DIVERSIFICACIÓN Ámbito Científico-Tecnológico ESO

Transcripción

1 DIVERSIFICACIÓN Ámbito Científico-Tecnológico I ESO En la elaboración de este libro se han tenido en cuenta las normas ortográficas establecidas por la RAE en diciembre de 00.

2 Números reales y magnitudes físicas Números reales se dividen en Números irracionales se expresan como Decimales Números racionales operamos utilizando Potencias juntos sirven para expresar utilizando Magnitudes físicas Errores Notación científica Unidades de medida Qué sabes de esto?. Sabrías resolver las siguientes operaciones con potencias? a) = b) ( 4 5) : ( 4 = c) [( 5)3 ] 5)5 8 = d) =. Sabes cuál es la diferencia entre un número periódico puro y un número periódico mixto? Pon algún ejemplo. 3. Conoces algún número irracional? Qué los diferencia de los números racionales? 4. Sabes qué es una magnitud física? Pon algún ejemplo e indica las unidades en que se mide. 5. Qué significa,5 0 8 m? Es una distancia muy grande o muy pequeña?

3 En esta unidad continuamos con nuestro estudio de las herramientas básicas del lenguaje científico y técnico: los números. Vamos a aprender a operar con los números reales, especialmente utilizando su expresión decimal y las potencias. Gracias a ellos podremos expresar de forma cómoda magnitudes físicas, aunque estas sean muy grandes o muy pequeñas. Aprenderemos, además, a emplear las unidades de medida adecuadas en cada caso y a estimar los errores que cometemos siempre que medimos algo, aunque sea de forma cuidadosa en un laboratorio.

4 . Potencias Producto de potencias con la misma base.. Qué es una potencia? Una potencia es una forma abreviada de expresar el producto de un número por sí mismo una cantidad determinada de veces. En su expresión distinguimos dos elementos: La base, que es el número que se multiplica por sí mismo. El exponente, que es el número de veces que lo multiplicamos. Base De esta forma: 3 5 = = En una potencia decimos que la base está elevada al exponente. Por ejemplo, en el caso de 3 5 diríamos 3 elevado a 5... Potencias de números enteros Cuando la base de una potencia es un número positivo, el resultado es siempre otro número positivo. Por el contrario, cuando elevamos un número negativo, el signo del resultado depende del exponente: Si elevamos un número negativo a un exponente par, el resultado es positivo. ejemplo: ( ) 6 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 64 Si elevamos un número negativo a un exponente impar el resultado es negativo. ejemplo: ( ) 5 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3.3. Propiedades de las potencias Exponente Potencias de 0 Observa que al elevar 0 a cualquier exponente obtenemos siempre un seguido de tantos 0 como nos indica el exponente: 0 = 0 0 = = = = = Esto resulta muy útil para expresar de forma cómoda magnitudes muy grandes. Por ejemplo, en la Vía Láctea hay unos 400 mil millones de estrellas. Sin utilizar potencias, este número se escribe así: Pero utilizando las potencias de diez podemos escribir simplemente: 4 0 Producto de potencias con la misma base Cuando multiplicamos dos potencias que tienen la misma base, el resultado es otra potencia con la misma base elevada a la suma de los exponentes. a n a m = a n+m La Vía Láctea ejemplo: = (4 4 4) (4 4) = 4 3+ = 4 5 Cociente de potencias con la misma base Cuando dividimos dos potencias que tienen la misma base, el resultado es otra potencia con la misma base elevada a la resta de los exponentes. 8 UNIDAD a n : a m = a n m ejemplo: 5 7 : 5 4 = = =

5 Potencia de una potencia Cuando la base de una potencia es otra potencia, obtenemos el resultado utilizando la misma base y multiplicando los exponentes. ejemplo: ( 3 ) = 3 3 = 3 = 6 Potencia de un producto (a m ) n = a m n Un producto de potencias con el mismo exponente se puede escribir como el producto de las bases elevadas a dicho exponente. a n b n = (a b) n Elevar a Al elevar cualquier número a obtenemos el mismo número. Ejemplo: 5 = 5 = De esta forma, cuando un número aparece sin ningún exponente, podemos considerar que está elevado a. Esto nos será útil para operar con potencias. Ejemplo: = = 8 6 ejemplo: = (5 ) 3 = 0 3 =.000 De la misma forma, para calcular la potencia de un producto podemos multiplicar los factores elevados al mismo exponente. ejemplo: (4 3) = 4 3 = 6 9 = 44 Potencia de un cociente Un cociente de potencias con el mismo exponente se puede calcular como el cociente de las bases elevadas a dicho exponente. ejemplo: 0 3 : 5 3 = (0 : 5) 3 = 4 3 = 64 a n : b n = (a : b) n De la misma forma, podemos calcular un cociente elevado a una potencia elevando el dividendo y el divisor a dicha potencia y luego realizando la división. ejemplo: (8 : 4) = 8 : 4 = 64 : 6 = 4 Puesto que una fracción es un cociente entre el numerador y el denominador, podemos aplicar esta propiedad para calcular potencias de fracciones: 3 4) = ( b) a n a = n b n ejemplo: ( 3 4 = 9 6 Potencias con exponentes negativos Para calcular una potencia con exponente negativo, lo convertimos en positivo cambiando la base por su inverso. a n n = ( a) = a ( n ejemplo: 3 = ( 3) = 3 = 9 b) a n n = ( b a) Elevar a 0 El resultado de elevar cualquier número a 0 es. Ejemplos: 3 0 = (-5) 0 = Potencias negativas de 0 Observa lo que obtenemos al elevar 0 a exponentes negativos: 0 = /0 = 0, 0 = /00 = 0,0 0 3 = /.000 = 0, = /0.000 = 0, = / = 0,0000 Utilizando estas potencias vamos a poder expresar cantidades muy pequeñas cómodamente. Por ejemplo, el diámetro de un glóbulo rojo mide 0, m. Podemos expresar esta medida como m Glóbulos rojos. Números reales y magnitudes físicas 9

