APROXIMACIONES RACIONALES DE 2

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1 APROXIMACIONES RACIONALES DE 2 CÁLCULO FING/UDELAR Uno de los resultados matemáticos más importantes de la antigüedad griega (escuela pitagórica, siglo VI a. C.) es ue la diagonal D de un cuadrado y su lado L son inconmensurables, en el sentido ue la razón D/L no se puede expresar como fracción de dos números enteros. Es decir, con notaciones modernas: D/L = 2 Q. El objetivo de este artículo es aproximar el número irracional 2 por números racionales, con el fin de producir los dígitos exactos de 2 en base 0. D L L. El método.. Observación inicial. El método se basa en la observación ue de tal modo ue: (.) + 2 = ( 2) ( + 2)( 2) = 2 2 ( = 2 2) 2 2 = = 2, Así, la igualdad anterior muestra ue 2 es solución de la ecuación (.2) x = + + x ue sólo involucra operaciones (, +, /) definidas sobre los números racionales. De hecho: Lema. El número real 2 es la única solución positiva de la ecuación (.2). Demostración. Es claro (según la observación anterior) ue 2 es solución de (.2), y es una solución positiva. Ahora, supongamos ue x sea una solución positiva de (.2), es decir: x = + x Multiplicando los dos lados por + x, obtenemos ue (x )( + x) =, es decir: x 2 =. Esto implica ue x 2 = 2, luego: x = 2 (pues x > 0 por hipótesis). Dicho de otro modo, 2 es el único punto fijo de la función f : R + R + definida por: (.3) f (x) := + + x (x R + ) (Se recuerda ue un punto fijo de f : R + R + es un número x R + tal ue f (x) = x.)

2 Observación 2 (Punto fijo y fracción continua). Un juego interesante con la ecuación (.) consiste en remplazar en el denominador del lado derecho el número 2 por... el lado derecho sí mismo. Iterando múltiples veces el proceso, se obtiene ue: 2 = = + + ( ) = = + ( = ) = El interés de este juego no tan infantil como parece es ue en el límite, se obtiene una fracción infinita, llamada fracción continua, ue no refiere más al número 2. (No definiremos auí el sentido de tal fracción continua; sólo nos interesa la intuición subyacente.) El mismo juego formal se puede jugar con la ecuación de punto fijo 2 = f ( 2), lo ue nos da: 2 = f ( 2) = f ( f ( 2)) = f ( f ( f ( 2))) = = f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) De nuevo, se obtiene una expresión infinita puramente formal ue no refiere más a 2. (Recordemos ue la definición (.3) de la función f sólo utiliza, +, /.) Intuitivamente, se puede ver el número irracional 2 como el resultado de una iteración infinita de la función f... a partir de nada. Esta intuición es la base del método ue vamos a presentar..2. Definición de la sucesión (u n ) n N. Como no se puede partir de nada, vamos a construir nuestra sucesión (u n ) n N de aproximaciones racionales de 2 iterando la función f : R + R + a partir de una primera aproximación racional por ejemplo: u 0 =. Formalmente, la sucesión (u n ) n N es definida por recurrencia sobre n N por las ecuaciones: (.4) u 0 := y u n+ := f (u n ) = + El interés de la definición anterior es ue, por construcción: Proposición 3. u n Q + para todo n N. Demostración. La propiedad se demuestra por inducción sobre n N: + u n (n N) Caso de base. Tenemos ue u 0 = Q +. Paso de inducción. Supongamos ue u n Q + para algún n N. Entonces, tenemos ue u n+ = f (u n ) = + /( + u n ) Q +. 2

