1. UNIDADES Y DIMENSIONES

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1 1. UNIDADES Y DIMENSIONES 1.1 INTRODUCCION Objetivos: Al estudiar esta sección el alumno será capaz de: 1. Sumar, restar, multiplicar y dividir las unidades asociadas a cifras. 2. Especificar las unidades básicas y derivadas del SI y del sistema de ingeniería estadounidense para la masa, la longitud, el volumen, la densidad y el tiempo, y sus equivalencias. 3. Convertir un conjunto de unidades de una función o ecuación en otro conjunto equivalente para la masa, la longitud, el área, el volumen, el tiempo, la energía y la fuerza. 4. Explicar la diferencia entre peso y masa. 5. Definir y usar el factor de conversión gravitacional g c º 6. Aplicar los conceptos de la consistencia dimensional para determinar las unidades de cualquier término de una función. TEMAS POR TRATAR En esta sección repasaremos los sistemas de unidades SI y de ingeniería estadounidense, explicaremos cómo realizar conversiones de manera eficiente y analizaremos el concepto de la consistencia dimensional. También haremos algunos comentarios respecto al número de cifras significativas que conviene retener en los cálculos. CONCEPTOS PRINCIPALES Todo estudiante experimenta en algún momento la exasperante sensación de no poder resolver un problema. De algún modo, las respuestas de los cálculos no son las que esperaba. Esta situación a menudo se presenta por falta de experiencia en el manejo de unidades. El empleo de unidades o dimensiones junto con los números de los cálculos requiere mayor atención que la que probablemente se le haya estado prestando en el pasado. El uso correcto de las dimensiones al resolver los problemas no sólo es justificable desde el punto de vista lógico; también ayuda a encontrar el camino de análisis apropiado que ha de llevar al estudiante desde la información de que dispone hasta la que debe obtener en la solución final.

2 2 1.1 Unidades y dimensiones Qué son las unidades y las dimensiones, y en qué se distinguen? Las dimensiones son nuestros conceptos básicos de medición, como longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.; las unidades son la forma de expresar las dimensiones, como pies o centímetros para la longitud, u horas o segundos para el tiempo. Al anexar unidades a todos los números que no son fundamentalmente adimensionales, se obtienen los siguientes beneficios: 1) Menor probabilidad de invertir, sin darse cuenta, una parte del cálculo. 2) Reducción en el número de cálculos intermedios y en el tiempo durante la resolución de problemas. 3) Un enfoque lógico del problema, en lugar de limitarse a recordar una fórmula e insertarle números. 4) Fácil interpretación del significado físico de los números empleados. Todo estudiante de primer año sabe que lo que se obtiene al sumar manzanas y naranjas es ensalada de frutas!. Las reglas para manejar las unidades son en esencia muy sencillas: Suma, resta, igualdad Sólo es posible sumar, restar o igualar cantidades si las unidades de dichas cantidades son las mismas. Así pues, la operación 5 kilogramos + 3 joules no puede efectuarse porque tanto las dimensiones como las unidades de los dos términos son distintas. La operación numérica 10 libras + 5 gramos si puede efectuarse (porque las dimensiones son las mismas, masa) pero sólo después de transformar las unidades de modo que sean iguales, ya sean libras, gramos, onzas, etc.

3 3 Multiplicación y división ejemplo Podemos multiplicar o dividir unidades distintas a voluntad, como por 50 (kg)(m)/(s) pero no podemos cancelar ni combinar unidades si no son idénticas. Así, 3 m 2 /60 cm se puede convertir a 3 m 2 /0.6 m y luego a 5 m. Las unidades tienen un contenido de información significativo que no podemos ignorar; también sirven como guías para la resolución eficiente de problemas, como veremos en breve. EJEMPLO 1.1 Dimensiones y unidades Sume lo siguiente: a) 1 pie + 3 segundos b) 1 caballo de fuerza watts Solución La operación indicada por 1 ft + 3 s no tiene sentido, ya que las dimensiones de los dos términos no son las mismas. Un pie tiene la dimensión de longitud, en tanto que 3 segundos tiene la dimensión de tiempo. En el caso de 1 hp watts las dimensiones son las mismas (energía por tiempo unitario) pero las unidades son diferentes. Es preciso transformar las dos cantidades a unidades iguales, como caballos de fuerza o watts, antes de realizar la suma. Puesto que 1 hp = 746 watts, 746 watts watts = 1046 watts la tabla 1.1 es una lista de las unidades del SI que se emplean en este libro. La tabla 1.2 presenta unidades similares en el sistema de ingeniería estadounidense.

