APLICACIONES PRÁCTICAS

Transcripción

1 6 UNIDAD Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes CONOCIMIENTOS TEÓRICOS 1 Distancias entre elementos fundamentales. Posiciones favorables de resolución 1.1 Entre dos puntos 1.2 Entre punto y plano 1.3 Entre punto y recta 1.4 Entre rectas paralelas 1.5 Entre planos paralelos 1.6 Entre rectas que se cruzan 2 Ángulos entre elementos fundamentales. Posiciones favorables 2.1 Entre dos rectas 2.2 Entre dos planos 2.3 Entre recta y plano 2.4 Con los planos de proyección APLICACIONES PRÁCTICAS 1 Distancias en verdadera magnitud. Resolución en proyecciones 1.1 Entre dos puntos 1.2 Entre punto y plano 1.3 Entre punto y recta 1.4 Entre rectas paralelas 1.5 Entre planos paralelos 1.6 Entre rectas que se cruzan 2 Ángulos en verdadera magnitud. Resolución en proyecciones 2.1 Entre dos rectas que se cruzan 2.2 Entre dos planos 2.3 Entre recta y plano 2.4 Con los planos de proyección CUESTIONES Y EJERCICIOS

2 UNIDAD 6 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes En la unidad 11 de Dibujo técnico 1, dedicamos un apartado al estudio de las verdaderas magnitudes de distancias, realizándolo como una aplicación de la perpendicularidad y de las intersecciones. Ahora volvemos sobre el tema como una aplicación más de los movimientos que hemos estudiado en la unidad anterior. 1 DISTANCIAS ENTRE ELEMENTOS FUNDAMENTALES. POSICIONES FAVORABLES DE RESOLUCIÓN Cada problema de distancias tiene una posición favorable que facilita su resolución. En este apartado explicaremos estas posiciones y la simplificación que aportan al proceso de resolución, en proyecciones diédricas, de cada una de las cuestiones de distancias. 1.1 Entre dos puntos Fig. 1 En la mayoría de los casos, el segmento que definen dos puntos es un segmento oblicuo, por lo que ninguna de sus proyecciones refleja la distancia real existente entre los mismos: segmentos A B y A B de la figura 1. La proyección sobre un plano al que el segmento AB sea paralelo nos dará su verdadera magnitud; esta posición es la que denominamos favorable y la podemos conseguir de dos maneras: Girando el segmento hasta que quede paralelo a uno de los planos de proyección. Definiendo un nuevo plano de proyección paralelo a la posición espacial del segmento AB. Fig. 2 De esta segunda manera se ha hecho en la figura 1, definiendo un nuevo plano vertical paralelo al segmento, que recogerá la proyección en verdadera magnitud de éste. El cambio de plano efectuado en la figura 2 nos determina, en proyecciones diédricas, la verdadera magnitud del segmento AB. 1.2 Entre punto y plano La figura 3 recoge el proceso a seguir para determinar la distancia desde un punto P a un plano α: Fig. 3 Trazar por el punto P la perpendicular r al plano. Determinar la intersección I de r con el plano α. El segmento PI es la distancia buscada. 118

3 Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD 6 Este proceso se simplifica notablemente dependiendo de la posición del plano α respecto a los de proyección. Si α es perpendicular a uno de estos planos, al vertical en la figura 4, la recta r, perpendicular al mismo y trazada desde el punto P, será paralela al PV y tendrá su proyección sobre este plano en verdadera magnitud. Con el plano α en la posición favorable descrita, los trazados realizados sobre las proyecciones diédricas (Fig. 5) son: La recta r, perpendicular al plano de canto, es frontal; sus proyecciones son perpendiculares a las correspondientes trazas del plano. La intersección entre la recta r y el plano α, y por ser éste proyectante vertical, se determina directamente en la intersección entre r y v α, punto I (único punto que, simultáneamente, pertenece a la recta y al plano). El segmento PI es la distancia buscada y, por ser frontal, tiene la proyección vertical d en verdadera magnitud. Fig Entre punto y recta Cuando r es una recta oblicua, para trazarle la perpendicular desde un punto P, deberemos trazar un plano auxiliar α que, pasando por el punto, sea perpendicular a la recta (Fig. 6); todas las rectas de este plano serán perpendiculares a r. La intersección del plano α con la recta r es el punto I que, unido a P, nos determina un segmento perpendicular a r y correspondiente a la distancia buscada. Pero si la recta r es perpendicular a uno de los planos de proyección, al vertical en la figura 7, el trazado se simplifica. Ahora podemos trazar directamente desde P la perpendicular a r. El segmento PI y el plano vertical son perpendiculares a r, por lo que ambos serán paralelos y la proyección de PI sobre PV estará en verdadera magnitud. Fig. 5 Fig. 6 Fig