3 Los primeros términos de la sucesión (u n ) n N son dados por: u 0 = < 2 u = 3/2 =, 5 > 2 u 2 = 7/5 =, 4 < 2 u 3 = 7/2 =, > 2 u 4 = 4/29 =, < 2 u 5 = 99/70 =, > 2 u 6 = 239/69 =, < 2 u 7 = 577/408 =, > 2 u 8 = 393/985 =, < 2 u 9 = 3363/2378 =, > 2 u 0 = 89/574 =, < 2 u = 960/3860 =, > 2 Observando estos 2 primeros términos, parece ue la sucesión (u n ) n N : alterna entre aproximaciones inferiores de 2 (para los términos de índice par) y aproximaciones superiores de 2 (para los términos de índice impar); converge hacia 2 (, ) cuando n. Por supuesto, esta observación sobre una cantidad finita de términos de la sucesión no constituye prueba ni de la propiedad de alternancia ni de la propiedad de convergencia. Observación 4. Para posicionar cada uno de los términos u 0, u,..., u respecto a 2, se recuerda ue para todo racional r = p/ Q + (con p, N ), tenemos ue: r = p/ < 2 si y sólo si p 2 < 2 2 ; r = p/ > 2 si y sólo si p 2 > 2 2. Por ejemplo, en el caso del término u 3 = 7/2, tenemos ue p = 7 y = 2. Se observa ue p 2 (=7 2 = 289) > 2 2 (= = 288), de tal modo ue u 3 > Estudio de la sucesión (u n ) n N 2.. Estudio de la función f (x) = + /( + x). La sucesión (u n ) n N es definida iterando la función f (x) = + /( + x) ( f : R + R + ) a partir del valor inicial u 0 =, y en lo siguiente, veremos ue la propiedades de f determinan el comportamiento de la sucesión (u n ) n N. Comencemos por establecer las propiedades básicas de la función f : R + R + : Proposición 5 (Propiedades de la función f ). () La función f es decreciente: si x < y ( R + ), entonces f (x) > f (y). (2) Para todo x R + : < f (x) < 2. (3) lím x 0 f (x) = 2 y lím x + f (x) =. Demostración. () Supongamos ue x < y (con x, y R + ). Tenemos ue + x < +y, entonces /( + x) > /( + y), entonces + /( + x) > + /( + y), es decir: f (x) > f (y). (2) Para todo x R +, tenemos ue x > 0, entonces + x >, entonces 0 < /( + x) <, luego < + /( + x) < 2, es decir: < f (x) < 2. ( (3) Tenemos ue lím + ) = + ( x 0 + x = 2 y lím + ) = + 0 =. x + + x 3

4 2.2. Propiedades de alternancia de la sucesión (u n ) n N. Como f : R + R + es una función decreciente y f ( 2) = 2 (punto fijo), es fácil ver ue: Lema 6. Para todo x R + : () Si x < 2, entonces f (x) > 2. (2) Si x > 2, entonces f (x) < 2. Demostración. En efecto, como f es decreciente y f ( 2) = 2: () Si x < 2, entonces f (x) > f ( 2) = 2. (2) Si x > 2, entonces f (x) < f ( 2) = 2. Esta propiedad implica ue: Proposición 7 (Alternancia). Para todo n N, tenemos ue: u n < 2 si n es par u n > 2 si n es impar Demostración. La propiedad se demuestra por inducción sobre n N: Caso de base. El entero 0 (= 2 0) es par y u 0 = < 2. Paso de inducción. Supongamos ue la propiedad se cumple para algún n N. Se distinguen los dos siguientes casos: O bien n es par. En este caso, tenemos ue u n < 2 (por hipótesis de inducción). Entonces u n+ = f (u n ) > 2 (por el lema anterior), el índice n + siendo impar. O bien n es impar. En este caso, tenemos ue u n > 2 (por hipótesis de inducción). Entonces u n+ = f (u n ) < 2 (por el lema anterior), el índice n + siendo par Descomposición de la sucesión (u n ) n N. La Prop. 7 establece ue los términos de la sucesión (u n ) n N alternan entre aproximaciones inferiores de 2 y aproximaciones superiores. En tal situación, es natural descomponer dicha sucesión en dos subsucesiones: una subsucesión (a n ) n N ue agrupa los términos de índice par (aproximaciones inferiores), y otra subsucesión (b n ) n N ue agrupa los términos de índice impar (aproximaciones superiores). Formalmente, las sucesiones (a n ) n N y (b n ) n N son definidas por: (2.) a n := u 2n y b n := u 2n+ (n N) Por la Prop. 7, tenemos ue: (2.2) a n < 2 y b n > 2 (para todo n N) Además, se verifica fácilmente ue: Proposición 8. Las sucesiones (a n ) n N y (b n ) n N son caracterizadas por las ecuaciones: (2.3) (2.4) a 0 = a n+ = f ( f (a n )) b 0 = 3/2 b n+ = f ( f (b n )) Demostración. En efecto, se observa ue: (2.3) a 0 = u 0 = y a n+ = u 2(n+) = u 2n+2 = f (u 2n+ ) = f ( f (u 2n )) = f ( f (a n )). (2.4) b 0 = u = 3/2 y b n+ = u 2(n+)+ = u 2n+3 = f (u 2n+2 ) = f ( f (u 2n+ )) = f ( f (b n )). De nuevo, el decrecimiento de la función f : R + R + implica ue: Proposición 9 (Variaciones de las sucesiones (a n ) n N y (b n ) n N ). () La sucesión (a n ) n N es creciente: a n < a n+ para todo n N. (2) La sucesión (b n ) n N es decreciente: b n > b n+ para todo n N. 4

