4.2 Algunas aplicaciones a la Teoría de Números

Transcripción

1 4.2. Algunas aplicaciones a la Teoría de Números Algunas aplicaciones a la Teoría de Números Sabemos que podemos encontrar números racionales tan cerca como queramos de un número irracional dado. En general, si x R, podemos encontrar un par de enteros a y b tales que x a b sea tan pequeño como deseemos. Si x es racional, él mismo sirve como (inmejorable)aproximación, claro; así que el problema que nos interesa es el de la aproximación de irracionales por racionales. Una manera habitual de hacer esto es la de truncar el desarrollo decimal del número. Por ejemplo, si escribimos el número π, π =3, 4592 a 7 a 8... y nos quedamos con las primeras seis cifras del desarrollo, estamos aproximando π por la fracción Y, por supuesto, π =0, a 7 a 8... Obsérvese que el error cometido con esta aproximación es, desde luego, menor que 0 6 (piénsese en el peor caso, que los dígitos a 6, a 7, etc., fueran casi todos nueves). Para conseguir tal grado de precisión, hemos tenido que manejar un racional de denominador 0 6 (quizás menor, si simplificáramos la fracción). Si quisiéramos mayor exactitud, tendríamos que recurrir a racionales de denominadores cada vez más grandes. En esta discusión nos estamos limitando a racionales cuyo denominador es una potencia de 0. Podemos aproximar π más eficientemente con otro tipo de racionales? Arquímedes ya sabía que <π<22 7. Y ambas aproximaciones coinciden con π en las dos primeras cifras decimales; la fracción 22/7, cuyo denominador es del orden de 0, se acerca a π con un error del orden de 0 2.Más impresionante aún es la aproximación de Tsu Chung Chih, del siglo V, la fracción 355/3, que coincide con π en las primeras seis cifras decimales: π < 0 6.

2 420 Capítulo 4. El principio del palomar Yobsérvese que el denominador es del orden de 0 2 (por cierto, se tardó casi un milenio en mejorar esta estimación). Planteemos el problema en general: tenemos un cierto número irracional x que queremos aproximar con racionales a/b; el denominador b será el parámetro que utilizaremos para medir la bondad de la estimación. La aproximación será lineal si x a b Cb, donde C es una cierta constante positiva (que por ahora no nos preocupará). Esto es lo que conseguíamos truncando el desarrollo decimal (para obtener, por ejemplo, seis cifras decimales, nuestra fracción ha de tener, en general, un denominador del orden de 0 6 ). Sea x un cierto irracional y fijemos el valor de b: queremos encontrar una fracción a/b tal que, por ejemplo, x a < b 2 b. El número bx estará entre dos enteros; llamemos a al más cercano a él: bx a Este entero a es el que buscábamos, porque bx a < = x a < 2 b 2 b. Con un argumento un poco más cuidadoso, se puede sustituir la constante 2 de la estimación por cualquier otro número natural. Así es que este tipo de aproximación lineal no presenta ningún problema. Ejemplo 4.2. Encontrar aproximaciones por racionales (lineales con constante 2) al número 3 para cada valor b =, 2,... Siguiendo la idea expuesta antes, basta encontrar los enteros más cercanos a 3, 2 3, 3 3, etc. Calculamos los primeros casos: 3=, =3, =5, =6, =8, =0,

3 4.2. Algunas aplicaciones a la Teoría de Números 42 Así, por ejemplo, para b = 6, tendríamos que =0, = = 0, < 2 6 = 2. Obsérvese que las fracciones que obtenemos en este proceso (0/6 en este caso)podrían no ser irreducibles (de hecho, el resultado sería falso si exigiéramos que las fracciones a/b lo fueran). Más adelante seremos más cuidadosos con esto. Nos interesa encontrar aproximaciones más eficientes. Por ejemplo, nos podemos acercar a un irracional x con una fracción a/b con un error de /b 2? Y de /b 3? Sería magnífico: con un esfuerzo del orden de b, obtenemos estimaciones del orden de /b 2,/b 3,etc. Veremos que la respuesta es afirmativa en el primer caso, para cualquier irracional, mientras que no lo es en el segundo caso. Estos resultados nos ayudarán a entender en profundidad la naturaleza de los números irracionales; curiosamente, sólo necesitaremos el sencillo principio del aplomar para obtenerlas El teorema de Dirichlet Figura 4.: Dirichlet Estamos entonces con el problema de la aproximación de números irracionales por racionales; nos interesa saber si siempre vamos a tener aproximaciones de tipo cuadrático. La respuesta a este problema es el resultado, fundamental como veremos, conocido como el teorema de Dirichlet 5. Fijaremos un parámetro, un número natural Q, que nos dará el orden de esta aproximación. Y tendremos cuidado con que las fracciones que obtendremos, que llamaremos p/q, sean irreducibles (esto es, p y q serán primos entre sí, aunque no necesariamente números primos). Teorema 4. (Teorema de Dirichlet) Para todo número real x ytodoenteroq>, existen 5 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ), nacido cerca de Colonia (entonces parte del Imperio francés), estudió en la Universidad de París, donde tuvo como profesores a personajes tan destacados como Laplace, Legendre, Poisson, Fourier o Cauchy. En Berlín, donde trabajó durante 30 años, contribuyó alaformación de una potente escuela matemática, junto con ilustres matemáticos como Kronecker o Riemann (alumnos suyos ambos). Sus aportaciones resultaron fundamentales en la Teoría de Números (tanto analítica como algebraica), en el estudio de la convergencia de las series de Fourier o en la Teoría del Potencial (el conocido problema de Dirichlet sobre funciones armónicas con ciertas condiciones de contorno).