4 UNIDAD 6 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes Con r en la posición descrita de recta de punta (Fig. 8), le trazamos desde P la perpendicular PI: en proyección horizontal la perpendicular a r desde P y en proyección vertical el segmento P - r, coincidente este último con la verdadera magnitud de la distancia buscada. Fig. 8 Otra posición favorable de la recta para determinar la distancia existente desde un punto sería la de recta vertical, y la construcción a realizar, muy similar a la anterior. Si las rectas, simplemente, son paralelas a alguno de los planos de proyección, podríamos trazar la perpendicular desde el punto, como vemos en la figura 9, pero el segmento resultante d d no tendría ninguna de sus proyecciones en verdadera magnitud. 1.4 Entre rectas paralelas Dos rectas paralelas definen un plano que, abatido sobre alguno de los de proyección o sobre otro plano paralelo a ellos, determinará una posición con verdaderas magnitudes sobre la cual podremos medir la distancia real existente entre las dos rectas. Abatir sobre un plano paralelo a los de proyección tiene la ventaja de no haber de determinar las trazas del plano que forman las dos rectas; así lo hemos realizado en la figura 10. Fig. 9 Fig. 10 h α es la traza horizontal de un plano paralelo al vertical de proyección, cuya intersección f f con el plano formado por las dos rectas nos sirve de charnela para realizar su abatimiento sobre el plano α. Por A, proyección vertical del punto A de la recta r, trazamos la paralela y la perpendicular a la charnela; sobre la paralela, llevamos el alejamiento del punto A en relación a la traza horizontal del plano auxiliar. La hipotenusa del triángulo rectángulo formado es el radio de giro para determinar la posición (A). Los puntos en que r y s cortan a la charnela son puntos dobles; el primero de ellos, unido con (A), nos define la posición abatida de la recta (r). Las dos rectas seguirán paralelas en el abatimiento, donde mediremos la distancia real existente entre ambas. 120

5 Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD 6 La misma cuestión la podemos resolver buscando la posición favorable de las rectas paralelas que, por razones similares a las expuestas en subapartados anteriores, será con las dos rectas perpendiculares a alguno de los planos de proyección (Fig. 11). Finalmente, (Fig. 12) resolvemos la distancia entre las rectas paralelas a partir de sus proyecciones diédricas y una vez situadas éstas en posición favorable. Por el teorema de las tres perpendiculares, el segmento d, perpendicular a las dos rectas, es perpendicular a sus proyecciones horizontales y, dado que éstas son perpendiculares a LT, será un segmento frontal cuya proyección vertical d (unión de r y s ) coincidirá con la distancia real entre las rectas paralelas. 1.5 Entre planos paralelos Fig. 11 La distancia entre dos planos paralelos es el segmento de perpendicular común comprendida entre ambos. En un caso general de dos planos cualesquiera, oblicuos a los de proyección, encontrar esta distancia implicaría, (Fig. 13): Trazar una recta r perpendicular a los dos planos. Determinar la intersección de esa recta con cada uno. El segmento de perpendicular comprendida entre los planos, segmento AB, sería la distancia entre ellos, distancia de la que deberíamos determinar la verdadera magnitud. Si los planos paralelos ocupan la posición favorable de ser perpendiculares a alguno de los planos de proyección, los trazados anteriores se simplifican. Los planos paralelos de la figura 14 son también verticales, es decir, perpendiculares al horizontal de proyección, por lo que la recta r, perpendicular a ambos, será horizontal. Fig. 12 Fig. 13 Fig

