TEMA 44 ESTRUCTURAS RESISTENTES A LOS ESFUERZOS.

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1 TEMA 44 ESTRUCTURAS RESISTENTES A LOS ESFUERZOS. INDICE: 1. INTRODUCCIÓN SISTEMAS ARTICULADOS SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS GENERALIDADES MÉTODO DE LOS NUDOS PROCEDIMIENTO GRÁFICO DE CREMONA MÉTODO DE LAS SECCIONES O DE RITTER ARMADURAS GENERALIDADES ARMADURAS SIMPLES ARMADURAS TRIDIMENSIONALES /18

2 1. INTRODUCCIÓN Se llaman estructuras a todas las partes de una construcción compuestas por varios elementos rectilíneos unidos entre sí por sus extremos y cuya misión es soportar las cargas a las que se encuentra sometida. Las uniones entre sus elementos pueden ser constructivamente soldadas, remachadas o atornilladas, quedando más o menos rígidas por emplearse más de un remache o tornillo en cada unión. Para su cálculo, sin embargo, las uniones se consideran de dos tipos, articuladas o rígidas. Cuando la parte fijada de los elementos es pequeña respecto a su longitud se consideran las uniones como articuladas, es decir, como articulaciones sin rozamiento que permiten el giro de un elemento respecto a otro; en caso contrario se consideran como rígidas no permitiéndose el giro, y por tanto, no pudiendo variar el ángulo que forman los elementos en la unión. En este tema estudiaremos los sistemas articulados en general, las armaduras y los pórticos. Las armaduras son un tipo de estructuras muy utilizado, especialmente en el proyecto de puentes y cubiertas. Consisten en una serie de elementos rectos o barras conectadas entre sí mediante juntas o nudos articulados. Los pórticos son estructuras formadas por vigas y pilares rígidamente unidos entre sí, de modo que al sufrir deformaciones, el ángulo que forman en sus uniones los elementos que concurren no varía. 2. SISTEMAS ARTICULADOS. Los sistemas articulados son uno de los tipos de estructuras más utilizados para la solución de puentes, cubiertas, torres, grúas, etc. Consisten en un conjunto de barras o elementos rectos conectados entre sí por sus extremos, denominándose los puntos de unión nudos (Fig. 1). En la práctica están compuestos por varias estructuras articuladas planas, para formar un entramado espacial. Cada estructura articulada plana está pensada para soportar cargas que actúan en su propio plano, pudiéndose tratar como estructuras bidimensionales. Figura 1 Figura 2 2/18

3 Sus barras sólo pueden soportar pequeñas cargas en los nudos y no en las propias barras. En el caso de que las cargas vayan a estar repartidas sobre las barras, se dispone un forjado, que mediante correas y vigas transmita las cargas a los nudos en lugar de a las barras. Se supone también que los pesos de las barras son despreciables frente a las cargas exteriores, y en caso de considerarse se reparten por igual en los dos nudos extremos; y que las uniones entre las barras en los nudos se realizan con pasadores; con lo que de acuerdo con estas hipótesis, en cada barra hay aplicadas dos fuerzas iguales y opuestas en sus extremos que llevan la dirección de la barra y que tienden a estirarla o acortarla (Fig. 2). En el primer caso diremos que la barra trabaja a tracción y en el segundo a compresión. Figura 3 Figura 4 Figura 5 En la realidad muy pocas juntas articuladas se construyen con pasadores que permitan libremente el giro de las barras, sino que las uniones están atornilladas, remachadas e incluso soldadas. Tales juntas pueden ejercer pares sobre las barras, pero estos pares o momentos se desprecian por ser muy pequeños en comparación con las fuerzas de tracción o compresión a que están sometidas las barras. Los sistemas articulados, para ser utilizables como estructuras han de ser rígidos. Se dice que son rígidos cuando la única deformación posible se debe a pequeños cambios en la longitud de sus barras. Si consideramos la estructura representada en la figura 3, compuesta por cuatro barras conectadas por pasadores; al aplicar una carga en C, la estructura perderá su forma original y se moverá, con lo que en realidad se trata no de una estructura rígida sino de lo que se denomina un mecanismo. Si por el contrario la estructura está formada por solo tres barras (Fig. 4), solo se deformará ligeramente, alargándose o acortándose sus barras bajo la acción de la carga aplicada en C, tratándose en este segundo caso de una estructura rígida. Para obtener estructuras de mayor tamaño basta con añadir, a una estructura rígida de este tipo, dos barras adicionales unidas entre sí y cada una de ellas a un nudo diferente de la estructura (Fig. 5). Una estructura construida de esta forma, que sigue siendo rígida, se denomina estructura articulada simple, y si está formada por triángulos tendremos estructuras articuladas: - Rígidas (no se mueven, no son mecanismos) 3/18