4 4 TABLA 1.1 Unidades del SI empleadas Cantidad física Nombre de la unidad Símbolo de la unidad* Unidades básicas del SI Definición de la unidad Longitud Masa Tiempo Temperatura Cantidad de sustancia Metro Kilogramo Segundo Kelvin Mol Unidades derivadas del SI m kg s K mol Energía Fuerza Potencia Densidad Velocidad Aceleración Presión Capacidad calorífica Joule Newton Watt kilogramo por metro cúbico metro por segundo metro por segundo al cuadrado newton por metro cuadrado, pascal joule por (kilogramo * kelvin) Unidades alternativas J N W kg * m 2 * s -2 kg * m * s -2 =>J *m -1 kg * m 2 * s -3 =>J *s -1 kg * m -3 m * s -1 m * s -2 N * m -2,Pa J * kg -1 * K -1 Tiempo Temperatura Volumen Masa Minuto, hora, día, año Grado Celsius Litro (dm 3 ) Tonelada (Mg), gramo min, h, d, a º C L t, g * Los símbolos de las unidades no adoptan formas plurales, pero los nombres no abreviados si se utilizan en plural. TABLA 1.2 Unidades del sistema estadounidense de ingeniería que se usan en este libro Cantidad física Nombre de la unidad Símbolo Unidades básicas Longitud Masa Fuerza Pie Libra (masa) Libra (fuerza) ft lb m

5 5 Tiempo Temperatura Energía Potencia Densidad Velocidad Aceleración Presión Capacidad calorífica Segundo, hora Grado Rankine Unidades derivadas Unidad térmica británica, pie libra (fuerza) Caballo de fuerza Libra (masa) por pie cúbico Pie por segundo Pie por segundo al cuadrado Libra (fuerza) por pulgada cuadrada Btu por libra (masa) por grado Fahrenheit lb f s, h º R Btu, (ft)(lb f ) hp lb m /ft 3 ft/s ft/s 2 lb f /pulg 2 Btu/(lb m )(º F) Es preciso respetar la distinción entre letras mayúsculas y minúsculas, incluso cuando el símbolo aparece en aplicaciones en las que el resto de las letras son mayúsculas. Las abreviaturas de las unidades tienen la misma forma en singular y en plural, y no van seguidas de un punto. Una de las características más valiosas del sistema SI es que (con la excepción del tiempo) las unidades y sus múltiplos y submúltiplos se relacionan mediante factores estándar designados por el prefijo indicado en la taba 1.3. es preferible no usar prefijos en los denominadores (excepto kg). TABLA 1.3 Prefijos del SI Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo Giga mega kilo hecto deca G M K H Da deci centi mili micro nano d c m µ n Cuando se forma una unidad compuesta multiplicando dos o más unidades, su símbolo consiste en los símbolos de las unidades individuales unidos por un punto centrado (por ejemplo: N * m para newton metro). El punto puede omitirse en el caso de unidades muy conocidas como watt-hora (símbolo Wh) si no causa confusión, o si los símbolos están separados por exponentes, como en N * m 2 kg -2. no se debe usar guiones en los símbolos de unidades compuestas. Es posible usar exponentes positivos y negativos para los símbolos de las unidades individuales, ya sea separados por una diagonal o multiplicados empleando potencias negativas (por ejemplo: m/s o m/s -1 para

6 6 metro por segundo). No obstante, no usaremos el punto centrado para indicar multiplicación en este texto. Es muy fácil confundir el punto centrado con el punto ortográfico, o pasarlo por alto en los cálculos manuscritos. En vez de ello, usaremos paréntesis o líneas verticales, lo que resulte más conveniente, para la multiplicación y la división. Además, se ignorará la convención del SI de dejar un espacio entre grupos de números, como en lugar de insertar una coma, como en 12,650, con el fin de evitar confusiones en los números manuscritos. 1.2 Conversión de unidades y factores de conversión Con el fin de ayudar al lector a seguir los cálculos y subrayar el empleo de unidades, a menudo utilizaremos en este libro un formato especial para los cálculos el cual se ilustra en el ejemplo 1.2, que contiene las unidades además de los números. El concepto consiste en multiplicar cualquier número y sus unidades asociadas por razones adimensionales denominadas factores de conversión con el fin de obtener la respuesta deseada y sus unidades correspondientes. Los factores de conversión son expresiones de valores equivalentes de diferentes unidades del mismo sistema o de sistemas distintos. En la segunda de forros (atrás de la portada), el lector encontrará tablas de factores de conversión. Se recomienda memorizar algunos de los más comunes para ahorrar tiempo. Es más rápido usar varios factores de conversión ya conocidos que buscar en un manual un factor de conversión directo. EJEMPLO 1.2 Conversión de unidades Si un avión viaja al doble de la velocidad del sonido (suponga que la velocidad del sonido es de 1100 ft/s), cuál es su velocidad en millas por hora? Solución ft 1 mi 60 s 60 min = 1500 mi S 5280 ft 10min 1 h h Observe el formato de los cálculos en el ejemplo 1.2. hemos dispuesto los cálculos separando cada cociente con líneas verticales, las cuales tienen el mismo significado que un signo de multiplicación ( o x) colocado entre cada una de estas

7 7 relaciones. Usaremos esta forma en la mayor parte del presente texto con el fin de que el lector tenga muy clara en su mente la importancia de las unidades en la resolución de problemas. Recomendamos al lector escribir siempre las unidades junto al valor numérico asociado (a menos que el cálculo sea muy simple) hasta que se familiarice perfect5amente con el empleo de unidades y dimensiones pueda hacer las transformaciones mentalmente. En cualquier punto de la ecuación dimensional es posible determinar las unidades netas consolidadas y ver que conversiones falta por efectuar. Si el lector lo desea, puede hacerlo formalmente como se muestra enseguida, dibujando líneas inclinadas debajo de la ecuación dimensional y escribiendo las unidades consolidadas entre esas líneas; otro método consiste en ir tachando pares de unidades conforme se avanza. 2 x 1100 ft 1 mi 60 s 60 min s 5280 ft 1 min 1 h ft \ s mi \ s El empleo consistente de ecuaciones dimensionales durante toda su carrera profesional le ayudará a evitar errores absurdos como convertir 10 centímetros en pulgadas multiplicando por 2.54: mi min 10 cm 2.54 cm? 2.54 pulg más bien = cm 2 pulg 25.4 pulg Observe qué fácil es descubrir que se ha cometido un error si se incluyen las unidades en los cálculos. He aquí otro ejemplo de conversión de unidades. EJEMPLO 1.3 empleo de unidades Convierta 400 pulg 3 /día a cm 3 /min. Solución 400 pulg 3 (2.54 cm) 3 1 día 1 h = 4.56 cm 3

8 8 día (1 pulg) 24 h 60 min min En este ejemplo, observe que no sólo los números se elevan a una potencia, sino que también las unidades se elevan a la misma potencia. La conversión de unidades SI es más sencilla que las conversiones en el sistema estadounidense. Podemos utilizar la ley de Newton para comparar las unidades respectivas: (1.1) F = Cma Donde F = fuerza C = una constante cuyo valor numérico y unidades dependen de las unidades que se hayan escogido para F, m y a m = masa a = aceleración En el sistema SI, donde la unidad de fuerza se define como el newton (N), si C = 1 N/(kg)(m)/s 2, entonces cuando 1 kg se acelera a 1 m/s 2 F = 1 N 1 kg 1 m = 1 N ( kg )( m) s 2 s 2 Se requiere un factor de conversión para obtener el resultado final de newtons, pero el valor asociado al factor de conversión es 1, de modo que dicho factor parece sencillo, incluso inexistente. En el sistema estadounidense también se requiere un factor de conversión, pero hay una restricción. Es necesario que el valor numérico de la fuerza y de la masa sea prácticamente idéntica en la superficie de la Tierra. Así pues, sí una masa de 1 lb m se acelera a g ft/s 2, donde g es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente 32.2 ft/s 2 dependiendo de la ubicación de la masa), podemos hacer que la fuerza sea 1 lb f si escogemos el valor numérico y las unidades correctos para C:

