2) Funciones de distribución de probabilidad. Histogramas. Función de distribución de probabilidad (o función de densidad de probabilidad):

Transcripción

1 Función de distribución de probabilidad (o función de densidad de probabilidad): Es una función matemá0ca de una o varias variables que describe la probabilidad de obtener un conjunto específico de valores para la(s) variable(s) considerada(s). Un paso previo a la obtención de una función de distribución es la generación de un histograma a par0r del conjunto de datos. En Matlab: La función hist(data,x) genera un histograma de los datos en las posiciones dadas por el vector x( ), o dicho de otra forma: agrupa los datos del vector data( ) en un número de grupos igual a length(x). Cada uno de estos grupos está centrado en el correspondiente valor de x( ) y nos da información de como se distribuyen los datos almacenados en data() en los dis0ntos grupos definidos por x() data( ) con0ene: 4 veces el número 1 4 veces el número 2 3 veces el número 3 5 veces el número 4 3 veces el número 5 2 veces el número 6 1

2 Ejemplo ilustra>vo: U0lizando los datos de precipitación del ejercicio anterior: res = [ ] (mm lluvia promedio por mes en España) rma = [ ] ] (mm lluvia promedio por mes en Madrid) rlo = [ ] (mm lluvia promediopor mes en Londres) Se pide: pintar un histograma para cada conjunto de datos, u0lizando intervalos de medida de precipitación definidos por x=0:20:80,para obtener una figura similar a la que se incluye debajo. 2

3 La función de distribuión de probabilidad se puede obtener normalizando el histograma. Así, para una variable discreta, normalizar corresponde a dividir por el número total de datos. Para una variable con0nua x, definida en un intervalo [x min, x max ], la función distribución correspondiente p(x) debe sa0sfacer: (nótese que imponer esta condición es equivalente a imponer la condición obvia de que la probabilidad de que la variable esté en el intervalo en el que puede tomar valores es igual a 1) Ejemplo ilustra>vo: Considérense el conjunto de datos siguiente: data = [ ] Crear un histograma normalizado, como el que se muestra a la derecha, que cuan0fique la probabilidad de encontrar en data() cada uno de los valores definidos por x = [ ]. 3

4 Función de distribución Gaussiana o normal: Es una distribución muy ú0l que aparece en un gran número de contextos en asica. Está definida por dos parámetros: el valor medio (μ) y la desviación estandar (σ). (Nota: 68% y 95% de las observaciones estarán dentro de 1σ y 2σ, respec0vamente) Ejercicio para hacer en clase (Parte 1): 1. U0liza la función randn() para generar un conjunto aleatorio de N datos centrados en x=0 y con desviación estándar σ=1. 2. Crea un histograma a par0r de los datos obtenidos en el apartado anterior. 3. Normaliza el histograma obtenido en el apartado anterior para obtener la función de probabilidad. Compara gráficamente el resultado obtenido con la expresión analí0ca correspondiente. 4. Usar la función randn() para generar un conjunto N de números aleatorios distribuidos uniformemente en el intervalo [0,1] y repe0r los apartados

5 Ejercicio para hacer en clase (Parte 2): Hacer una gráfica de la distribución de probabilidad Gaussiana normalizada obtenida en la parte anterior del ejercicio ( u0lizando la función randn() ) para diferentes valores del número total de puntos N y para diferentes valores del número total de intervalos. 5

6 Generadores de números aleatorios en MATLAB que sigan una distribución de probabilidad uniforme: rand(m,n): genera una matriz m x n con una distribución uniforme de números aleatorios en el intervalo [0,1]: Ejemplo de uso: >> A=rand(20,1) >> A=A*100 %crea números aleatorios entre 0 y 100 >> hist(a) %pinta el histograma correspondiente randi(): randi(imax): genera un entero aleatorio entre 0 y imax (distr. uniforme) randi(imax,n): genera una matriz n x n y la llena de enteros aleatorios entre 0 y imax. randi([imin, imax],n,m): genera una matriz n x m con números enteros aleatorios distribuidos en el intervalo [imin,imax] Ejemplo de uso: >> r = randi([ ],1,1000) % crea una matriz de número enterso aleatorios que siguen una distribución uniforme dentro del conjunto de números enteros [ ] 6

7 Introducción al método de Montecarlo. El método de Montecarlo sirve para designar a un 0po de métodos númericos que se basa en el muestreo aleatorio ( random sampling ). Como ejemplo, veamos como el método de Montecarlo se puede u0lizar para calcular el valor del número π: 1. Distribuimos aleatoriamente y uniformemente puntos sobre un cuadrado unidad [1,0]x[0,1] 2. Determinamos cuales de esos puntos están dentro de la zona sombreada de la figura. 3. El porcentaje de los puntos que están dentro de la zona sombreada con respecto a todos los puntos es una aproximación a π/4.

8 Ejemplo de código en matlab: >>n = ; # number of Monte Carlo samples >>x = rand(n, 1); # sample the input random variable x >>y = rand(n, 1); # sample the input random variable y >>isinside = (x.ˆ2 + y.ˆ2 < 1); # is the point inside a unit circle? >>percentage = sum(isinside) / n; # compute sta0s0cs: the inside percentage >>pies0mate = percentage * 4