4 - Simples (formadas por adición de dos barras y un nudo) - Triangulares (formadas solo por triángulos) 3. SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS. Una vez establecida una estructura articulada plana rígida, se ha de fijar en el plano mediante los apoyos o enlaces externos necesarios para impedir cualquier movimiento. Si el número de incógnitas (reacciones) en los apoyos es 3 y el número de barras es b = 2n - 3, siendo n el número de nudos, el sistema es isostático, lo que significa que es rígido y se puede resolver utilizando exclusivamente las ecuaciones de la estática, ya que el número de ecuaciones disponibles es igual al número de incógnitas: Incógnitas: b(esfuerzos en las barras) + 3(reacciones apoyos) = b + 3 = 2n = 2n Ecuaciones: 2n El número de ecuaciones de equilibrio disponibles es también 2n, ya que si se aísla un nudo, el equilibrio de fuerzas concurrentes en él proporciona dos ecuaciones para cada nudo: ΣFh = 0 (Fuerzas horizontales) ΣFv = 0 (Fuerzas verticales) Para el cálculo práctico de las armaduras no se utiliza el planteamiento de este sistema general de 2n ecuaciones por resultar muy laborioso, sino otros métodos gráficos o simplificados que veremos posteriormente. De una forma general, en función de las incógnitas en los apoyos (r = restricciones = reacciones), número de barras (b) y nudos (n), los sistemas articulados planos se pueden clasificar de la siguiente forma: - Exteriormente (Exceso o defecto de restricciones en los apoyos): r < 3 : Inestable r = 3 : Isostático r > 3 : Hiperestático - Interiormente (Exceso o defecto de barras): b < 2n 3 : Inestable b = 2n 3 : Isostático b > 2n 3 : Hiperestático 4/18

5 Se indican a continuación, algunos casos sencillos que representan ejemplos de esta clasificación: - Exteriormente: - Inestable r < 3 Para fuerzas exteriores cuya resultante tenga componente horizontal, la estructura no es utilizable, ya que se desplazaría. Análogamente el añadir una barra diagonal no soluciona el problema ya que la falta de sustentación exterior no se compensa con un aumento de la rigidez interior. - Isostático r = 3 - Hiperestático r > 3 - Interiormente - Inestable b < 2n 3 5/18

6 Este sistema articulado es inestable interiormente, ya que es deformable geométricamente y por tanto no rígido y no utilizable para un sistema general de cargas; tratándose de un mecanismo en lugar de una estructura. A estos sistemas también se les llama hipostáticos. - Isostático b = 2n 3 - Hiperestático b > 2n 3 En este caso se tiene un sistema hiperestático interiormente por exceso de barras, ya que se dispone de una más de las necesarias para asegurar la indeformabilidad del sistema. Nótese que las diagonales se cruzan en el centro sin constituir nudo. En las siguientes figuras, se representan una estructura hiperestática exteriormente por exceso de apoyos (viga continua) y otra hiperestática interiormente por exceso de barras (barras superabundantes). Nótese que el cruce de diagonales no forma nudo. 6/18