5 Demostración. () Se demuestra ue a n < a n+ por inducción sobre n N: Caso de base. Tenemos ue a 0 = u 0 = y a = u 2 = 7/5; es decir: a 0 < a. Paso de inducción. Supongamos ue a n < a n+. Como f es decreciente, tenemos ue f (a n ) > f (a n+ ), entonces f ( f (a n )) < f ( f (a n+ )), es decir a n+ < a n+2 por (2.3). (2) Se demuestra ue b n > b n+ por inducción sobre n N: Caso de base. Tenemos ue b 0 = u = 3/2 y b = u 3 = 7/2; es decir: b 0 > b. Paso de inducción. Supongamos ue b n > b n+. Como f es decreciente, tenemos ue f (b n ) < f (b n+ ), entonces f ( f (b n )) > f ( f (b n+ )), es decir b n+ > b n+2 por (2.4). Así, descompusimos la sucesión (u n ) n N en dos subsucesiones: una sucesión creciente (a n = u 2n ) n N de aproximaciones inferiores de 2; una sucesión decreciente (b n = u 2n+ ) n N de aproximaciones superiores de 2. Se puede resumir la situación en el siguiente diagrama: = a 0 < a < a 2 < < a n < a n+ < 2 < b n+ < b n < < b 2 < b < b 0 =, 5 u 0 u 2 u 4 u 2n u 2n+2 u 2n+3 u 2n+ u 5 u 3 u En particular, las observaciones anteriores implican ue: La sucesión creciente (a n ) n N y acotada superiormente por 2 tiene un límite: (2.5) a := lím a n 2. La sucesión decreciente (a n ) n N y acotada inferiormente por 2 tiene un límite: (2.6) b := lím b n 2 Cuidado! Por el momento, sólo demostramos las desigualdades a 2 b, y podría ocurrir ue dichas desigualdades sean estrictas: a < 2 < b (en caso de mala suerte). Por suerte, tenemos ue a = b = 2, y para comprobarlo, se necesita estudiar la convergencia de la sucesión inicial (u n ) n N Convergencia de la sucesión (u n ) n N. La convergencia de la sucesión (u n ) n N hacia el límite deseado es consecuencia de los dos siguientes resultados: Lema 0. Para todo n N: u n [, 2). Demostración. Para n = 0, tenemos ue u n = u 0 = [, 2). Y cuando n, tenemos ue u n = f (u n ) (, 2) [, 2) por la Prop. 5 (2). Proposición. Para todos x, y : f (x) f (y) x y. 4 Demostración. Para todos x, y, tenemos ue: ( f (x) f (y) = + ) ( + ) = + x + y + x + y ( + y) ( + x) y x = = ( + x)( + y) ( + x)( + y) Se observa ue en la fracción anterior, el denominador (+ x)(+y) es positivo. Además, como x, y (por hipótesis), tenemos ue ( + x)( + y) 2 2 = 4, entonces: y x y x f (x) f (y) = = x y. ( + x)( + y) 4 4 Combinando las dos propiedades anteriores, obtenemos ue: 5

6 Proposición 2 (Velocidad de convergencia). Para todo n N: () u n+ 2 4 u n 2 (2) u n 2 /4 n. Demostración. () Como u n (por el Lema 0) y f ( 2) = 2, tenemos por la Prop. ue: u n+ 2 = f (un ) f ( 2) u n 2. 4 (2) La propiedad se demuestra por inducción sobre n N: Caso de base. Tenemos ue u 0 2 = 2 = 2 = /4 0. Paso de inducción. Supongamos ue u n 2 /4 n para algún n N. Según el ítem () y la hipótesis de inducción (HI), tenemos ue: u n+ 2 () u n 2 (HI) 4 4 = 4 n 4 n+ Del ítem (2) de la proposición anterior, se deduce inmediatamente ue: Corolario 3 (Convergencia). La sucesión (u n ) n N converge hacia 2: Esto implica en particular ue: lím u n = 2. a = lím a n = lím u 2n = 2 y b = lím b n = lím u 2n+ = 2. Observación 4. De hecho, la Proposición 2 nos da mucha más información ue el resultado de convergencia (Corolario 3) ue el permite demostrar, en la medida en ue nos da igualmente la velocidad de convergencia. En efecto, el ítem () nos dice ue en cada iteración, se obtiene un término 4 veces más cercano del límite 2 ue el término anterior. Como 4 2 = 6 > 0, este resultado también nos dice ue en 2 iteraciones, se divide la distancia al límite por más de 0, de tal modo ue se gana (aproximadamente) un dígito más de precisión Resumen del método. El método ue seguimos se puede resumir así:. Por un cálculo sencillo, vimos ue 2 es punto fijo de una función f : R + R + sencilla, ue tiene la propiedad de transformar los números racionales en números racionales. 