6 ACTIVIDADES. Calcula en tu cuaderno el valor de las siguientes potencias: a) 5 4 = c) 0 = e) 0 6 = g) 7 = b) 8 3 = d) = f) 00 3 = h) 9 0 =. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla con las potencias del ejercicio anterior, indicando en cada caso la potencia, su base, su exponente y su valor. Potencia Base Exponente Resultado Calcula el valor de las siguientes potencias en tu cuaderno: a) ( 6) 3 = c) ( 4) 8 = e) ( 0) 5 = g) ( 3) = b) ( ) 0 = d) ( ) = f) ( 5) 3 = h) ( 7) 0 = 4. Indica en tu cuaderno el signo de las siguientes potencias sin calcularlas: a) ( 5) 3 = c) ( 3) 4 = e) 0 3 = g) ( 5) 0 = b) 5 3 = d) 4 3 = f) ( 0) 3 = h) ( 5) = 5. Calcula el valor de las siguientes potencias en tu cuaderno: a) ( 3) 4 = c) ( 5) 3 = e) ( 5) 3 = g) ( 5 8) = b) ( 4 7) = d) ( 6) = f) ( 4 3) 3 = h) ( 5 ) 4 = 6. Simplifica las siguientes operaciones en tu cuaderno expresando el resultado como una sola potencia: a) = d) = g ( 5) ( 5) 6 = j) ( 5 7) 5 7 = b) = e) ( ) 5 ( ) 3 = h) ( 3 4) 5 ( 3 4) = k) ( 5) 3 ( 5) 5 = c) = f) ( ) 3 ( ) 5 = i) ( 3 ) 4 ( 3 ) 3 = l) ( 5 6) ( 5 6) 4 = 7. Simplifica las siguientes operaciones en tu cuaderno expresando el resultado como una sola potencia: a) 5 7 : 5 4 = d) 6 4 : 6 = g) ( 7) 6 ( 7) = j) ( 3 7) 4 : 3 7 = b) 0 0 : 0 7 = e) ( 6) 3 ( 6) = h) ( 5 3) 9 ( 5 3) 3 = k) ( 0) 3 : ( 0) 5 = c) 3 : 3 4 = f) ( ) 5 : ( ) 3 = i) ( 5 ) 4 ( 5 ) 3 = l) ( 3 7) ( 3 7) 4 = 30 UNIDAD

7 8. Simplifica las siguientes operaciones en tu cuaderno expresando el resultado como una sola potencia: a) (3 5 ) 4 c) (5 0 ) 3 e) [( 4) 7 ] 3 g) [( 8) 3] 4 b) (0 7 ) d) (5 3 ) 0 f) [( 5) ] h) [( 7) 0] 4 9. Expresa en tu cuaderno como una única potencia: a) 4 3 = c) = e) ( 0) 0 : 0 = g) ( 5) 3 ( 3 4) 3 = b) 4 5 : 7 5 = d) 00 6 : 0 6 = f) 3 7 ( 0) 7 = h) ( 3 5) 3 : ( 7 ) 3 = 0. Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones: a) = e) ( 7) 5 ( 7) 0 ( 7) = i) [( 5) 3 ( 5) 4] = b) 8 : 5 = f) [( 5) ] 5 ( 5) 6 = j) (8 3 : 3 ) 4 5 = c) 8 : ( 5 ) = g) (4 3 4 ) 7 = k) (5 7 5 ) 9 = d) ( 5) 5 ( 5) 4 ( 5) = h) [( 7) 9 : ( 7) 5 ] = l) [( 3) ] : ( 6) 5 =. Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias como potencias de exponente positivo: a) 4 3 b) ( 5) c) ( 4 3) 3 d) ( 5 7) e) ( 4) 3 f) 5. Calcula el valor de las potencias del ejercicio anterior. 3. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones expresando el resultado como una única potencia con exponente positivo: a) = d) (0 3 ) = g) 5 4 : 5 = j) 9 0 : (9 5 9 ) = b) 0 3 = e) 5 : 3 = h) ( 4) 5 ( 4) 7 = k) [( 7)4 ] 3 : ( 7) 7 = c) = f) = i) 5 3 = l) [( 3) ( 5 7) ] 5 : ( 0 ) = 4. Calcula el valor de x en las siguientes expresiones: a) 3 x 3 5 = 3 8 c) ( 5) x ( 5) = ( 5) 3 e) 35 : 7 x = 5 g) (3 x ) = 3 44 i) x = 6 b) 0 : x = 4 d) x = 8 3 f) 8 3 = x h) [( 8) 4 ] x = ( 8) j) ( 4) 7 : ( 4) x = 4 5. Expresa, en tu cuaderno, los siguientes números de forma abreviada utilizando potencias de 0: a) c) e) 0,000 g) 0, b) d) f) 0,005 h) 0, Números reales y magnitudes físicas 3

8 . Números reales.. Números decimales Los números decimales son una forma de expresar los números que no son enteros. En ellos podemos distinguir una parte entera y una parte decimal separadas por una coma... Clasificación de los números decimales Podemos clasificar los números decimales según su parte decimal. Números decimales exactos Son los que tienen un número finito de cifras decimales. Parte entera,39 Parte decimal ejemplos:, 5,05 0,0075 Números decimales periódicos puros Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que se repite de forma indefinida. A este grupo de cifras se le llama periodo. ejemplos: 5,33333 = 5,3 Su periodo es 3 0, = 0,06 Su periodo es 06 Números decimales periódicos mixtos Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que no se repite y otro que sí. El que se repite se llama periodo y el que no se repite antiperiodo. ejemplos: 4,5555 = 4,5 Su periodo es 5 Números irracionales 5, = 5,036 Su periodo es 36 Son los que tienen infinitas cifras decimales pero estas no siguen una pauta determinada, es decir, no hay un periodo que se repita indefinidamente. ejemplos: π = 3,45965 =,44356 Los números irracionales no pueden escribirse como una fracción..3. Números reales Los números reales incluyen todos los números que has estudiado hasta ahora. Los números naturales junto con el 0 y los números negativos forman los números enteros. Los números enteros junto con los números decimales exactos y los decimales periódicos (puros y mixtos) forman los números racionales +. Los racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales. En la figura de la derecha puedes ver una representación de todos estos conjuntos de números. Números reales Números racionales 0, ,6, Números enteros /5-0, /7, Números racionales Se llaman así todos los números que pueden escribirse en forma de fracción. Incluyen: Números naturales 3 = 3 Números enteros, /9 Números naturales = 0 = 0 = Números decimales exactos 0,5 =,4 = 5 Números decimales periódicos 0,3 = 3,36 = ,459..., UNIDAD

