Apunte para el trabajo del laboratorio

Transcripción

1 Apunte para el trabajo del laboratorio Física I Cátedra Wainmaier 1. El proceso de medición El proceso de medición es un proceso físico experimental en cual intervienen e interactúan necesariamente tres sistemas: 1. Sistema objeto, es lo que va a medirse. 2. Sistema de medición, es el instrumento o conjunto de instrumentos con los que se mide (del cual forma parte el observador). 3. Sistema de comparación, que se define como la unidad de medida, y suele estar incluida en el instrumento de medición. En cada proceso de medición interaccionan estos tres sistemas dando como resultado una cantidad que es la medida de la magnitud en cuestión El resultado de un proceso de medición es un número real, que se llama valor de la magnitud, y se lo interpreta como la cantidad de veces que la unidad está contenida. Pero simultáneamente, estas mismas instrucciones darán como producto la definición operacional de la magnitud misma. En efecto,? cómo se puede medir, por ejemplo, una longitud? : se toma un instrumento, regla, se hace coincidir un extremo de la regla con el extremo del objeto cuya longitud se quiere determinar y se lee que división coincide con el otro extremo. Independientemente se ha realizado una operación análoga con la regla y otro objeto que se tomo como patrón (calibración de la unidad). Obtenemos así una cantidad que nos da la medida de la longitud, pero obtenemos además la definición misma de longitud. Â Qué es una longitud? Lo que se mide mediante un proceso como el descripto. Es lo que se llama una definición operacional: la magnitud es definida en términos de las operaciones que se realizan para medirla. Una misma magnitud puede, así, ser definida operacionalmente de muchos modos diferentes. Los procesos de medición dependen en general del grado de desarrollo de los métodos de medición y del avance de las teorías científicas, consecuentemente las definiciones operacionales son aproximadas, perfectibles a medida que la ciencia progresa. Resumiendo, tenemos dos cuestiones claves que se derivan a partir del procedimiento de medición: 1

2 Define operativamente una magnitud física. Da como resultado el âvalorâ de la magnitud. Toda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente. El valor de una magnitud dada es independiente del proceso particular de medición, dependiendo solo de la unidad elegida. Como esta unidad, en principio, es arbitraria y se fija por convención, es necesario añadir un símbolo al valor numérico para indicar cuál unidad ha sido utilizada como comparación. Por ejemplo, se escribe â1 mâ, â10 piesâ, â25 seg.â, etc. Decir que una longitud es de â2,5â no tiene sentido físico, si no se indica la unidad de referencia. Por otro lado si bien en matemática cuando escribimos, por ejemplo, 2,5 y 2,50 estamos haciendo referencia a un mismo número, no ocurre lo mismo cuando estos números son el resultado de una medición. Consideremos, por ejemplo, que le damos a alguien para que mida el largo de un cuaderno y le pedimos que lo mida con una regla. Realiza la medición y señala que es de 29,5 cm.? Podemos considerar que la longitud del cuaderno es de exactamente 29, cm? Seguro que no, esta afirmación está fuera de los límites de credibilidad. No podemos contar con el valor exacto de ninguna medida y debemos conformarnos con medidas que toman forma de intervalos, dentro de los cuales tenemos confianza de que se encuentre el valor esperado. El acto de la medición requiere que determinemos tanto la localización como el ancho del intervalo para el cual podemos afirmar con cierta certeza que está el valor de la variable X. Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a continuación, las unidades empleadas. Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido 297 ± 2mm. Como la cifra ±2mm representa el intervalo en que la lectura de 297 es incierta. De este modo entendemos que la medida de dicha magnitud está en alguna parte entre 295mm y 299mm. En realidad, la expresión anterior no significa que se está seguro de que valor verdadero esté entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que esté ahí. 2. Ordenes de magnitud y Cifras significativas Se acostumbra dar el nombre de orden de magnitud de un valor (o magnitud física) a la potencia de 10 más cercana al valor. Seguramente no sabemos cuánto es el diámetro de un lápiz grafito (8,2mm aproximadamente). Sin embargo, no tendremos dificultad en indicar cuál es la potencia de 10 más cercana al valor de ese diámetro. Es decir, podremos decidir con facilidad si el diámetro del lápiz está más cerca de 10 0 mm o de 10 1 mm. El orden de magnitud del lápiz grafito es 10 1 mm, puesto que ésta es la potencia de 10 más cercana al valor del diámetro. Otra forma conveniente de obtener el orden de magnitud de un valor es operar con los valores de ellas en notación científica. 2

