Tardó en darse cuenta que había perdido casi cinco años tratando de aprender las materias en vez de tener un profesor experto.

Transcripción

1 George Boole Nacido el 2 de Noviembre de 1815 en Lincoln, Lincolnshire (Inglaterra), primero concurrió a una escuela en Lincoln, luego a un colegio comercial. Sus primeras instrucciones en matemática, sin embargo fueron de su padre quién le dio también a George la afición para la construcción de instrumentos ópticos. El interés de George se volvió a los idiomas y recibió instrucción en Latín de una librería local. A la edad de 12 años había llegado a ser tan hábil en Latín que provocaba controversia. Él tradujo del latín una Oda del poeta Horacio de lo cual su padre estaba tan orgulloso que tenía su publicación. No obstante el talento era tal que un maestro de escuela local cuestionaba que nadie con 12 años podría haber escrito con tanta profundidad. Boole no estudió para un grado académico, pero a la edad de 16 años fue un profesor auxiliar de colegio. Mantuvo su interés en idiomas e intentó ingresar a la Iglesia. Desde 1835, sin embargo, pareció haber cambiado de idea ya que abrió su propio colegio y empezó a estudiar matemáticas por si mismo. Tardó en darse cuenta que había perdido casi cinco años tratando de aprender las materias en vez de tener un profesor experto. En ese periodo Boole estudió los trabajos de Laplace y Lagrange, tomando apuntes, los cuales llegaron a ser más tarde las bases para sus primeros papeles matemáticos. Comenzó a estudiar álgebra y Aplicación de métodos algebraicos para la solución de ecuaciones diferenciales fue publicada por Boole en el Transaction of the Royal Society y por este trabajo recibió la medalla de la Real Sociedad. Su trabajo matemático fue el comienzo que le trajo fama. Boole fue nominado para una cátedra de matemáticas en el Queens College, en 1849, donde enseñó por el resto de su vida, ganándose una reputación como un prominente y dedicado profesor. 1

2 En el 1854 publicó Las leyes del pensamiento sobre las cuales son basadas las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole aproximó la lógica en una nueva dirección reduciéndola a una álgebra simple, incorporando lógica en las matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan formas lógicas. Su álgebra consiste en un método para resolver problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios 1 y 0 y a tres operadores: AND (y), OR (o) y NOT (no). Comenzaba el álgebra de la lógica llamada Algebra Booleana la cual ahora encuentra aplicación en la construcción de computadores, circuitos eléctricos, etc. Boole también trabajó en ecuaciones diferenciales, el influyente Tratado en Ecuaciones Diferenciales apareció en 1859, el cálculo de las diferencias finitas, Tratado sobre el Cálculo de las Diferencias Finitas (1860), y métodos generales en probabilidad. Publicó alrededor de 50 escritos y fue uno de los primeros en investigar las propiedades básicas de los números, tales como la propiedad distributiva. Muchos honores le fueron concedidos a Boole, fue reconocido como el genio en su trabajo recibió grandes honores de las universidades de Dublin y Oxford y fue elegido miembro académico de la Real Sociedad (1857). Sin embargo, su carrera que comenzó un tanto tarde terminó infortunadamente temprano cuando murió a la edad de 49 años, el 8 de Diciembre de 1864 en Ballintemple, County Cork (Irlanda). Las circunstancias son descritas por Macfarlane de la siguiente forma: "Un día en el 1864 camino desde su casa al colegio, una distancia de dos millas, con una lluvia torrencial y luego dio una conferencia con la ropa empapada. El resultado fue un resfrío febril el cuál pronto dañó sus pulmones y terminó su carrera" Lo que a Macfarlane le faltó decir es que la esposa de Boole (Mary nieta de Sir George Everest, de quién después fue nombrada la montaña) creía que el remedio podría ser la causa. Ella puso a Boole en cama y arrojó cubos de agua sobre la cama, ya que su enfermedad había sido causada por mojarse. 2