9 .4. Operaciones con números decimales Suma y resta de números decimales Se resuelve de la misma forma que con números enteros teniendo cuidado de alinear las comas de ambos números. Multiplicación de números decimales Multiplicamos sin tener en cuenta las comas y se añade la coma al resultado para que tenga tantas cifras decimales como los factores en conjunto. División de números decimales Vamos a repasar la división de números decimales mediante un ejemplo. Cómo se hace...? Suma y resta de decimales Alineamos las comas: 0,544 3,45 + 7,5 34,39 75,044 89,3 División de números decimales Divide 350,6 :,8 Eliminamos la coma del divisor: Colocamos la coma en el Continuamos dividiendo: cociente cuando «bajamos» 3 la primera cifra decimal del 3506, , 8 dividendo: 946 7,3 3506, , 8 50 Cociente: 7,3 Resto:,8.5. Fracción generatriz Como ya hemos señalado, todos los números racionales pueden expresarse en forma de fracción. A la fracción irreducible que representa un número decimal se le denomina fracción generatriz. Veamos como se calcula para cada tipo de número decimal: Fracción generatriz de un decimal exacto En el numerador se escribe el número decimal sin coma y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga: ejemplo: 0,5 = 5 00 = 8 Fracción generatriz de un decimal periódico puro En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera, en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo: ejemplo:,3 = 3 = 9 9 = 4 3 Fracción generatriz de un decimal periódico mixto En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera y el anteperiodo; en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo: 6 ejemplo:,6 = = = 3 6 Redondeo Se denomina redondeo a eliminar las cifras decimales a partir de una señalada. Si la primera cifra que eliminamos es 5 o mayor, sumamos a la última cifra que se escribe. Si la cifra es menor que 5, la última cifra que se escribe permanece igual. Por ejemplo, si redondeamos a las centésimas: 4,678 = 4,7 0,03 = 0,0 Números reales y magnitudes físicas 33

10 ACTIVIDADES. Clasifica en tu cuaderno los siguientes números decimales en decimales exactos, periódicos puros, periódicos mixtos e irracionales: a), c) 9, e) 4,5 g) 6,333 b) 4, d) 4, f) 0,999 h), Copia la siguiente tabla en tu cuaderno e indica escribiendo sí o no en cada casilla si los siguientes números pertenecen a los distintos conjuntos de números: Número Naturales Enteros Racionales Reales 6,3333 π 5 5,, , Señala en tu cuaderno si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Todos los números naturales son números enteros. b) Cualquier número que sea racional es también un número entero. c) Los números reales están formados por los racionales y los irracionales. d) Las fracciones negativas son números enteros. e) Todos los números decimales son números racionales. f) Un número natural también es entero, racional y real. g) Un número entero es siempre un número natural. Yo me llamo 3,... Entonces eres un decimal periódico puro. Yo me llamo, Y tú eres un decimal periódico mixto h) Todos los números enteros positivos son números naturales. i) Los números racionales incluyen a los enteros negativos. j) Los números irracionales forman parte de los números racionales. 34 UNIDAD

11 4. Pon un ejemplo en tu cuaderno de cada una de las siguientes situaciones: a) Un número que sea entero y natural. b) Un número que sea entero pero no sea natural. c) Un número que sea racional y entero. d) Un número que sea racional pero no sea entero. e) Un número que sea racional y natural. f) Un número que sea racional pero que no sea natural. 5. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones con números decimales a) 0,5 +,33 e),5 5,7 i),5 +, 4,55 m),3,5 +,3 8,6 b) 3,07,5 f) 3,44 (,) j) 3,75, : 0,6 n),5 :,4 3,6 c) 0,00 +,4 g) 4,3 :,5 k) 0,5 + (, 4,5) ñ) 5,6 : 3 +,5 4 d),3 0,5 h) ( 5,76) : 0,03 l),4 (,3 + 0,75) o) 3,5, 0,5 + 9,3 6. Ocho amigos han pasado el fin de semana en una casa rural. El precio del alquiler es de 50 por noche. Además, los gastos en comida han sido de 5,60. Calcula cuánto dinero deben pagar cada uno de ellos. 7. En la tabla están reflejadas las temperaturas mínimas que se han alcanzado en Madrid durante una semana de enero de 0: Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo 3, ºC 3,5 ºC,7 ºC 0, ºC,3 ºC,3 ºC, ºC a) Calcula la media de estas temperaturas. b) Qué diferencia de temperatura se produjo entre el domingo y el lunes? c) Entre qué dos días consecutivos se produjo una mayor variación de temperaturas? 8. Halla en tu cuaderno la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales: a) 0,6 d) 3,4 g),33 j) 3, b),5 e) 5,5 h),03 k) 4,5 c) 0,53 f),5 i) 00, l) 0,08 9. Resuelve las siguientes operaciones, en tu cuaderno, escribiendo primero los números decimales en forma de fracción: a) 0,3 + 3 b) 5,4 c) 4, Redondea las siguientes cantidades al orden de cifras indicado: a),45 a las decenas c) 5,556 a las centésimas e) 3,5 a las milésimas d) ,5 3,6 e) 5 ( 3 +,7 ) b) 0,0369 a las milésimas d) 0,6 a las diez milésimas f) 4,507 a las centésimas. Un grupo de alumnos quiere organizar un viaje y decide contratar un minibús. El precio es de 80. Cuánto debe pagar cada alumno? Ten en cuenta que al tratarse de euros debes redondear a las centésimas, ya que no se puede pagar una cantidad inferior a un céntimo. Números reales y magnitudes físicas 35

