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- María del Pilar Murillo Saavedra
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2 PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Dada la sucesión de números reales con 1.1 Estudiar su monotonía 1.2 Probar que está acotada 1.3 Probar que converge y su límite es 5/3 1.4 Encontrar a partir de qué término de la sucesión en adelante éstos pertenecen al intervalo Monótona? Como La SUCESIÓN es MONÓTONA ESTRICTAMENTE CRECIENTE Acotada? Demos una lista de términos de la SUCESIÓN : Vamos a probar que 2 es una cota de la sucesión : de números reales Página nº 2
3 6 2 es una COTA de la SUCESIÓN 6 La sucesión está ACOTADA 1.3.-? Bastará, pues, tomar Y, si queremos dar un término concreto Además, al tener límite finito Y la SUCESIÓN es CONVERGENTE. [ Recuerda que E(x) representa la parte entera de "x", es decir, el mayor número entero menor o igual que "x", por ejemplo : E(2) = 2 ; E(-3) = -3; E(-4, 5) = -5 ] n 0 / si n $ n 0. a n 0? Se nos plantea el dilema de saber si tomamos en la definición, para obtener el n 0 correspondiente. Averigüemos primero, por donde "entran" los términos de la SUCESIÓN dentro del intervalo. Vimos en el apartado 1.1 que la SUCESIÓN es MONÓTONA CRECIENTE, por lo tanto, los términos de la SUCESIÓN van aumentando de valor y se acercan al de números reales Página nº 3
4 límite por la izquierda, tomaremos, pues,. Sustituyendo en el resultado del apartado 1.3, se tiene : A partir de a 155 los términos de la SUCESIÓN se encuentran en el intervalo 2.- Sea la SUCESIÓN de números reales definida por : x 1 = 2 Probar, por inducción, que x n $ 1 œ n 0 ù 2.1 Probar de es monótona decreciente 2.2 Discutir la existencia de límite y, en caso afirmativo, hallarlo x n $ 1 œ n 0 ù? 6 si n = 1 x 1 = 2 $ 1. Cierto 6 Suponemos cierta para n = k, es decir, x k $ 1 ( Hipótesis de Inducción ) 6 si n = k+1 6 ( Sustituyendo n = k+1 en la expresión de x n ) Si hacemos x k+1-1 tenemos: de números reales Página nº 4
5 6 Por inducción x n $ 1 œ n 0 ù, por tanto, la sucesión está acotada inferiormente monótona decreciente? Estudiemos si la diferencia x n+1 - x n < 0 œ n 0 ù 6 Si n = 1 Cierta 6 Suponemos cierta para n = k, es decir, x k+1 - x k < 0 ( Hipótesis de Inducción ) 6 Si n = k+1 Como, por hipótesis x k+1 - x k < 0 y x n $ 1 œ n 0 ù 6 La propiedad es cierta y x n+1 - x n < 0 Y x n+1 < x n œ n 0 N 6 es MONÓTONA DECRECIENTE ESTRICTAMENTE 2.3.? Al ser una sucesión de números reales monótona decreciente y acotada inferiormente 6 es CONVERGENTE de números reales Página nº 5
6 3.- Hallar Dividiendo numerador y denominador por n 3 De otra forma : Sacando factor común en numerador y denominador la máxima potencia de n.(n 3 ) De otra : Utilizando INFINITOS EQUIVALENTES de números reales Página nº 6
7 Y, de otra!: Utilizando Cálculo Rápido en expresiones Racionales [ Puesto que es tan frecuente esta indeterminación, utiliza en los problemas la técnica que estimes más sencilla] 4.- Sean sucesiones de números reales positivos / a n # b n œ n 0 ù y. Analizar si es CONVERGENTE y hallar su límite Si ambas sucesiones son de términos positivos y a n # b n 5.- Sean y sucesiones de números reales tales que : Probar que de números reales Página nº 7
8 Propongamos la definición de ambos límites, con alguna peculiaridad : Y œ g > 0 sea n 0 = máx { n 1, n 2 } / si n $ n 0 [ NOTA : Tomando n 0 = máx. { n 1, n 2 } podemos aplicar las dos desigualdades de las definiciones anteriores ] 6.- Sea una Sucesión Convergente /, y sea b 0 ú / b < a. Probar que existe n 0 0 ù / œ n $ n 0, a n > b. < Si Y aplicando la definición : Aplicando las propiedades del valor absoluto: -g < a n - a < g Y sumando a 0 ú Y a - g < a n < a + g En particular, como a > b, a - b > 0. Tomando g = a - b Y n 0 si n $ n 0, a-(a -b) < a n < a +(a -b) b < a n < 2a - b a n > b c.q.d. 7.- Hallar Utiliza la técnica aplicada en este límite, para resolver las indeterminaciones originadas por un cociente de logaritmos como el del problema. de números reales Página nº 8
9 Operando con cuidado Observa : Una nueva técnica para resolver la indeterminación. Hemos dividido numerador y denominador por ln(n), expresión conveniente en este problema y similares. La preparación del límite, si te fijas bien, también ha resultado muy elegante 8.- Dada la SUCESIÓN n $ 2. Probar que es CONVERGENTE y hallar su límite. Sabemos, por teoría, que toda sucesión Monótona y Acotada es CONVERGENTE. MONÓTONA? Vamos a probar por Inducción sobre n, que a n+1 - a n > 0 œ n 0 ù si n = 1 de números reales Página nº 9
10 si n = k Suponemos a k+1 -a k > 0 ( Hipótesis Inducción ) si n = k+1 < es MONÓTONA ESTRICTAMENTE CRECIENTE ACOTADA? Vamos a probar por inducción sobre n que œ n 0 ù Como si n = 1 es de términos positivos, *a n * = a n < 5. Se cumple si n = k < 5 ( Hipótesis de Inducción ) si n = k+1 < Se cumple la Inducción 6 está ACOTADA Por tanto, es CONVERGENTE. Sea de números reales Página nº 10
11 9.- Hallar Multiplicamos y dividimos por el conjugado : 9.- Hallar Multiplicamos y dividimos por conjugado de números reales Página nº 11
12 10.- Hallar Preparemos el límite antes de resolverlo : de números reales Página nº 12
13 [ Observa que, con la separación propuesta, hemos resuelto la indeterminación. Con n 2 +AAA+ hemos restado n y con 4n 2 + AAA hemos restado 2n Comprendes? ] 11.- Hallar de números reales Página nº 13
14 Un sencillo problema con la indeterminación Hallar Preparemos el límite antes de resolverlo, teniendo en cuenta que Afianzando la idea de preparar las expresiones matemáticas antes de operar con ellas. de números reales Página nº 14
15 13.- Hallar una relación entre, q 0. Es fácil comprobar que, en ambos casos se trata de la Indeterminación 1 4 Así pues, para que ambos límites sean iguales : p - 4q = 3 NOTA : En algunas fases del cálculo de un límite obviamos ciertos cálculos por elementales y repetitivos. 14 Hallar de números reales Página nº 15
16 Aplicando la técnica de la raíz, tenemos : 15.- Hallar Expresando en forma de radical y, aplicando la técnica de la raíz : 16.- Hallar Operando como antes y empleando la expresión generalizada de la técnica de la raíz : de números reales Página nº 16
17 17.- Hallar Aplicamos la técnica de Stolz : [ es monótona divergente y n 2 > 0 œ n 0 ù ] 18.- Hallar Como l n (n+1) es monótona ( ln (n+1) > 0) divergente, aplicamos la técnica de Stolz de números reales Página nº 17
18 19.- Hallar Como es DIVERGENTE y MONÓTONA aplicamos el criterio de Stolz. [ Desarrollando por el BINOMIO DE NEWTON : de números reales Página nº 18
19 20.- Hallar [ Hay n términos como nos indica la estructura de los términos del denominador ]. Vamos a emplear la técnica del ENCAJE para resolver el límite. [ Técnica del "bocata" para los modernos ó del EMPAREDADO ] Observemos que : S Hay n sumandos en el término general S es el mayor de todos [ tiene el menor denominador ] de números reales Página nº 19
20 S es el menor de todos [ tiene el mayor denominador ] Por tanto : Por tanto, en virtud del teorema del ENCAJE : 21.- Hallar Empleando el infinitésimo equivalente : y sustituyendo, queda : de números reales Página nº 20
21 [ Diversas formas de resolver una misma indeterminación ] 22. Hallar- Sea L = e 8 donde : Empleando en el numerador, en el denominador no podemos pues forma parte de una resta : de números reales Página nº 21
22 [ Un bonito problema para delimitar el uso de INFINITÉSIMOS ] 23.- Hallar [ Para que cos a 0 ] Sea L = e 8 donde : [ Recordemos un poco de trigonometría : cos ( " + $ ) = cos "A cos $ - sen "A sen $ ] [ Una idea feliz, separar convenientemente en dos límites, buscando infinitésimos equivalentes ] [ Empleando infinitésimos : y, en ambos casos ] de números reales Página nº 22