9 9 F = (C) 1 lb m g ft s 2 = 1 lb f (1.2) Observe que para que se cumpla la ecuación (1.2), las unidades de C deben ser lb f C ft lbm ( 2 ) s Se ha escogido un valor numérico de 1/ para la constante, porque es el valor numérico de la aceleración media debida a la gravedad (g) en el nivel del mar a 45º de latitud cuando g se expresa en ft/s 3. La aceleración debida a la gravedad, como recordará el lector, varía en unas cuantas décimas de 1% de un lugar a otro sobre la superficie terrestre. El recíproco del valor de conversión con el valor incluidos se denota con el símbolo especial g c ( ft)( lbm ) g c = ( s )( lb ) f La división entre g c produce exactamente el mismo resultado que la multiplicación por C en la ley de Newton. Queda claro que el sistema estadounidense tiene la comodidad de que el valor numérico de una libra masa es el mismo que el de una libra fuerza si el valor numérico de la razón g/g c es igual a 1, como suceda aproximadamente en la mayor parte de los casos. 2 l( lb f )( s ) F = ( ) ( lb )( ft) m 1lb gft ) = 1 lb s f ( 2 Más aún, se dice que la masa de una libra pesa una libra si la masa está en equilibrio estático sobre la superficie de la Tierra. Podemos definir el peso como el opuesto de la fuerza requerida para sustentar una masa. El concepto de peso en el caso de masas que no se encuentran estacionarias sobre la superficie terrestre o que son

10 10 afectadas por la rotación de la Tierra (un factor de sólo 0.3%), o están situadas a cierta distancia de la superficie terrestre, como en un cohete o en un satélite, se debe consultar en un texto de física. En síntesis, siempre debemos tener presente que las dos cantidades g y g c no son iguales. Además, nunca debemos olvidar que la libra (masa) y la libra (fuerza) no son las mismas unidades en el sistema estadounidense de ingeniería, aunque hablemos de libras al expresar fuerza, peso o masa. Casi todos los profesores y escritores de física, ingeniería y campos afines tienen cuidado de usar los términos masa, fuerza y peso correctamente en sus comunicaciones técnicas. Por otro lado, en el lenguaje ordinario, casi todo mundo, incluidos científicos e ingenieros, omite la designación de fuerza o masa asociada a la libra y toma el significado del contexto del enunciado. Nadie se confunde por el hecho de que un hombre mida 6 pies pero sólo tenga dos pies. No anexaremos al símbolo lb el subíndice m (masa) o f (fuerza) a menos que resulte indispensable para evitar confusiones. Cuando usemos la unidad lb sin subíndice siempre nos estaremos refiriendo a la cantidad libra masa. EJEMPLO 1.4 Empleo de g c Cien libras de agua fluyen por una tubería a razón de 10.0 ft/s. Cuánta energía cinética tiene el agua en (ft)(lb f )?

11 11 Solución Energía cinética = K = ½ mv 2 Suponga que las 100 lb se refieren a la masa del agua. K = ½ 100 lb m (10 ft) 2 1 = 155 (ft)(lb f ) (s) ( ft )( lbm ) ( s )( lb ) f EJEMPLO 1.5 Empleo de g c Cuánta energía potencial en (ft)(lb f ) tiene un tambor de 100 lb suspendido 10 ft sobre la superficie de la Tierra con referencia a dicha superficie? Solución Energía potencial = P = mgh Supongamos que las 100 lb se refieren a una masa de 100 lb; g = aceleración debida a la gravedad = 32.2 ft/s 2. P = 100 lb m 32.2 ft 10 ft 1 s 2 ( ft)( lbm ) ( s )( lb ) f = 1001 (ft)(lb f ) Observe que en el cuociente g/g c, o 32.2 ft/s 2 dividido entre (ft/s 2 )(lb m /lb f ), los valores numéricos son casi iguales. Muchas personas resolverían este problema diciendo que 100 lb x 10 ft = 1000 (ft)(lb) sin darse cuenta que con ello están cancelando los números de la razón g/g c. 1.3 Consistencia dimensional Ahora que hemos repasado algunos antecedentes relativos a las unidades y las dimensiones, podemos aprovechar de inmediato está información en una aplicación muy práctica e importante. Un principio básico es que las ecuaciones deben ser dimensionalmente consistentes. Lo que exige este principio es que cada uno de los términos de una ecuación tenga las mismas dimensiones y unidades netas que todos los demás términos con los que se suma, resta o iguala. En consecuencia, las consideraciones dimensionales pueden ayudar a identificar las dimensiones y unidades de los términos de una ecuación.