12 3. Errores Aunque utilicemos los instrumentos de medida más sofisticados y trabajemos con el mayor de los cuidados, es imposible realizar medidas con una precisión infinita. En la vida cotidiana, los errores que van asociados a cualquier medida suelen ser poco importantes, pero en el mundo científico y técnico es fundamental tratar de determinar estos errores y tenerlos en cuenta en nuestros resultados. En este apartado vamos a aprender cómo determinar el error que estamos cometiendo cuando medimos algo en un laboratorio. 3.. Error absoluto Consiste simplemente en comparar, mediante una resta, el valor que hemos obtenido con uno de referencia que consideramos exacto o verdadero. Habitualmente este valor de referencia es la media de las mediciones que hayamos hecho. Se suele tomar el valor absoluto de esta resta porque nos interesa la diferencia entre nuestra medida y el valor exacto, independientemente de cuál es mayor o menor. Por ejemplo, si al pesar en diferentes ocasiones una cantidad de sustancia tras un experimento químico obtenemos distintos valores (como los del ejemplo del margen derecho), podemos considerar que la media de esos valores es el valor exacto de nuestra medición. Lo denominamos V E. La diferencia entre cada medida y este valor exacto es el error absoluto de cada medida. Si realizamos la media de todos esos errores absolutos tenemos el promedio del error absoluto. Se denomina E A. Habitualmente, el resultado de un experimento se escribe como: V E ± E A De esta forma indicamos que el valor exacto de dicho experimento se encuentra comprendido entre V E E A y V E + E A. 3.. Error relativo y porcentaje de error Para saber si un error es grande o pequeño, debemos compararlo con el valor obtenido en el experimento en el que se ha dado. Un error de 3 cm no tiene la misma importancia si estamos tratando de medir el tamaño de una célula que si queremos determinar la distancia entre la Tierra y la Luna. Para decidir si un error es importante o no, utilizamos el error relativo. Se denomina E R y se calcula dividiendo el error absoluto (E A ) entre el valor considerado exacto de nuestra medición (V E ): E R = E A V E Si lo multiplicamos por 00, obtenemos el porcentaje de error: % error = E R 00 ejemplo: Cálculo de errores Al medir varias veces la masa de sulfato de cobre resultante de un experimento, nos encontramos con los siguientes resultados: 3,5 g; 3,48 g; 3,49g; 3,5 g; 3,48 g Para calcular un valor de referencia, que llamaremos valor exacto (V E ) calculamos la media de estos datos: V E = 3,5+3,48+3,49+3,5+3,48 = 5 = 3,496 g Ahora calculamos la diferencia entre esta media y cada uno de los datos obtenidos: Peso (g) 3,5 0,04 3,48 0,06 3,49 0,006 3,5 0,04 3,48 0,06 La media de estos errores es nuestro error absoluto (E A ): E A = 0,05 Para expresar nuestro resultado debemos emplear las mismas cifras decimales que obteníamos en nuestras medidas (dos en este caso), por lo que debemos redondear si es necesario. El peso del sulfato de cobre que se obtiene en este experimento sería: 3,50 ± 0,0 g Dato V E Para decidir si el error que hemos cometido es grande o pequeño, calculamos el error relativo y el porcentaje de error: E R = 0,0 3,50 = 0,0057 % error = 0, = 0,6 % En el margen puedes ver un ejemplo del proceso completo del cálculo de errores. 36 UNIDAD

13 ACTIVIDADES. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si ponemos el cuidado suficiente, podemos tomar medidas completamente exactas, sin ningún tipo de error. b) El error relativo nos indica la diferencia entre una medida y el supuesto valor exacto. c) Al dar el resultado de un experimento con su error absoluto, realmente indicamos el margen dentro del cual debe encontrarse el resultado que buscábamos. d) Para comparar la precisión de dos medidas distintas debemos utilizar el error absoluto. e) El error relativo multiplicado por 00 nos da el porcentaje de error. f) Un error absoluto muy alto significa que el experimento se ha hecho mal.. Como resultado de un experimento, una revista científica publica que la masa obtenida en una reacción química de una determinada sustancia es ± 0, g. a) Calcula el error relativo y el porcentaje de error de esta medida. b) Indica cuáles de las siguientes opciones son válidas como posible resultado exacto del experimento:,05 g,93 g,98 g,87 g, g,07 g,89 g 3. Un alumno mide la longitud de un hilo de 5 m y halla el valor de 6 m. Otro alumno mide la longitud de un paseo de 600 m y halla 60 m. Qué medida fue más exacta? 4. Cuál de estas medidas es más precisa? a) Radio de la Tierra: km E A = 00 km b) Anchura de un folio: 0 mm E A = mm 5. Conociendo el error absoluto, podemos saber si una medida es más precisa que otra? 6. Realizamos un experimento en el laboratorio, que consiste en colgar un mismo peso de un muelle para determinar cuánto se estira. Colgamos el peso 5 veces y obtenemos los siguientes resultados: Medida Medida Medida 3 Medida 4 Medida 5 3,45 cm 3,50 cm 3,57 cm 3,55 cm 3,48 cm Calcula: a) El error absoluto de cada medida. b) El promedio del error absoluto. c) El error relativo. d) El porcentaje de error. 7. Al medir la distancia entre las orillas de un río se ha obtenido el resultado de 0 m con un error de ±40 cm. Al medir la longitud de una mesa se obtiene como resultado,5 m con un error de ±0 cm. Cuál de las dos medidas es más precisa? 8. En un trabajo de laboratorio hemos obtenido los siguientes resultados al medir repetidamente el tiempo que tardaba un metal en pasar de 55 ºC a 50 ºC: Medida Medida Medida 3 Medida 4 Medida 5 45 s 60 s 5 s 54 s 48 s a) Calcula el error absoluto, el error relativo y el porcentaje de error. b) Compara la precisión obtenida en este experimento con la del experimento descrito en la actividad número 6. Números reales y magnitudes físicas 37