23 24.- Hallar Sea L = e 8 donde : 25.- Dada la sucesión Probar que es una SUCESIÓN REGULAR ( de CAUCHY) REGULAR? es una SUCESIÓN REGULAR ] de números reales Página nº 23
24 Bastará tomar, pues : 26.- Hallar Empleando la equivalencia de STIRLING de números reales Página nº 24
25 27.- Hallar Preparemos el interior del radical Por lo tanto : Empleando la equivalencia de STIRLING tanto para n! como para (2n)! : 28.- Hallar el límite de a n siendo Hallemos el término general. Como no observamos una expresión geométrica vamos a buscarlo mediante un polinomio : NUMERADOR de números reales Página nº 25
26 DENOMINADOR Variando la técnica habitual del : de números reales Página nº 26
27 29.- Hallar el límite de a n siendo Hallemos en primer lugar, el término general. Para ello, trabajaremos con las tres sucesiones que forman parte de él. Por tanto, de números reales Página nº 27
28 [ Aplicando propiedades de los logaritmos ] 30.- Hallar el límite Ya que tenemos una raíz cúbica, vamos a emplear : de números reales Página nº 28
29 31.- Hallar el límite Bien, ya está listo. Vamos a dar dos formas de resolverlo : de números reales Página nº 29
30 32.- Sabiendo que. Hallar de números reales Página nº 30
31 33.- Dada la SUCESIÓN Estudiar la convergencia según a 0 ú Recordemos que una sucesión es convergente si Discutamos, pues, el valor del límite de a n según valores de "a", tomando como referencia el valor 3 del grado del denominador 6 Si a = 3 pues el grado del numerador = grado del denominador 6 Si a < 3 pues el grado del numerador < grado del denominador 6 Si a > 3 pues el grado del numerador > grado del denominador Así pues, para valores de a 0 ú a # 3 la SUCESIÓN es CONVERGENTE Hallar el límite a, b, c > 0 de números reales Página nº 31
32 35.- Hallar el límite de números reales Página nº 32
33 36.- Hallar el límite 37.- Hallar el límite Sea : de números reales Página nº 33
34 Límites auxiliares : 38 Hallar el límite de números reales Página nº 34
35 Razonemos con una propiedad que dejamos en su rincón de la teoría: Sea a n = 1 n + (-1) n Y está ACOTADA pues *a n * # 2 œ n 0 ù Sea b n = Y es tal que [ Ha estado bien el razonamiento, eh? ] En cambio, = ò 39 Hallar [ Cosas de la matemática ] [ Cómo seguir?. Las técnicas usuales del no nos sirven,... tal vez la técnica de STOLZ. ] Probemos 2 n > 0 y diverge a infinito [ Esta técnica deberemos dominarla para el trabajo que desarrollaremos en el tema de Series, al sumar las Aritmético-Geométricas ] de números reales Página nº 35
36 40 Hallar Aplicando la técnica o Criterio de Stolz Aplicando de nuevo Stolz 41 Aplicando la definición de límite, demostrar que En efecto : œ M > 0 n 0 (M) / si n $ n 0 Y > M Busquemos la relación n 0 - M, para ello recurriremos a un habilidoso juego de acotaciones en la expresión > M de números reales Página nº 36
37 Bastará tomar, pues, n 0 > M œ M > 0 para que > M 42 Hallar el valor de a para que las dos sucesiones siguientes tengan el mismo límite S Hallemos ambos límites : S [ 0 0 Indeterminación. Técnica de la Raíz ] = Indeterminación. Cálculo rápido Expresiones Racionales ]= 1 S Indeterminación. Operando ] = = = [Dividiendo por 6 n ] = de números reales Página nº 37
38 para a = 1 ambas sucesiones tienen el mismo límite. 43 Probar que y son INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES S Tendremos que comprobar que el límite del cociente de ambos INFINITOS es 1 Sea, pues, Aplicamos la técnica de Stolz ] = [ Operamos y simplificamos ] * = ln e = 1 Y ~ 44 Hallar de números reales Página nº 38
39 S = [ 1 4 Indeterminación. Técnica del número e ] = e 8 la técnica de Stolz ] Indeterminación. Optamos por Indeterminación Cálculo rápido Expresiones Racionales ] = ln 1 = 0 = e 0 = 1 45 Hallar S = 1 + ò = ò [ Ni 1 ni -1 ni ningún otro número cumplen la definición de límite ] de números reales Página nº 39
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