SUBPROYECTO: LAS TABLAS DE MULTIPLICAR Y EL ÁLGEBRA. LAS TABLAS DE DOBLE ENTRADA Y EL ÁLGEBRA. ESCUBRIR ALGUNOS SECRETOS DE LAS TABLAS DE MULTIPLICAR.

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1 GUIA DE TRABAJO # 18 PROYECTO: MAGIA MATEMÁTICA SUBPROYECTO: LAS TABLAS DE MULTIPLICAR Y EL ÁLGEBRA. ESTRATEGIA: OBJETIVO: LAS TABLAS DE DOBLE ENTRADA Y EL ÁLGEBRA. ESCUBRIR ALGUNOS SECRETOS DE LAS TABLAS DE MULTIPLICAR. RESPONSABLE: JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ MATERIALES: TABLAS DE DOBLE ENTRADA, PAPEL, LÁPIZ Y ENTUSIASMO. Las tablas de multiplicar y el Álgebra Son muchas otras las formas de trabajar las tablas de multiplicar e integrarlas con el álgebra. 1ª forma: Un amigo docente, León Monsalve en la U de A; nos recomendó, en un curso sobre Competencias en Matemática y Ciencias Naturales ; trabajar las tablas para multiplicar así:

2 Paso Nº 1: En palos de paletas, (anchos), escribir las tablas en orden del 1 hasta el 10. Por ej. Paso Nº 2: En un pedazo de tela ordenado y organizado se deben pegar dichas tablas y facilitar el manejo de ellas así: Tabla del 2: Acerque la tabla del 2 (segunda paleta) y haga coincidir sus valores con la primera tabla. Lea en diagonal el 2 por cada valor de la primera y al frente obtendrá su valor, como formando un triángulo. Ejemplo: 2ª forma: Las tablas en áreas. El educador Orlando Mesa de la U de A, nos recomendó, construir todas las tablas en rectángulos y cuadrados para que el niño o joven trabajara las tablas y las propiedades de la multiplicación al igual que la potenciación y radicación....

3 1x1 1x2 1x3 1x4 1x5 2x2 2x3 2x4 2x5... Y así sucesivamente, se recortan y se manipulan en todas las formas posibles. 3ª forma: Tabla de doble entrada y los números figúrales. Paso Nº 1: Construyamos las tablas de multiplicar en una tabla de doble entrada colocarla en lugar visible en el aula de clase. Observaciones interesantes: Paso Nº 2: a) Observemos y analicemos la diagonal principal (color fucsia). Qué clase de números son ellos?

4 Por qué se llaman así? Acaso será por formar figuras llamadas cuadrados y perfectos. b) Los números que quedan a cada lado de la diagonal, Cómo son? Cómo podrían llamarlos? Paso Nº 3: Números cuadrados perfectos: Para obtener el cuadrado perfecto de cualquier número búsquese el valor del punto de intersección (vertical y horizontal) del número base. Así. Ejemplo Nº 1: El cuadrado de a) Nos ubicamos en el número 2 (tanto vertical como horizontal) b) Hallamos el punto de intersección entre dichas columnas y ese será el resultado. En esté caso. Entonces, el cuadrado de 2 es 4. Ejemplo Nº 2: El cuadrado de Observe las flechas color rojo, en el ejemplo anterior luego: Es decir, el cuadrado de 3 es 9.

5 Paso Nº 4: Números cubos perfectos: Para obtener el cubo perfecto de cualquier número natural, dibújese el cuadrado que forma la intersección del número (tanto vertical como horizontal) y sume los valores que forman dos de sus lados en L. Así. (Líneas azules) Ejemplo Nº 2: El cubo de Observe las líneas de color rojo en el ejemplo anterior, y sume los valores que indican. Otra forma: Tome el cuadrado del número, en el punto de intersección del valor de la base y multiplíquelo por la base. Así. Su cuadrado es 9; por la base 9 x 3 = 27. Su cuadrado es 16; por la base 16 x 4 = 64. Paso Nº 5: Cuarta potencia de un número:

6 Para obtener la cuarta potencia de un número natural; ubíquese en el número cuadrado o en el cuadrado de dicho número y forme una cruz con dicho valor como centro. El resultado será la suma de los brazos de dicha cruz sin el valor central. Así: Ejemplo Nº 1: Cuarta potencia de Me ubico en el 4 (su cuadrado) = = 16 (Fijarse en la cruz de color azul) Ejemplo Nº 2: Cuarta potencia de Me ubico en 9 (su cuadrado) = = 81 (Fijarse en la cruz roja). Paso Nº 6: Podríamos saber el número de cuadrados y/o rectángulos que posee una figura tomada en dicha tabla. Sólo sumando números. a) El número de muchachos que se obtienen en un cuadrado de lado a, viene dado por la suma de los cuadrados anteriores y el cuadrado de a. (favor sumar los cuadrados en diagonal incluyendo el cuadrado dado) Ejemplo Nº 1: Para el cuadrado del 2 Cuáles cuadrados se pueden contar en su interior? a) Me ubico en el cuadrado de 2 4. b) Y sumo en diagonal sus cuadrados anteriores: = 5 R// En total se pueden contar 5 cuadrados pasa el Ejemplo Nº 2: Para el cuadrado de lado 4. Cuántos cuadrados se pueden contar en su interior? a) Me ubico en el cuadrado de 4 16