14 4. Magnitudes físicas Ahora relacionaremos lo aprendido en Matemáticas con operaciones propias de la Física: la notación científica y el cambio de unidades. El cambio de unidades es una práctica cotidiana: si vamos al mercado pedimos, por ejemplo, 50 gramos de jamón de York, kilo de carne, una docena de huevos, litro y medio de leche, etc. Como ves, se han utilizado diferentes medidas. A continuación veremos las diferentes unidades utilizadas para medir magnitudes físicas y químicas, así como la forma apropiada de expresarlas científicamente. Una magnitud es todo lo que puede ser medido. Por ejemplo, la longitud, la masa, la temperatura, etc. La balanza se usa para medir masas, y el tiempo se medirá con reloj o cronómetro, para las longitudes podemos utilizar una cinta métrica, una regla graduada, e incluso otros aparatos como el nonius o el calibre. Medir una magnitud consiste en compararla con otra de la misma naturaleza a la que se denomina unidad. Por ejemplo, la masa habrá que medirla utilizando una unidad de masa (gramos, kilogramos) y no con una de longitud como el metro. Para poder medir la magnitudes necesitaremos construir o utilizar aparatos de medida adecuados. Las magnitudes que se pueden medir directamente se llaman magnitudes fundamentales, como por ejemplo la masa, el tiempo... Pero generalmente las magnitudes en Física se calculan utilizando una fórmula matemática, es decir, se miden de forma indirecta. A las magnitudes así medidas se les llama magnitudes derivadas o indirectas. Por ejemplo, la velocidad no se mide, se calcula con la fórmula: v = espacio tiempo Ya hemos visto que para poder medir necesitamos un aparato de medida. A este aparato hay que exigirle dos cosas: Exactitud. Es decir, que esté bien construido. Fidelidad. Es decir, que mida siempre igual. Precisión Cuando hablamos de precisión de un aparato, nos estamos refiriendo a la menor cantidad que puede apreciar. Por ejemplo, en una regla normal la precisión es de milímetro pero en un calibre sería de 0,05 milímetros (/0 mm). Cronómetro utilizado para medir el tiempo. La altura de las secuoyas es una magnitud. 38 UNIDAD

15 ACTIVIDADES. Enumera algunas magnitudes físicas que conozcas e indica si son fundamentales o derivadas.. De las magnitudes físicas del apartado anterior, indica qué instrumento usarías para medirlas. 3. Clasifica en tu cuaderno en fundamentales o derivadas las siguientes magnitudes físicas y escribe la fórmula de las que sean derivadas: a) Espacio b) Densidad c) Potencia d) Tiempo e) Presión f) Aceleración g) Masa h) Fuerza i) Peso j) Temperatura La velocidad es una magnitud derivada. 4. Indica algunos aparatos de medida que tengas en casa. 5. Cuáles son las magnitudes fundamentales que conoces del Sistema Internacional? Todos los países las usan? 6. Cuáles de los siguientes conceptos pueden considerarse magnitudes físicas? Completa en tu cuaderno. a) Altura b) Peso c) Belleza d) Inteligencia e) Volumen 7. Contesta en tu cuaderno verdadero o falso a las siguientes cuestiones: a) La mejor medida de la longitud la conseguimos a partir de nuestro cuerpo: palmo, braza, pie... b) El trabajo es una magnitud fundamental. c) El volumen es una magnitud derivada. 8. El proceso de medida implica ciertas condiciones. Si quisieras medir tu mesa de trabajo y no tuvieras una cinta métrica, cómo lo harías? 9. Una magnitud escalar es aquella que queda definida por una cantidad y una unidad, por ejemplo, el tiempo; y en una magnitud vectorial, aparte de lo anterior, nos tienen que indicar su dirección y el sentido. Sabiendo esto indica cuáles de las magnitudes de la actividad 3 son escalares. Números reales y magnitudes físicas 39

16 5. Unidades de medida Cada magnitud necesita su unidad para ser medida. La unidad es una cantidad que se adopta como patrón para comparar con ella cantidades de la misma especie. Las unidades se escriben con símbolos que no se pueden cambiar y con minúscula, a no ser que deriven de algún nombre propio, en cuyo caso se escriben con mayúscula. Los símbolos no se escriben en plural: 0 s son 0 segundos, 5 m son 5 metros. Tampoco se pone un punto al final del símbolo: 3 h (3 horas). Como existen muchas unidades, para evitar confusiones se crearon los llamados sistemas de unidades. Actualmente el que utilizamos nosotros es el Sistema Internacional, SI, que está basado en el sistema métrico decimal, es decir, se basa en potencias de 0. En el SI, las unidades de las magnitudes más frecuentes son: Magnitud Unidad Símbolo Masa kilogramos kg Tiempo segundos s Longitud metros m Polo Norte 0 7 m Ecuador En 79, la Academia de las Ciencias de París definió el metro en función del meridiano terrestre. Superficie metros cuadrados m Volumen metros cúbicos m 3 Intensidad de corriente amperios A Temperatura kelvin K Fuerza Newton N Los países anglosajones no utilizan el SI para expresar la longitud utilizan la yarda (yd), para la masa utilizan la libra (lb), etc. Vamos a ver algunas equivalencias: yarda = 0,944 m libra = 0, kg milla =,609 km pulgada =,54 cm pie = 30,48 cm Además de las vistas, en nuestra vida diaria utilizamos otras unidades que no son del SI. Magnitud Tiempo Temperatura Longitud Longitud Masa Masa Unidad hora, minuto grado centígrado (ºC) ångstrom (Å) = 0 0 m año luz = 9,44 0 km quintal (q) = 00 kg tonelada (t) =.000 kg Superficie área (a) = dam Superficie hectárea (ha) = hm Los atletas anglosajones miden sus distancias en yardas. 40 UNIDAD

17 5.. Múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida Nosotros utilizamos el SI, pero a veces no es práctico. Imagínate que midieras la distancia a la Luna en metros o el tiempo de un partido de fútbol en segundos. Para estos casos se usan los múltiplos (que expresan una cantidad mayor que la unidad de medida) y los submúltiplos (que expresan una cantidad menor que la unidad de medida). En los dos casos, se trata de una serie de prefijos que se escriben delante de la unidad, y nos indican la equivalencia con ella. Los múltiplos más usuales son: Prefijo Símbolo Equivalencia tera T 0 giga G 0 9 mega M 0 6 kilo k 0 3 Los submúltiplos más usuales son: hecto h 0 deca da 0 Las bacterias tienen dimensiones microscópicas menores de 0, mm. Prefijo Símbolo Equivalencia deci d 0 centi c 0 mili m 0 3 micro µ 0 6 nano n 0 9 pico p Notación científica Un número N escrito en notación científica es el producto de un número entero del al 9 (nunca 0 ni mayor de 9) seguido de una parte decimal si la hubiera, y una potencia de base 0 que nos dará la magnitud del número. N = a 0 n número sin decimales N = a, bc 0 n número con decimales Si n es positivo, N es grande, y si n es negativo, N es pequeño. ejemplo: Nos dan el número 34.78; como tenemos que dejar un sólo dígito, correremos la coma hacia la izquierda 5 lugares y nos quedará 3, Si nos dan el número 0, , como el primer dígito es 0, se correrá la coma hacia la derecha hasta el primer dígito no nulo, es decir, 7 lugares. Luego el número será, El número de lugares que recorre la coma nos da el exponente de la potencia de 0. Si la coma se corre hacia la izquierda, el exponente es positivo, y si se corre hacia la derecha, el exponente es negativo. La notación científica nos simplifica el cálculo matemático. Por ejemplo, si tenemos que multiplicar, sin utilizar la calculadora, 0, , haríamos: 0 3 3,5 0 5 = 3, = 7 0 = 700 La distancia de la Tierra al Sol es de 50 millones de km, que en el Sistema Internacional (SI) y en notación científica serían,50 0 m. Números reales y magnitudes físicas 4

18 ACTIVIDADES. Antes del SI utilizábamos otro sistema llamado CGS (cegesimal) en el que la longitud se medía en cm y la masa en g. Explica cuál de los dos sistemas te parece más práctico. Por qué?. Si vuelas en una compañía aérea estadounidense, el piloto informará a los pasajeros que el avión está volando a una altura de pies. Cuántos metros serán? 3. Si vas a comprar comida en Londres y pides libras de carne, cuánta carne te darán? 4. Completa en tu cuaderno: a) 8 años luz = m c) 7 t = g e) 34 ha = hm b) 4, g = kg d),3 a = m f) 0 días = s 5. Expresa tu altura en pies y en pulgadas. 6. Pésate en la farmacia y expresa tu peso en libras. 7. Un petrolero lleva una velocidad de 8 nudos. Si un nudo equivale a 0,5 m/s, indica a qué velocidad corresponde expresada en m/s y en km/h. 8. La velocidad de la luz es de m/s. Expresa ese valor en millas/hora. 9. Los atletas anglosajones no corren los.000 metros lisos, porque utilizan como medida de longitud la yarda. Indica a cuántas yardas corresponden esos.000 metros. 0. El virus de la poliomielitis mide 30 millonésimas de milímetro. Exprésalo en ångstroms.. Un glóbulo rojo humano tiene un diámetro de millonésimas de milímetro. Expresa esa cantidad en pulgadas y en pies.. El año luz es una medida de longitud que indica la distancia recorrida por la luz en un año y equivale a 9,44 billones de km, o sea, 9,44 0 km. La constelación de α Centauro está a 4,3 años luz de la Tierra. A qué distancia se encuentra? Exprésala en metros y en kilómetros. 4 UNIDAD

19 3. En las siguientes medidas indica la magnitud, la unidad y la cantidad medida: a) 30 cg c) 67 Gs e) 70 dam g) 47 kg b) 8 cm d) 9 µm f) 0 cm 3 h) 8,4 mg 4. Transforma en tu cuaderno al SI las siguientes cantidades: a) 8,5 km c) 5 ps e) nm g) 8 Ms b) 3 mm d) 0 hl f) 35 dam h) dg 5. Realiza en tu cuaderno los cambios de unidades siguientes: a) 45 cm = m d) 34 nm = cm 30 cg son...g? b) 9 km = mm e) 7 kg = mg c) 6 µg = g f),7 Ts = s 6. Escribe en tu cuaderno en notación científica: a) c) 0, e) 0, b) 300 d) f) 0, Pasa al SI expresando el resultado en notación científica: a) 3 km c) 758 km 3 e) 8,7 dam g) 6 dam 3 b) 34 cm d) 44 mm 3 f) 9,8 hm h) cm 3 8. Completa en tu cuaderno: a) dal = cl = dm 3 b) kl = dal = cm 3 c) ml = L = dm 3 d) dl = ml = cm 3 9. Los rayos X tienen una longitud de onda de pm. Pásalo a unidades del SI. En los mapas del tiem po la presión atmosférica se mide en una unidad llamada milibar.000 mb equivalen a Pa (pascales). Números reales y magnitudes físicas 43