7 A continuación se representa un sistema inestable interiormente que se transforma en isostático e indeformable añadiendo simplemente una barra. b = 24 < 2n 3 = 28 3 = 25 b = 25 = 2n 3 = 25 En resumen, para que un sistema articulado sea isostático tanto interior como exteriormente se han de verificar primeramente las condiciones: r = 3 y b = 2n 3 Pero no basta solo esto, sino que es necesario que las barras estén adecuadamente dispuestas, es decir, que no resulten superabundantes en una parte de la estructura e insuficientes en otra. 4. ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS GENERALIDADES. Una estructura articulada puede considerarse como un conjunto de barras y pasadores o nudos. Cuando es isostática, su análisis puede realizarse por los métodos que se exponen a continuación. Para ello hay que establecer el diagrama de sólido libre tanto para la estructura completa, como para cada barra y para cada nudo. La figura 6 muestra el diagrama de sólido libre para una estructura completa, donde aparecen las cargas exteriores y las fuerzas de reacción en los apoyos. Las fuerzas sobre las barras son dos, una en cada extremo, y dirigidas 7/18

8 en la dirección de dicha barra con sentidos opuestos. Por la ley de acción y reacción, las fuerzas ejercidas sobre los nudos (barras sobre nudos) serán iguales, pero de sentido contrario, a las fuerzas ejercidas sobre las barras (nudos sobre barras). El esfuerzo que aparece en cada barra se denomina esfuerzo axial, pudiendo ser de tracción cuando tiende a alargarla o de compresión cuando tiende a acortarla. Cuando una estructura está en equilibrio, también lo estarán sus barras y sus nudos, por lo que podremos expresar las condiciones de equilibrio para toda la estructura completa, para cada barra y para cada nudo. De esta manera en las figuras 7 y 8 se muestran los diagramas de sólido libre correspondientes a las barras y a los nudos respectivamente. Figura 6 Figura 7 Figura MÉTODO DE LOS NUDOS Este método de análisis de estructuras articuladas, es un método numérico que consiste básicamente en plantear las ecuaciones de equilibrio estático en cada nudo de la estructura. Para su desarrollo hay que realizar los siguientes pasos: 1. Calcular las fuerzas de reacción en los apoyos mediante las ecuaciones de equilibrio de toda la estructura considerada como sólido libre. 2. Plantear la ecuación de equilibrio para cada nudo y calcular la fuerza que ejerce cada barra sobre el nudo. La fuerza del nudo sobre la barra será igual y de sentido contrario (Fig. 9), determinando así el valor de las dos fuerzas que actúan sobre la barra en sus extremos y si son de tracción o de compresión. 8/18

9 Primeramente se supone que todas las barras trabajan a tracción (o compresión) y si el resultado obtenido es negativo significa que en realidad trabajan al revés, compresión (o tracción). Figura 9 Dado que en cada nudo solo hay dos ecuaciones de equilibrio, es necesario empezar por un nudo que solo tenga dos barras y continuar el proceso siempre con nudos que, aunque tengan más de dos barras, solo en dos de ellas sean desconocidas las fuerzas. Para explicar prácticamente tanto este método de análisis como los posteriores que veremos, se va a utilizar la estructura con la carga y dimensiones representadas en la figura 10; que presenta la ventaja de su sencillez y la particularidad de que tal y como está aplicada la carga, la barra "BC" no trabaja, es decir no está sometida a ninguna fuerza. 1. Calculo de las reacciones: Figura 10 Planteamos las tres ecuaciones de equilibrio para toda la estructura considerada como sólido libre. ΣFh=0 ΣFv=0 Rdh = 0 Rd = Rdv Ra + Rd - P = 0 Ra + Rd = P ΣMd=0 Ra 3L P L = 0 Ra = P/3 Rd = P P/3 Rd = 2P/3 9/18

10 2. Cálculo del nudo A (Fig. 11): Dado que en cada nudo solo hay dos ecuaciones de equilibrio, es necesario empezar por un nudo que solo tenga dos barras y continuar el proceso siempre con nudos que, aunque tengan más de dos barras, solo en dos de ellas sean desconocidas las fuerzas. Hemos supuesto que todas las barras trabajan a tracción, es decir que las fuerzas de las barras sobre los nudos salen de ellos. Figura 11 Figura 12 Fabh = Fab cosα = Fab 2/ 5 Fabv = Fab senα = Fab 1/ 5 Planteamos las dos ecuaciones de equilibrio del nudo: ΣFv=0 (P/3)+Fab 1/ 5 =0 Fab = - P 5 /3 (- Compresión) ΣFh=0 Fac+Fab 2/ 5 =0 Fac = -(-P 5 /3) 2/ 5 = 2P/3 (+ Tracción) 3. Calculo de los restantes nudos (Fig 12). A continuación se puede proceder al cálculo del nudo B, ya que conocida Fab, solo tiene dos fuerzas desconocidas Fbc (Barra BC) y Fbd (Barra BD). Al plantear las dos ecuaciones de equilibrio podemos considerar ya Fab, calculada anteriormente, con su sentido verdadero que es de compresión, al contrario de cómo se supuso inicialmente. Fabh = Fab cosα = P 5 /3.2/ 5 = 2P/3 Fabv = Fab senα = P 5 /3. 1/ 5 = P/3 ΣFh=0 Fabh + Fbdh = 0 2P/3 + Fbdh = 0 Fbdh = -2P/3 Fbdh = Fbd sen45º = Fbd/2 Fbd = 2Fbdh = - 4P/3 (- Compresión) ΣFv=0 -P Fbc Fbdv + Fabv = 0 Fbc = -P Fbdv + Fabv 10/18

11 Fbdv = Fbd sen45º = -4P/3. 1/2 = - 2P/3 Fbc = -P (-2P/3) + P/3 = -P + 2P/3 + P/3 = 0 (No trabaja) Solo queda por determinar Fcd ya sea usando el nudo C o el D. Directamente observando el nudo C y dado que Fbc = 0 la única forma de que esté en equilibrio es que Fac = Fcd, luego: Fcd = Fac = 2P/3 (+ Tracción) 4.3. PROCEDIMIENTO GRÁFICO DE CREMONA. El procedimiento debido a Cremona, es la aplicación de forma gráfica del método de los nudos. Consiste en considerar cada nudo aisladamente, o sea, separado de la estructura, y como las fuerzas exteriores (cargas y reacciones de apoyo) e interiores de las barras que sobre él actúan concurren en un punto, se pueden establecer por nudo dos ecuaciones de equilibrio. De manera que si operamos sucesivamente, se consigue que en cada uno de los "k" nudos no existan más que dos barras con fuerzas desconocidas, el cálculo de la estructura se reduce a la resolución de "2k" ecuaciones en "k" grupos de ecuaciones independientes unos de otros y con dos incógnitas en cada grupo. La determinación de las dos incógnitas de cada grupo independiente de ecuaciones se realiza gráficamente de manera sencilla, puesto que las fuerzas exteriores e interiores constituyen polígonos cerrados de fuerzas. Para empezar el cálculo con nudos en los que sólo existan dos incógnitas se precisa generalmente determinar las reacciones en los apoyos, operación que se efectúa planteando el equilibrio de toda la estructura considerada como sólido libre. En la figura 13 se representan por separado las fuerzas que actúan sobre cada nudo, y los correspondientes polígonos de fuerzas. Para saber si el esfuerzo en una barra es de tracción o de compresión, basta con examinar la dirección de las fuerzas en el polígono del nudo, y si la dirección de la fuerza se dirige al nudo, la fuerza es de compresión y si se separa de tracción. En el nudo A se conoce y dibuja la reacción Ra que es vertical, como también se conocen las direcciones de las fuerzas de las barras "1=AB" y "4=AC", ya que son las direcciones de las barras, basta con trazarlas por los extremos de Ra para poder cerrar el polígono de fuerzas en el nudo y determinar las magnitudes de "F1=Fab" y "F4=Fac". F1 es de compresión ya que su sentido se dirige al nudo A, y F4 es de tracción ya que se aleja del mismo. Ha de tenerse en cuenta que como en este caso particular la barra "2=BC" no trabaja, su fuerza es nula y por lo tanto "F2=Fbc" no aparece en los polígonos de fuerzas a los que pertenece (Nudos B y C). Como se deduce de la figura 13, cada fuerza de barra se repite en dos polígonos de fuerzas, los de sus nudos extremos, lo que teniendo en cuenta que 11/18