7 b) Y sumo en diagonal los cuadrados anteriores: = 30 R// En total se pueden contar 30 cuadrados en: Nota o Reto: Intenta descubrir en dicha tabla como contar el número de rectángulos en total (No olvide que los cuadrados son rectángulos también. Una clave sería trabajar como hizo para obtener el cubo de un número). Investígalo y divúlgalo!! Paso Nº 7: Productos notables (Deducción de sus fórmulas) a) Construyamos la tabla de doble entrada pero no con números sino con letras (variables) Observemos de igual forma la diagonal principal y hagamos deducciones similares a las tablas de multiplicar anteriores. b) El cuadrado de a; lo encontramos en el punto de intersección de los valores a (vertical y horizontal), es decir, c) El cuadrado de. Lo encontramos en el punto de intersección de los valores b (horizontal y vertical), es decir: Y así sucesivamente. d) Deduzcamos el cuadrado de la suma de dos cantidades. - Tomamos tanto vertical como horizontalmente el área comprendida por a y b; el resultado es la suma de las áreas comprendidas en su interior.

8 e) Cuadrado de un polinomio: (a+b+c) De igual forma, tomamos el área comprendida por a, b y c (tanto horizontal como vertical) y como resultado será sumar todas las áreas que resultan en su interior así: f. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades: (a-b) Construimos la tabla pero tomando como negativo el valor correspondiente a b. Apoyémonos en la multiplicación de números enteros. g. El cubo de la suma de dos cantidades: (a+b) Para ello proceda así: 1º) Construyo la tabla de doble entrada para a y b.

9 2º) Aparte construya en rectángulo de dimensiones a y b. 3º) Dicho rectángulo actuarán como altura del cubo pedido. Entonces, lo trasladaremos por cada lado del cuadrado base, lo multiplicaremos y el resultado será la suma de los volúmenes contenidos en el cubo total así: En obtenemos al multiplicar: En : En En Entonces en el total tenemos: h. Suma por diferencia de dos cantidades: (a+b) (a-b) (a-b) (a+b) = + ab + (-ab) - De donde al reducir áreas semejantes (a+b) (a-b) =

10 i. Productos de la forma: (x+a) (x+b) Luego: Pero observe que ax+bx tienen un factor común (x), o aplicando propiedad recolectiva tenemos que ax+bx = x (a+b) En lenguaje más sencillo, la suma (x+a) por la otra suma (x+b) se resuelve así: 1) El cuadrado del primer sumando x: más 2) La suma (o diferencia) de los segundos sumandos por x (a+b). X 3) Más, el producto de los segundos sumandos. Ejemplo: 1) (x+3) (x+2) = + (3+2) x + (3x2) + 5x + 6 2) (x+8) (x+11) = + (8+11) x + (8x11)

11 + 19x ) (x-20) (x+8) = + (-20+8) x + (-20) (8) -12 x -160 Actividad: Realizar para cada producto notable acá visto, 2 ejercicios diferentes como aplicación. Reto Nº 1: Cubo y pintura Descansito Nº 5 Un cubo de madera se pinta y luego se divide en 27 cubitos iguales. De estos nuevos cubos, cuántos tienen pintadas: a) Cuatro caras b) Tres caras c) Dos caras d) Una cara Quedarán cubos sin pintar? Reto Nº 2: Tres personas alquilan una habitación por US $30. Después de pagar, el gerente decide rebajarles US $5 y se los manda con un empleado. Para evitar problemas de división el empleado se queda con US $2 y les entrega de a dólar a cada uno. Así, han pagado US $27 más los 2 dólares del empleado suman en total US $29.

12 Dónde quedó el otro dólar? Reto Nº 3: La cruz cuadrada. Dibuja y recorta una cruz como la del dibujo. Ahora forma con todas las partes, Un Cuadrado Perfecto Truco Nº 17: Un poco de álgebra en las manos. Se analiza un poco el manejo de las variables (letras) en nuestras manos. 1. Suma de variables: Basta doblar los dedos de la variable respectiva, contar dichos dedos y acompañarlo de la variable. 2. Resta de variables semejantes: El mismo proceso de la suma pero no olvide que está restando.

13 No olvide: a) Tome los valores en cada mano según lo indique el ejercicio, haga la resta de dedos (vaya anulándolos) y si el resultado queda en la mano derecha será negativo. 3. Multiplicación de variables: a) Doble los dedos de las variables b) El exponente lo dará el número de dedos acostados. Ejemplo: 1.. = (2+3 dedos acostados) 4. División: a) Tomo la mayor potencia de la variable en la mano derecha y resto dichos valores (dedos acostados). 1. a) Si la diferencia me da en la mano derecha el exponente es positivo; en la mano izquierda da exponente negativo. Ejemplo:

14 O también: Tomo las potencias en las manos indicadas y si el resultado da en mano derecha (quedan dedos acostados) es negativo. 2. EVALUACIÓN Y SUGERENCIAS: