DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT

Transcripción

1 Práctica 2 Estructuras articuladas 2.1. Objetivos conceptuales Profundizar en el estudio de la Estática mediante el análisis de una estructura articulada Fundamento teórico Se llama estructura articulada, armadura, cercha o viga en celosía, a una estructura rígida compuesta por barras rectilíneas unidas mediante articulaciones, capaz de recibir cargas exteriores y transmitirlas a los apoyos. Los puntos de unión de las barras con las articulaciones se llaman nudos. En esta práctica estudiaremos una estructura (a) Plana. (b) Formada por barras cuyos pesos son despreciables frente al de las cargas exteriores, y articuladas a los nudos. (c) En la que las cargas exteriores actúan sólo sobre los nudos. Nuestro objetivo es investigar qué relación existe entre la carga aplicada sobre un punto de la estructura articulada y las tensiones que sufren las barras que forman la estructura. Primero haremos un estudio teórico, suponiendo que en cada nudo de la estructura se cumplen las ecuaciones de la estática del punto material y que las barras actúan como bielas que conectan a los nudos 1. Después comprobaremos experimentalmente si las relaciones que hemos obtenido se verifican. 1 Recordemos que la biela es una ligadura que responde a las fuerzas activas mediante fuerzas de reacción vincular en sus extremos que son paralelas a la biela. Ello se debe a 1

2 PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS Figura 2.1: Estructura articulada triangular que usaremos en esta práctica Montaje experimental Dispondremos de un estructura tipo tejado con forma de triángulo isósceles como la de la fig Está formada por seis varillas metálicas huecas ensambladas mediante medidores de deformaciones y articuladas a tres piezas metálicas circulares con agujeros. Una de estas tres piezas está, además, empotrada al exterior (es decir, si suponemos que tal pieza es puntual, el punto permanecerá fijo). Otra de las piezas está, además, unida mediante una biela al exterior (es decir, si suponemos que tal pieza es puntual, el punto estará obligado a permanecer en el arco de circunferencia que describe el extremo de la biela). Los medidores de deformaciones 1, 2 y 3 sirven como dinamómetros. Supondremos que se comportan como muelles ideales de constantes elásticas k 1 = 250N/mm, k 2 = 250N/mm y k 3 = 236N/mm. Miden los esfuerzos de compresión (los dinamómetros 1 y 2) y tracción (el dinamómetro 3) que sufren las varillas de la estructura Método experimental Una vez delante de la estructura, Pon a cero los medidores de deformaciones. tener en cuenta los supuestos anteriores (b) y (c) en las ecuaciones de equilibrio de la propia biela como un sólido rígido: Fi = 0 φ 1 = φ 2 ; M0 ( F i ) = 0 φ 1 y φ 2 colineales con la biela, pues sino formarían un par con momento de par no-nulo. 3

3 PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS 3 C Figura 2.2: Esquema de la estructura articulada triangular. Aplica en el vértice superior del triángulo un peso P = 10N. Anota las correspondientes deformaciones registradas en 1, 2 y 3, y (teniendo en cuenta que las constantes elásticas son k 1 = 250N/mm, k 2 = 250N/mm y k 3 = 236N/mm) calcula los correspondientes esfuerzos que miden los dinamómetros. Llámalos φ 1, φ 2 y φ 3. Repite estas operaciones aplicando pesos de 20N (retira el de 10N y añade uno de 20N), 30N, 40N y 50N al vértice superior. Construye una tabla con siete columnas: la variable independiente, el peso aplicado P, en newtons (N), en la primera columna, y las variable dependientes, las deformaciones d 1, d 2 y d 3, en milímetros (mm), y los esfuerzos φ 1, φ 2 y φ 3, en newtons (N), en las siguientes columnas. No olvides indicar las unidades correspondientes a cada magnitud en la parte superior de la tabla. Representa en una misma hoja de papel milimetrado tres gráficas con los pares de puntos (P,φ 1 ), (P,φ 2 ) y (P,φ 3 ). No olvides poner las unidades que estás usando en cada eje. Por ejemplo: P (N), en el eje horizontal. Queremos averiguar cuál es la relación teórica entre φ i (donde i = 1,2,3) y P. Para ello supondremos que los pesos de las barras de la estructura articulada son despreciables frente a los pesos aplicados, de modo que se comportan como bielas y sólo producen en los nudos fuerzas (de reacción vincular) que son paralelas a las barras. Con esa información podemos dibujar A B

4 PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS 4 C C A P B By Figura 2.3: Diagramas de fuerzas de los tres nudos de la estructura articulada. los tres diagramas de fuerzas correspondientes a cada uno de los nudos A, B y C de la estructura, que supondremos son puntos materiales: Ver la fig Supondremos que en cada uno de los puntos A, B y C se cumplen las condiciones necesarias y suficientes para que un punto material esté en equilibrio. Así, la suma de todas las fuerzas (activas y de reacción vincular) que están aplicadas en el punto A tiene que ser el vector nulo: Bx φ 1 + φ 2 + P = 0. (2.1) Análogamente, la suma de todas las fuerzas aplicadas en el punto B también tiene que ser el vector nulo: Y análogamente en el punto C: φ 2 φ 3 + φ B = 0. (2.2) φ 1 + φ 3 + φ C = 0. (2.3) Es importante darse cuenta de que las fuerzas entre dos puntos aparecen por pares iguales y de sentido contrario. Así, la fuerza que ejerce la varilla AC sobre el punto A, fuerza a la que hemos llamado φ 1 en la fig. 2.3, es igual y de sentido contrario a la que ejerce sobre el punto C. De ahí que a esta última la hayamos llamado φ 1. Además, debido a la simetría de la estructura, las

5 PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS 5 componentes horizontales de φ 1 y de φ 2 son iguales y de sentido contrario, mientras que sus componentes verticales son iguales. Teniendo esto en cuenta, de la ec. (2.1) obtenemos la relación entre el peso aplicado P y el esfuerzo (de compresión) φ 1 que mide el dinamómetro 1 (y que coincide con el módulo de la fuerza φ 1 que la barra AC ejerce sobre los nudos A y C): φ 1 = 1 P. (2.4) 2senθ Análogamente, obtenemos la relación entre el peso aplicado P y el esfuerzo (de compresion) φ 2 que mide el dinamómetro 2 (y que coincide con el módulo de la fuerza φ 2 que la barra AB ejerce sobre los nudos A y B) φ 2 = 1 P. (2.5) 2senθ Por tanto, al representar φ 1 (o φ 2 ) frente a P en una gráfica, la predicción teórica es que ha de salir una recta cuya pendiente es 1/(2senθ). Teniendo en cuenta lo anterior, de la ec. (2.3) obtenemos la relación entre el peso aplicado P y el esfuerzo (de tracción) φ 3 que mide el dinamómetro 3 (y que coincide con el módulo de la fuerza φ 3 que la barra BC ejerce sobre los nudos B y C): φ 3 = 1 P. (2.6) 2tanθ Es decir, al representar φ 3 frente a P en una gráfica, la predicción teórica es que ha de salir una recta cuya pendiente es 1/(2tanθ). Comprueba en el papel milimetrado que los puntos obtenidos experimentalmente en las tres gráficas se pueden ajustar, aproximadamente, por sendas rectas. Halla las rectas de mejor ajuste por el método de los mínimos cuadrados y represéntalas gráficamente junto a los puntos experimentales. A partir de la pendiente de la recta que mejor se ajuste a los puntos de cada gráfica, calcula el ángulo θ, el que forman las varillas AB y AC respecto a la horizontal, que se obtiene a partir de cada una de las tres gráficas. Mide el ángulo θ en la estructura con ayuda de un transportador de ángulos. Compara el resultado de esta medida con la obtenida en el apartado anterior.

6 PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS 6 Cuestiones Cuestión 1: Demuestra que, en la situación de equilibro estudiada, φ B tiene componentes horizontales nulas. Si se sustituye la ligadura que hay en B (el punto B está fijo) por un apoyo simple sobre una superficie horizontal B permanece en equilibrio? Cuestión 2: Si se sustituye la ligadura que hay en B por un apoyo simple sobre una superficie horizontal y, además, se suprime la barra horizontal BC, B permanece en equilibrio? Si la respuesta es no, indica dos maneras distintas de restaurar el equilibrio. Cuestión 3: Dependen los resultados teóricos de la escala de la armadura? Ocurre esto en la realidad? Por qué? Está esto relacionado con el ajuste a cero inicial de los dinamómetros? Apéndice: el método de los mínimos cuadrados Dadas dos magnitudes físicas, X e Y, entre las que se supone existe una relación lineal, es decir, una relación de la forma Y = mx +b, (7) donde mybson constantes (esdecir, mes la pendiente deuna recta y bsu ordenada en el origen), el método de los mínimos cuadrados (también llamado regresión lineal) proporciona los valores de m y b que mejor ajustan un conjunto de n pares de valores experimentales, (X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),...,(X n,y n ), obtenidos al medir Y para n valores de X. Sin entrar en detalles, el método de los mínimos cuadrados establece que los valores de m y b que mejor ajustan los valores experimentales son: donde m = ns XY S X S Y, (8) ns XX SX 2 b = S Y ms X, (9) n S XY n = X i Y i, (10) i=1

7 PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS 7 S X n = X i, (11) i=1 S Y n = Y i, (12) i=1 S XX n = Xi 2. (13) i=1 La mayoría de las calculadoras científicas tienen pre-programadas estas fórmulas y basta con introducir los pares de valores experimentales (X 1,Y 1 ), (X 2,Y 2 ),..., (X n,y n ) y pulsar LR para obtener los valores de m y b. Consulte las instrucciones de su calculadora.

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