4 422 Capítulo 4. El principio del palomar enteros p y q, con0 <q<q, tales que qx p Q. En particular, podemos encontrar enteros p y q, primosentresí, para los que x p q < q 2. Demostración. Vamos con la primera parte del teorema: dados el número real x yelnúmero natural Q, empecemos dividiendo el intervalo [0, )en Q intervalos del tipo [j/q,(j +)/Q), para cada 0 j<q: 0 Q 2 Q 3 Q Q Q Estos serán nuestros Q nidos ; definamos ahora las palomas. Consideremos los Q números siguientes: {x}, {2x}, {3x},...,{(Q )x}, donde {a} significa la parte fraccionaria de a (obsérvese que tenemos más nidos que palomas). Distinguiremos tres casos: (a)si alguno de esos números, digamos {kx}, pertenece al último intervalo, se tendrá que {kx} Q. Pero {kx} = kx kx, asíque kx ( kx ) Q, donde 0 <k<q. Y tendríamos el resultado que buscamos tomando q = k y p = kx. (b)si uno de los números, {kx}, estuviera en el primer intervalo, tendríamos que {kx} Q = kx kx Q, donde 0 <k<q. Ahora, q = k y p = kx.

5 4.2. Algunas aplicaciones a la Teoría de Números 423 (c)si, por el contrario, ninguno de esos Q números estuviera en ninguno de los intervalos extremos, por el principio del palomar al menos dos de ellos tendrían que coincidir en uno de los Q 2 intervalos interiores. Existirían entonces j<k Q tales que Q {kx} {jx} = (k j)x ( kx jx ). Ahora q = k j (que cumple que 0 <q<q)yp = kx jx. La segunda parte del enunciado del teorema es una consecuencia inmediata de la primera; hemos probado que existen p y q, conq<q, tales que qx p Q, de donde x p q qq < q 2, porque q<q. Falta un pequeño detalle, el que podemos suponer que la fracción p/q es irreducible. Nótese que, desde el punto de vista de la aproximación, ése es el peor caso (si fuera reducible, con un denominador más pequeño seguiríamos consiguiendo el error de /q 2 ). Supongamos entonces que los p y q para los que tenemos la aproximación cuadrática no son primos entre sí, y escribamos p = mcd(p, q) p y q = mcd(p, q) q ;obsérvese que q <q. Ahora reescribamos nuestra aproximación: q 2 > x p q = x p q. Pero claro, como q <q, obtenemos que podemos encontrar (a partir de los p y q originales)dos enteros p y q, primos entre sí, tales que x p q < q 2, lo que afirmaba la segunda parte del teorema. Las siguientes subsecciones están dedicadas a extraer (jugosas)consecuencias de este resultado. Hacemos notar que el teorema de Dirichlet es válido para cualquier número real, tanto racional como irracional Otra prueba de la identidad de Bezout Recordemos la identidad de Bezout: si a y b son dos enteros primos entre sí, entonces podemos encontrar enteros x e y tales que ax + by =.

6 424 Capítulo 4. El principio del palomar En su momento dimos una prueba constructiva, vía el algoritmo de Euclides; ahora podremos dar un elegante argumento, basado en el teorema de Dirichlet. Consideremos dos enteros a y b primos entre sí (supongamos 6 b 2) y apliquemos el teorema de Dirichlet para x = a/b y Q = b. Podremos encontrar enteros p y q, con 0 <q<btales que a b q p b. Esto es, se cumplirá que aq bp. La cantidad aq bp no puede valer 0, porque eso supondría que a b = p con q<b, q algo contrario a la hipótesis de que a y b eran primos entre sí. tendremos que aq bp= ±. Así que En el caso en que el segundo miembro sea, tomamos x = q e y = p. Si fuera, tomaríamos x = q e y = p Una caracterización de los números irracionales Sabemos que en el conjunto de los números reales R hay números racionales e irracionales. El conjunto de los racionales Q tiene cardinal ℵ 0, porque se puede poner en biyección con los naturales, N, y eso es algo que no podemos hacer con los irracionales. Es decir, con las precauciones que hay que tomar a la hora de entender tamaños infinitos, hay muchos más irracionales que racionales. Si tomáramos un número real al azar, entonces con probabilidad encontraríamos un irracional 7. Sorprendentemente, mientras que dar ejemplos de números racionales es una labor trivial, decidir si un número es irracional es un problema muy difícil, en general. Hasta ahora, un número irracional era aquél cuyo desarrollo decimal ni era finito ni era recurrente; y claro, no es una definición muy útil a la hora de decidir si un cierto número es racional o no. Algunos argumentos ad hoc nos permitían demostrar la irracionalidad de números como 2, 5, 3 2, etc. Pero se basaban en la forma especial de esos números (raíces cuadradas, raíces cúbicas). Qué podemosdecirdenúmeros como e ó π? El teorema de Dirichlet nos proporciona una caracterización alternativa. 6 Si b =,laecuación ax + y = tiene una solución inmediata, x =0ey =. 7 Obsérvese que ahora el tener un suceso de probabilidad nula, como es el de obtener un racional, no quiere decir que no haya racionales.