6 UNIDAD 6 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes La resolución descrita en los párrafos y figuras anteriores se ha realizado en proyecciones diédricas, y con los planos en posición favorable (Fig. 15). Fig. 15 Representadas las trazas de los planos α y β, trazamos la recta r perpendicular a ambos. Por ser verticales los planos, r será horizontal: trazaremos r, paralela a LT a cualquier cota, y r, perpendicular a las trazas horizontales de los planos. Los planos son proyectantes horizontales, por lo que A y B, únicos puntos comunes a recta y planos, son las proyecciones horizontales de los puntos de intersección entre la recta y los planos. El segmento A B coincide con la verdadera magnitud de la distancia buscada. 1.6 Entre rectas que se cruzan Dos rectas r y s que se cruzan en el espacio están separadas una distancia d que coincide con el segmento que es perpendicular, simultáneamente, a ambas rectas. Mediante representación en perspectiva (Fig. 16), describimos uno de los procesos gráficos habituales para determinar dicha distancia: Fig. 16 Fig. 17 Por un punto P cualquiera situado en una de las rectas, la r en la figura, trazamos una paralela a la segunda recta, s. Esta paralela, s 1, junto con r definen el plano α paralelo a s. Proyectamos s sobre el plano α. Desde uno cualquiera de sus puntos, M, trazamos la perpendicular a α; por la intersección M de esta perpendicular con el plano α, trazamos la recta s 2 paralela a s. Las rectas r y s 2 son coplanarias y se cortan en el punto A; la perpendicular al plano trazada por A cortará a la recta s en un punto B. El segmento AB es la perpendicular común coincidente con la distancia entre las dos rectas. También aquí, para determinar esta distancia existe una posición favorable que simplifica las operaciones a realizar. Si una de las rectas es perpendicular a alguno de los planos de proyección, recta r perpendicular al plano vertical en la representación de la figura 17, y sea cual sea la posición de la segunda recta, la perpendicular común, desde el punto de vista de la recta r, ha de ser, obligatoriamente, una recta frontal cuya perpendicularidad con la recta s será visible en las respectivas proyecciones verticales. En proyecciones diédricas y con las rectas en la posición favorable que acabamos de justificar, el trazado es muy sencillo (Fig. 18): Fig. 18 Por r trazamos la perpendicular a la proyección vertical s de la segunda recta; su intersección es el punto B. El segmento r B es la verdadera magnitud de la distancia buscada. Refiriendo B a la proyección horizontal de la recta s, trazamos d perpendicularmente a r para tener la proyección horizontal de la distancia. 122

7 Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD 6 2 ÁNGULOS ENTRE ELEMENTOS FUNDAMENTALES. POSICIONES FAVORABLES Como en los problemas de distancias, la determinación del ángulo entre dos elementos tiene también una posición favorable que facilita su determinación, así como la verdadera magnitud de la misma. En los próximos apartados justificaremos estas posiciones al tiempo que, en sus proyecciones diédricas, veremos la simplificación que representan. 2.1 Entre dos rectas Dos rectas r y s que se cortan definen un plano que, abatido, nos dará la verdadera magnitud de los elementos que contiene. El abatimiento puede ser en relación a alguno de los planos de proyección, en cuyo caso previamente habremos de determinar las trazas del plano formado por r y s, o sobre un plano paralelo a los de proyección; así lo hemos hecho en la figura 19 mediante el siguiente proceso: A cualquier cota trazamos la traza vertical v α de un plano paralelo al horizontal de proyección. Referimos sus puntos de intersección con r y s a sus proyecciones horizontales r y s, determinando así la traza horizontal h α que utilizaremos como charnela del abatimiento. Por la proyección horizontal P del punto común a las dos rectas, trazamos la paralela y la perpendicular a la charnela. Sobre la paralela llevamos la cota z del punto P, medida en relación a la traza vertical del plano α; en la perpendicular determinaremos la posición abatida del punto (P). Por (P) y por los puntos dobles de intersección de las proyecciones r y s con la charnela, pasarán las rectas abatidas (r) y (s). El menor de los ángulos que forman, γ, es el valor que daremos como solución del problema planteado. Fig Entre dos planos La figura formada por dos planos α y β que se cortan en un segmento i se llama ángulo diedro (Fig. 20); los planos α y β son sus caras y el segmento i, intersección de las mismas, es la arista del ángulo diedro. Al ángulo ATB, con sus lados perpendiculares a la arista i y contenidos en cada una de las caras del diedro, se le denomina ángulo rectilíneo y es la expresión del ángulo formado por los planos α y β. Para precisar su valor, una de las formas posibles es proceder del siguiente modo: Desde un punto P exterior, trazamos las perpendiculares a cada una de las caras del diedro, estableciendo su intersección, puntos A y B. En el cuadrilátero APBT, los ángulos con vértices en los puntos A y B son de 90º, de tal forma que los otros dos ángulos serán suplementarios. Fig

8 UNIDAD 6 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes El ángulo APB es el ángulo de dos rectas que se cortan, que determinaremos según la forma explicada en el apartado anterior. Conocido en verdadera magnitud, su suplementario será el ángulo rectilíneo correspondiente al diedro formado por los dos planos. Una segunda forma de hallar el valor de este ángulo es buscando la posición favorable de los planos α y β, de forma que el ángulo γ pueda encontrarse directamente o con un número mínimo de operaciones. Fig. 21 Si seccionamos el diedro por un plano perpendicular a su arista, la intersección sobre este plano coincidirá con el ángulo rectilíneo del diedro; eligiendo como plano para esta sección a uno de los de proyección, el vertical en la figura 21, los planos α y β serán proyectantes verticales, la arista i, una recta de punta, y el ángulo entre las trazas verticales de los dos planos corresponderá al ángulo entre ellos en verdadera magnitud. En la figura 22 resolvemos el problema con los planos situados en esta posición favorable: recta intersección de los dos planos como recta de punta. De los dos ángulos diferentes formados por la intersección de las trazas verticales v α y v β, el menor de ellos es el que daremos como ángulo entre los dos planos. Fig Entre recta y plano El ángulo que una recta r forma con un plano α (Fig. 23), es el ángulo β que ésta forma con su proyección ortogonal sobre el plano. Para hallar su valor, una de las formas posibles es proceder del siguiente modo: Fig. 23 Fig. 24 Desde un punto A cualquiera de la recta r, trazamos la perpendicular s al plano α, determinando el punto de intersección J con éste. El triángulo AIJ es rectángulo, por lo que sus dos ángulos agudos son complementarios. El ángulo IAJ es el ángulo de dos rectas que se cortan, y que encontraremos procediendo de la forma explicada en el apartado 2.1; conocido en verdadera magnitud, su complementario será el ángulo formado entre la recta y el plano. Una segunda forma de hallar el valor de este ángulo β es buscando la posición favorable del plano α y de la recta r, de forma que β pueda encontrarse directamente o con un número mínimo de operaciones. Tal como vemos en la representación de la figura 24, si el plano es horizontal y la recta es paralela al vertical de proyección, el ángulo entre la traza del plano y la proyección vertical de la recta coincidirá con el valor real del ángulo entre recta y plano. Otra posición favorable sería con el plano paralelo al vertical de proyección y con la recta horizontal. 124

9 Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD 6 En la figura 25, trabajando únicamente con las proyecciones diédricas, resolvemos el problema con la recta y el plano dispuestos en la primera de las posiciones favorables descritas. El menor de los dos ángulos formados entre la traza vertical v α y la proyección vertical r de la recta es el ángulo que, finalmente, daremos como solución a la cuestión planteada de ángulo entre recta y plano. Fig Con los planos de proyección Ángulo entre recta y plano de proyección Cuando una recta es paralela a uno de los planos de proyección, además de tener su proyección sobre ese plano en verdadera magnitud, el ángulo que esa proyección forma con LT coincide con el ángulo que la recta forma con el plano de proyección al cual no es paralela. Así, en una recta horizontal, el ángulo que h forma con LT es la verdadera magnitud del ángulo que esa recta forma con el plano vertical. Análogamente, en una frontal, el ángulo que f forma con LT coincide con el ángulo que la recta forma con el plano horizontal de proyección. Ángulo entre un plano y uno de los de proyección En los planos proyectantes, perpendiculares a uno de los de proyección, el ángulo que la traza proyectante forma con LT coincide con la verdadera magnitud del ángulo que ese plano forma con el plano al cual no es perpendicular. El ángulo que la traza proyectante v α de un plano de canto forma con LT coincide, siempre, con la verdadera magnitud del ángulo que el plano forma con el horizontal de proyección. Del mismo modo, el ángulo que en un plano vertical forma su traza proyectante h α con LT coincide con el ángulo que el plano forma con el vertical de proyección. 125

