada por a la fila 2. Pivote PASO 4 Cubra (o no tome en cuenta) la fila que contiene la posición pivote y cubra todas las filas, si existe alguna, por encima de ésta. Aplique los pasos, 2 y 3 a la submatriz restante. Repita el proceso hasta que no haya más filas distintas de cero por modificar. Con la fila cubierta, el paso muestra que la columna 2 es la siguiente columna pivote; para el paso 2, en dicha columna se seleccionará como pivote la entrada superior.

19 .2 Reducción por filas y formas escalonadas 9 Pivote Nueva columna pivote Para el paso 3, se podría insertar el paso opcional de dividir la fila superior de la submatriz entre el pivote 2. En vez de eso, se suma 3/2 veces la fila superior a la fila de abajo. Esto produce Cuando se cubre la fila que contiene la segunda posición pivote para el paso 4, queda una nueva submatriz que tiene solamente una fila: Pivote Se ha alcanzado una forma escalonada para la matriz completa sin tener que aplicar los pasos, 2 y 3 en esta submatriz. Si se quisiera obtener la forma escalonada reducida, tendría que efectuarse un paso más. PASO 5 Empiece con el pivote situado más a la derecha trabajando hacia arriba y a la izquierda, cree ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es, hágalo mediante una operación de escalamiento. El pivote situado más a la derecha está en la fila 3. Se crean ceros encima de él, sumando múltiplos adecuados de la fila 3 a las filas 2 y Fila + ( 6) Fila Fila 2 + ( 2) Fila 3 4 El siguiente pivote está en la fila 2. Escale esta fila dividiéndola entre el pivote Fila escalada por 2 4 Se crea un cero en la columna 2 sumando 9 veces la fila 2 a la fila Fila + (9) Fila

20 2 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal Por último, se escala la fila al dividirla entre el pivote Fila escalada por Ésta es la forma escalonada reducida de la matriz original. La combinación de los pasos a 4 se llama fase progresiva del algoritmo de reducción por filas. El paso 5, que produce la forma escalonada reducida única, se llama fase regresiva. NOTA NUMÉRICA En el paso 2 que se mostró con anterioridad, un programa de computadora generalmente selecciona como pivote en una columna la entrada que tenga el mayor valor absoluto. Esta estrategia, llamada pivoteo parcial, se usa porque reduce los errores de redondeo en los cálculos. Soluciones de sistemas lineales El algoritmo de reducción por filas conduce directamente a una descripción explícita del conjunto solución de un sistema lineal cuando se aplica, el algoritmo, a la matriz aumentada del sistema. Por ejemplo, suponga que la matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transformada en la forma escalonada reducida equivalente 5 4 Existen tres variables porque la matriz aumentada tiene cuatro columnas. El sistema de ecuaciones asociado es 5x 3 = + x 3 = 4 = (4) Las variables y correspondientes a columnas pivote de la matriz se denominan variables básicas. 2 La otra variable, x 3, se llama variable libre. Cuando un sistema es consistente, como en (4), el conjunto solución puede describirse de manera explícita al resolver el sistema de ecuaciones reducido para las variables básicas en términos de las variables libres. Esta operación es posible debido a que la 2 Algunos textos utilizan el término variables principales porque corresponden a las columnas que contienen las entradas principales.

21 .2 Reducción por filas y formas escalonadas 2 forma escalonada reducida coloca cada variable básica en una, y sólo una, ecuación. En (4), se puede despejar de la primera ecuación y de la segunda. (La tercera ecuación no se toma en cuenta porque no ofrece restricciones a las variables.) = + 5x 3 = 4 x 3 x 3 es libre (5) Al afirmar que x 3 es libre, se implica la posibilidad de asignarle cualquier valor. Una vez que se efectúa esta asignación, las fórmulas de (5) determinan los valores para y. Por ejemplo, cuando x 3 =, la solución es (, 4, ); cuando x 3 =, la solución es (6, 3, ). Cada asignación diferente de x 3 determina una solución (diferente) del sistema, y cada solución del sistema está determinada por una asignación de x 3. La solución de (5) se denomina solución general del sistema porque proporciona una descripción explícita de todas las soluciones. EJEMPLO 4 Encuentre la solución general del sistema lineal cuya matriz aumentada se ha reducido a Solución La matriz está en forma escalonada, pero se requiere la forma escalonada reducida antes de despejar las variables básicas. A continuación se completa la reducción por filas. El símbolo ~ colocado antes de una matriz indica que ésta es equivalente por filas a la matriz precedente Existen cinco variables puesto que la matriz aumentada tiene seis columnas. Ahora el sistema asociado es x 4 = x 3 4x 4 = 5 x 5 = 7 (6) Las columnas pivote de la matriz son, 3 y 5; así que las variables básicas son, x 3 y x 5. Las variables restantes, y x 4, deben ser libres. Al despejar las variables básicas, se