12 12 El concepto de consistencia dimensional se puede ilustrar con una ecuación que representa el comportamiento de los gases, conocida como ecuación de Van der Waals, la cual veremos con mayor detalle en el capítulo 4: a (p + 2 )(V b) = RT V si examinamos la ecuación veremos que la constante a debe tener las unidades de [(presión)(volumen) 2 ] para que la expresión encerrada en el primer par de paréntesis sea consistente. Si las unidades de presión son atm y las de volumen son cm 3, a tendrá específicamente las unidades de [(atm)(cm) 6 ]. De manera similar, b deberá tener las mismas unidades que V, que en este caso particular son cm 3. si T está en K, qué unidades debe tener R? Todas las ecuaciones deben tener consistencia dimensional. EJEMPLO 1.6 Consistencia dimensional Un manual indica que el grabado de microchips se ajusta aproximadamente a la relación d = e ft t < 200 donde d es la profundidad del grabado en micras (micrómetros; µm) y t es el tiempo de grabado en segundos. Qué unidades se asocian a los números 16.2 y 0.021?. Convierta la relación de modo que d se exprese en pulgadas y t en minutos. Solución Ambos valores de 16.2 deben tener las unidades de micras. El exponencial debe ser adimensional, así que el debe tener unidades de 1/segundos. D pu lg = 16.2 µm 1 m [1 exp s pu lg t min ] 10 6 µm 1 m S 1 min = 6.38 x 10-4 (1 e -1.26/min ) Es posible formar grupos de símbolos, ya sea teóricamente o con base en experimentos, que no tienen unidades netas. Tales conjuntos de variables o parámetros se denominan grupos adimensionales. Un ejemplo es el (grupo de) número de Reynolds que surge en la mecánica de fluidos.

13 13 Número de Reynolds = Dvp = N Re µ donde D es el diámetro del tubo, digamos en cm; v es la velocidad del fluido, digamos en cm/s; p es la densidad del fluido, digamos en g/cm 3 ; y µ es la viscosidad, digamos en centipoise, unidades que se pueden convertir en g/(cm)(s). Si introducimos el conjunto consistente de unidades para D, v, p y µ en Dvp/µ, encontramos que todas las unidades se cancelan. Cm Cm g (cm)(s) S cm 3 g

14 TABLAS DE FACTORES DE CONVERSIÓN (Léase en sentido horizontal) EQUIVALENTES DE VOLUMEN pulg 3 ft 3 galón de Litros m 3 Estados Unidos x x x x x x x x x x x EQUIVALENTES DE MASA onzas avoirdupois Libras Granos gramos x x x x x x x x x EQUIVALENTES DE MEDIDA LINEAL metro Pulgada Pie milla x x x x x x x EQUIVALENTES DE POTENCIA hp KW (ft)(lb f )/sec Btu/sec J/sec x x x x x x x x x

15 EQUIVALENTES DE CALOR, ENERGÍA O TRABAJO (ft(lb f ) KWh hp-h Btu Caloría * Joule x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x * La caloría termoquímica = J EQUIVALENTES DE PRESIÓN mm Hg pulg Hg bar atm KPa Psia x x x x x x x x x x x CONSTANTE DE LOS GASES IDEALES, R cal/(g mol)(k) Btu/(lb mol)(º R) (psia)(ft 3 )/(lb mol)(º R) (kpa)(m 3* )/(kg mol)(k) = J/(g mol)(k) (cm 3 )(atm)/(g mol)(k) (L)(atm)/(g mol)(k) 21.9 (pulg Hg)(ft 3 )/(lb mol)(º R) (ft 3 )(atm)/(lb mol )(º R) FACTORES DE CONVERSIÓN DIVERSOS Para convertir A Multiplique por Ángstrom barril (de petróleo) metro galón x centipoise (newton)(s)/m x 10-3 torr (mm Hg, 0º C) onza fluida newton/m 2 cm x