2. Iterando dicha función (a partir de cierta aproximación racional inicial), definimos una sucesión (u n ) n N de aproximaciones racionales del punto fijo Demostramos ue la función f : R + R + es decreciente, lo ue implica ue: (a) Los términos de la sucesión (u n ) n N alternan entre aproximaciones inferiores y superiores del punto fijo 2. Además: (b) Los términos de índice par forman una subsucesión (a n = u 2n ) n N creciente. (c) Los términos de índice impar forman una subsucesión (b n = u 2n+ ) n N decreciente. 4. Al final, mostramos ue la función f satisface la propiedad f (x) f (y) x y 4 (alrededor de 2), lo ue implica la convergencia de la sucesión (u n ) n N hacia el punto fijo 2. Además, vimos ue el factor /4 en la desigualdad anterior nos da una velocidad de convergencia de tipo u n 2 < /4 n. El método anterior es un método muy general ue se puede adaptar para calcular aproximaciones racionales de muchos otros números. (Ejercicio: adaptar el método para calcular aproximaciones racionales de 3, 5, 7 y más generalmente: de p para todo p N.) 6

7 3. Estudio de los racionales u n = p n / n 3.. Observación. En lo anterior, estudiamos la sucesión (u n ) n N (y demostramos su convergencia) con las herramientas usuales del Análisis en R, pero nunca usamos explícitamente la propiedad ue todos los términos u n son números racionales. Ahora, se trata de explotar esta propiedad para obtener más información sobre la sucesión (u n ) n N. Para ello, se observa lo siguiente: Observación 5. Para todo racional p/ Q +, tenemos ue: (3.) f (p/) = p + 2 p + Demostración. En efecto, tenemos ue: f (p/) = + + p/ = + (p + )/ = + p + = (p + ) + p + = p + 2 p + Observación 6. Si p/ Q + (con p, N ) es una fracción irreducible, entonces la fracción (p + 2)/(p + ) (ue define el racional f (p/)) también es irreducible. Demostración. Razonando por contraposición, supongamos ue la fracción (p + 2)/(p + ) sea reducible. Es decir: supongamos ue existe un entero d 2 ue divide a la vez p + 2 y p +. Entonces, el entero d 2 divide la diferencia (p + 2) (p + ) =, y como d divide p +, se deduce ue d divide la diferencia (p + ) = p igualmente. Luego, el entero d 2 divide p y a la vez, lo ue demuestra ue la fracción p/ es reducible Definición de las sucesiones (p n ) n N y ( n ) n N. Las dos observaciones anteriores nos permiten escribir los términos de la sucesión (u n ) n N en la forma u n = p n / n, donde (p n ) n N y ( n ) n N son las sucesiones de enteros naturales definidas por la ecuaciones: (3.2) p 0 = 0 : = p n+ := p n + 2 n n+ := p n + n (n N) Auí, se observa ue las dos sucesiones (p n ) n N (sucesión de los numeradores) y ( n ) n N (sucesión de los denominadores) son definidas por una recurrencia mutua, en el sentido ue p n+ y n+ dependen a la vez de p n y n. Por supuesto, es claro por construcción ue: Proposición 7. Para todo n N: u n = p n / n (fracción irreducible). Demostración. La propiedad se demuestra por inducción sobre n N: Caso de base. Tenemos ue u 0 = = / = p 0 / 0 (fracción irreducible). Paso de inducción. Supongamos ue u n = p n / n, y ue p n / n es irreducible. Según la Obs. 5 y la definición de las sucesiones (u n ) n N, (p n ) n N y ( n ) n N, tenemos ue: u n+ = f (u n ) (HI) = f (p n / n ) = (p n + 2 n )/(p n + n ) = p n+ / n+, la fracción p n+ / n+ = (p n + 2 n )/(p n + n ) siendo irreducible por la Obs. 6. Los primeros términos de las sucesiones (p n ) n N y ( n ) n N son dados en la siguiente tabla: En lógica, el principio de contraposición dice ue las dos implicaciones φ ψ («φ implica ψ») y ψ φ («no ψ implica no φ») son euivalentes. Así, para mostrar ue «p/ reducible (p + 2)/(p + ) irreducible» (φ ψ), se puede suponer ue «(p + 2)/(p + ) es reducible» ( ψ) y demostrar ue «p/ es reducible» ( φ). 7

8 n p n n u n = p n / n 0 3 2, , , , , , , , , , , Volviendo a la convergencia. Es fácil ver ue: Proposición 8. Para todo n N: p n n 2 n. Demostración. La propiedad se demuestra por inducción sobre n N: Caso de base. Tenemos ue = p 0 = 0 = 2 0 (caso de igualdad). Paso de inducción. Supongamos ue p n n 2 n (HI) para algún n N. Entonces: p n+ = p n + 2 n p n + n = n+ y n+ = p n + n (HI) n + n = 2 n (HI) 2(2 n ) = 2 n+. El resultado anterior implica en particular ue u n = p n / n para todo n N (lo ue ya demostramos en el Lema 0 p. 5). Además, las desigualdades p n, n 2 n implican ue: Corolario 9. lím p n = lím n = +. En otro lado, se observa ue: u 2 n ( 2 ) 2 = p2 n 2 n 2 = p2 n 2 2 n 2 n Intuitivamente, se puede ver el entero relativo p 2 n 2 2 n en el numerador de la fracción anterior como una medida (en Z) de la «calidad» de la aproximación racional u n = p n / n respecto al límite 2. En particular, es claro ue: p 2 n 2 2 n < 0 u 2 n = p 2 n/ 2 n < 2 u n < 2 (aproximación inferior) p 2 n 2 2 n > 0 u 2 n = p 2 n/ 2 n > 2 u n > 2 (aproximación superior) El siguiente resultado muestra ue, según esta medida, las aproximaciones racionales p n / n son óptimas, pues la diferencia p 2 n 2 2 n siempre es igual a en valor absoluto: Proposición 20. Para todo n N, tenemos ue: p 2 n 2 2 n = ( ) n+ si n es par = + si n es impar Demostración. La propiedad se demuestra por inducción sobre n N: Caso de base. Tenemos ue p = 2 = = ( )0+. 8

9 Paso de inducción. Supongamos ue p 2 n 2 2 n = ( ) n para algún n N. Entonces: p 2 n+ 22 n+ = = (p n + 2 n ) 2 2(p n + n ) 2 (p 2 n + 4p n n n) 2(p 2 n + 2p n n + 2 n) = p 2 n + 4p n n n 2p 2 n 4p n n 2 2 n = p 2 n n = (p 2 n 2 2 n) = (HI) ( ) n = ( ) n+ La proposición anterior nos da una nueva demostración de la propiedad de alternancia entre las aproximaciones inferiores y superiores de 2 (Prop. 7), pues: Cuando n es par, tenemos ue p 2 n 2 2 n = < 0, entonces u n = p n / n < 2. Cuando n es impar, tenemos ue p 2 n 2 2 n = > 0, entonces u n = p n / n > 2. Además, la igualdad p 2 n 2 2 n = ( ) n+ implica ue u 2 n 2 = p2 n 2 2 n 2 n lo ue demuestra de nuevo ue lím n + u n = 2. = ( )n+ 2 n 0, n + 4. Cálculo de los dígitos de 2 en base 0 En esta sección, se muestra como utilizar las aproximaciones racionales u n = p n / n de 2 para calcular efectivamente los dígitos (exactos) de 2 en base División euclidiana. El algoritmo ue vamos a presentar se basa en una operación fundamental de la aritmética: la división euclidiana. Recordemos ue: Teorema 2 (División euclidiana). Para todos p, N, 0, existen c, r N tales ue p = c + r con 0 r <. Además, los dos enteros c, r N son únicos; se llaman respectivamente el cociente y el resto de la división euclidiana de p por. Ejemplo 22 (División euclidiana de 25 por 7). Si p = 25 y = 7, se observa ue 25 = , con 0 5 < 7 ; así, los enteros c = 30 y r = 5 son el cociente y el resto de la división euclidiana de 25 por 7. En lo siguiente, escribiremos: p («p dividido por») el cociente de la división euclidiana de p por ; p mód («p módulo») el resto de la división euclidiana de p por. Así, por definición, p y p mód son dos enteros naturales tales ue: (4.) p = (p ) + p mód y 0 p mód < (p, N, 0) Dividiendo ambos lados por 0, se obtiene ue: (4.2) p = p + p mód con 0 p mód < (p, N, 0) En la escritura anterior, p representa la parte entera del número racional p/, mientras (p mód )/ representa la parte fraccionaria de p/. 9