3 El trabajo de Boole llegó a ser un paso fundamental en la revolución de los computadores, cuando Claude Shannon en 1938, demostró como las operaciones booleanas elementales, se podían representar mediante circuitos conmutadores eléctricos, y como la combinación de estos podía representar operaciones aritméticas y lógicas complejas. Shannon demostró asimismo que el álgebra de Boole se podía utilizar para simplificar circuitos conmutadores. Claude Shannon Ingeniero Electrotécnico y Matemático, nacido el 30 de abril de 1916 en Gaylord, Michigan (Estados Unidos), considerado como el padre de la era de las comunicaciones electrónicas. Realizó sus estudios superiores en la Universidad de Michigan. En el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) obtuvo su doctorado en el año de Mientras trabajaba para los Laboratorios Bell formuló una teoría que explicaba la comunicación de la información, conocida como La Teoría de la Información. La teoría matemática de la comunicación era el clímax del matemático Shannon y de sus investigaciones en la ingeniería. El concepto de la entropía es una característica importante de la teoría de Shannon, esto es que en el envío de información existe un cierto grado de incertidumbre de que el mensaje llegue completo. Shannon demostró en 1938, cómo las operaciones booleanas elementales, se podían representar mediante circuitos commutadores eléctricos, y cómo la combinación de circuitos podía representar operaciones aritméticas y lógicas complejas. Además demostró como el álgebra de Boole se podía utilizar para simplificar circuitos conmutadores. El enlace entre lógica y electrónica estaba establecido. 3

4 Algebra Booleana En esta algebra una variable booleana puede tomar solo dos valores Falso o Verdadero, en donde para simplificar su expresión lo representamos de una manera binaria de modo que el valor de Falso lo asociamos con el valor de cero, y el verdadero con el valor de uno. Falso =0, Verdadero = 1 En un circuito con un interruptor se puede representar de la siguiente forma: Falso Interruptor abierto A=0 Verdadero Interruptor cerrado A=1 Tabla de verdad Por medio de una Tabla de verdad podemos representar el comportamiento de una función Booleana, dicha tabla está construida básicamente por tres columnas en la primera m que representa el numero de combinación, en la del medio los posibles valores de entradas y la ultima la salida. m Entrada A Salida S

5 En el caso que tengamos dos variables booleanas se tienen hasta cuatro posibles combinaciones como se muestra a continuación: Combinación 0 (0,0) m Entradas A B S Combinación 1 (0,1) m Entradas A B S Combinación 2 (1,0) m Entradas A B S Combinación 3 (1,1) m Entradas A B S Las cuatro combinaciones se diferencian asignando los números del 0 al 3 que corresponden a su equivalente en binario. 5

6 Para tres variables se tienen hasta 8 combinaciones m que van del 0 al 7 como se muestra en la tabla siguiente: Actividad 1 En la columna S (salida) de tabla de verdad escriba con un valor 1 (uno) aquellas combinaciones en donde enciende el foco y un valor de 0 (cero) en donde permanece apagado para el siguiente circuito. m A B C S Para cuatro variables booleanas se tienen hasta 16 combinaciones, que van del 0 al 15 en binario como se muestra en la tabla siguiente: m A B C D S

7 Así podemos concluir que el número de combinaciones (m) posibles depende directamente del la cantidad de variables (N) y crecen en potencias enteras de dos como lo muestra la siguiente formula: Variables Combinaciones m= 2 N

8 Actividad 2 Asigne los valores correspondientes de las entradas A, B, C, D y E para cada una de las combinaciones de la taba m A B C D E S