3 Ejemplo: el orden de magnitud es ,264x10 3 = 5,63264x10 2 x10 3 = 10 1 x10 5 = ,86169x10 9 = 10 0 x10 9 = 10 9 el orden de magnitud 10 9 Por otro lado cabe señalar que del resultado de una medición se obtiene un número con una cierta cantidad de dígitos que corresponden a los sucesivos órdenes de magnitud (orden de la potencia de 10 más próxima al valor de la magnitud, así 375m es del orden de 10 2 m) medidas, a las cuales llamaremos cifras significativas, es decir cifras que provienen realmente de la medición. Por ejemplo, si medimos la longitud de una mesa con la regla en milímetros expresamos el resultado como 2, 725m ó 272, 5cm pero no se nos ocurrirá escribir 2, m. En efecto, la regla no nos da información alguna sobre las décimas o centésimas de milímetro. La información sobre la medida de una dada magnitud no puede modificarse por el solo hecho de cambiar la unidad en que se mide. En el ejemplo: 37, 5m 3750cm El segundo término indica que al medir el orden de los centímetros obtuve como resultado cero, en tanto que 37, 5m indica que no se midió el orden de los centímetros. Otra fuente de confusiones que surge a raíz de las unidades se presenta con los ceros a la derecha. En efecto: 3, 5mm y 0, 0035m tienen el mismo número de cifras significativas. Para evitar estos problemas corresponde usar la notación científica: Para recordar: 37, 5m = 37, 5x10 2 cm = 37, 5x10 3 Km 1. Toda cifra escritas comprendidas entre 1-9 son significativas, 2. los ceros a la izquierda nunca son significativos, independientemente de que estén en la parte entera o en la parte decimal del numero (por ejemplo los dos primeros ceros de 0,082058m no son significativos), 3. los ceros intermedios (0,082058m) son significativos 4. los ceros finales de un dato real (14,00m) son significativos 5. los ceros finales de un dato entero (300m) no son significativos; si se desea expresar en notación científica (3,00x10 2 m) Cualquiera sea el medio por el que hayamos hecho la medición ésta tendrá asociada diferentes errores y el resultado final deberá ser el intervalo que representa los límites dentro de los cuales se encuentra el valor deseado. En lo que sigue nos referiremos a los diferentes tipos de errores asociados a las mediciones. 3

4 3. Teoría de errores Suele asociarse con los términos âcálculo de erroresâ, a un proceso que se efectúa una vez completada una medición, con el objetivo de acotar el número de cifras significativas que se conocen con exactitud. Nada más alejado es esto del verdadero papel que los errores juegan en relación al trabajo experimental. Toda tarea de planificación, ejecución, análisis y evaluación de cualquier tarea experimental va a estar guiada por consideraciones respecto a los errores. En efecto, a menudo hablamos de magnitudes âsuficientemente grandesâ o âsuficientemente pequeñasâ, âque tienden a un límiteâ, que âse desprecianâ, o de âmasas puntualesâ, âpéndulos inextensiblesâ, etc, pero al enfrentar las mediciones concretas (las masas, los péndulos reales), surge la pregunta:? Dentro de qué límites las expresiones matemáticas, válidas para los entes ideales mencionados, pueden aplicarse correctamente en el problema real? Necesitamos respuestas cuantitativas concretas. Sólo el conocimiento de los errores de medición y las formas que ellos inciden en nuestros resultados pueden proporcionar criterios objetivos para contestarlas. Pero no solo la aplicabilidad de un modelo depende de estos errores. La selección del método y de instrumentos se rige, en buena medida, por la precisión que queremos o podemos alcanzar. Dejar de lado el análisis previo de los errores y su peso relativo, al planificar una experiencia, conduce a menudo a costosas equivocaciones (costosas en tiempo, en eficacia, en dinero, etc). Es muy común en los principiantes afinar extremadamente la exactitud de la lectura que luego va a ser usada en conjunción con otras cuyos errores pesan mucho más en el resultado o cuyas precisiones no pueden mejorarse hasta el mismo orden de magnitud de modo que todo el esfuerzo que a veces se realiza resultará inútil. Por todo ello creemos fundamental introducir en las técnicas y cálculos de errores desde las más simples experiencias de laboratorio, como una metodología que caracteriza al trabajo científico-tecnológico. y 3.1. Conceptos básicos Tanto los instrumentos que usamos para medir como las magnitudes mismas son fuente de incertezas al momento de medir. Los instrumentos tienen una precisión finita, por lo que, para un dado instrumento, siempre existe una variación mínima de la magnitud que puede detectar. Esta mínima cantidad se denomina la apreciación nominal del instrumento. Por ejemplo, con una regla graduada en milãmetros, no podemos detectar variaciones menores que una fracción del milímetro. A su vez, las magnitudes a medir no están definidas con infinita precisión. Otra fuente de error que se origina en los instrumentos además de la precisión es la exactitud de los mismos. La precisión de un instrumento o un método de medición está asociada a la sensibilidad o menor variación de la 4

5 magnitud que se pueda detectar con dicho instrumento o método. Así, decimos que un tornillo micrométrico (con una apreciación nominal de 10µm) es más preciso que una regla graduada en milímetros. La exactitud de un instrumento o método de medición está asociada a la calidad de la calibración del mismo. Imaginemos que el cronómetro que usamos es capaz de determinar la centésima de segundo pero adelanta dos minutos por hora, mientras que un reloj de pulsera común no lo hace. En este caso decimos que el cronómetro es todavía más preciso que el reloj común, pero menos exacto. La exactitud es una medida de la calidad de la calibración de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente Clasificación de los errores 1. Errores introducidos por el instrumento: Error de apreciación σ ap : si el instrumento está correctamente calibrado la incertidumbre que tendremos al realizar una medición estará asociada a la mínima división de su escala o a la mínima división que podemos resolver con algún método de medición. Error de exactitud σ exac : representa el error absoluto con el que el instrumento en cuestión ha sido calibrado. 2. Errores de interacción, σ int : esta incerteza proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir. Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor se estima de un análisis cuidadoso del método usado. En general, en un dado experimento, todas estas fuentes de incertidumbres estarán presentes, de modo que resulta útil definir el error nominal de una medición σ nom, como: σ 2 nom = σ 2 ap + σ 2 def + σ 2 int + σ 2 exac (1) Este procedimiento de sumar los cuadrados de los errores es un resultado de la estadãstica, y proviene de suponer que todas las distintas fuentes de error son independientes una de otras. Según su carácter los errores pueden clasificarse en sistemáticos, estadísticos e ilegítimos o espurios. 1. Errores sistemáticos: se originan por las imperfecciones de los métodos de medición. 2. Errores estadísticos: Son los que se producen al azar. En general son debidos a causas múltiples y fortuitas (σ est ). 5

6 3. Errores ilegãtimos o espurios: Supongamos que deseamos calcular el volumen de un objeto esférico y para ello determinamos su diámetro. Si al introducir el valor del diámetro en la fórmula, nos equivocamos en el número introducido, o lo hacemos usando unidades incorrectas, o bien usamos una expresión equivocada del volumen, claramente habremos cometido un error. Cuando se desea combinar los errores sistemáticos con los estadísticos, la prescripción usual es sumar los cuadrados de los errores absolutos y luego tomar la raíz cuadrada de este resultado. Si estamos midiendo una magnitud Z, el error final o combinado o efectivo de Z, Z, vendrá dado por: Z = σ 2 est + σ2 nom (2) Llamamos error absoluto al valor de la incertidumbre combinada (Ec. 2). Tiene las mismas dimensiones que la magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de ésta. Si Z es la magnitud en estudio, Z es el mejor valor obtenido y Z su incertidumbre absoluta. El resultado se expresa adecuadamente como: Z = Z ± Z (3) El significado de esta notación es equivalente a decir que, según nuestra medición, con una cierta probabilidad razonable, el valor de Z está contenido en el intervalo ( Z Z, Z + Z), o sea: Z Z < Z < Z + Z. Error relativo: ε Z = Z/Z, el cociente entre el error absoluto y el mejor valor de la magnitud. Error relativo porcentual: ε Z, % = 100.ε Z, es la incertidumbre relativa multiplicada por Mediciones directas 4.1. Tratamiento estadístico de los datos Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presión, humedad, etc., sino también, por las variaciones en las condiciones de observación del experimentador. Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los resultados obtenidos son x 1, x 2,..., x n se adopta como mejor estimación del valor verdadero el valor medio x 1 que viene dado por la ec x suele escribirse como x 6