10 UNIDAD 6 APLICACIONES PRÁCTICAS Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes 1 DISTANCIAS EN VERDADERA MAGNITUD. RESOLUCIÓN EN PROYECCIONES En la siguiente tabla, resumimos las posiciones favorables que permiten resolver los problemas de distancias con un número mínimo de operaciones, tal como hemos visto en los apartados correspondientes de los Conocimientos teóricos. Elementos Dos puntos Punto y plano Punto y recta Rectas paralelas Planos paralelos Rectas que se cruzan Posición favorable Segmento paralelo a un plano de proyección. Plano perpendicular a uno de los de proyección. Recta perpendicular a un plano de proyección. Ambas perpendiculares a un plano de proyección. Ambos perpendiculares al mismo de proyección. Una perpendicular a un plano de proyección. Estas posiciones favorables serán las que habremos de buscar cuando se nos plantee un problema de distancias y los elementos que intervienen en el mismo vengan dados en una posición oblicua cualquiera. Aplicaremos los movimientos estudiados en la unidad 5, para pasar de la posición inicial a la posición favorable correspondiente al problema planteado. 1.1 Entre dos puntos Al inicio de la unidad vimos cómo mediante un cambio de plano transformábamos el segmento oblicuo, definido por dos puntos, en un segmento paralelo a uno de los planos de proyección y con la proyección correspondiente en verdadera magnitud. Veamos una pequeña variante de esta cuestión, que resolveremos mediante la aplicación de giros. Sobre las proyecciones r r de una recta (Fig. 26), y a partir de un punto A situado sobre las mismas, queremos medir una longitud real L conocida. Fig. 26 Para poder medir la distancia L sobre las proyecciones de la recta, alguna de éstas ha de estar en verdadera magnitud. Hacemos pasar por el punto A un eje de punta y giramos la proyección vertical hasta la posición de recta horizontal; la nueva proyección horizontal r 1 estará en VM, así que desde A y en ambos sentidos medimos la longitud L dada, obteniendo los 126

11 6 Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD puntos M 1. Deshacemos el giro para obtener las proyecciones M M sobre las correspondientes de la recta inicial. Los segmentos A M A M corresponden, en proyecciones, al segmento real L. 1.2 Entre punto y plano La distancia pedida se proyectará en verdadera magnitud cuando el plano sea proyectante. Mediante un cambio de plano horizontal, transformamos el plano oblicuo inicial (Fig. 27) en proyectante horizontal; realizamos el mismo cambio de plano con el punto P, obteniendo la proyección P 1. La perpendicular desde P 1 a la nueva proyección del plano, vertical, es un segmento horizontal cuya proyección P 1 B 1 está en verdadera magnitud. Si deshacemos el cambio de plano, buscando la proyección B con el mismo alejamiento que B 1, tendremos también en proyecciones la distancia entre P y el plano α. Fig Entre punto y recta La distancia la veremos en verdadera magnitud sobre una de las proyecciones cuando la recta sea perpendicular a uno de los planos de proyección. Mediante un cambio vertical (Fig. 28), convertimos la recta en frontal. Un segundo cambio de plano, horizontal en este caso, nos transforma la recta frontal en vertical. Aplicamos los dos cambios al punto P. La distancia en verdadera magnitud la tenemos en la proyección horizontal. Lógicamente, la proyección vertical d 1 es paralela a la última LT utilizada. Al deshacer los cambios efectuados, tendremos la distancia d d sobre las proyecciones originales de recta y punto. Fig

12 UNIDAD 6 APLICACIONES PRÁCTICAS Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes 1.4 Entre rectas paralelas Con ambas rectas perpendiculares a uno de los planos de proyección, la distancia entre ellas la veremos en verdadera magnitud sobre una de las proyecciones. Un primer cambio de plano vertical (Fig. 29) nos convierte a las rectas en frontales. El segundo cambio, horizontal, las lleva a la posición de rectas verticales; en esta posición la perpendicular común será horizontal y tendrá la proyección horizontal r 2 s 2 en verdadera magnitud; magnitud que corresponde a la distancia real entre las rectas paralelas. Fig Entre planos paralelos La distancia entre los dos planos se verá en verdadera magnitud cuando éstos sean proyectantes en relación a cualquiera de los planos de proyección. Un cambio de plano vertical (Fig. 30), convierte los dos planos dados en planos de canto, de manera que la distancia entre ellos estará en verdadera magnitud, medida perpendicularmente a las nuevas trazas verticales v α1, v β Entre rectas que se cruzan Fig. 30 Cuando una de las rectas sea perpendicular a uno de los planos de proyección, la distancia entre ambas tendrá una de sus proyecciones en verdadera magnitud. Mediante un cambio de plano vertical, transformamos la 128

13 Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD 6 recta r de la figura 31 en recta frontal; un segundo cambio de plano, ahora horizontal, nos transforma la recta frontal en vertical. Efectuamos con la recta s los mismos cambios de plano. La perpendicular a la proyección s 2 trazada desde r 2 es la verdadera magnitud de la distancia entre las dos rectas que, deshaciendo los dos cambios de planos efectuados, podemos pasar a las proyecciones d d en relación a las proyecciones iniciales de las rectas. 2 ÁNGULOS EN VERDADERA MAGNITUD. RESOLUCIÓN EN PROYECCIONES Cada uno de los casos de determinación de ángulos entre elementos simples tiene una posición favorable que facilita su resolución; la siguiente tabla nos resume estas posiciones: Fig. 31 Elementos Posición favorable Dos rectas Abatimiento del plano que definen. Dos planos Recta intersección de los mismos, perpendicular a uno de los planos de proyección. Recta y plano Plano horizontal y recta frontal, o a la inversa. Recta y plano de proyección Recta paralela al otro plano de proyección. Plano con uno de los de proyección Plano perpendicular al otro plano de proyección. En los próximos apartados buscaremos las posiciones favorables indicadas, mediante la aplicación de movimientos a las proyecciones iniciales de rectas o planos. 129

14 UNIDAD 6 APLICACIONES PRÁCTICAS Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes 2.1 Entre dos rectas que se cruzan El ángulo entre dos rectas que se cruzan es igual al ángulo que forma una de las rectas con la paralela a la otra, trazada por uno de los puntos de la primera. Por el punto P de r (Fig. 32), trazamos s 1 paralela a la recta s; r y s 1 definen el plano α que, abatido sobre uno de los de proyección, nos dará la verdadera magnitud del ángulo formado por las rectas r y s que se cruzan en el espacio. Fig. 32 En la figura 33 resolvemos sobre las proyecciones diédricas de las dos rectas. Por P P trazamos las proyecciones de la recta s 1, paralela a s. La traza horizontal h α del plano que forman r y s 1 es la charnela en torno a la cual efectuamos el abatimiento. El ángulo δ, el menor de los que forman las proyecciones abatidas (r) y (s 1 ), es el ángulo buscado. Fig Entre dos planos Fig. 34 El ángulo entre los dos planos se verá en verdadera magnitud cuando su recta i de intersección sea perpendicular a cualquiera de los planos de proyección. Para llegar a esta posición, un primer cambio de plano vertical (Fig. 34) convierte la recta i en frontal, y un segundo cambio de plano, horizontal, la transforma en vertical. Los mismos cambios de plano los realizamos con los planos iniciales α y β, para transformarlos en proyectantes verticales; en esta posición el menor de los ángulos, γ, que forman sus trazas proyectantes h α2 y h β2, corresponde a la verdadera magnitud del ángulo formado por los dos planos. 130

15 6 Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD 2.3 Entre recta y plano Para tener el ángulo en verdadera magnitud, el plano debe ser paralelo a uno de los de proyección. Efectuamos un primer cambio de plano vertical, (Fig. 35), para situar el plano en posición de plano de canto; un segundo cambio de plano, horizontal, lo deja en posición horizontal. Hemos aplicado los mismos cambios a la recta, pero ésta sigue siendo oblicua también en relación a los nuevos planos de proyección; las proyecciones r 2 r 2 las giramos en relación al eje vertical e e, para dejarlas en posición de recta frontal. En este giro, la traza vertical del plano v α2 no variará ya que, al girar un plano horizontal en relación a un eje vertical, el plano seguirá siendo horizontal. Con el plano horizontal y la recta frontal, el ángulo entre v α2 y r 3 es la verdadera magnitud del ángulo entre la recta y el plano. Fig Con los planos de proyección En el apartado 2.4 de los Conocimientos teóricos, vimos las posiciones favorables que nos permitían deducir, de forma directa, el ángulo que una recta o un plano forma con uno de los planos de proyección. Plantearemos ahora el problema a la inversa: determinar las proyecciones de una recta o plano con la condición de formar un determinado ángulo, bien sea con otra recta o con alguno de los planos de proyección. 131

16 UNIDAD 6 Aplicaciones prácticas Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes Por las proyecciones de un punto A dado (Fig. 36), trazar una recta que forme un ángulo de 45º con el plano vertical de proyección. Para tener el ángulo que una recta forma con el plano vertical en verdadera magnitud, la recta debe ser horizontal; por A trazamos la proyección vertical paralela a LT y por A, la proyección horizontal formando el ángulo de 45º con LT. Fig. 36 Trazar una recta m que, pasando por un punto A, forme un ángulo de 30º con otra recta r dada (Fig. 37). Fig. 37 La recta y el punto dados definen un plano α cuyas trazas determinamos con una recta t cualquiera que, pasando por A, se corte con r en uno cualquiera de sus puntos. Sobre el abatimiento del plano α, situamos la recta r y el punto A también abatidos y dibujamos, a partir de ellos, la recta m. Deshacemos el abatimiento para tener las proyecciones m m de la recta solicitada. Determinar un plano α que, pasando por una recta r, forme un ángulo de 60º con el plano horizontal de proyección. 132

17 Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD 6 El procedimiento a seguir, independientemente de que el ángulo de 60º lo forme con el PH o con un plano cualquiera, sería el siguiente: Determinamos (Fig. 38) el cono de revolución cuyo vértice es el punto A de la recta r y cuyas generatrices forman 60º con el plano de la directriz. Hallamos la intersección entre la recta r y el plano de la directriz. Por el punto de intersección determinado, trazamos la tangente t a la circunferencia directriz del cono. El plano buscado será el formado por la recta r y la tangente t; para cada una de las tangentes encontraremos un plano solución. Fig. 38 En la figura 39 resolvemos en proyecciones diédricas: Fig. 39 Por la proyección A - A de uno cualquiera de los puntos de r, trazamos la generatriz g g que forma 60º con el PH; lógicamente, g es una frontal. La distancia entre A y H g es el radio de la circunferencia directriz. La intersección de r con el plano de la directriz es la traza horizontal H r de la recta. Desde H r trazamos las tangentes t a la circunferencia de centro A. Con la unión de las trazas homónimas de las rectas r y t, determinamos las trazas de los planos α solución. 133

18 UNIDAD 6 CUESTIONES Y EJERCICIOS Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes Distancias 1. Mediante giros, hallar la verdadera magnitud de la distancia existente entre los puntos A (2, 3, 2) y B (5, -3, -1). 2. Mediante abatimientos, hallar la magnitud de la distancia, en verdadera magnitud, existente entre los puntos A (17, 2, 3) y B (20, 2, 1). 3. Hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia del punto P (8, -4, 4) a la recta r [A (3, 0, 0), B (6, 2, 2)]. 4. Hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia entre el punto P (14, 3, 4) y el plano α (6, 45º, 30º). 5. Hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia entre la recta r [H (2, 4, 0), A (5, 1, 2)] y la recta s, paralela a r y que pasa por el punto P (9, 2, 3). 6. Hallar la distancia en verdadera magnitud existente entre los planos α (14, 30º, 45º) y β (19, 30º, 45º). 7. Hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia entre las rectas r [A (4, 5, 0), B (8, 3, 2)] y s [C (17, 2 5, 4), D (21, 9, 1 5)]. 8. Hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia del punto P (16, 0, 0) al punto de intersección de la recta r [D (4, 4, 6), E (8, 4, 6)] con el plano dado por el triángulo ABC, A (7, 3, 2), B (11, 6, 9) y C (11, 2, 5). Ángulos 9. Hallar el valor del ángulo que forman dos rectas dadas que se cortan: r [A (7, 2, 2), B (9, 1, 4)] y s [A (7, 2, 2), C (12, 2, 3)]. 10. Hallar el valor del ángulo diedro que forman dos planos dados que se cortan: α (14, 45º, 30º) y β (22, 150º, 60º). 11. Hallar la verdadera magnitud del ángulo que forman la recta r [A (15, 2, 3), B (19, -2, 1)] y el plano α (14, 30º, 60º). 12. Determinar las trazas del plano que pasando por la recta r [A (0, 55, 0), B (90, 0, 40)] forme un ángulo de 60º con el plano horizontal de proyección. Contenidos básicos de la unidad en formato hipermedia, en el CD. Más actividades en el CD No se puede crear arte cuando uno no tiene qué decir. ANDRÉ MALRAUX 134