9 Operaciones Booleanas Operador And (Y) Condición Condición (Cláusula obligatoria de la que depende la validez de un acto) La operación And esta relacionada con el término de condición y es exactamente igual que la multiplicación ordinaria de unos y ceros. Una salida igual a 1 ocurre sólo en el único caso donde todas las entradas son 1. La salida es cero cuando una o más de las entradas son igual 0. El símbolo de la compuerta And se muestra en la figura. La expresión matemática de esta operación puede ser representada por: S = A B, o también S = A*B, S = A B. En otras palabras, la compuerta And es un circuito que opera en forma tal que su salida es ALTA, sólo cuando todas sus entradas son ALTAS. O también su salida es BAJA con cualquiera que sus entradas son BAJAS. La Tabla de Verdad para la compuerta And de dos entradas A y B y la salida S se muestra a continuación: Entradas Salida m A B S Tabla de Verdad Diagrama de tiempos. 9

10 Circuito Eléctrico para un operador And en donde el foco enciende solo cuando los interruptores A y B están en posición 1 (cerrados). La operación And en un diagrama de la teoría de conjuntos se representa con la intersección A B. Circuito integrado TTL con 4 operadores And de 2 entradas Nota: TTL es la tecnología Transistor Transistor Logic. m A B C And Operación And de tres entradas implementada con 2 And de dos entradas Tabla de Verdad para una operación And de tres entradas 10

11 Otra opción para la implementación de las funciones booleanas es por medio de relevadores en donde un relevador es tradicionalmente un dispositivo electromagnético, en donde con una pequeña señal de control se pueden conectar o desconectar cargas de gran potencia. Un relevador se compone básicamente de una bobina y juegos de contactos que pueden ser normalmente abiertos (NO) o Normalmente cerrados ( NC), los contactos NO al no tener energía la bobina permanecerán abiertos y al energizar la se cerraran, los contactos NC permanecen cerrados al no recibir energía la bobina y al momento de energizar la bobina se abren. A continuación se muestran los símbolos de las partes de un relevador: Bobina Contacto normalmente abierto Contacto normalmente Cerrado En la represtación del diagrama escalera con el uso de relevadores la operación AND de dos entradas se representa de la siguiente forma Actividad 3 Dibuje el diagrama del circuito escalera para una operación AND de tres entradas. 11

12 Operador Or (o) o Alternativa Alternativa (Opción entre dos cosas, una, otra o ambas) La operación Or esta relacionada con el término de alternativa y produce un resultado 1, cuando cualquiera de las variables de entrada es 1. La operación Or, genera un resultado de 0 sólo cuando todas las variables de entrada son 0. El símbolo de la compuerta Or se muestra en la figura adjunta, La expresión matemática de la operación Or es: X = A + B o también X = A U B. La Tabla de Verdad para la compuerta Or de dos entradas A y B y la salida S se muestra a continuación: m A B S Circuito Eléctrico para un operador Or en donde el foco enciende cuando cualquiera de los interruptores A o B están en posición 1 o ambos (cerrados). La operación OR en un diagrama de la teoría de conjuntos se representa con la unión AUB. Circuito integrado TTL con 4 operadores Or de 2 entradas. 12

13 m A B C Or Operación Or de tres entradas implementada con 2 Or de dos entradas Tabla de Verdad para una operación Or de tres entradas En la represtación del diagrama escalera con el uso de relevadores la operación OR de dos entradas se representa de la siguiente forma Actividad 4 Dibuje el diagrama del circuito escalera para una operación OR de tres entradas A, B y C. 13

14 Operador Not (negar) La operación Not esta definida para una sola variable y es muy simple ya que solo tiene dos posibilidades si la entrada es cero la salida es igual a uno y viceversa. Símbolo Tabla de Verdad Circuito integrado TTL con 6 operadores Not m A A Diagrama de tiempos Para el operador Not con relevadores se utiliza el contacto normalmente cerrado 14