10 4.2. Cálculo de la representación decimal de un número racional. Ahora, se considera un número racional no negativo, dado en la forma p/, con p N y N. Se trata de determinar la representación decimal de p/, es decir, la escritura en la forma p = d 0, d d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 donde: d 0 N es la parte entera de p/; d, d 2, d 3, d 4, d 5, d 6 [0..9] son los dígitos de la parte fraccionaria de p/. Según la descomposición (4.2), la parte entera de p/ es dada por d 0 := p ( N), mientras la parte fraccionaria de p/ es dada por: p mód = 0, d d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 Ahora, se trata de extraer los dígitos d, d 2, d 3, d 4, d 5, d 6,... de dicha parte fraccionaria. Para ello, se considera el nuevo numerador p := 0(p mód ), y se observa ue: p p mód = 0 = d, d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 En efecto, la nueva fracción p / = 0(p mód )/ representa la parte fraccionaria de p/ multiplicada por 0, de tal modo ue su representación decimal contiene la misma sucesión de dígitos, pero desplazada de un rango hacia la izuierda: 0 0, d d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 = d, d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 Así, la parte entera de la nueva fracción p / es el primer dígito d de la parte fraccionaria de p/, lo ue nos da d := p. En otro lado, la parte fraccionaria de p / es dada por: p mód = 0, d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 De nuevo, se introduce el numerador p 2 := 0(p mód ), y se observa ue: p 2 = 0 p mód = d 2, d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 (desplazando los dígitos un rango más hacia la izuierda). La parte entera del racional p 2 / nos da el segundo dígito d 2 := p 2 mód, mientras la parte fraccionaria de p 2 / es dada por: p 2 mód = 0, d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 (etc.) Iterando el proceso, se construye una sucesión de numeradores (p n ) n N, auella es definida 2 por la relación de recurrencia: (4.3) p 0 := p y p n+ := 0(p n mód ) (n N) Luego se verifica ue: Proposición 23 (Caracterización de los dígitos de p/). Para todo n N: () p n / = d n, d n+ d n+2 d n+3 d n+4 (en base 0) (2) p n = d n Demostración. Recordemos ue por definición, d 0 N es la parte entera del racional p/, mientras d, d 2, d 3, d 4 [0..9] son los dígitos de la parte fraccionaria de p/ en base 0. El ítem () se demuestra por inducción sobre n N: 2 Cuidado! La sucesión (p n ) n N definida auí es distinta de la sucesión (p n ) n N definida en la Sección 3. 0

11 Caso de base. Tenemos ue p 0 / = p/ = d 0, d d 2 d 3 d 4 por definición. Paso de inducción. Supongamos ue p n = d n, d n+ d n+2 d n+3 d n+4 para algún n N. Entonces, la parte fraccionaria de p n / es dada por p n mód Como p n+ = 0(p n mód ), se deduce ue p n+ = 0 pn mód = 0, d n+ d n+2 d n+3 d n+4 = d n+, d n+2 d n+3 d n+4 d n+5 (desplazando los dígitos de un rango hacia la izuierda). (2) Sigue inmediatamente de (), tomando la parte entera p n = d n. Ejemplo 24 (Representación decimal de 25/7). La siguiente tabla ilustra el funcionamiento del algoritmo para el número racional 25/7: Iteración n Numerador p n Denominador Cociente d n = p n 30, Resto p n mód Se observa ue la sucesión (p n ) n N es periódica de período 6 a partir del rango (p n+6 = p n para todo n ) así como la sucesión de dígitos (d n ) n N, de tal modo ue: 25/7 = 30, (la raya superior indica ue el motivo se repite al infinito). Observación 25. Más generalmente, se puede demostrar ue la representación decimal de cualuier número racional es periódica a partir de cierto rango: p/ = ± parte entera, parte inicial parte periódica } {{ } parte fraccionaria Esta propiedad caracteriza los números racionales, en el sentido ue un número real es un número racional si y sólo si su representación decimal es periódica a partir de cierto rango: / =, =, 0 /2 = 0, = 0, 50 /3 = 0, = 0, 3 /4 = 0, = 0, 250 /5 = 0, = 0, 20 /6 = 0, = 0, 6 /7 = 0, = 0, /9 = 0, = 0, /7 = 0, = 0, /224 = 0, = 0, =, (ningún período)