7 4.2. Algunas aplicaciones a la Teoría de Números 425 Teorema 4.2 El número x es irracional si y sólo si existen infinitas fracciones p n /,conmcd(p n, )=, tales que x p n <. Demostración. Supongamos que x es un irracional. Por el teorema de Dirichlet (en la versión que exhibíamos en la demostración del teorema), sabemos que para cada n existe una fracción p n / (podemos suponer que p n y son primos entre sí)que cumple que x p n n, con 0 < <n. Y, por tanto, x p n, con 0 < <n. q 2 n Pero ahora supongamos que, en realidad, en la sucesión de fracciones p n / sólo hay un número finito de ellas distintas; queremos llegar a una contradicción. El principio del palomar, en su versión infinita, nos dice que al menos una de esas fracciones distintas, que llamaremos p/q, se repite un número infinito de veces. Esto es, hay infinitos valores de n para los que se cumple que x p q qn. Pero el que esta desigualdad sea cierta para n arbitrariamente grande sólo deja una posibilidad: que x coincida con p/q; y eso contradice el que x sea irracional. En el otro sentido, supongamos que existen infinitas fracciones p n / (p n y primos entre sí)tales que x p n <. Supongamos que, a pesar de eso, x es un número racional, digamos x = a/b (podemos suponer que mcd(a, b) = yquex es positivo); de nuevo, queremos llegar a una contradicción. Se tendría que qn 2 > a b p n = a bp n, b b porque a bp n es un entero distinto de 0 (excepto, quizás, para un valor de n). Es decir, que b qn 2 b. q 2 n q 2 n

8 426 Capítulo 4. El principio del palomar Y si todos los han de ser menores o iguales que b, entonces es imposible que haya infinitas aproximaciones p n / distintas El número e es irracional Vamos a aplicar el resulatdo anterior a un número famoso: el número e. Y empecemos con una caracterización alternativa de los números irracionales, que se deduce de la anterior. Corolario 4. El número x es irracional si y sólo si para cada ε>0 podemos encontrar enteros p y q tales que 0 < qx p <ε. Demostración. El teorema anterior garantiza que podemos encontrar infinitas fracciones p n / tales que x p n <, y donde los denominadores forman una sucesión estrictamente creciente. Dado un ε>0, elegimos un n lo suficientemente grande como para que > /ε. Y entonces x p n < <ε. Recíprocamente, aceptemos que, dado el número x, para cada ε>0pode- mos encontrar enteros p y q tales que 0 < qx p <ε. Y supongamos que x es de la forma a/b, conb un número natural. Tomando como ε =/b, encontraríamos un par de enteros p y q tales que a 0 < q b p < = 0 < aq bp <. b Y esto no puede ocurrir si p y q son enteros. Apliquemos esta caracterización a probar que el número e es, efectivamente, un número irracional. La base de los logaritmos naturales, e, se define como el valor de la serie e = n=0 q 2 n n!. Consideremos, para cada valor de N, las sumas parciales de esta serie, que escribimos de una forma conveniente: N n! = ( N!+ N! N! 2! + N! 3! + + N! ) (N )! + }{{} p N n=0 = p N N!

9 4.2. Algunas aplicaciones a la Teoría de Números 427 (nótese que todos los p N son enteros). Entonces, utilizando que sabemos sumar la serie geométrica, N 0 < e = n! n! = (N +)! + (N +2)! + n=0 n=n+ ( ) = + (N +)! (N +2) + (N +2)(N +3) + ( ) < + (N +)! (N +) + (N +) 2 + = (N +)! j=0 (N +) j = (N +)! N+ = NN!, de donde 0 < e p N < = 0 < en! p N < N! NN! N. Para cada ε > 0 podemos encontrar N lo suficientemente grande como para que /N < ε. Los enteros N! yp N correspondientes son los que pedía obtener el criterio de irracionalidad expuesto antes. La demostración de que el número π es irracional, aunque más complicada, puede hacerse siguiendo estas ideas. Pero, como ya hemos advertido varias veces, probar la irracionalidad de un número determinado puede ser un problema arduo. Por ejemplo, un número famoso, la llamada constante de Euler, γ = lim k ( k k= ) n log k, todavía no se sabe si es irracional. Otro caso importante son los números ζ(k) = n= n k, los valores de la función zeta de Riemann en los enteros positivos. Para k es par, ya Euler sabía sumar esta serie, y el resultado es un número irracional; pero si k es impar, apenas se sabe nada. De hecho, sólo en el caso de ζ(3)se ha podido establecer la irracionalidad (y es un resultado de Apéry de 978).