12 se trata de una resolución gráfica lleva consigo mayores posibilidades de error. Para evitarlo, se dibuja cada polígono de fuerzas sobre el lado común del anterior, obeniéndose una sola figura para todos ellos llamada "polígono de Cremona". El método gráfico o de Cremona consiste, pues, en dibujar sucesivamente polígonos cerrados de fuerzas para cada uno de los nudos, pero combinados de tal forma que cada fuerza actuante en una barra, por ser común a dos nudos, solamente se representa una vez. Figura 13 Para el análisis de una estructura por el método de Cremona se procede de la manera siguiente: 1. Se dibuja la estructura con exactitud, indicando todas las cargas y reacciones, utilizando dos escalas una para la estructura y otra para las fuerzas. Se numeran todas las barras y se designan con letras los nudos. 2. Se dibuja el polígono de fuerzas exteriores y reacciones, de manera que se sucedan en el orden en que se presentan al girar alrededor de la estructura. 12/18

13 3. Se comienza por un nudo en el que concurran dos barras, determinándose los esfuerzos en éstas mediante un polígono de fuerzas, realizado de tal manera que éstas se sucedan girando alrededor del nudo, en el sentido de las agujas del reloj. 4. Se realiza esta operación para los restantes nudos, pero eligiendo estos en un orden tal, que únicamente existan en cada uno, al resolverlo, dos barras cuyas fuerzas se desconozcan. 5. El sentido de las fuerzas actuantes se representa en el esquema de la estructura pero no en el polígono de Cremona. Se dibujan mediante flechas en los extremos de la barra las fuerzas que la barra ejerce sobre sus nudos extremos, de forma que si las flechas van hacia el exterior de la barra, está sometida a compresión, y si van hacia el interior a tracción. 6. Se miden, en el polígono de Cremona, las fuerzas que corresponden a cada barra en la escala de fuerzas elegida, y sus valores y signos se pasan a una tabla MÉTODO DE LAS SECCIONES O DE RITTER. El método de Ritter consiste en cortar la estructura por una sección que intersecte solo tres barras, segregar una de las dos partes en la que ha quedado dividida la estructura y aplicar a la otra las tres ecuaciones de equilibrio en la forma de tres ecuaciones de momentos. Es el método más efectivo cuando se desean conocer los esfuerzos en una o en pocas barras, sin analizar la totalidad de la estructura. La estructura de la figura siguiente queda dividida en dos partes por la línea mn que corta tres barras, las AB, BC y CD. El trozo izquierdo estará en equilibrio bajo la acción de las fuerzas exteriores (fuerzas externas y reacciones) que actúan sobre él y de las acciones que la parte derecha segregada ejerce sobre la izquierda que es la que se analiza. De las acciones que la parte derecha ejerce a través de las barras, se conoce su dirección, faltando por determinar su intensidad y sentido, para lo que se dispone de tres ecuaciones de equilibrio en forma de tres ecuaciones de momentos respecto a tres puntos. Estos puntos se eligen de forma que resulten ser las tres intersecciones (A, B, C) de las barras cortadas (AB, BC y CD) tomadas dos a dos. Se toma el criterio de que las fuerzas en las barras cortadas son positivas, es decir trabajan a tracción, cuando se alejan de secciones cortadas por la línea mn, y así se suponen. La ecuación de momentos correspondiente determinará tanto la intensidad como el sentido de la fuerza de la barra, que será realmente de tracción cuando resulte + y de compresión cuando resulte -. A continuación, y según el siguiente dibujo, se resuelve la estructura planteada utilizando este método: 13/18

14 Tomando momentos respecto a los puntos A, B y C tenemos: ΣMa=0; -Fbc 2L = 0; Fbc = 0 ΣMb=0; Ra 2L Fcd L = 0; Fcd = 2Ra = 2P/3 (+) Tracción ΣMc=0; Ra 2L+Fab d = 0; siendo d = 2L senα = 2L.1/ 5 (P/3) 2L+Fab 2L 1/ 5 = 0; Fab = -P 5 /3 (-) Compresión No siempre como en el caso anterior los puntos de intersección de las barras en los cuales se aplican las tres ecuaciones de momentos son nudos de la estructura; pudiendo resultar puntos alejados o incluso en el infinito como en el caso de dos barras paralelas. Entonces puede reemplazarse la tercera ecuación de momentos por una de proyección de fuerzas sobre la vertical. Así en la estructura representada a continuación, una vez determinadas las fuerzas en las barras O2 y U1 por ecuación de momentos alrededor de los puntos "1" e "I", como el punto de intersección de las barras O2 y U1 se halla alejado (en el infinito en este caso), se sustituye la tercera ecuación de momentos por otra de proyecciones de fuerzas sobre la vertical, obteniéndose: Ra-P1-D1 senα=0; D1=(Ra-P1)/senα 14/18