12 4.3. Extracción de los dígitos de 2. El la sección anterior, presentamos un algoritmo para extraer los dígitos de la representación decimal de cualuier número racional no negativo. Combinándolo con la sucesión (u n ) n N de las aproximaciones racionales de 2, se puede utilizar dicho algoritmo para extraer los dígitos del número irracional 2. En efecto, demostramos (Prop. 7 p. 4) ue los términos de la sucesión (u n ) n+ definida por u 0 := y u n+ := f (u n ) = + + u n (n N) alternan entre aproximaciones inferiores de 2 (términos de índice par) y aproximaciones superiores (términos de índice impar), de tal modo ue el número 2 siempre se encuentra entre dos términos consecutivos u n y u n+ (para todo n N). Más precisamente: { un < 2 < u n+ si n es par u n+ < 2 < u n si n es impar Ahora, consideremos dos términos consecutivos u n y u n+ (n N). Utilizando el algoritmo descrito en la Sección 4.2, se pueden extraer los dígitos de la representación decimal de los dos números racionales u n y u n+ : u n = d 0, d d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 u n+ = d 0, d d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 Además, como los dos racionales u n y u n+ son distintos (son separados por el número 2), sus representaciones decimales (d n ) n N y (d n) n N son distintas. Lo ue significa ue existe un índice k N tal ue d k d k. Tomando el primer índice k N (es decir: el índice más peueño) tal ue d k d k, tenemos ue d i = d i para todo índice i < k, lo ue implica ue las representaciones decimales de los dos términos u n y u n+ comparten el mismo prefijo d 0, d d k = d 0, d d k, llamado el prefijo común más largo de las dos representaciones decimales. Por supuesto, es claro ue cuanto más cercanos son u n y u n+, más largo es dicho prefijo común. Para concluir, se utiliza el siguiente resultado (admitido): Proposición 26 (Prefijo común). Sean a, b R + tales ue a < b. Si las representaciones decimales de a y de b comparten un mismo prefijo d 0, d,..., d k (k N), es decir: a = d 0, d d k otros dígitos de a... b = d 0, d d k otros dígitos de b..., entonces para todo real c [a, b], la representación decimal de c comienza por dicho prefijo: c = d 0, d d k otros dígitos de c... En nuestro caso, como el número irracional 2 se encuentra entre u n y u n+, la propiedad anterior implica ue la representación decimal de 2 comienza necesariamente por el prefijo común d 0, d d k, es decir: 2 = d0, d d k otros dígitos de 2... Ejemplo 27. Se sabe ue u 0 < 2 < u, donde: u 0 = 89/574 =, u = 960/3860 =,

13 (utilizando el algoritmo de la Sección 4.2 para extraer los dígitos de los racionales u 0 y u ). Como las representaciones decimales de u 0 y u tienen, como prefijo común más largo, se deduce de la Prop. 26 ue la representación decimal de 2 comienza por: 2 =, (8 dígitos exactos) 4.4. El algoritmo de extracción. La discusión en la sección anterior nos da naturalmente el siguiente algoritmo para extraer los dígitos del número irracional 2:. Calcular la sucesión de términos (u n = p n / n ) 0 n N hasta cierto índice N, utilizando las ecuaciones de recurrencia (3.2) p Con el algoritmo de la Sección 4.2, calcular en paralelo los dígitos de los términos u N = p N / N y u N = p N / N hasta ue los dígitos no coincidan más. Esta operación permite determinar el prefijo común más largo entre las representaciones decimales de u N y u N. 3. Devolver el prefijo común, ue también es un prefijo de la representación decimal de 2. El programa en Pascal. Se encuentra en el Cuadro p. 4 una implementación del algoritmo anterior en Pascal. En razón de las limitaciones del tipo de datos utilizado para representar los enteros naturales (véase Obs. 28 más abajo), sólo se pueden calcular las aproximaciones racionales u 0,..., u n hasta el índice n = 47 sin superar la capacidad de