22 22 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal obtiene la solución general: = 6 3x 4 es libre x 3 = 5 + 4x 4 (7) x 4 es libre x 5 = 7 Observe que el valor de x 5 ya quedó fijado por la tercera ecuación del sistema (6). Descripciones paramétricas de conjuntos solución Las descripciones en (5) y (7) son descripciones paramétricas de conjuntos solución en los cuales las variables libres actúan como parámetros. La resolución de un sistema significa encontrar una descripción paramétrica del conjunto solución, o determinar que el conjunto solución está vacío. Cuando un sistema es consistente y tiene variables libres, el conjunto solución permite obtener muchas descripciones paramétricas. Por ejemplo, en el sistema (4) se podría sumar cinco veces la ecuación 2 a la ecuación y obtener el sistema equivalente + 5 = 2 + x 3 = 4 Podría tratarse a como parámetro y despejar y x 3 en términos de, y se tendría una descripción precisa del conjunto solución. Sin embargo, para ser consistente, se establece la convención (arbitraria) de usar siempre las variables libres como parámetros para describir un conjunto solución. (La sección de respuestas incluida al final del texto refleja también esta convención.) Cuando un sistema es inconsistente, el conjunto solución está vacío, incluso si el sistema tiene variables libres. En este caso, el conjunto solución no tiene representación paramétrica. Sustitución regresiva Considere el sistema siguiente cuya matriz aumentada está en forma escalonada pero no en forma escalonada reducida: 7 + 2x 3 5x 4 + 8x 5 = 3x 3 + 3x 4 + x 5 = 5 x 4 x 5 = 4 Un programa de computadora resolvería este sistema por sustitución regresiva, en lugar de calcular la forma escalonada reducida. Esto es, el programa resolvería la ecuación 3 para x 4 en términos de x 5 y sustituiría la expresión para x 4 en la ecuación 2; resolvería la ecuación 2 para y luego sustituiría las expresiones para y x 4 en la ecuación y despejaría. El formato matricial que se utiliza en este texto para aplicar la fase regresiva de reducción por filas, la cual produce la forma escalonada reducida, requiere el mismo número de operaciones aritméticas que la sustitución regresiva. Pero la disciplina del formato matricial reduce sustancialmente la posibilidad de cometer errores durante los

23 .2 Reducción por filas y formas escalonadas 23 cálculos efectuados a mano. Se recomienda de manera enfática usar solamente la forma escalonada reducida para resolver un sistema. La Guía de estudio (Study Guide) que acompaña a este texto ofrece algunas sugerencias útiles para realizar operaciones de fila con exactitud y rapidez. NOTA NUMÉRICA En general, la fase progresiva de la reducción por filas es mucho más larga que la fase regresiva. Para resolver un sistema, un algoritmo se mide generalmente en flops (u operaciones en punto flotante). Un flop es una operación aritmética (,, *, /) con dos números reales en punto flotante. 3 Para una matriz de n (n ), la reducción a la forma escalonada puede requerir 2n 3 /3 n 2 /2 7n/6 flops (lo cual es aproximadamente 2n 3 /3 flops cuando n es moderadamente grande por ejemplo, n 3). Por otro lado, la reducción posterior a la forma escalonada reducida necesita cuando mucho n 2 flops. Preguntas de existencia y unicidad Aunque una forma escalonada no reducida es una herramienta poco eficiente para resolver un sistema, está considerada como el mecanismo correcto para resolver las dos preguntas fundamentales enunciadas en la sección.. EJEMPLO 5 Determine la existencia y unicidad de las soluciones del sistema 3 6x 3 + 6x 4 + 4x 5 = x 3 5x 4 + 8x 5 = x 3 9x 4 + 6x 5 = 5 Solución La matriz aumentada de este sistema se redujo por filas en el ejemplo 3 a (8) 4 Las variables básicas son, y x 5 ; las variables libres son x 3 y x 4. No hay ninguna ecuación del tipo = que origine un sistema inconsistente, así que podría usarse sustitución regresiva para encontrar una solución. Pero en (8) ya es evidente la existencia de una solución. Además, la solución no es única porque existen variables libres. Cada asignación diferente de x 3 y x 4 determina una solución distinta. Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones. 3 Tradicionalmente, un fl o p era sólo una multiplicación o una división porque la suma y la resta requerían mucho menos tiempo y podían no tomarse en cuenta. La definición de fl o p que se da aquí es la preferida en la actualidad, como consecuencia de los avances en la arquitectura de computadoras. Vea Golub y Van Loan, Matrix Computations, 2a. edición (Baltimore: The Johns Hopkins Press, 989), pp. 9 2.

24 24 Capítulo Ecuaciones lineales en álgebra lineal Cuando un sistema está en forma escalonada y no contiene ninguna ecuación del tipo = b, con b diferente de, toda ecuación distinta de cero contiene una variable básica con un coeficiente diferente de cero. Las variables básicas están completamente determinadas (sin variables libres), o por lo menos una de las variables básicas puede expresarse en términos de una o más variables libres. En el primer caso existe una solución única; en el último, hay un número infinito de soluciones (una para cada asignación de valores a las variables libres). Estas observaciones justifican el teorema siguiente. TEOREMA 2 Teorema de existencia y unicidad Un sistema lineal es consistente si, y sólo si, la columna del extremo derecho de la matriz aumentada no es una columna pivote esto es, si, y sólo si, una forma escalonada de la matriz aumentada no tiene ninguna fila de la forma [ b] con b diferente de cero. Si un sistema lineal es consistente, entonces el conjunto solución contiene (i) una solución única, cuando no existen variables libres, o bien (ii) un número infinito de soluciones, cuando existe por lo menos una variable libre. El procedimiento siguiente define cómo encontrar y describir todas las soluciones de un sistema lineal. USO DE LA REDUCCIÓN POR FILAS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL. Escriba la matriz aumentada del sistema. 2. Utilice el algoritmo de reducción por filas para obtener una matriz aumentada equivalente de forma escalonada. Decida si el sistema es o no consistente. Si no hay solución, deténgase; en caso contrario, continúe con el siguiente paso. 3. Continúe la reducción por filas hasta obtener la forma escalonada reducida. 4. Escriba el sistema de ecuaciones que corresponda a la matriz obtenida en el paso Reescriba cada ecuación diferente de cero del paso 4 de manera que su única variable básica esté expresada en términos de cualesquiera variables libres que aparezcan en la ecuación. P ROBLEMAS DE PRÁCTICA. Encuentre la solución general del sistema lineal cuya matriz aumentada es 3 5 3