15 De todo lo expuesto se desprende que el método de Ritter no se puede utilizar si la sección corta a más de tres barras, ya que sólo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio. 5. ARMADURAS GENERALIDADES. Si conectamos con pasadores los extremos de tres barras para formar un triángulo y agregamos soportes como se muestra en la figura 14(a), obtenemos una estructura que puede soportar una carga F. Podemos construir estructuras mas elaboradas agregando más triángulos (Fig. 14(b)(c)). Las estructuras realizadas de esta forma se llaman armaduras, las barras son sus miembros, y los lugares en que se unen entre sí son los nudos de la armadura, que son juntas articuladas. Otra característica de este tipo de estructuras es que están soportadas y cargadas exclusivamente en los nudos, y que las barras, de las que generalmente se desprecia su peso, se consideran sometidas exclusivamente a fuerzas axiales de tracción o compresión. Figura 14 La armadura es uno de los tipos más importantes de estructuras empleadas en ingeniería. Proporciona una solución, a la vez práctica y económica, especialmente en puentes, cubiertas y vigas principales de edificación, sobre todo cuando hay que salvar grandes distancias con una estructura de peso reducido. Las estructuras, en la práctica, se hacen con varias armaduras paralelas para formar un armazón tridimensional. El proyecto de cada armadura se hace de modo que soporte aquellas cargas que actúan en su plano y, por consiguiente, puede considerarse como una estructura bidimensional. Las barras de una armadura son delgadas y pueden soportar solo pequeñas cargas laterales, por lo que todas las cargas deben aplicarse solo en los nudos. Cuando tenga que aplicarse una carga concentrada o repartida entre dos nudos, se debe adoptar un sistema que mediante el empleo de largueros, viguetas y arriostramientos, transmita la carga a los nudos. Para su cálculo se suele despreciar el peso propio de las barras, pero en el caso de que se tenga en cuenta, se considera aplicado a los nudos, de modo que la mitad del peso de cada barra se aplica a cada uno de sus nudos extremos. 15/18

16 Aunque las barras están realmente unidas mediante remaches, tornillos o incluso soldadas, se supone que están unidas mediante un pasador (articulación), con lo que pueden girar libremente alrededor del nudo y en este no puede existir ningún par. En la figura 16 se ven representadas varias armaduras típicas, en dos grupos, las armaduras de cubierta también llamadas "cerchas" y las vigas armadura también llamadas "jácenas". Cerchas o armaduras de cubierta 5.2. ARMADURAS SIMPLES. Jácenas o vigas armaduras Figura 16 La armadura de la figura 17(a) que está formada por tres barras en conexión mediante pasadores en A, B y C, constituye la armadura bidimensional o plana más sencilla, y ante la carga aplicada la única deformación posible es la que se origine por pequeños cambios en la longitud de sus barras. Como se ve en la figura 17(b) puede obtenerse una armadura plana más grande añadiendo dos barras BD y CD. Este procedimiento puede repetirse tantas veces como se desee, y la armadura resultante será rígida si cada vez que le añadimos dos nuevas barras, las unimos a dos nudos diferentes ya existentes, y las conectamos entre sí mediante un nuevo nudo. Una armadura que puede construirse de esta manera se llama armadura "simple". Debe observarse que una armadura simple no está formada necesariamente por solo triángulos. La armadura de la figura 17(c), por ejemplo, es una armadura simple que se ha construido a partir del triángulo ABC, añadiendo sucesivamente los nudos D, E, F y G. Por otra parte hay armaduras que no son simples, aunque estén constituidas por triángulos, como la cercha Fink o la jácena Baltimore 16/18