representación. Sin embargo, este programa ya permite calcular los primeros 35 dígitos de la representación decimal de 2 (después de la coma), como indicado en la salida producida por la ejecución: Aproximación #46 = / Aproximación #47 = / raíz(2) =, (35 dígitos) Observación 28. La principal limitación de una implementación del algoritmo anterior se encuentra en el tipo de datos usado para representar los numeradores y denominadores de las fracciones u n = p n / n. En el programa del Cuadro, se utilizó el tipo int64 (enteros de 64 bits con signo), ue permite representar todos los enteros naturales entre 2 63 y En la práctica, se observa ue el tipo int64 permite calcular las representaciones decimales de todos los términos u n hasta n = 47 sin superar la capacidad del tipo 3. Sin embargo, se puede remediar la limitación anterior utilizando una librería específica para manipular enteros con tamaño cualuiera, por ejemplo: la librería GMP (GNU Multiple Precision). En este caso, las únicas limitaciones son las de la memoria y del tiempo disponibles 4. 3 El compilador fpc (freepascal) ofrece una opción de compilación -Co ue genera código suplementario para verificar dinámicamente ue el cálculo aritmético no supera los límites de los tipos enteros utilizados. La ejecución del programa compilado con esta opción (y con la constante num_iter = 48) indica un desbordamiento de capacidad durante el cálculo de la representación decimal de u Adaptando el programa del Cuadro a los enteros de la librería GMP, el autor calculó los primeros términos de la sucesión (u n ) n N y produjo dígitos exactos de 2 en 34 minutos. 3

14 { La siguiente función calcula e imprime los dígitos comunes iniciales 2 de dos fracciones num/den y num2/den2 en base 0, y devuelve el 3 número de dígitos producidos después de la coma decimal. 4 5 Los numeradores/denominadores son representados con el tipo "int64", 6 ue permite representar todos los enteros entre -2^63 y 2^63 -. } 7 8 function digitos_comunes(num, den, num2, den2 : int64) : int64; 9 var 0 dig, dig2 : int64; { dígito corriente } k : int64; { posición del dígito } 2 begin 3 dig := num div den; { parte entera de num/den } 4 dig2 := num2 div den2; { parte entera de num2/den2 } 5 k := 0; 6 while dig = dig2 do { mientras dig y dig2 coinciden... } 7 begin 8 write(dig); 9 if k = 0 then 20 write(, ); { imprime la coma decimal } 2 { cálculo del próximo dígito } 22 num := 0 * (num mod den); { 0 <= num/den < 0 } 23 num2 := 0 * (num2 mod den2); { 0 <= num2/den2 < 0 } 24 dig := num div den; { 0 <= dig < 0 } 25 dig2 := num2 div den2; { 0 <= dig2 < 0 } 26 k := k + 27 end; 28 writeln(... ); 29 digitos_comunes := k - { no se cuenta la parte entera } 30 end; 3 32 { Debido a las limitaciones del tipo "int64", no se pueden calcular más de iteraciones de la sucesión (u_n) sin superar la capacidad del tipo. } const num_iter = 47; { El siguiente programa calcula num_iter iteraciones de la sucesión (u_n), 38 usando los últimos dos términos para determinar los dígitos de srt(2). } var 4 n, k : int64; 42 num0, den0 : int64; { fracción anterior } 43 num, den : int64; { fracción corriente } begin 46 num := ; { numerador de u_0 } 47 den := ; { denominador de u_0 } 48 for n := to num_iter do 49 begin 50 num0 := num; 5 den0 := den; 52 { Cálculo de u_n = num/den a partir de u_(n-) = num0/den0 } 53 num := num0 + 2 * den0; 54 den := num0 + den0; 55 end; 56 { Imprime los dos últimos términos } 57 writeln( Aproximación #, num_iter -, =, num0, /, den0); 58 writeln( Aproximación #, num_iter, =, num, /, den); 59 { Calcula e imprime los dígitos comunes de dichos términos } 60 write( raíz(2) = ); 6 k := digitos_comunes(num0, den0, num, den); 62 writeln( (, k, dígitos después de la coma) ) 63 end. Cuadro. Cálculo de los dígitos de 2 (base 0) en Pascal 4