20 Contraseñas seguras Desafío científico La seguridad de una contraseña depende de muchos factores, pero uno de los más importantes es el número y el tipo de caracteres que utilices. La forma de ataque más básica es la denominada ataque de fuerza bruta. Consiste en un programa que prueba de forma aleatoria todas las combinaciones posibles según el número de caracteres. Esta operación llevará más o menos tiempo en función del tipo de contraseña (si utiliza solo letras, mayúsculas y minúsculas, números, símbolos ) y de la capacidad de cálculo del ordenador. Por ejemplo, una contraseña que estuviese formada solo por una letra ofrece 6 posibilidades. Si utilizamos dos letras las combinaciones se multiplican por 6 y tenemos 6 6 = 6 = 676 posibilidades. Con tres letras, las opciones serían 6 3 = A medida que la contraseña emplea más caracteres, el número de posibilidades aumenta, obligando al programa de ataque a tener que probar más y más combinaciones aleatorias. Por otra parte, si en lugar de utilizar solo letras minúsculas empleas también letras mayúsculas, las opciones para cada carácter se duplican, pasando a ser 5. Si además incluimos números, pasamos a generar 6 opciones por cada carácter. En algunos sitios incluso se permite el uso de símbolos como * o $, lo que aumentaría aún más las combinaciones posibles. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno indicando cuántas combinaciones posibles existen según el número y el tipo de caracteres que empleemos: Número de caracteres Solo letras minúsculas Mayúsculas y minúsculas Mayúsculas + minúsculas + números Vamos a considerar que un ordenador personal puede realizar unos intentos por segundo. a) Cuánto tardaría en «hackear» una contraseña de 8 caracteres en los que solo hemos usado letras minúsculas? b) Y si la contraseña incluye también mayúsculas y números? Busca información sobre los ataques de diccionario. Qué hay que evitar si queremos una contraseña segura también frente a este tipo de ataques? 44 UNIDAD

21 Investiga El método científico Todas las ciencias utilizan el mismo método de trabajo, el método científico. Este método se desarrolla en varias fases: Observación La primera fase es la de observación de los fenómenos que se quieren estudiar, y determinar el objeto de estudio. Para realizar una observación precisa no nos podemos fiar de nuestros sentidos, hay que realizar una observación objetiva, y para ello se utilizan herramientas como la instrumentación y los análisis estadísticos, que permiten identificar variables que influyen en el fenómeno. Hipótesis Una hipótesis es una idea, o conjunto de ideas, que intentan explicar un fenómeno, su causa y sus mecanismos fundamentales. Esa hipótesis hay que expresarla en términos claros y debe permitir deducir consecuencias que posteriormente hay que comprobar. Experimentación El objetivo es poner a prueba la hipótesis, es decir, comprobar si es o no cierta, reproduciendo en el laboratorio el fenómeno observado. Por lo tanto, se medirán las distintas variables que intervienen en el fenómeno y se anotarán los resultados obtenidos. Existen dos tipos de variables: cualitativas, en las que no hay que contar ni medir, y cualitativas, que implican medidas y cantidades. Las matemáticas son la herramienta ideal, porque facilitan la deducción de los resultados de una forma cuantitativa. De esta forma, el fenómeno es descrito por un conjunto de números. Hay que saber manejar tablas de datos, para expresar los resultados cuantitativos, y representarlos en gráficas, para poder deducir de ellos las relaciones entre las variables y los valores que te interesan para poder confirmar o no la hipótesis de tu experimento. Interpretación Después de numerosas experiencias, las hipótesis confirmadas se convierten en una ley general o una teoría. Difusión de las leyes o teorías encontradas Al finalizar el proceso, el científico debe comunicar el resultado de sus experimentos y conclusiones para que el mundo pueda beneficiarse del hallazgo. De esta forma, se tiene acceso a un nuevo conocimiento, y se puede intentar reproducirlo o refutarlo con otros experimentos o desarrollos de la misma teoría. El lugar de publicación son revistas de ciencia especializadas en áreas muy concretas: física, química, biología, etc. Objetivo: Conocer el fundamento y las fases del método científico. Material: Cubitos de hielo Recipiente que resista el calor Mechero Termómetro que pueda marcar más de 00 grados centígrados (termómetro de laboratorio) Papel milimetrado y bolígrafo para recoger los datos Si quieres conocer más sobre el método científico, consulta las siguientes páginas: es/3eso/mcientifico/index.htm files/scimethod_s.html ACTIVIDADES. Aplica el método científico en el estudio de los cambios de estado. El agua se presenta en la naturaleza en los tres estados: sólido, líquido y gaseoso; así, tu estudio se centrará en cómo y por qué se realizan esos cambios. Emite una hipótesis y confírmala por medio de la experimentación. Anota los valores hallados en unas tablas y realiza una gráfica temperatura tiempo. Escribe las conclusiones en tu cuaderno. Números reales y magnitudes físicas 45

22 Recuerda. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla indicando en cada caso la base, el exponente y el valor de cada potencia: 7 3 Potencia Base Exponente Resultado ( ) 5 ( 3 ) ( 5) 4 ( 5) 4 0. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones expresando el resultado como una única potencia: a) = e) 8 4 : 8 4 = i) ( ) ( ) = m) ( 5 7) 5 7 = b) 5 : 5 4 = f) ( 3) 0 ( 3) = j) ( 5) 7 ( 5) = n) ( 5) 9 ( 5) 5 = c) = g) ( ) 8 : ( ) 5 = k) ( 5 7 ) 8 ( 5 7 ) = ñ) ( 3 ) 3 ( 3 ) 4 = d) (3 5 ) 4 = h) (5 0 ) 3 = l) [( 4) 7 ] 3 = o) [( 8) 3] 4 = 3. Simplifica las siguientes expresiones en tu cuaderno: a) = c) = e) ( 40) 4 : 8 4 = g) ( 5) 5 ( 3) 5 = b) 4 7 : 7 = d) 80 : 0 = f) ( 7) 5 ( 4) 5 = h) ( 7) 8 : ( 5) 8 = 4. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones con potencias: a) 0 6 : = d) ( ) 3 ( ) ( ) 5 = g) ( ) = j) (4 4 : 3 4 ) 8 7 = b) 3 3 : 3 7 = e) ( 3 5) 4 ( 3 5) 0 : ( 3 5) 5 = h) [( ) 4 : ( ) ] 9 = k) (5 7 5 ) : 5 9 = c) 7 9 : (7 7 7 ) = f) [( 3) 4 ] 0 ( 3) 3 = i) [( 6) 5 : ( 6) 4] l) [( ) ] : ( 4) = 46 UNIDAD