17 representadas en la figura 16, ya que no pueden construirse a partir de un triángulo de la manera descrita anteriormente. Todas las otras armaduras representadas en la figura 16 son armaduras simples como puede comprobarse fácilmente (para la viga "K" hay que empezar por uno de los triángulos centrales). Volviendo a la armadura básica de la figura 17(a), vemos que tiene tres barras y tres nudos. La armadura de la figura 17(b) tiene dos barras más y un nudo más, es decir, en total cinco barras y cuatro nudos. Observando que cada vez que añadimos dos nuevas barras se aumenta en una unidad el número de nudos, resulta que en una armadura simple el número total de barras es b=2n-3, siendo n el número total de nudos. Figura ARMADURAS TRIDIMENSIONALES. Podemos construir la estructura tridimensional más sencilla conectando seis barras por sus extremos para obtener un tetraedro, como se muestra en la figura 18(a). Agregando barras podemos obtener estructuras más elaboradas (Fig. 18 (b)(c)). Las estructuras tridimensionales como estas se denominan "armaduras espaciales" si tienen juntas que no ejercen pares sobre las barras (es decir, son articulaciones en las tres direcciones, comportándose como soportes de bola y cuenca) y si están cargadas y soportadas sólo en sus juntas o nudos. Las armaduras espaciales se analizan con los mismos métodos descritos para las armaduras bidimensionales; la única diferencia es que se requiere tratar con relaciones geométricas más complicadas. Figura 18 Recordemos que la armadura bidimensional más elemental consistía en tres barras unidas por sus extremos formando los lados de un triángulo; añadiendo cada vez dos barras a esta configuración básica, y uniéndolas en un 17/18

18 nuevo nudo, era posible obtener una armadura más grande que se definía como armadura simple. Igualmente, la armadura tridimensional más elemental está formada por seis barras unidas por sus extremos formando las aristas de un tetraedro tal y como hemos visto (Fig. 18(a)). Añadiendo tres barras a esta configuración básica, como AE, BE y CE, aplicándolas a nudos separados ya existentes y uniéndolos en un nuevo nudo, podemos obtener una armadura espacial más grande que se define como armadura tridimensional "simple" (Fig. 18(b)). Observando que el tetraedro básico tiene seis barras y cuatro nudos, y que cada vez que se añaden tres barras se aumenta en uno el número de nudos, concluimos que en una armadura tridimensional simple el número total de barras es b=3n-6, siendo n el número total de nudos. Si una armadura tridimensional tiene que estar completamente ligada y si las reacciones en los apoyos han de ser estáticamente determinadas, los apoyos deben consistir en una combinación de esferas, rodillos y rótulas que proporcionen seis reacciones desconocidas (Fig. 19). Estas pueden determinarse fácilmente resolviendo las seis ecuaciones que expresan que la armadura tridimensional como sólido libre está en equilibrio. Aunque en la práctica las barras de una armadura de este tipo se suelen mantener unidas por medio de conexiones soldadas se supone para su cálculo que cada nudo está constituido por una articulación de rótula. Por tanto, no se aplicará ningún par a las barras de la armadura y cada barra puede tratarse como un elemento sometido exclusivamente a dos fuerzas opuestas. Las ecuaciones de equilibrio para cada nudo se expresan con las tres ecuaciones ΣFx=0, ΣFy=0, ΣFz=0. La formulación de las ecuaciones de equilibrio en cada uno de los n nudos proporcionará 3n ecuaciones. Como b=3n-6, estas 3n ecuaciones bastan para determinar todas las fuerzas desconocidas (fuerzas en b barras y 6 reacciones en los apoyos) que son en total b+6 = 3n-6+6 = 3n, que es el número de ecuaciones de que disponemos. Sin embargo, para evitar resolver un sistema de ecuaciones con muchas incógnitas, en su resolución práctica resolveremos nudo a nudo, teniendo cuidado en seleccionarlos en tal orden que ningún nudo elegido contenga más de tres fuerzas desconocidas. Figura 19 18/18