16 16 TABLA Unidades SI y CGS Unidades básicas Cantidad Unidades Símbolo Longitud Masa Moles Tiempo Temperatura Corriente eléctrica Intensidad luminosa metro (SI) centímetro (CGS) kilogramo (SI) gramo (CGS) gramo-mol segundo kelvin amperio candela M Cm Kg G Mol o g-mol S K A Cd Prefijos de los múltiplos de las unidades Mega (M) = 10 6 Kilo (K) = 10 3 Centi (c) = 10-2 Mili (m) = 10-3 Micro (µ) = 10-6 Nano (n) = 10-9 Unidades derivadas Cantidad Unidades Símbolo Equivalente en términos de las unidades básicas Volumen Fuerza Presión Energía, trabajo Potencia litro newton (SI) dina (CGS) pascal (SI) joule (SI) erg (CGS) gramo-caloría watt l o L N Pa J cal W m cm3 1 kg * m/s 2 1 g * cm/s 2 1 N/m 2 1 N * m = 1 kg * m 2 /s 2 1 dina * cm = 1 g * cm 2 /s J = kg * m 2 /s 2 1J/s = 1 kg * m 2 /s 2

17 FACTORES DE CONVERSIÓN Y CONSTANTES UNIVERSALES Para convertir de A Multiplicar por + Acre pie 2 m * 4046,85 Atm N/m 2 1,01325* x 10 5 lb f /pulg 2 14,696 Avogadro, número de Barril (petróleo) Bar Boltzmann, constante de Btu Btu/lb Btu/lb * ºF Btu/pie 2 -h Btu/pie 2 -h - ºF Btu/pies/pie 2 -h - ºF Cal IT Cal Cm cm 3 cp (centipoise) cst (centistoke) faraday pies pies-lb f pies-lb f /S pie 2 /h pie 3 pie 3 -atm partículas / g mol pie 3 gal (U.S) m 3 N/m 2 lb f /pulg 2 J/K cal IT pies-lb f J KWh cal IT /g cal IT /g-ºc W/m 2 W/m 2 -ºC W/m/m 2 -ºC Btu Pies-lb f J J Pulg Pies Pie 3 Gal (U.S) Kg/m-s Lb/pies-h Lb/pies-s M 2 /s C/g mol M Btu Cal IT J Btu/h CV M 2 /s Cm 2 /s Cm 3 Gal (U.S) L Btu 6, x , * 0, * x ,504 1, x , , ,06 2,9307 x , * 3,1546 5,6783 1, ,9683 x ,0873 4,1868* 4,184* 0, , , x ,64172 x * x ,4191 6,7197 x * x , x ,3048* 1,2851 x , , ,6262 1,81818 x ,581 x ,2581 2, x , ,31684

18 18 pie 3 /s gal (U.S) gravedad, aceleración normal de la gravitacional, constante h CV Pulg Pulg 3 J Kg KWh L Lb lb/pie 3 lb f /pulg 2 lb mol/pie 2 -h luz, velocidad de la m m 3 N N/m 2 Planck, constante de Prueba (U.S) Tonelada (larga) Tonelada (corta) Tonelada (métrica) Yarda Cal IT J gal (U.S)/min pie 3 pulg 3 N-m 2 /kg 2 m/s 2 min s Btu/h KW Cm cm 3 erg pies-lb f lb Btu m 3 kg kg/m 3 g/cm 3 N/m 2 kg mol/m 2 -s g mol/cm 2 -s m/s pies pulg pie 3 gal (U.S) dina lb f lb f /pulg 2 J-s Porcentaje de alcohol en volumen Kg Lb Lb Kg Lb Pies M Los valores seguidos de * son exactos por definición 2, ,29 2,8692 x ,83 0, * 6,673 x ,80665* 60* 3600* 2544,43 0, ,54* 16,3871 1* x , , ,1 1* x , * 16,018 0, ,89473 x ,3652 x ,3652 x , x , , , ,17 1* x , ,4498 x , x , * 2000* 1000* 2204,6 3* 0,9144*