23 5. Expresa como potencias de exponente positivo y calcula el valor de las siguientes potencias. Resuelve en tu cuaderno: a) 5 b) ( 6) 3 c) ( 5 d) ( 4 e) ( f) ( ) 4 ) 6. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones expresando el resultado como una única potencia con exponente positivo: a) = c) (5 ) 3 = e) 5 7 : 5 3 = g) 5 : ( 3 7 ) = b) = d) 3 4 : 3 0 = f) 6 4 = h) [( 4 3) 3 ( 7. Calcula el valor de x en cada una de las siguientes expresiones: 3) 3 ) 4 5) 3] : ( 4 5) 4 = a) x = 5 b) 8 : x = c) (3 x ) 4 = 3 3 d) x = 0 e) x : 3 = 9 8. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno indicando a qué conjuntos pertenecen cada uno de los siguientes números. 6 Número Naturales Enteros Racionales Reales, ,55555, Calcula en tu cuaderno la fracción generatriz de los siguientes números decimales: a) 5, b) 0,0333 c),4444 d),5 e) 3,4 0. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones con números decimales y fracciones: a) 0,34 +,,5 = c),5 : 3, +,57 = e) 3,3 + 6 = g) 3 ( 3 +, ) = b) 4, (3,5,6) = d) 3,6 +,0 3, = f) 5 0,5 3 = h) 5 0, =. Realizamos un experimento en el que queremos determinar la temperatura final de una sustancia después de aplicarle un campo magnético. Repetimos el experimento 6 veces y obtenemos los siguientes resultados: 34,7 ºC 33, ºC 33,7 ºC 35, ºC 34,5 ºC 33,0 ºC a) Calcula el error absoluto. b) Calcula el error relativo y el porcentaje de error.. Expresa las siguientes cantidades en unidades del Sistema Internacional y utilizando la notación científica. Resuelve en tu cuaderno: a) 400 mm d) 5 km g) 400 s j) 0, dam b) cg e) 670 µm h) 57 h k) ma c) 0,0098 hg f) 0,004 g i) dg l) km Números reales y magnitudes físicas 47

24 Profundiza. Observa el siguiente ejemplo: ( 3) 5 ( 3 ) = ( 3) 5 ( 3) = ( 3) 7 Resuelve tú ahora las siguientes operaciones con potencias y fracciones: a) ( 5 7) ( 7 5) 3 = c) ( 4 ) 0 ( 4 ) 6 = e) ( 5 ) 9 ( 5) 4 = g) 5 ( 5) 7 = b) ( 3 5) 7 ( 5 3) 5 = d) ( 3 4) 3 ( 4 3) 5 = f) ( 4 7) = h) ( 0 ) =. a) Completa la siguiente tabla en tu cuaderno calculando el valor de la expresión ( ) n para distintos valores de n: Valor de n Valor de ( ) n b) Completa la siguiente frase en tu cuaderno: «El valor de ( ) n es siempre que n es y es siempre que n es». 3. Repite el ejercicio anterior con las siguientes expresiones en tu cuaderno, escribiendo una frase similar a la escrita en el apartado b) del ejercicio anterior para cada uno de los casos: Valor de n Valor de ( ) n+ Valor de n Valor de ( ) n- Valor de n Valor de ( ) n Valor de n Valor de ( ) n+ 4. Algunos números irracionales tienen unas propiedades muy interesantes, lo que les convierte en números «famosos». Busca información sobre los siguientes números irracionales y completa en tu cuaderno la siguiente tabla: 3,4596,7888, Número Nombre Símbolo Está relacionado con 5. Expresa las unidades de las siguientes magnitudes en el Sistema Internacional de unidades: a) aceleración = velocidad tiempo b) velocidad = espacio tiempo c) presión = fuerza superficie 48 UNIDAD

25 Autoevaluación Escribe en tu cuaderno la respuesta correcta.. Resuelve: 6 ( 8 : ) = a) b) c) 0 d) 4. Resuelve: [( 7) 5 : ( 7) 3 ] ( 7) = a) ( 7) 4 b) ( 7) 7 c) ( 7) 0 d) ( 7) 3 3. Calcula: [( 5) 6] 3 a) ( 5) 9 b) ( 5) 8 c) ( 5) 3 d) ( 5) 4. Resuelve la siguiente operación con potencias: ( ) : = a) b) 5 c) 8 d) 4 5. Expresa la siguiente potencia como una potencia con exponente positivo: ( 3 5) 7 a) ( 3 5) 7 b) ( 5 3) 7 c) ( 3 5) 7 d) ( 5 3) 7 6. Resuelve la siguiente operación con números decimales: 0,5 + 4,5,7 = a) 8,534 b) 85,34 c) 8,77 d) 8,77 7. Señala cuál de los siguientes números no puede escribirse en forma de fracción: a) 0,33333 b) 5 c), d) 9, Si el resultado de un experimento ha sido 3,4 0,5 s, qué error relativo hemos cometido? a) 0,0 b), c) 0,468 d) 46,8 9. Señala cuál de las siguientes unidades no es una unidad del Sistema Internacional: a) Metro (m) b) Amperio (A) c) Newton (N) d) Gramo (g) 0. Expresa 56 km en unidades del Sistema Internacional y en notación científica: a) 5,6 0 km b) m c) 5,6 0 4 m d) 5,6 0 3 m Números reales y magnitudes físicas 49