7 x = x 1 + x x n n El valor medio se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica, no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podría bastar 4 ó 5. Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso hacer una sola medida. De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, el llamado error cuadrático definido por la ec. 5. = n 1 x i n (4) x = n1 (x i x ) 2 n(n 1) (5) Â En conclusión el resultado del experimento se expresa como: Â Â x ± x y la unidad de medida. Â Si tenemos N medidas tendremos desviaciones ɛ i = (x i x ), que serán, en general, números positivos y negativos. Definimos la cantidad llamada varianza: ɛ 2 ν = i (6) N que es el promedio de las desviaciones cuadráticas, y que solo depende de la forma en que los datos individuales fluctúan alrededor del promedio, siendo independiente del número total de observaciones. Para poder hacer comparaciones debemos llevar a la varianza a las mismas unidades que el promedio. Por eso se define como la raíz cuadrada de la varianza, y se la llama dispersión o error estandard de cada medición σ = ν = ɛ 2 i N Para los casos de errores casuales de medición esta dispersión o error standard vale: ξ = σ (8) N (7) 7

8 Esta relación es en realidad aproximada, pero se convierte en igualdad para N suficientemente grande. A partir de este análisis, el resultado numérico de una serie de mediciones se indica en la forma x ± ξ. La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida. Es importante saber ordenar los datos en forma gráfica, en particular en distribuciones de frecuencias, porque tales ordenaciones nos permiten sacar una impresión global de su aspecto general y presentarlos para procedimientos de cálculos posteriores. Consideremos de nuevo la serie de resultados de medición: x 1, x 2,...x n. Estos números están distribuidos alrededor del promedio. Observaremos que hay valores que están cerca del promedio y otros que están más lejos. Cuando nos proponemos hacer una medición no podemos saber de antemano el resultado que va a salir, pero es evidente que podremos decir que la probabilidad de estar cerca del promedio es alta, y que la probabilidad de estar lejos es baja. Analicemos detenidamente esto. Tomemos un eje, en el cual marcamos los valores de que van apareciendo en nuestra serie de mediciones, figura 1. Figura 1: Sobre el eje X se representan las mediciones mediante puntos. Se señala el valor promedio. El aspecto suele ser el de la figura 1. Los valores se âaglomeranâ cerca del promedio, y se vuelven más dispersos fuera de este. Si dividimos el eje en pequeños intervalos iguales podemos contar el número de observaciones que caen en cada intervalo y representarlo gráficamente. Esto es lo que se llama histograma (cuando a todo un intervalo le corresponde un valor, y no a un solo punto, como sucede en una función). Cuanto más grande sea la estadística, o sea, más pequeños podemos hacer los intervalos sin por ello perder la chance de tener un número suficientemente grande de datos en cada intervalo, el histograma tomará la forma de una función gausseana. 5. Mediciones indirectas En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente. 8

9 Figura 2: Esquema de un Histograma correspondiente a los datos de la Fig Funciones de una sola variable Supongamos que la magnitud y cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra magnitud x, mediante la relación funcional y = f(x). El error de y cuando se conoce el error de x viene dado por la expresión. de nuevo x es el valor medio 5.2. Funciones de varias variables y = f ( x ) x (9) Supongamos que la magnitud z cuyo valor queremos hallar depende de más de una magnitud, por ejemplo x e y, por lo que la relación funcional z = g(x, y). El error de z cuando se conocen los errores de x e y viene dado por la expresión. z = dg( x, x ) dg( x, x ) x + y (10) dx dy donde x, y son los valores medios x e y de respectivamente. Un ejemplo para clarificar esta idea: Supongamos que queremos medir el volumen de un cilindro de aluminio y disponemos de una cinta métrica cuya menor división es de 0,1cm. Medimos el diámetro de la base y la altura del mismo. Si consideramos que el volumen de un cilindro está dado por la siguiente expresión: V = πr 2 h (11) donde r es el radio y h la altura del cilindro, el error del volumen saldrá a partir de la siguiente expresión: V = 2π h r r + π r 2 h (12) 9

10 Figura 3: Esquema del a estudiar Finalmente, el valor del volumen será V = 59 ± 4cm 10