15 Operador Exor (Or Exclusiva) Alternativa Exclusiva (Opción entre dos cosas, una, otra pero no ambas) La operación Exor produce un resultado 1, cuando un número impar de variables de entrada valen 1. El símbolo de la compuerta Exor se muestra en la figura adjunta, y la expresión matemática para una compuerta Exor de 2 entradas es: X = A B La Tabla de Verdad para la compuerta Exor de dos entradas A y B y la salida X se muestra a continuación: El interruptor usado en el circuito eléctrico para la demostración del Exor es diferente a los utilizados en los circuitos de la And y Or, este interruptor es conocido como un tiro y dos polos como se muestra en la figura m A B X=A B Tabla de Verdad Circuito Eléctrico para un operador Exor en donde el foco enciende cuando cualquiera de los interruptores A o B están en posición 1 pero no ambos (cerrados). Diagrama de tiempos para el operador EXOR 15

16 En un Diagrama de la teoría de conjuntos la operación Exor se representa con el área iluminada..circuito integrado TTL con 4 operadores Exor de 2 entradas. m A B C Exor Operación Exor de tres entradas implementada con 2 Exor de dos entradas Tabla de Verdad para una operación Exor de tres entradas Diagrama escalera para el operador EXOR de dos entradas 16

17 Operador Nand (And negada). La operación Nand es el negado de la salida de la operación And. El símbolo de la compuerta Nand se muestra en la figura adjunta. La expresión matemática de la compuerta Nand puede ser descrita como: X = A B, (A B) o también X = A B En otras palabras, la compuerta Nand es un circuito que opera en forma tal que su salida es BAJA, sólo cuando todas sus entradas son ALTAS. O también su salida es ALTA con cualquiera que sus entradas son BAJAS. La Tabla de Verdad para la compuerta Nand de dos entradas A y B y la salida X se muestra a continuación: Circuito integrado TTL con 4 operadores Nand de dos entradas. m A B X=AB Tabla de Verdad Diagrama de tiempos de la operación NAND Diagrama escalera para el operador NAND de dos entradas 17

18 Operador Nor (Or negada). La operación Nor es el negado de la salida de la operación Or. El símbolo de la compuerta Nor se muestra en la figura adjunta. La expresión matemática de la compuerta Nor es: X = A+B, (A+B) o también X = A B. En otras palabras, la compuerta Nor es un circuito que opera en forma tal que su salida es BAJA, cuando cualquiera sus entradas son ALTAS. O también su salida es ALTA solo cuando todas sus entradas son BAJAS. La Tabla de Verdad para la compuerta Nor de dos entradas A y B y la salida X se muestra en la figura a la derecha: m A B X=A+B Tabla de Verdad Circuito integrado TTL con 4 operadores Nor de 2 entradas Diagrama de tiempos de la operación NOR Diagrama escalera para el operador NOR de dos entradas 18

19 Operador Exnor (Exor negado). Símbolo y Tabla de verdad para dos entradas. Tabla de Verdad m A B X=A B Circuito integrado TTL con 4 operadores Exnor de 2 entradas. Diagrama de tiempos de la operación EXNOR Diagrama escalera para el operador EXNOR de dos entradas 19

20 Actividad 5 La siguiente tabla de verdad corresponde a las operaciones And, Or, Nand, Nor, Exor de tres entradas identifique que columna corresponde a cada una de las operaciones escriba el nombre correspondiente en el espacio superior, llene los valores de las combinaciones en blanco la tabla de verdad y en la parte inferior de la tabla dibuje el símbolo correspondiente a cada operador. Nombre m A B C a) b) c) d) e) Símbolo Operaciones Booleanas. Dibuje el símbolo correspondiente a cada una de las siguientes aseveraciones: Símbolo 1 La Salida es Alta solamente cuando sus tres entradas son Bajas. 2 La Salida es Baja cuando cualquiera de sus cuatro entradas es Baja 3 La Salida es Alta solamente cuando sus dos entradas son diferentes. 20

21 Identidades Las operaciones más comunes del algebra Booleana se describen a continuación: AND Operación Símbolo Circuito Equivalente resultado A 0 = A 1 = A A = A A = 21

22 OR Operación Símbolo Circuito Equivalente resultado A + 0 = A + 1 = A + A = A + A = 22

23 Propiedades del Algebra Booleana 23